压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题九大题型汇总-2

这是一份压轴题07三角函数与正余弦定理压轴题九大题型汇总-2，共39页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．小明在春节期间，预约了正月初五上午去美术馆欣赏油画，其中有一幅画吸引了众多游客驻足观赏，为保证观赏时可以有最大视角，警卫处的同志需要将警戒线控制在距墙多远处最合适呢？（单位：米，精确到小数点后两位）已知该画挂在墙上，其上沿在观赏者眼睛平视的上方3米处，其下沿在观赏者眼睛平视的上方1米处.（ ）
A．1.73B．1.41C．2.24D．2.45
2．圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角大约（即）为，夏至正午太阳高度角（即）大约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a，则表高（即的长）为（ ）
A．B．C．D．
3．现代建筑物的设计中通常会运用各种曲线、曲面，将美感发挥到极致.如图所示是位于深圳的田园观光塔，它的主体呈螺旋形，高15.6m，结合旋转楼梯的设计，体现了建筑中的数学之美.某游客从楼梯底端出发一直走到顶部.现把该游客的运动轨迹投影到塔的轴截面，得到曲线方程为（x，y的单位：m）.该游客根据观察发现整个运动过程中，相位的变化量为，则约为（ ）
A．0.55B．0.65C．0.75D．0.85
4．如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ）

A．B．1C．D．2
5．“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥的轴截面是等边三角形，椭圆所在平面为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051B．4049C．2025D．2023
7．已知函数，其中，，，则以下判断正确的是（ ）
A．函数有两个零点，，且，
B．函数有两个零点，，且，
C．函数有两个零点，，且，
D．函数只有一个零点，且，
8．石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
9．对于函数，当时，.锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
10．的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下说法正确的是（ ）

A．若圆的半径为，则；
B．函数在上单调递减；
C．函数的图象向左平移个单位后关于对称；
D．函数的最小正周期是.
11．在信息时代，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.函数的图象可以近似的模拟某种信号的波形，则下列判断中不正确的是（ ）
A．函数为周期函数，且为其一个周期
B．函数的图象关于点对称
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的导函数的最大值为4.
二、多选题
12．通过研究宋代李诫所著的《营造法式》等古建资料，可以得到中国宋代建筑的屋顶蕴含着丰富的数学元素，体现了数学的对称美，并且符合两个特点：一、从檐口到屋脊的曲线为屋面曲线，左、右屋面曲线对称，可用圆弧拟合屋面曲线，且圆弧所对的圆心角为30°±2°；二、从檐口到屋脊的垂直距离为坡屋面高度半径，水平距离为半坡宽度，且．如图为某宋代建筑模型的结构图，其中A为屋脊，B，C为檐口，且所对的圆心角，所在圆的半径为4，，则（ ）

A．的长为
B．
C．若与所在两圆的圆心距为，则此建筑的屋顶不符合宋代建筑屋顶的特点
D．若与所在两圆的圆心距为4，要想此建筑的屋顶符合宋代建筑屋顶的特点，可将圆心角θ缩小
13．小竹以某速度沿正北方向匀速行进. 某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向. 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动. 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（ ）
A．B．
C．D．
14．如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（ ）

A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米
B．当时，种植花卉区域的面积为平方米
C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米
D．种植花卉区域的面积可能是平方米
15．已知边长为l的等边的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，且的重心G到平面α的距离恰有两个可能值，则l的取值可以为（ ）
A．B．C．5D．6
16．在单位圆上任取一点，圆O与x轴正半轴的交点是A，设将绕原点O旋转到所成的角为，记x，y关于的表达式分别为，则下列说法中正确的是（ ）
A．是偶函数，是奇函数
B．对于恒成立
C．设，若在上有且仅有3个极值点，则
D．函数的最大值为
三、填空题
17．剪纸又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一，如图，一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点C、重合，D，E为直径AB上两点，且，对折后沿直线DC，EC级剪，展开得到四边形，若，则当四边形的面积最小时， ．

