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2024长沙长郡中学高二上学期期末考试数学含解析
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这是一份2024长沙长郡中学高二上学期期末考试数学含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：张志忠、赵攀峰、谭泽阳、叶勇胜审题人：张志忠
得分：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为
A.B.C.D.
2.已知向量，，且，则实数
A.B.C.D.
3.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，是我国民间的传统节日.人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是
A.35B.40C.50D.70
4.曲线在处的切线方程为
A.B.C.D.
5.设，随机变量的分布列如表所示，则
A.有最大值，最小值B.有最大值，最小值
C.有最大值，无最小值D.无最大值，有最小值
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为
A.174B.184C.188D.190
7.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为
A.B.C.D.
8.已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.的展开式中，下列结论正确的是
A.展开式共6项B.常数项为
C.所有项的二项式系数之和为64D.所有项的系数之和为0
10.设公差小于0的数列的前项和为，若，则
A.B.
C.D.当且仅当时，取最大值
11.已知函数，则
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.在上的值域为
D.点是曲线的对称中心
12.已知为双曲线上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为、，记线段，的长分别为、，则
A.若，的斜率分别为，，则
B.
C.的最小值为
D.的最小值为
选择题答题卡
第Ⅱ卷
三、填空题(本大题共4小题，,每小题5分，共20分)
13.已知数列满足：，其前项和为，若，则___________.
14.已知函数满足，则___________.
15.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为___________.
16.已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知数列满足，.
（1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与轨迹的交点为、，求线段的长.
19.（本小题满分12分）
某中学心理学社团在研究活动中，采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；
（2）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知且，函数.
（1）若且，求函数的最值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过分别作两条直线与椭圆交于点，点.线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点.
长郡中学2023年下学期高二期末考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.B【解析】因为一条直线经过两点，，所以该直线的斜率为，则有该直线的领斜角满足，因为，所以.故选B.
2.D【解析】因为，所以存在唯一实数，使得，
则解得故选D.
3.C【解析】六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为：.故选C.
4.C【解析】，，又，∴切线过点，∴在点处曲线的切线方程为.故选C.
5.B【解析】首先，，所以，
，，从而.
.故有最大值是，最小值，故选B.
6.A【解析】设此数列为，则，，，……，，
所以
，
所以.故选A.
7.C【解析】设双曲线的标准方程为，
设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，
则，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，
故点，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，
所以，该双曲线的离心率为.故选C.
8.D【解析】由題可知，
是的唯一极小值点，
恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，，即.故选D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.BCD【解析】对于A，展开式有7项，故A错误；
对于B，常数项为，故B正确；
对于C，所有项的二项式系数和为，故C正确；
对于D，令，得所有项的系数和为，故D正确；
故选BCD.
10.BC【解析】选项A，，，即，，故A错误；
选项B，∵公差，∴等差数列为单调递减数列，又，，即，故B正确；
选项C，，故C正确；
选项D，∵等差数列为递减数列，，
，，……，，，，
最大值为或，故D错误.故选BC.
11.ACD【解析】对于A，，令可得或2.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以0是的极大值点，2是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确；
对于B，，，根据图象，只有2个零点，故B错误；
对于C，由于在递增，在递减，在递增，且，，，所以在上的值域为，故C正确；
对于D，验证，
，成立，故D正确.
故选ACD.
12.ABD【解析】如图所示，设，则，
由题设条件，知双曲线的两条渐近线为，，
设直线、的斜率分别为、，则，，
所以，故A正确；
由，，
故B正确；
，当且仅当时等号成立，故C不正确；
在四边形中，易知，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.1【解析】依题意：数列为等比数列，且公比为，
由，得，
故答案为：1.
14.【解析】因为，所以，
所以，解得，故答案为：.
15.【解析】不妨设，，.
因为，所以，，，的准线方程为，故答案为.
16.【解析】∵圆可化为，
，，
，是圆的两条切线，则，，
、、、四点共圆，且，，
，
，
∴当最小，即时，取得最小值，
此时方程为，
联立解得，，即，
∴以为直径的圆的方程为，
即，
∵圆，两圆相交，
∴两圆方程相减即为的方程.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比数列，.5分
（2）由（1）得，得，
所以，
即.10分
18.【解析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，，
于是有①
因为点在圆上运动，即：，②
把①代入②，得，整理，得，
所以点的轨迹的方程为.6分
（2）将圆与圆的方程相减得：
，8分
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.12分
19.【解析】（1）接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，
则.4分
（2）由题意知的取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
故的分布列为
.12分
20.【解析】（1）证明：如图，连接，在中，由，可得，
，，
，.
