专题30 平面向量的数量积及其应用-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

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【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】数量积的计算4
【考点2】数量积的应用5
【考点3】平面向量的综合应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】9
【培优篇】10
考试要求：
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知识梳理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cs__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cs θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)).
(3)夹角：cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2))).
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ eq \r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))·eq \r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)).
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国·高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．5D．6
5．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、填空题
6．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
7．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
8．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
9．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
10．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
考点突破
【考点1】数量积的计算
一、单选题
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．1D．13
2．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
3．（2024·广东广州·二模）在梯形中，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知是两个单位向量，若，，则（ ）
A．三点共线B．
C．D．
三、填空题
5．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，若，则的取值范围为 ．
6．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，，
反思提升：
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【考点2】数量积的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知向量满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知向量的夹角为，且，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2022·全国·模拟预测）在边长为正六边形中，是线段上一点，，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若向量在向量上的投影向量是，则
C．若为正六边形内一点（包含端点），则的取值范围是
D．若，则的值为
4．（2023·河北唐山·二模）已知向量，，，下列命题成立的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．设，，当取得最大值时，
三、填空题
5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量满足，则实数的值为 ．
6．（2024·四川·模拟预测）平面向量，满足，，且，则的值为 ．
反思提升：
(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(夹角公式)，a⊥b⇔a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)计算向量的模：①当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；②利用|a|＝eq \r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；③几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【考点3】平面向量的综合应用
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·二模）已知双曲线的左右焦点分别为，左顶点为，点是的右支上一点，则（ ）
A．的最小值为8
B．若直线与交于另一点，则的最小值为6
C．为定值
D．若为的内心，则为定值
4．（2024·山西·三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ）
A．
B．
C．若P为EF的中点，则在上的投影向量为
D．的最大值为
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知等边的外接圆的面积为，动点在圆上，若，则实数的取值范围为 ．
6．（2024·河北秦皇岛·二模）已知双曲线C：的左焦点为F，过坐标原点O的直线与C交于A，B两点，且，，则C的离心率为 .
反思提升：
向量数量积综合应用的方法和思想
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·湖南长沙·二模）已知向量 中， 是单位向量， 与 的夹角为 ，则 （ ）
A．2B．C．D．-1
2．（2024·浙江·三模）已知单位向量满足，则（ ）
A．0B．C．D．1
3．（2023·山东青岛·二模）已知为坐标原点，复数，，分别表示向量，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·湖北武汉·二模）已知，向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．5C．D．
二、多选题
5．（23-24高三下·山东菏泽·开学考试）已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量为
C．若，则
D．若，则
6．（2023·山东·二模）下列说法正确的是（ ）
A．
B．非零向量和，满足且和同向，则
C．非零向量和满足，则
D．已知，，则在的投影向量的坐标为
7．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量为
三、填空题
8．（2024·江西·模拟预测）已知平面内非零向量在向量上的投影向量为，且，则与夹角的余弦值为 ．
9．（2024·全国·模拟预测）已知向量，若，则 .
10．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，，若，则实数 .
四、解答题
11．（23-24高三上·北京·阶段练习）在中，．
(1)求C；
(2)若，求的最小值．
12．（2024·黑龙江·二模）已知向量，，且函数在上的最大值为．
(1)求常数的值；
(2)求函数的单调递减区间．
【能力篇】
一、单选题
1．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．的最大值为6
D．若，则
三、填空题
3．（2024·湖北·模拟预测）已知正方形的边长为，两个点，（两点不重合）都在直线的同侧（但，与在直线的异侧），，关于直线对称，若，则面积的取值范围是 .
四、解答题
4．（2024·广东惠州·一模）在中，已知，，分别为角，，的对边．若向量，向量，且．
(1)求的值；
(2)若，，成等比数列，求的值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·广东佛山·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B在C上，且满足，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2023·福建·模拟预测）半圆形量角器在第一象限内，且与轴、轴相切于、两点.设量角器直径，圆心为，点为坐标系内一点.下列选项正确的有（ ）

A．点坐标为B．
C．D．若最小，则
三、填空题
3．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ．