（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第02讲：因式分解（学生版+教师版）讲义

这是一份（人教版）初升高数学暑假衔接初高衔接-第02讲：因式分解（学生版+教师版）讲义，文件包含人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第02讲因式分解教师版docx、人教版初升高数学暑假衔接初高衔接-第02讲因式分解学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共42页， 欢迎下载使用。

考点一、公式法(立方和、立方差公式)
这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．
运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．
考点二、分组分解法
从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．
考点三、十字相乘法
1．型的因式分解
(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．
.
因此，.
2．一般二次三项式型的因式分解
大家知道，．
反过来，就得到：
我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
题型突破
题型一：提取公因式和公式法因式分解
1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
2．因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）提公因式即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；
（3）用平方差公式分解即可；
（4）用两次平方差公式分解即可．
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【点睛】本题考查因式分解，根据不同题目选择合适的方法是解题的关键．
3．阅读下列材料：
已知a2+a-3=0，求a2 (a+4)的值．
解：∵ a2=3-a，
∴a2 (a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=- a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，
∴a2 (a+4)=9．
根据上述材料的做法，完成下列各小题：
（1）若a2-a-10=0，则2(a+4) (a-5)的值为____________．
（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
【答案】（1）﹣20；（2）﹣1
【分析】（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；
（2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可．
【详解】解：（1）∵a2﹣a﹣10=0，
∴a2﹣a=10，
∴2(a+4) (a-5)=2（a2﹣a﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，
故答案为：﹣20；
（2）∵x2+4x﹣1=0，
∴x2+4x=1，x2=1﹣4x，
∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1
=2x2(x2+4x﹣2)﹣8x+1
=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1
=﹣2+8x﹣8x+1
=﹣1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键．
4．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．
例如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式
．
（2）由（1）得：，
，
，
当时，代数式有最小值，最小值是．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：；
(2)试说明不论为何值，代数式恒为负数；
(3)若已知且，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；
（2）先利用配方法将变形为，根据二次方的非负性，求出的值恒为负数；
（3）先将变形为，得出，即可求出．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
，
，
不论为何值，代数式恒为负数．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
题型二：分组分解法
5．把下列各式因式分解
(1)a(a-3)+2(3-a)
(2)
(3)
(4)
【答案】（1）(a-3)(a-2)（2）4a(b+c)（3）（4）(2a-b)(2a+b+3)
【详解】试题分析：
（1）先把原式化为，再用“提公因式法”分解即可；
（2）先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；
（3）用“完全平方公式”分解即可；
（4）先把原式分组化为，两组分别分解后，再提“公因式”即可.
试题解析：
（1）a(a-3)+2(3-a)
=a(a-3)-2(a-3)
=(a-3)(a-2) .
（2）
=[（a+b+c）+(a-b-c)][（a+b+c）-(a-b-c)]
=（a+b+c+a-b-c）（a+b+c-a+b+c)
=2a(2b+2c)
=4a(b+c).
（3）
=
=
=.
（4）
=（）+（6a-3b）
=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)
=(2a-b)(2a+b+3).
