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北师大版九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件同步测试题
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这是一份北师大版九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件同步测试题，文件包含《44平行线分线段成比例》二训练与观测解答卷doc、《44平行线分线段成比例》二训练与观测doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图，已知，请你再添加一个条件，使得∽
则下列选项不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
3．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠C＝∠BC．D．
【答案】D
如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
如图，在和中，，要使与相似，
还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
6．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC＝AD：BDB．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD•BCD．AB2＝BD•BC
【答案】D
如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，
若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AODB．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOCD．△AOB∽△COD
【答案】D
如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：
①；②；③，
使与一定相似（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【答案】A
如图，在四边形中，如果，
那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
A．B．是的平分线
C．D．
【答案】D
如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，
若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，
则AQ 的长为（ ）
A．3B．3或C．3或D．
【答案】B
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
如图，，交于点O，且，，，
当 时，．
【答案】
12 .在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，
则当A′B′＝ 时，△ABC∽△A′B′C′.
【答案】3
13．如图，△ ABC中 CD为高线， AD=4, CD=3,则当 DB= 时，△ ADC∽△ CDB．
【答案】
14．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，
当AC＝ 时，△ACD∽△ABC．
【答案】
如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，
当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9．
16 . 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，
还需要添加一个条件，这个条件是 ．
【答案】∠B=∠E
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．如图，在△ABC中，∠C=90°,D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD·AB=AE·AC,
求证：DE⊥AB．
证明：∵AD•AB＝AE•AC，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
18 .如图，，分别为，边上两点，且，，，．
求证：．
证明：∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，又，
∴．
19 .如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．
求证：与是相似三角形．
证明：，，，，
，
．
，
与是相似三角形．
20 .如图，已知E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且，.
求证：.
证明：∵
∴，
即.
又∵，
∴
∴.
∴.
21 .如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，
AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为8，求BG的长．
证明：(1)由题意得＝＝，又∠D＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△DEF，
(2)∵DE∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
又∵DF＝DC，即DF＝FC，
∴＝＝，
∴CG＝3ED＝12，
∴BG＝8＋12＝20
22．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
1．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
如图，已知，请你再添加一个条件，使得∽
则下列选项不成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
3．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠C＝∠BC．D．
【答案】D
如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
如图，在和中，，要使与相似，
还需要添加一个条件，这个条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
6．如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（ ）
A．AC：BC＝AD：BDB．AC：BC＝AB：AD
C．AB2＝CD•BCD．AB2＝BD•BC
【答案】D
如图，四边形的对角线相交于点，且将这个四边形分成四个三角形，
若，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AODB．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOCD．△AOB∽△COD
【答案】D
如图，点、分别在的、边上，增加下列哪些条件：
①；②；③，
使与一定相似（ ）
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【答案】A
如图，在四边形中，如果，
那么下列条件中不能判定和相似的是（ ）
A．B．是的平分线
C．D．
【答案】D
如图，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，
若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，
则AQ 的长为（ ）
A．3B．3或C．3或D．
【答案】B
填空题（本大题共有6个小题，每小题3分，共18分）
如图，，交于点O，且，，，
当 时，．
【答案】
12 .在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，
则当A′B′＝ 时，△ABC∽△A′B′C′.
【答案】3
13．如图，△ ABC中 CD为高线， AD=4, CD=3,则当 DB= 时，△ ADC∽△ CDB．
【答案】
14．如图，点D是△ABC边AB上的一点，AD＝2BD＝2，
当AC＝ 时，△ACD∽△ABC．
【答案】
如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，
当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似．
【答案】4或9．
16 . 如图，在△ABC与△ADE中，＝，要使△ABC与△ADE相似，
还需要添加一个条件，这个条件是 ．
【答案】∠B=∠E
三、解答题（本大题共有6个小题，共52分）
17．如图，在△ABC中，∠C=90°,D、E分别为AB、AC边上的两点，且AD·AB=AE·AC,
求证：DE⊥AB．
证明：∵AD•AB＝AE•AC，
∴
∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∴DE⊥AB．
18 .如图，，分别为，边上两点，且，，，．
求证：．
证明：∵，，，，
∴，，
∴，，
∴，又，
∴．
19 .如图，四边形的对角线与相交于点，，，，．
求证：与是相似三角形．
证明：，，，，
，
．
，
与是相似三角形．
20 .如图，已知E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且，.
求证：.
证明：∵
∴，
即.
又∵，
∴
∴.
∴.
21 .如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，CD上的点，
AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为8，求BG的长．
证明：(1)由题意得＝＝，又∠D＝∠A＝90°，
∴△ABE∽△DEF，
(2)∵DE∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
又∵DF＝DC，即DF＝FC，
∴＝＝，
∴CG＝3ED＝12，
∴BG＝8＋12＝20
22．【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），
其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），
连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．
连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS）．
∴∠ABC=∠ACN．
（2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：
∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．
∴∠BAM=∠CAN．
∵在△BAM和△CAN中，，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：
∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
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