，，.
则，故.
，，，平面.
平面.6分
（2）解：由（1）及可知，，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
，，
则，
又，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
，，
则
令，则，，
故，
，
故平面与平面所成二面角的余弦值为.12分
21.【解析】（1）当时，函数，
故，
当时，，故在单调递减，
当时，，故在单调递增，
所以，
又因为，，
所以.6分
（2）因为函数有两个零点，故有两解，
所以方程有两个不同的解，即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调递减，
当时，，故在单调递增，
图象如图所示，
而，所以，所以，令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.12分
22.【解析】（1）由题意，设椭圆方程为.
设，则，
，
所以椭圆方程为.5分
（2）解法1：①当直线的斜率存在时，设直线，
与椭圆方程联立得，，
设，，则，，
，，7分
，
，，
即，8分
即，
，
或，10分
当时，直线过左顶点，不合题意，含去；
当时，满足，
此时直线经过定点.11分
②当直线斜率不存在时，设，，则，，
由得，，
解方程组得，此时直线过，
综合①②可知，直线过.12分
解法2：设，，，
则，，，即，
同理，，又，得，
直线的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程，
得，
，，，
，，
.
或.10分
下同解法1.1
2
3
图1
图2
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
题号
8
9
10
11
12
得分
答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
C
B
A
C
D
BCD
BC
ACD
ABD
0
1
2
3
4
命题人：张志忠、赵攀峰、谭泽阳、叶勇胜审题人：张志忠
得分：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为
A.B.C.D.
2.已知向量，，且，则实数
A.B.C.D.
3.重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久”，有长久之意，是我国民间的传统节日.人们常在此日感恩敬老.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是
A.35B.40C.50D.70
4.曲线在处的切线方程为
A.B.C.D.
5.设，随机变量的分布列如表所示，则
A.有最大值，最小值B.有最大值，最小值
C.有最大值，无最小值D.无最大值，有最小值
6.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了高阶等差数列的概念.如数列1，3，6，10，后前两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有二阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为
A.174B.184C.188D.190
7.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廓为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为
A.B.C.D.
8.已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为
A.B.C.D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.的展开式中，下列结论正确的是
A.展开式共6项B.常数项为
C.所有项的二项式系数之和为64D.所有项的系数之和为0
10.设公差小于0的数列的前项和为，若，则
A.B.
C.D.当且仅当时，取最大值
11.已知函数，则
A.有两个极值点
B.有三个零点
C.在上的值域为
D.点是曲线的对称中心
12.已知为双曲线上的动点，过点作两渐近线的垂线，垂足分别为、，记线段，的长分别为、，则
A.若，的斜率分别为，，则
B.
C.的最小值为
D.的最小值为
选择题答题卡
第Ⅱ卷
三、填空题(本大题共4小题，,每小题5分，共20分)
13.已知数列满足：，其前项和为，若，则___________.
14.已知函数满足，则___________.
15.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为___________.
16.已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知数列满足，.
（1）记，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）设圆与轨迹的交点为、，求线段的长.
19.（本小题满分12分）
某中学心理学社团在研究活动中，采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者，，，，，和4名女志愿者，，，，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.
（1）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率；
（2）用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列与数学期望.
20.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，，，，为的中点，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知且，函数.
（1）若且，求函数的最值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
22.（本小题满分12分）
已知中心在原点，长轴在轴上的椭圆的左右顶点分别为和，P为椭圆上的除左右顶点外的任一点，且，斜率之乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过分别作两条直线与椭圆交于点，点.线段的中点为，线段的中点为，若，求证：直线过定点.
长郡中学2023年下学期高二期末考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.B【解析】因为一条直线经过两点，，所以该直线的斜率为，则有该直线的领斜角满足，因为，所以.故选B.
2.D【解析】因为，所以存在唯一实数，使得，
则解得故选D.
3.C【解析】六名学生分成两组，每组不少于两人的分组，一组2人另一组4人，或每组3人，所以不同的分配方案为：.故选C.
4.C【解析】，，又，∴切线过点，∴在点处曲线的切线方程为.故选C.
5.B【解析】首先，，所以，
，，从而.