6．（1）分解因式：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据分组分解法进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后根据平方差公式因式分解，最后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法等，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．
7．阅读下列材料：
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)已知的三边满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)为等腰三角形；理由见解析
【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；
（2）将通过因式分解化为；由三角形的三边关系可知；所以，即，从而得出结论；
【详解】（1）解：
（2）解：依据分组分解法，得
根据三角形三边关系，易得
∴
∴
∴为等腰三角形
【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．阅读材料：若，求x，y的值．
解：∵
∴
∴
∴，
∴
根据上述材料，解答下列问题：
（1），求的值；
（2），，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将方程的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得的值，最后代入即可解题；
（2）由整理得，，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可
【详解】解：（1）∵
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
∵
∴
∴
∴，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
题型三：十字相乘法
9．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)
【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；
（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项，然后进行计算求出p的所有可能值即可；
（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项，一次项系数，然后进行分解计算即可．
【详解】（1）解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法，理解并掌握＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）是解题的关键．
10．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．
利用上述阅读材料求解：
(1)若是多项式的一个因式，求的值；
(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．
(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）将代入多项式并使多项式等于，求；
（2）将和分别代入多项式并使多项式等于，解二元一次方程组，求，；
（3）将（2）中解得的，的值代入多项式，然后进行因式分解即可．
【详解】（1）解：是多项式的一个因式，
当时，，解得；
（2）和是多项式的两个因式，
，解得．
，．
（3）解：由（2）得即为，
．
【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．
11．因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；
（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设，利用待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：

（2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设
令，，得，
令，，得，
解得，，
所以．
【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键．
12．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0我们可以按下面的方法解答：
（1）分解因式x2+2x﹣35，
①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．
②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x．
③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．
（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解x2+2x﹣35＝0方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解为x1＝5，x2＝﹣7
（3）试用上述方法和原理解下列方程：
①x2+5x+4＝0；
②x2﹣6x﹣7＝0；
③x2﹣6x+8＝0；
④2x2+x﹣6＝0．
【答案】①，；②，；③，；④，．
【分析】①②③④均是根据题目中的方法，先进行因式分解，然后根据乘法原理即可求解各一元二次方程．
【详解】解：①，
，
解得：，；
②，
，
解得：，；
③，
，
解得：，；
④，
，
解得：，．
【点睛】题目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解题目中的解法并学会运用是解题关键．
题型四：因式分解的综合
13．已知，求下列代数式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）13 ；（2）
【分析】（1）利用完全平方公式进行化简后代入求值即可解答；
（2）利用平方差公式进行化简后代入求值即可解答；
【详解】（1） ；
（2）；
【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握并准确计算是解题的关键.
14．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值，
解：
∵，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．
(2)用配方法因式分解：．
(3)若，求的最小值．
(4)已知，则的值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)4
【分析】（1）根据题意，由完全平方公式，可以知道横线上是，
（2）按照题干上的示例可以将分为，再利用完全平方公式即可求解，
（3）根据题意的方法，先将因式分解为完全平方的形式即，即可求出最小值，
（4）根据题意先将因式分解，变成完全平方的形式即，然后得出，，的值，代入即可求出结果．
【详解】（1）解： ，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
，
∵，
∴当时，有最小值为；
（4）解：，
，
，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．
15．嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：
(1)通过计算验证能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法证明能被3整除；
(3)设是一个四位数．，，，分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据整数的除法计算即可；
（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；
（3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论．
【详解】（1）解：
∴258能被3整除；
（2）
∵为整数，6为整数，
∴能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
（3）证明：
，
∵能被3整除，
∴若“”能被3整除，则能被3整除；
【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．
16．材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这个四位数为“十全数”．交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”．
例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257．
材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．
例如：，则0是完全平方数；，则121是完全平方数．
(1)证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；
(2)记为“十全数”，为的“对应数”，且．若，求满足是完全平方数的所有“十全数”．
【答案】(1)见解析
(2)7337
【分析】（1）用a，b表示“十全数”和“对应数”，再求差并分解因式证明；
（2）列式表示，再利用代入验证法求解．
【详解】（1）解：设“十全数”的千位数字为a，百位数字为b，
则十位数字为，个位数字为，
则这个“十全数”为：，
它的“对应数”为，，
∴，
所以一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；
（2）解：设“十全数”m的千位数字为a，百位数字为b，
则十位数字为，个位数字为，
，
，
∴，
由题意得：或且，
∴
为完全平方数，
所以当时，．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握代入验证法是解题的关键．
【专题突破】
一、单选题
17．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．
18．下列分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．
【详解】A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. =（x-2）2，故D选项错误，
故选C.