18．近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .
19．财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得米，，在点B处测得点A的仰角为（），在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度 米.
20．某冰淇淋门面店将上半部是半球（半球的半径为3），下半部是倒立的圆锥（圆锥的高为6）的冰淇淋模型放到椐窗内展览，托盘是边长为12的等边三角形ABC金属片沿三边中点D，E，F的连线向上折叠成直二面角而成，则半球面上的最高点到平面DEF的距离为 ．
21．已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为 ．
22．已知函数，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点.若方程在上的所有根之和等于2024，则满足条件中整数的值构成的集合为
四、解答题
23．如图，某班级学生用皮尺和测角仪（测角仪的高度为1.7m）测量重庆瞰胜楼的高度，测角仪底部A和瞰胜楼楼底O在同一水平线上，从测角仪顶点C处测得楼顶M的仰角，（点E在线段MO上）．他沿线段AO向楼前进100m到达B点，此时从测角仪顶点D处测得楼顶M的仰角，楼尖MN的视角（N是楼尖底部，在线段MO上）．
(1)求楼高MO和楼尖MN；
(2)若测角仪底在线段AO上的F处时，测角仪顶G测得楼尖MN的视角最大，求此时测角仪底到楼底的距离FO．
参考数据：，，，
24．网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务．小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图．
(1)为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触．外包装看作长方体，如图1所示，记长方体的纵截面为矩形，，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够．若以倾斜角的方式进客户家门，小金能否将冰箱运送入客户家中？计算并说明理由．
(2)由于客户选择以旧换新服务，小金需要将客户长方体形状的旧冰箱进行回收．为了省力，小金选择将冰箱水平推运(冰箱背面水平放置于带滚轮的平板车上，平板车长宽均小于冰箱背面）．推运过程中遇到一处直角过道，如图2所示，过道宽为米．记此冰箱水平截面为矩形，．设，当冰箱被卡住时(即点、分别在射线、上，点在线段上），尝试用表示冰箱高度的长，并求出的最小值，最后请帮助小金得出结论：按此种方式推运的旧冰箱，其高度的最大值是多少？（结果精确到）
25．已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）．
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数
①当时，求函数的极小值；
②设是的最大零点，试比较与1的大小．
参考答案：
1．A
【分析】由题意作出图形，选设观赏者与油画的水平距离为，观赏时的视角为，求出中的三边，由余弦定理求得的表达式，依题应使最大，即使最小，求出表达式的最小值以及此时的值即得.
【详解】
如图，设观赏者的眼睛在点处，油画的上沿在点处，下沿在点处，
点在线段延长线上，且保持与点在同一水平线上，
则即观赏时的视角.
依题意，
不妨设，则，
在中，由余弦定理，
，
因，则，当且仅当时，即时等号成立，
由可得，
则，则，
因函数在上单调递减，故得，
即最大视角为，此时观赏者距离油画的直线距离为.
故选：A.
2．C
【分析】首先求出，再在中利用正弦定理求出，最后利用锐角三角函数计算可得；
【详解】解：依题意，
在中由正弦定理得：，即，所以，又因为在中，，所以.
故选：C.
3．A
【分析】根据建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表达出运动过程的位移变化量，即可计算出的值.
【详解】由旋转楼梯高为知，投影到轴截面上后，
对应曲线中，游客移动的水平距离是15.6，
∵初始时游客在最底端，
∴当时，初相为，
∵整个运动过程中，相位的变化量为，且最后游客在最高点，
∴最后的位置，
∴，
解得：，
故选：A.
4．B
【分析】由题意可得且，由离心率的概念可得，结合勾股定理计算可得，进而求解.
【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，
可得；设圆柱底面半径为，则，所以，
设椭圆长轴长为，短轴长为，
因为离心率为，得，则，
即，所以，得，
又由勾股定理得，解得，
故.
故选：B.

