2024长沙长郡中学高二下学期期末考试数学试题含解析

这是一份2024长沙长郡中学高二下学期期末考试数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了集合，则，已知，设甲，乙，则，设，则的大小关系为，已知，则，函数在区间上的零点个数为，若正数满足，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

得分：__________
本试卷分第工卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第I卷
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，设甲，乙，则（ ）
A.甲是乙的充分不必要条件
B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲是乙的既不充分也不必要条件
3.设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4.某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A.由题中数据可知，变量与负相关
B.当时，残差为0.2
C.可以预测当时销量约为2.1万只
D.经验回归方程中
5.某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（ ）

6.已知，则（ ）
A. B. C. D.
7.函数在区间上的零点个数为（ ）
A.无穷多个 B.4 C.2 D.0
8.若正数满足：，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.2
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9.已知函数，则（ ）
A.为的一个周期
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在区间上单调递减
10.已知向量，则下列命题正确的是（ ）
A.若，则
B.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
C.存在，使得
D.的最大值为
11.设函数，则下列选项正确的是（ ）
A.为奇函数
B.当时，的最小值为
C.若函数有四个零点，则实数的取值范围是
D.函数的图象关于点对称
第II卷
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知复数，则当__________时，复数对应的点在虚轴上.
13.的内角的对边分别为，设，则__________.
14.已知两个不同的正数满足，则的取值范围是__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
已知，且函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为.
（1）求；
（2）若的面积为边上的高为1，求的周长.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为.
（1）求；
（2）当时，求甲得分的分布列及数学期望；
（3）若答题的总次数为时，甲晋级的概率为.证明：.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1.
（i）记为直线交点的横坐标，求证：；
（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出实数的取值范围.
长郡中学2024年上学期高二期未考试
数学参考答案
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.C 【解析】由，解得，即，
.故选：C.
2.B 【解析】不妨设，满足，此时，充分性不成立，
，两边平方得，
又，故，必要性成立，
故甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
3.A 【解析】，因为，所以，故，
，所以.
故选：A.
4.B 【解析】对于选项A，从数据看随的增大而减小，所以变量与负相关，故A正确；
对于选项，由表中数据知，所以样本中心点为，将样本中心点代入中得，
所以经验回归方程为，所以，故B错误；对于选项C，当时销量约为（万只），故C正确.
对于选项D，由上得，故D正确.
故选：B.
5.C 【解析】由题意，选到非碳酸饮料的概率为.故选：C.
6.C 【解析】设，则，
所以，
所以.
故选：C.
7.D 【解析】当时，由，即，得，
当时，恒成立，而恒成立，因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D.
8.B 【解析】因为为正数，所以，
因为，所以，
所以，所以，当且仅当时，取等号.
故选：B.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）
9.AC 【解析】对于A，根据函数知最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故D错误.故选：AC.
10.BCD 【解析】因为向量，
对于A，由得，解得，故A错误；
对于B，由在上的投影向量为，得，
而，所以，又因为，所以，故B正确；
对于C，因为当时，，所以，
因此，解得，故C正确；
对于D，因为，而，
所以当时，的最
大值为，故D正确.故选：BCD.
11.BD 【解析】对于，故A错误；
对于B，当时，在上递减，上递增，的最小值为，故B正确；
对于C，当时，在上递减，上递增，且时，时，；
当时，在上递增，上递减，且时，时，，画出图象，知不可能有4个零点，故C错误；
对于D，
令，
的定义域为，则，
是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确.
故选：BD.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.-1
13. 【解析】由已知得，
故由正弦定理得.
由余弦定理得.
因为，所以.
14. 【解析】将两边展开，得到，
从而，故，而，
故，又，故，
从而.设函数，则，
观察易得在上单调递增，故，又，所以.
故答案为：.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.【解析】（1），
由
，
得的最小正周期，
由，
得，
故的单调递减区间为.
（2）由可得，
当时，函数取得最小值为，
当时，函数取得最大值为，
故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0.
16.【解析】（1）因为，
由正弦定理，得，
即，
即.
因为在中，，所以.
又因为，所以
（2）因为的面积为，即，即，
所以，所以.
由余弦定理，得，即，
得，所以，
所以周长为.
17.【解析】由题意，的定义域为，且.
（1）当时，，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）①当时，恒成立，
在上单调递增，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
的极小值也是最小值为，
又当时，，当时，，
要使有两个零点，只要即可，
则，可得，
综上，若有两个零点，则实数的取值范围是.
18.【解析】（1）记“第次答题时为甲”，“甲积1分”，
则，
，
则，解得.
（2）由题意可知当时，可能的取值为，
则由（1）可知，
，
，
的分布列为：
随机变量的数学期望为.
（3）由答题总次数为时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为，则，且，所以甲晋级时必为偶数，令，
当为奇数时，，
则
，
又时，随着的增大而增大，
.
19.【解析】（1）由于，则，
设，则，且在上单调递减，令得，令得，
所以在上单调递增，上单调递减，
所以，则.
（2）（i）设两条切线在上的两个切点横坐标分别为，
有，即，
此时，切线为：，
相减得，
所以，
设，所以在上单调递减.
故当时，，所以；
当时，，所以，则.
（ii）由题意得，存在实数，使在处的切线和在处的切线重合，
所以，即，
则，
又因为，所以，
题目转化为有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为，
则由，得，
化简得，
所以，
所以（也可写为.
代入中得有两个不等实根，
即，
设，
由于在上单调递减且，
所以在单调递增，单调递减，
而无限趋近于0时，无限趋向于负无穷大，
无限趋近于正无穷大时，无限趋向于负无穷大，，
所以，即.时间
1
2
3
4
5
销量万只
5
4.5
4
3.5
2.5
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
A
B
C
C
D
B
AC
BCD
BD
0
1
2