【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．
19．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】把已知的式子化成[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]的形式，然后代入求解即可．
【详解】原式=（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc）
=[（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）]
=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]
=×（1+4+1）
=3，
故选D.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．
20．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】将原式变形为，因式中含有3，所以得到，而不能被3整除，所以得到，解得b=1，a+2c=6，进而得到，根据三个数均为自然数，解得，此时分类讨论a和c的值即可求解．
【详解】原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故选D．
【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．
21．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
22．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由主视图和左视图的宽为c，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．
【详解】解：∵，，
∴俯视图的长为 ，宽为，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．
23．已知中，，若，，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据a2﹣ab﹣2b2＝0，即可判断出a和b的关系，然后再根据勾股定理判断出c和b的关系，求出a：b：c化简即可．
【详解】∵a2﹣ab﹣2b2＝0，
∴（a﹣2b）（a+b）＝0，
∴a＝2b，或a＝﹣b（不符合题意），
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2＝4b2+b2＝5b2，
∴c＝b，
∴a：b：c＝2b：b：b＝2：1：．
故选：B．
【点睛】本题考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键．
二、填空题
24．分解因式：______．
【答案】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
25．若且，则_____．
【答案】
【分析】根据，利用完全平方公式可得，根据x的取值范围可得的值，利用平方差公式即可得答案．
【详解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴=，
∴==，
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．
26．化简： ＝____________．
【答案】
【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=
故答案为
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
27．多项式的最小值为________．
【答案】18．
【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．
【详解】解：，
=，
=，
∵，
∴的最小值为18；
故答案为：18．
【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．
28．如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．
（1）若a，b是整数，则的长是___________；
（2）若代数式的值为零，则的值是___________．
【答案】
【分析】（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据分解因式可得，继而求得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解．
【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，
，
故答案为：；
（2），
，
或，即（负舍）或
这四个矩形的面积都是5，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
29．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
【答案】
【分析】先根据是关于x的一元一次方程的解，得到，再把所求的代数式变形为，把整体代入即可求值．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴
．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
三、解答题
30．在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）平方差公式因式分解；
（2）先提公因式，再运用平方差公式分解；
（3）运用十字相乘法分解；
（4）运用十字相乘法分解．
【详解】（1）；
（2）
（3）
（4）．
【点睛】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解，观察多项式特征，选择合适的方法是解题关键．
31．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）将看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；
（2）利用十字相乘法分解因式即可；
（3）将看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．
32．分解因式：．
【答案】
【分析】先把和看做一个整体利用十字相乘法分解因式，然后利用提取公因数和完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
33．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例1．用配方法因式分解：．
原式．
例2．若，利用配方法求的最小值；
；
∵，，
∴当时，有最小值1．
请根据上述自主学习材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
(2)用配方法因式分解：；
(3)若，求的最小值是多少；
(4)已知，求的值．
【答案】(1)25
(2)
(3)
(4)7
【分析】（1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数；
（2）类比例题进行分解因式即可；
（3）类比例题求的最小值即可；
（4）根据配方法把等式配成的形式，根据，具有非负性，，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
常数项为25．
故答案为：25．
（2）
；
（3）
，
，
的最小值为；
（4），
，
，
又，，，
，，，
，，
．
【点睛】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键．
34．把下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）直接提取公因式即可；
（2）直接提取公因式，再合并同类项即可；
（3）直接提取公因式即可；
（4）直接提取公因式即可；
（5）直接提取公因式即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
【点睛】本题考查因式分解，能正确找出最大公因式是解题关键，注意分解时不要漏项．
35．阅读材料：
利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．
根据以上材料，解答下列问题．
(1)用配方法分解因式：；
(2)求多项式的最小值；
(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可．
【详解】（1）解：
；
（2），
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
【点睛】本题考查因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，掌握完全平方公式进行配方是解题关键．
36．利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．根据以上材料，解答下列问题．
(1)分解因式：；
(2)求多项式的最小值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
多项式的最小值为1．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握好完全平方公式进行配方是解本题的关键．
37．阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：．
原式
②若，利用配方法求的最小值：
∵≥0，
∴当时，有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解：．
(2)若，求的最小值．
(3)已知，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；
（2）把多项式变形为，然后根据偶数次方的非负性即可得出多项式的最小值；
（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出m、n的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
∵，
∴，
当，即时，取最小值，最小值为；
（3）解：因为
，
因为
所以，，
则，，
∴．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，实数的非负性等知识，掌握好完全平方公式进行配方是本题的解题关键．
分组
组内分解因式
整体思想提公因式
嘉淇的分析：
∵为整数，5为整数，
∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．