5．D
【分析】根据题意，由勾股定理结合余弦定理代入计算可得，再由相似三角形的相似比结合勾股定理可分别计算出椭圆的，结合椭圆的离心率即可得到结果.
【详解】设，由于，所以，在等边三角形中，
点为的中点，于是，在平面中，由椭圆的对称性可知，
，连接，延长与交于点，
由于为中点，所以在中，，
由勾股定理可得，
在中，，，，由余弦定理可得
，
在中，由于，所以，
于是有，
设椭圆短轴的两个顶点为，连接分别交圆锥于，
由于，所以，
由于为圆锥母线，所以，
从而有，
在中，由勾股定理可得，
所以在椭圆中，，，
则，
则离心率为.
故选：D
【点睛】关键点睛：本题主要考查了椭圆定义的理解以及椭圆离心率的求解，难度较大，解答本题的关键在于结合椭圆的定义以及余弦定理代入计算，分别求得，从而得到结果.
6．B
【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.
【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，
故这4048个交点的横坐标之和为，
而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，
故与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.
7．B
【分析】由已知可得，，，进而利用零点存在性定理可得结论．
【详解】解：因为，，
又，所以，
即，
又，
，
，
则，，
又为定义域上的连续函数，
所以函数必有两个不相同的零点，
存在，使得，且，
存在，使得，，，
函数有两个零点，，且，．
故选：B．
8．C
【分析】先求出，，进而求得梅花砖雕的侧面积及扇环的面积可得该梅花砖雕的表面积.
【详解】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
9．C
【分析】先利用题设和选项构造函数，判断其在上的单调性；接着利用三角形中的正余弦定理判断的大小，最后运用单调性判断结论即得.
【详解】令，则，当时，，单调递减.
又因为在中，由余弦定理，，同理可得：，
故由可得：，又由正弦边角关系得，则.
接着比较与的大小，即比较与的大小，
令，，.令，，，
则单调递减，，则，在上单调递减，
又,故，则，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：结合题设和结论的提示考虑到构建函数并判断其单调性.同时对于三角形中型如结构的二阶结论要有印象，遇到结构相同的解析式时需要同构的思想.
10．A
【分析】根据函数的图象，求得的最小正周期，可判定D错误；利用五点作图法，求得，结合三角函数的性质，可判定B错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为，进而判定C错误；利用，求得的值，可判定A正确.
【详解】由函数图象，可得点的横坐标为，
所以函数的最小正周期为，所以D不正确；
又由，且，即，
根据五点作图法且，可得，解得，
因为，可得，
结合三角函数的性质，可得函数在是先减后增的函数，所以B错误；
将函数的图象向左平移个单位后，得到，
可得对称轴的方程为，即，
所以不是函数的对称轴，所以C错误；
当时，可得，即,
若圆的半径为，则满足，即，
解得，所以的解析式为，所以A正确.
故选：A.
11．A
【分析】结合函数的周期性、对称性、导数与最值、诱导公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，
A选项，
，
所以不是的周期，A选项错误.
B选项，
，
，
所以，所以的图象关于点对称，B选项正确.
C选项，
.
.
所以，所以的图象关于直线对称，C选项正确.
D选项，，
由于，
所以，且，
所以的最大值是，D选项正确.
故选：A
【点睛】判断的对称中心、对称轴，可利用代入验证法，即若要判断是函数的对称中心，则有；若要判断直线是函数的对称轴，则有.
12．ACD
【分析】结合图形特征，利用两角差的正弦正切公式，弧长公式和三角函数，求解选项中的数据.
【详解】记，所在圆的圆心分别为E，F，连接AE，AF，CF，EF，