.故有最大值是，最小值，故选B.
6.A【解析】设此数列为，则，，，……，，
所以
，
所以.故选A.
7.C【解析】设双曲线的标准方程为，
设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，
则，
因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，
故点，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，所以，
所以，该双曲线的离心率为.故选C.
8.D【解析】由題可知，
是的唯一极小值点，
恒成立，即恒成立.
令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，，即.故选D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.BCD【解析】对于A，展开式有7项，故A错误；
对于B，常数项为，故B正确；
对于C，所有项的二项式系数和为，故C正确；
对于D，令，得所有项的系数和为，故D正确；
故选BCD.
10.BC【解析】选项A，，，即，，故A错误；
选项B，∵公差，∴等差数列为单调递减数列，又，，即，故B正确；
选项C，，故C正确；
选项D，∵等差数列为递减数列，，
，，……，，，，
最大值为或，故D错误.故选BC.
11.ACD【解析】对于A，，令可得或2.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以0是的极大值点，2是的极小值点，所以有两个极值点，故A正确；
对于B，，，根据图象，只有2个零点，故B错误；
对于C，由于在递增，在递减，在递增，且，，，所以在上的值域为，故C正确；
对于D，验证，
，成立，故D正确.
故选ACD.
12.ABD【解析】如图所示，设，则，
由题设条件，知双曲线的两条渐近线为，，
设直线、的斜率分别为、，则，，
所以，故A正确；
由，，
故B正确；
，当且仅当时等号成立，故C不正确；
在四边形中，易知，
，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ABD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.1【解析】依题意：数列为等比数列，且公比为，
由，得，
故答案为：1.
14.【解析】因为，所以，
所以，解得，故答案为：.
15.【解析】不妨设，，.
因为，所以，，，的准线方程为，故答案为.
16.【解析】∵圆可化为，
，，
，是圆的两条切线，则，，
、、、四点共圆，且，，
，
，
∴当最小，即时，取得最小值，
此时方程为，
联立解得，，即，
∴以为直径的圆的方程为，
即，
∵圆，两圆相交，
∴两圆方程相减即为的方程.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.【解析】（1）由，得，又，
，且，
所以是等比数列，.5分
（2）由（1）得，得，
所以，
即.10分
18.【解析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，
由于点的坐标为，且点是线段的中点，所以，，
于是有①
因为点在圆上运动，即：，②
把①代入②，得，整理，得，
所以点的轨迹的方程为.6分
（2）将圆与圆的方程相减得：
，8分
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.12分
19.【解析】（1）接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为，
则.4分
（2）由题意知的取值为0，1，2，3，4.
，，，
，，
故的分布列为
.12分
20.【解析】（1）证明：如图，连接，在中，由，可得，
，，
，.
，，.
则，故.
，，，平面.
平面.6分
（2）解：由（1）及可知，，，两两垂直，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
，，
则，
又，，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
故，
设平面的法向量为，
，，
则
令，则，，
故，
，
故平面与平面所成二面角的余弦值为.12分
21.【解析】（1）当时，函数，
故，
当时，，故在单调递减，
当时，，故在单调递增，
所以，
又因为，，
所以.6分
（2）因为函数有两个零点，故有两解，
所以方程有两个不同的解，即为函数的图象与函数的图象有两个不同的交点，
令，故，
当时，，故在单调递减，
当时，，故在单调递增，
图象如图所示，
而，所以，所以，令，
因为，，
所以在上有一个零点，
又当时，，，，
所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点，即当时，函数有两个零点.12分
22.【解析】（1）由题意，设椭圆方程为.
设，则，
，
所以椭圆方程为.5分
（2）解法1：①当直线的斜率存在时，设直线，
与椭圆方程联立得，，
设，，则，，
，，7分
，
，，
即，8分
即，
，
或，10分
当时，直线过左顶点，不合题意，含去；
当时，满足，
此时直线经过定点.11分
②当直线斜率不存在时，设，，则，，
由得，，
解方程组得，此时直线过，
综合①②可知，直线过.12分
解法2：设，，，
则，，，即，
同理，，又，得，
直线的斜率存在时，设直线，代入椭圆方程，
得，
，，，
，，
.
或.10分
下同解法1.1
2
3
图1
图2
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
题号
8
9
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得分
答案
题号
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答案
B
D
C
C
B
A
C
D
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BC
ACD
ABD
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