2024邵阳邵东223-高一下学期期末考试数学试题含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数z 满足，则（ ）
A. 1B. C. D.
2. 某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（ ）
A. 24B. 22C. 20D. 18
3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，则（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C 若，，，则D. 若，且，则
5. 下表是足球世界杯连续八届的进球总数
则进球总数的第一四分位数是（ ）
A. 145B. 146C. 147D. 166
6. 一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）
A. 与互斥B. 与对立
C. 与相互独立D. 与相互独立
7. 点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A. 垂心，重心，外心B. 垂心，重心，内心
C. 外心，重心，垂心D. 外心，垂心，重心
8. 在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某校举办数学文化节活动，10名教师组成评委小组，给参加数学演讲比赛的选手打分.已知各位评委对某名选手的打分如下：
则下列结论正确的为（ ）
A. 平均数为48B. 极差为9
C. 中位数为47D. 第75百分位数为51
10. 中，内角的对边分别为，为的外心，，，的面积满足.若.则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值
B. 当时，直线与平面所成角正切值为
C. 直线与直线所成角的余弦值可能为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则实数__________．
13. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过11的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是________（用分数表示）．
14. 《九章算术·商功》中描述几何体“阳马”为底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥.现有阳马，如图，平面，，，点，分别在线段，上，则当空间四边形的周长最小时，直线与平面所成角的正切值为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，.
（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（2）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.
16. 如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面.

（1）求证：；
（2）若，在棱上是否存在一点，使得四棱锥的体积为？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.
17. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.某高校为了了解全体师生阅读时间的分配情况，对全校师生进行抽样问卷调查日平均阅读时间（单位：小时），得到样本数据，并绘制如图所示的频率分布直方图.

（1）求频率分布直方图中值；
（2）根据频率分布直方图估算全校师生日平均阅读时间；（每组数据用该组的区间中点值作代表）
（3）将（2）所得到的日平均阅读时间保留为整数，并根据频率分布直方图估算师生日平均阅读时间的方差.
18. 如图所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图的四棱锥．

（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；
19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
（1）求解析式；
（2）求函数在内的“倒域区间”；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
年份
1994
1998
2002
2006
2010
2014
2018
2022
进球总数
141
171
161
147
145
171
169
172