则，，
选项A：根据弧长公式得的长为，故A正确．
选项B：，则，故B错误．(也可以在中利用余弦定理求解)
选项C：如图1，过点A，C分别作EF的平行线，与过点F的EF的垂线分别交于点D，G，∵，，∴，
∵，∴，．
由题易知AD﹣CG为半坡宽度，DG为坡屋面高度半径，
，，
，，
∴，不符合宋代建筑屋顶的第二个特点，C正确．
选项D：如图2，过点A作EF的垂直平分线，交EF于点M，过点C作，垂足为N，
，，当时，，
∴，∴．
易知CN为半坡宽度，AN为坡屋面高度半径，
∴，D正确．
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
理解题目中坡屋面高度半径和半坡宽度的定义是解题关键，结合图形特征，利用三角函数知识求解.
13．BD
【分析】建系，分析危险区域的范围，可知原问题转化为图像，，与图像的交点问题，结合图象分析求解.
【详解】依题意，绘出示意图如图所示
易知，当且仅当在喷洒范围与行进路线重叠的危险区域内，小竹可能被淋湿.
由于洒水桩最初面朝正东方向，不妨以洒水桩为起点向面朝方向作射线，即可将问题转化为小竹（用点代替）与该射线在行进路线上的交点不重合的问题.
设时间为t秒
以洒水桩为原点，正东方向、正北方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.
AI
则小竹行进路线的方程为，
由每3秒旋转一周循环转动知t秒旋转，
因为，
结合题意可知，
因为水柱所在射线与行进路线的交点纵坐标为，
又因为小竹（用点代替）的纵坐标为，
故可将原问题转化为图像，，
与图像的交点问题，即求当v为何值时两图像无交点，

由图可得：.
结合选项可知：AC错误；BD正确.
故选：BD.
【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
14．AC
【分析】用表示出，当时，直接求出四边形可判断A；求出扇形面积即可的花卉区域的面积，可判断B；利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数性质可得四边形面积的范围，可判断C；结合扇形面积可判断D.
【详解】当时，，
所以米，米，米，
则儿童娱乐设施建筑用地的面积
平方米，故A正确.
由题意可得扇形的面积为平方米，
则种植花卉区域的面积为平方米，故B错误.
由题意可得米，米，米，米，
则儿童娱乐设施建筑用地面积：
.
其中，
所以，取.
因为，所以，
所以，所以，
则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米，故C正确.
因为，所以种植花卉区域的面积平方米，故D错误.
故选：AC
15．BC
【分析】先证明引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是，然后将题目条件分4种情况考虑，分别计算出对应的存在的条件，再通过这4个条件中恰有2个成立，可得出的取值范围，最后分别验证4个选项即可得到正确答案.
【详解】对题目中给定的平面，我们取定平面的一个法向量，并将该法向量所指的方向定义为平面的上方.
然后，我们定义空间中一个点到平面的有向距离：一方面，到平面的有向距离的绝对值等于到平面的距离；
另一方面，若在平面的上方，则到平面的有向距离为正数，若在平面的下方，则到平面的有向距离为负数.
易知，到平面的全体有向距离为的点构成的集合为一个平面，将该平面记为，
那么就有：，且全体两两之间是平行的，而两平面之间的距离为.
现在，我们证明一个引理：
引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是：.
如图所示：
一方面，我们证明必要性：
若空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是，且不全相等：
记点所在的平面为，则由于不全相等，知不可能是某个，
由于全体两两之间是平行的，所以不可能平行于任意一个，
故和任意一个都有唯一的交线，将其记为.
然后，在上任取一点，并过作的垂线交于，然后以为原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系.
这样相应确定的轴显然就是直线，记两直线和之间的距离为，则，且直线的方程就是.
现在，由于是边长为的正三角形，故可设，，
而分别在平面上，从而分别在直线上，
这意味着我们有，.
从而，，故：
.
这就有
.
所以.
从而必要性得证.
另一方面，我们证明充分性：
若不全相等，且.
我们取，则.
然后取一个平面，使得和之间的夹角的正弦值为.
此时，和任意一个的夹角正弦值都是正数，故和任意一个都有唯一的交线，将其记为.
此时，之间的距离为，
从而我们可以在上取一个平面直角坐标系，使得的方程恰为.
这种情况下，和之前证明必要性时进行的演算类似，可以证明恒等式，
这表明我们可以再取一个实数使得，.
然后，在该直角坐标系下取，，，
则显然是边长为的正三角形，与此同时，由于，且
.
故分别在直线上，也就是分别在直线上，
从而分别在平面上，故它们到平面的有向距离分别是，充分性得证.
现在我们回到原题，根据对称性，我们不妨设中至少有两个点在平面的上方.
情形1：均在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为
（这是因为重心的坐标可由三点取平均值得到，故它到的有向距离一定也是到的有向距离的平均值，即）.
若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于；
情形2：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为.
若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于；
情形3：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为.
若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于；
情形4：在平面的下方，在平面的上方，此时，而重心到平面的距离为.
若此种情况存在，根据我们的引理，这等价于.
而题目条件为重心到平面的距离恰有两个可能值，根据以上讨论，这就相当于四个不等式，，，中恰有两个成立，这等价于.
综上，原题条件等价于给定的边长满足.
最后，分别验证A，B，C，D四个选项，它们的平方分别是，，，，在区间上的是，，所以B，C正确，A，D错误.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：解决本题最重要的还是证明引理：若不全相等，则空间中存在一个边长为的正三角形，满足到平面的有向距离分别是的充要条件是，这也是该问题的核心.
16．ACD
【分析】关键利用任意角三角函数定义可知，再结合辅助角公式，从而可以判断A、B；对于C选项，要用好正弦函数曲线，把相位看成一个整体变量，就很容易分析并得到参数的范围；对于D选项，这个式子的最大值求法上虽然不能转化为二次型复合函数，但是用构造四元均值不等式来突破很是方便.
【详解】由题意可知，．
因为是偶函数，是奇函数，故选项A正确．
因为，
又因为，所以，则，故选项B错误．
因为在上有且仅有3个极值点，且，
再根据正弦函数曲线在上有且仅有3个极值点，
即：且，
则，解得，故选项C正确．
令函数，由于函数的最大值一定是正数，所以平方可得：
，
所以正数的最大值是，即当时，函数能取到最大值，故选项D正确．
故选：ACD．
17．/
【分析】根据正弦定理，结合三角形面积公式，辅助角公式、二倍角的正弦公式进行求解即可.
【详解】设圆的半径为r，，∵，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
在中由正弦定理可得，∴，
，当时四边形的面积取得最小值，此时，
∴.

