2024无锡一中高一下学期6月期末考试数学含答案

这是一份2024无锡一中高一下学期6月期末考试数学含答案，共10页。试卷主要包含了设点是所在平面内一点等内容，欢迎下载使用。

2024.6
命题：高二数学组 审核：高二数学组
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若样本数据，，…，的方差为3，则，，…，的方差为（ ）
A.3B.5C.6D.12
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（ ）
A.B.C.D.
3.圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是（ ）
A.B.C.D.
4.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则等于（ ）
A．2B．C．4D．
5.已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A.若，，，则B若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
6.如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（ ）
（结果保留整数）（参考数据：）
A．B．C．D．
7.设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．
则上述说法正确的个数为
A.0B.1C.2D.3
8.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（ ）
A．
B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
C．
D．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．根据所给统计图，下列结论中正确的是（ ）
A．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
B．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件：从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签6；事件：抽取的两个号签和为3；事件：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（ ）
A．B．事件与互斥
C．事件与事件相互独立D．事件与事件相互独立
11．如图，正方形棱长为1，是线段上的一个动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为
B．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.如图，已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为4，则该直三棱柱的体积为______．
13.已知向量，且，则在上的投影向量的坐标为______．
14.2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为，两档，当预定档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（、档皆可），他预定了一张档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为______．
四、解答题（本题共5题，共77分）
15.（12分）已知复数，，，为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，求．
16.（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.
（1）若，求，的夹角的余弦值；
（2）求的取值范围.
17.（17分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：
（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．
18.（18分）如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值的大小；
（3）设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论．
19.（18分）请从：①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
（如未作出选择，则按照选择①评分）
在中，，，分别是角，，的对边，若________，
（1）求角的大小；
（2）若角的平分线长为1，且，求外接圆的面积；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围．
参考答案
一、单选题
DADCDBCD
二、多选题
ACADABD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题（本题共5题，共77分）
15.（1），，
所以，
因为是纯虚数，所以，得.
（2）由（1）知，，
因为，所以，得，
所以，所以.
16.（1）由图知：，，
所以，
所以
法二：建系，，，，则
∴
（2）设，
∴
17.（1）由于前2组的频率和为0.3，前3组的频率和为0.75，
所以可知70%分位数一定位于内，
设70%分位数为x，则，解得
（2）①
所以，又，
可知该产品属于一等品．
②记三件一等品，，，两件二等品为，，
摸出两件产品总基本事件共10个，分别为：
，，，，，，，，，，
设：摸出两件产品中至少有一个一等品，包含的基本事件共9个，分别是：
，，，，，，，，，
所以.
答：摸出两件产品中至少有一个一等品的概率为
18.（1）证明：连接，交于点，连接，
∵四边形为矩形，
∴为的中点，
在中，，分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面
（2）法一：设点到平面的距离为
由等体积法，
所以
法二：补形成长方体，
可证与平面所成角为
（3）与平面垂直．证明如下：
∵四边形为矩形，∴，
∵平面平面，
又平面，平面平面，∴平面，
∴，，
∵四边形为矩形，∴，
∵平面，平面
∴平面
∵平面，平面平面，
∴
∴，
，平面，
所以平面
19.（1）若选①，
因为，
由正弦定理得，
即，
所以，
由，得，所以，
即，
因为，所以.
若选②，
由，
化简得.
由正弦定理得，
即，所以.
因为，所以.
若选③，
因为，由正弦定理得，
即，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，
所以，所以
（2）因为角的平分线为，由等面积法：
，
即，即，
又，
所以，所以，即，
故外接圆的面积，
（3）在中，由正弦定理，
得，，
由（1）知，，
又，代入上式得，，
所以
因为为锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以.