2025年高考数学一轮复习（基础版）课时精讲第6章　§6.3　等比数列（2份打包，原卷版+含解析）

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1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.掌握等比数列前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q).
3．等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aeq \\al(2,w)，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(pan,qbn)))也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,q>1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1<0，,0若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1>0，,01，))则等比数列{an}递减．
4．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{an}的公比q≠－1, 前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
常用结论
1．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．
(1)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.
(2)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(3)若数列{an}的项数为2n，则eq \f(S偶,S奇)＝q；若项数为2n＋1，则eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )
(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( )
2．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在等比数列{an}中，若a3＝eq \f(3,2)，S3＝eq \f(9,2)，则a2的值为( )
A．eq \f(3,2) B．－3 C．－eq \f(3,2) D．－3或eq \f(3,2)
4．数列{an}的通项公式是an＝an(a≠0)，则其前n项和为Sn＝________.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4等于( )
A.eq \f(15,8) B.eq \f(65,8) C．15 D．40
(2)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则eq \f(Sn,an)等于( )
A．2n－1 B．2－21－n C．2－2n－1 D．21－n－1
跟踪训练1 (1)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为( )
A．3 B．18 C．54 D．152
(2)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{an}，则lg2(a3a5)的值为( )
A．8 B．10 C．12 D．16
题型二 等比数列的判定与证明
例2 记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．
(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.
跟踪训练2 已知数列{an}和{bn}满足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.
(1)证明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比数列；
(2)求{anbn}的前n项和Sn.
题型三 等比数列的性质
命题点1 项的性质
例3 (1)已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.
下标和相等的等差(比)性质的推广
(1)若数列{an}为等比数列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn，则 SKIPIF 1 < 0 ·…· SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ·…· SKIPIF 1 < 0 .
(2)若数列{an}为等差数列，且m1＋m2＋…＋mn＝k1＋k2＋…＋kn，则 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ＋…＋ SKIPIF 1 < 0 .
典例 已知等差数列{an}，Sn为前n项和，且a9＝5，S8＝16，则S11＝________.
(2)已知数列{an}满足lg2an＋1＝1＋lg2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则lg2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
命题点2 和的性质
例4 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
(2)已知Sn是正项等比数列{an}的前n项和，S10＝20，则S30－2S20＋S10的最小值为________．
跟踪训练3 (1)已知等比数列{an}满足a2＋a4＋a6＋a8＝20，a2a8＝2，则eq \f(1,a2)＋eq \f(1,a4)＋eq \f(1,a6)＋eq \f(1,a8)＝________.
(2)在等比数列{an}中，q＝eq \f(1,2)，S100＝150，则a2＋a4＋a6＋…＋a100的值是________．
课时精练
一、单项选择题
1．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q＝eq \f(1,2)，且a3a4＝eq \f(1,32)，则a6等于( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,16) C.eq \f(1,32) D.eq \f(1,64)
2．若1，a2，a3,4成等差数列；1，b2，b3，b4,4成等比数列，则eq \f(a2－a3,b3)等于( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．±eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知等比数列{an}为递减数列，若a2a6＝6，a3＋a5＝5，则eq \f(a5,a7)等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,6) D．6
5．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地．则此人后三天所走的里程数为( )
A．6 B．12 C．18 D．42
二、多项选择题
6．已知数列{an}是等比数列，以下结论正确的是( )
A．{aeq \\al(2,n)}是等比数列
B．若a3＝2, a7＝32，则a5＝±8
C．若a1D．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则r＝－1
三、填空题
7．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．
8．设等比数列{an}共有3n项，它的前2n项的和为100，后2n项的和为200，则该等比数列中间n项的和等于________．
9．在等比数列{an}中，若a9＋a10＝4，a19＋a20＝24，则a59＋a60＝______.
四、解答题
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋2.
(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}落入区间(10,2 023)的所有项的和．
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝3Sn＋1，n∈N*.
(1)求{an}通项公式；
(2)设bn＝eq \f(an,n＋1)，在数列{bn}中是否存在三项bm，bk，bp(其中2k＝m＋p)成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．