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形面积公式、正弦定理得到面积的表达式，利用辅助角公式进行求解.
18．
【分析】以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用三角函数定义表示点的坐标，由已知结合和角的正弦公式化简即得.
【详解】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速，
设点，圆上两点A、B始终保持，
则，要使A、B两点的竖直距高为0，
则，第一次为0时，，解得，
.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x轴非负半轴.
19．204
【分析】根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出的边长关系，解方程求解即可.
【详解】设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，所以.
因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以米.
由余弦定理，可得，
即，解得.
故答案为：204
20．
【分析】画出底面展开图，由几何关系得到图中边长关系，由正弦定理可得，再由三角形相似得到，最后求出结果即可.
【详解】
设上面球心为，的圆心为，三点在底面投影的正三角形的中心为，圆锥的顶点为，边中点为，
连接，由题意可知，，
由几何关系可得三点共线，
由题意可得，
在几何体中，设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理可得，
由可得，所以，
所以半球面上的最高点到平面DEF的距离为，
故答案为：.
21．19
【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数的解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解.
【详解】由的图象关于点对称可得，得，即，
所以，且，
所以的最大值为2b，最小值为－2b．
如图所示，作出的大致图象，令，，
则的对称轴方程为，，
则由可得，
当最小时，，，
且是在轴右侧连续的最值点，
故的最小值为．

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分析出当最小时， 的取值情况，从而结合三角函数的性质即可得解.
22．
【分析】先根据题意求出；再作出和的图象，分析函数图像的特点及交点情况；最后列出关系式求解即可.
【详解】函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且为函数的一个极大值点
，而，解得，
则.
在同一个坐标系内作出和的图象，如图所示：

