2025年高考数学一轮复习-第十章-第三节 二项式定理-课时作业【含解析】

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1.二项式x－1x12的展开式中，含x2项的系数是（ ）
A.－462 B.462
C.792 D.－792
2.（1＋x）8（1＋y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A.56 B.84
C.112 D.168
3.（2024·云南昆明）已知（1＋ax）（1＋x）3的展开式中x3的系数为7，则a＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
4.在二项式x2－1x11的展开式中，系数最大的项为（ ）
A.第五项 B.第六项
C.第七项 D.第六和第七项
5.（2024·四川成都）设（x2＋1）（2x＋1）9＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2）11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
6.若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则a8＝（ ）
A.18 B.－18
C.－27 D.27
7.（2024·湖南岳阳）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（ ）
A.8 B.10
C.12 D.1
8.（2020·全国Ⅲ卷）x2＋2x6的展开式中常数项是 .（用数字作答）
9.（2020·浙江卷）二项展开式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝ ，a1＋a3＋a5＝ .
10.已知1－x9＋mx+110＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10.若a9＝a10，则a2＝ .
11.（2019·浙江卷）在二项式（2＋x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .
12.（2024·江苏南通）（1＋x）（1＋2x）5的展开式中x6的系数为 .
[B组 能力提升练]
13.若（2x－32）16的展开式中系数为整数的项有k项，则k的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
14.在x－1（x－y）6的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A.－20 B.20
C.－15 D.15
15.在mx＋2y7的展开式中，x4y3项的系数与x3y4项的系数之比为1∶2，则x5y2项的系数为（ ）
A.84 B.63
C.42 D.21
16.（多选）已知（2＋x）（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ）
A.a0的值为2
B.a5的值为16
C.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D.a1＋a3＋a5的值为120
17.（多选）对于x2－3x6的展开式，下列说法正确的是（ ）
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.二项式系数最大的项为第3项
18.（2022·上海卷）二项式（3＋x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ .
19.设（x－1）（2＋x）3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝ ，2a2＋3a3＋4a4＝ .
20.在x＋2xn 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为72964，求二项展开式中的常数项.
2025年高考数学一轮复习-第十章-第三节 二项式定理-课时作业（解析版）
[A组 基础保分练]
1.二项式x－1x12的展开式中，含x2项的系数是（ ）
A.－462 B.462
C.792 D.－792
答案：D
解析：x－1x12展开式的通项为C12kx12－k－1kx－k＝－1kC12kx12－2k，k∈0，1，2，…，12，
令12－2k＝2，解得k＝5，所以x2项的系数是－15C125＝－792.
2.（1＋x）8（1＋y）4的展开式中x2y2的系数是（ ）
A.56 B.84
C.112 D.168
答案：D
解析：因为（1＋x）8的展开式中x2的系数为C82，（1＋y）4的展开式中y2的系数为C42，所以x2y2的系数为C82C42＝168.
3.（2024·云南昆明）已知（1＋ax）（1＋x）3的展开式中x3的系数为7，则a＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
答案：C
解析：∵（1＋ax）（1＋x）3的展开式中含x3的项为x3＋ax×C32x2＝（3a＋1）x3，∴3a＋1＝7，∴a＝2.
4.在二项式x2－1x11的展开式中，系数最大的项为（ ）
A.第五项 B.第六项
C.第七项 D.第六和第七项
答案：C
解析：依题意可知Tr＋1＝C11r（－1）rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项式系数最大的是C115与C116，所以系数最大的是T7＝C116x4，即第七项.
5.（2024·四川成都）设（x2＋1）（2x＋1）9＝a0＋a1（x＋2）＋a2（x＋2）2＋…＋a11（x＋2）11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为（ ）
A.－2 B.－1
C.1 D.2
答案：A
解析：令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝（1＋1）（－1）9＝－2.
6.若（x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a9（x－1）9，则a8＝（ ）
A.18 B.－18
C.－27 D.27
答案：B
解析：由题意，得（x－3）9＝[（x－1）－2]9，a8表示展开式中含（x－1）8项的系数，故a8＝C91×（－2）＝－18.
7.（2024·湖南岳阳）将多项式a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0分解因式得（x－2）（x＋2）5，则a5＝（ ）
A.8 B.10
C.12 D.1
答案：A
解析：（x－2）（x＋2）5＝（x2－4）·（x＋2）4，所以（x＋2）4的展开式中x3的系数为C41·21＝8，所以a5＝8.
8.（2020·全国Ⅲ卷）x2＋2x6的展开式中常数项是 .（用数字作答）
答案：240
解析：x2＋2x6的展开式的通项为Tr＋1＝C6r（x2）6－r2xr＝C6r2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C6424＝240.
9.（2020·浙江卷）二项展开式（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝ ，a1＋a3＋a5＝ .
