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    2023长沙长郡中学高二下学期期末考试数学试题含解析

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    长郡中学2023年上学期高二期末考试
    数 学
    时量:120分钟 满分:150分
    得分:_________
    第 Ⅰ 卷
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.设全集U={0,1,2,4,6,8},集合M={0,4,6},N={0,1,6},则( )
    A.{0,6} B.{0,2,4,6,8}
    C.{0,1,4,6} D.{4}
    2.设m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则( )
    A.若,,则 B.若,,则
    C.若,,,则 D.若,,,则
    3.函数,的图象大致为( )

    4.根据分类变量x与y的成对样本数据,计算得到,依据的独立性检验(),结论为( )
    A.变量x与y不独立
    B.变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过
    C.变量x与y独立
    D.变量x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过
    5.若“”是“”的充分而不必要条件,则实数a的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    6.在△ABC中,已知,点G满足,则向量在向量方向上的投影向量为( )
    A. B. C. D.
    7.若,,且,则下列结论正确的是( )
    A. B. C. D.
    8.已知数列满足,,,则的前n项积的最大值为( )
    A. B. C.1 D.4

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
    9.已知角的终边经过点(,2),则下列结论正确的是( )
    A. B.
    C. D.若为钝角,则
    10.已知数列中,,且对任意的m,,都有,则下列选项正确的是( )
    A.的值随n的变化而变化
    B.
    C.若m,n,,,则
    D.为递增数列
    11.设正实数x,y满足,则( )
    A.的最大值是 B.的最小值是9
    C.的最小值为 D.的最大值为
    12.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,动点P满足,且a,.则下列说法正确的是( )
    A.当时,直线AC⊥平面BPB1
    B.当时,PB+PB1的最小值为
    C.若直线BP与BD所成角为,则动点P的轨迹长度为
    D.当时,三棱锥P-ABC外接球半径的取值范围是

    第 Ⅱ 卷
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.已知复数,则________.
    14.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,星星就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为(k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的________倍.(结果精确到0.01,当较小时,)
    15.在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为________.
    16.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别a,b,c,B=,,若△ABC有且仅有一个解,则的取值范围是________.

    四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17.(本小题满分10分)
    设函数.
    (1)若曲线在点(2,)处与直线y=8相切,求a,b的值;
    (2)讨论函数的单调性.












    18.(本小题满分12分)
    在四棱锥Q-ABCD中,底面ABCD是正方形,若AD=2,QD=QA=,QC=3.
    (1)求证:平面QAD⊥平面ABCD;
    (2)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.






    19.(本小题满分12分)
    设函数,其中.
    (1)若是函数的一条对称轴,求函数周期T;
    (2)若函数在区间上为增函数,求的最大值.












    20.(本小题满分12分)
    已知等差数列的前n项和为,,,数列满足,.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)设数列满足:,(),若不等式()恒成立,求实数的取值范围.












    21.(本小题满分12分)
    人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学,被认为是21世纪最重要的尖端科技之一,其理论和技术正在日益成熟,应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理:首先确定先验概率,然后通过计算得到后验概率,使先验概率得到修正和校对,再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理,我们可以设计如下试验模型:有完全相同的甲、乙两个袋子,袋子中有形状和大小完全相同的小球,其中甲袋中有9个红球和1个白球,乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子,再从该袋子中等可能摸出一个球,称为一次试验.若多次试验直到摸出红球,则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为(先验概率)。
    (1)求首次试验结束的概率;
    (2)在首次试验摸出白球的条件下,我们对选到甲袋或乙袋的概率(先验概率)进行调整.
    ①求选到的袋子为甲袋的概率;
    ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子,继续进行第二次试验时有
    如下两种方案:方案一,从原来袋子中摸球;方案二,从另外一个袋子中摸球.请通过计算,说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.










    22.(本小题满分12分)
    已知函数(,).
    (1)若的最小值为2,求的值;
    (2)若,,实数为函数大于1的零点,求证:
    ①;
    ②.

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