显然和的图象均关于点对称，则它们图象的交点也关于点对称.
又因为区间的中点是，方程在上的所有根之和等于2024.
所以函数和的图象的交点为偶数个，交点横坐标按从小到大记为.
则，，
即
即，解得.
所以函数和图象在有个交点，506对交点.
由图象可知函数和图象在区间上无交点，在， ，……上各有两个交点，且的周期为.
故，解得
所以满足条件中整数的值构成的集合为
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查方程根与函数图像交点之间的关系，解题关键是先求出函数的解析式；再数形结合分析函数图像的特点及交点情况；最后结合函数是周期函数及无限接近轴的特点，即可列出关系式.
23．(1)，
(2)FO为37．4m
【分析】（1）法一：在中，由正弦定理得，可得，进而求得MO，进而求得CE，计算可求得楼离MO和楼尖MN；
法二：利用，，可求得ME，进而计算可求得楼离MO和楼尖MN；
（2）设，，，进而可得，利用基本不等式可求得楼尖MN的视角最大时x的值．
【详解】（1）法一：，，∴．
在中，由正弦定理得，，
又，∴．
∴，
∴．
（m）．
∴．
∵，∴，．
法二：，，
∴，
即，∴，
∴．
m．
∴．
∵，∴，．
（2）设，，，
∴
，
当且仅当，即时，等号成立．
∴测角仪底到楼底的距离FO为37．4m处时，测得楼尖MN的视角最大．
24．(1)冰箱能够按要求运送入客户家中，理由见解析；
(2)最小值为米，此情况下能推运冰箱高度的最大值为米.
【分析】（1）过A，D作水平线，作，由可得；
（2）延长与直角走廊的边相交于、，由表示出，设进行换元，利用单调性即可求解.
【详解】（1）过A，D作水平线，作如图，
当倾斜角时，冰箱倾斜后实际高度（即冰箱最高点到地面的距离）
，
故冰箱能够按要求运送入客户家中．
（2）延长与直角走廊的边相交于、，
则，，，
又，
则，．
设，
因为，所以，所以，
则 ，
再令，则，
易知，在上单调递增，
所以单调递减，
故当，即，时，取得最小值.
由实际意义需向下取，此情况下能顺利通过过道的冰箱高度的最大值为米．
25．(1)
(2)①0；②答案见解析.
【分析】（1）方法一：设，由，结合三角形面积公式化简可得，由此可求实数的取值范围，
方法二：由是的角平分线，结合面积公式证明，根据关系，结合余弦定理可得，结合三角形性质求的范围，可得结论.
（2）①方法一：由（1）方法一可得，结合条件求，结合余弦定理可得，
方法二：由（1）方法二可得，由此可得，由此可得，求，再解方程，分区间判断函数的单调性，结合极值定义求结论，
②在时， 解方程，求出函数零点，由此可得，分别在，时，确定关系，利用导数方法求函数的极值点，由此比较的关系.
【详解】（1）方法一：设，
因为是的角平分线，所以，
因为
所以，
代入，，化简得：，因为，
所以实数的取值范围．
方法二：因为是的角平分线，所以，
，又，又，
所以，故，
在和中由余弦定理得
所以
，
又，则
所以，又，所以
在中有，所以，所以
得，所以实数的取值范围
（2）①法一：当时，由（1）知，则，此时，
由余弦定理有：及得，
法二：由，当时有.
故，
所以，
令，可得或，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故当时，函数取极小值，极小值为．
②（ⅰ）当时，由①知，又，
故
知的零点为，
故的最大零点；
（ⅱ）当时，由（1）知，
则，
由余弦定理有，代入，
解得，由知，故，
，，
设
令解得：，且，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，故，
且时，，
故在上有唯一零点，此时成立
（ⅲ）时，由（1）知，
则，
由余弦定理有，及，
解得，
由知，故，
所以
当时，令解得：，且，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因为，且的图象的对称轴
所以，又因为，
故在上无零点，且，
故成立；
当时，恒成立，则在上单调递增，
故函数至多有一个零点，
由，知成立；
综上，当时；；
当时，；
当时，．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．