答案：80 122
解析：（1＋2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝C54·24＝80.
a1＋a3＋a5＝C51×2＋C53×23＋C5525＝122.
10.已知1－x9＋mx+110＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10.若a9＝a10，则a2＝ .
答案：41
解析：a9＝C99－19＋mC101＝10m－1，a10＝m.
因为a9＝a10，所以10m－1＝m，解得m＝19，
所以a2＝C92＋19C108＝41.
11.（2019·浙江卷）在二项式（2＋x）9的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 .
答案：162 5
解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C9r·（2）9－r·xr，r∈N，0≤r≤9，
当为常数项时，r＝0，T1＝C90·（2）9·x0＝（2）9＝162.
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是5.
12.（2024·江苏南通）（1＋x）（1＋2x）5的展开式中x6的系数为 .
答案：32
解析：（1＋x）（1＋2x）5＝（1＋2x）5＋x（1＋2x）5，
故（1＋x）（1＋2x）5的展开式中x6的项只能是x（1＋2x）5中出现的x6，
由于x（1＋2x）5中含x6的项为x2x5＝32x6，
（1＋x）（1＋2x）5的展开式中x6的系数为32.
[B组 能力提升练]
13.若（2x－32）16的展开式中系数为整数的项有k项，则k的值为（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
答案：B
解析：二项式（2x－32）16的通项为Tr＋1＝C16r216－r2·（－2）r3x16－r＝C16r（－1）r328－r6x16－r（其中0≤r≤16，r∈N）.若项的系数为整数，则8－r6为自然数，所以r＝0，6，12，所以k＝3.
14.在x－1（x－y）6的展开式中，含x4y3项的系数为（ ）
A.－20 B.20
C.－15 D.15
答案：A
解析：（x－y）6的第r＋1项为Tr＋1＝C6rx6－r－yr，
令r＝3，则T4＝C63x3－y3＝－20x3y3，
所以x－1（x－y）6的展开式中，含x4y3项为x·T4＝－20x4y3，系数为－20.
15.在mx＋2y7的展开式中，x4y3项的系数与x3y4项的系数之比为1∶2，则x5y2项的系数为（ ）
A.84 B.63
C.42 D.21
答案：A
解析：mx＋2y7展开式的通项为Tr＋1＝C7r·（mx）7－r·2yr＝2r·m7－r·C7r·x7－ryr，所以x4y3项的系数为23·m4·C73，x3y4项的系数为24·m3·C74，则由题意知23·m4·C7324·m3·C74＝12，解得m＝1，所以x5y2项的系数为22·C72＝84.
16.（多选）已知（2＋x）（1－2x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则（ ）
A.a0的值为2
B.a5的值为16
C.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为－5
D.a1＋a3＋a5的值为120
答案：ABC
解析：令x＝0，得a0＝2，A正确.（1－2x）5的展开式的通项为Tr＋1＝C5r（－2x）r＝（－2）rC5rxr，所以a5＝2×（－2）5C55＋（－2）4C54＝16，B正确.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3.①
又a0＝2，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－3－2＝－5，C正确.令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝243.②
①－②2得，a1＋a3＋a5＝－123，D错误.
17.（多选）对于x2－3x6的展开式，下列说法正确的是（ ）
A.所有项的二项式系数和为64
B.所有项的系数和为64
C.常数项为1 215
D.二项式系数最大的项为第3项
答案：ABC
解析：x2－3x6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，选项A正确；
在x2－3x6中，令x＝1，得（1－3）6＝64，选项B正确；
x2－3x6展开式的通项为Tk＋1＝C6k（x2）6－k·－3xk＝（－3）kC6kx12－3k，k≤6，k∈N，
令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为（－3）4×C64＝1 215，选项C正确；
当k＝3时，二项式系数最大，则二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.
18.（2022·上海卷）二项式（3＋x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，则n＝ .
答案：10
解析：∵二项式（3＋x）n的展开式中，x2项的系数是常数项的5倍，
即Cn2×3n－2＝5Cn0×3n，即n（n－1）2＝5×9，
∴n＝10.
19.设（x－1）（2＋x）3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝ ，2a2＋3a3＋4a4＝ .
答案：－4 31
解析：因为x·C30·23·x0－C31·22·x1＝－4x，
所以a1＝－4，
对所给等式两边对x求导，
可得（2＋x）3＋3（x－1）（2＋x）2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，
令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，
所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
20.在x＋2xn 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为72964，求二项展开式中的常数项.
解：由题意得，在x＋2xn的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为3n2n＝72964，∴n＝6，∴二项展开式通项公式为Tr＋1＝C6rx6－r2xr＝C6r·2r·x6－32r，令6－3r2＝0得r＝4，故常数项为C64·24＝240.