[数学]重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期期中考试试卷

这是一份[数学]重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期期中考试试卷，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(共8题；共40分)
1. 已知 ， 且 ， 则实数（ ）
A . 1 B . -3 C . -2 D . -1
2. 在 ， ， 0， ， ， 0.618这几个数中，纯虚数的个数为（ ）
A . 0 B . 1 C . 2 D . 3
3. 已知向量、的夹角为60°， ， 若 ， 则=
A . B . C . D .
4. 已知向量 ， ， ， 则等于（ ）
A . 3 B . 4 C . 15 D . 21
5. 在平面四边形中，为正三角形， ， ， 如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体 ， 若四面体外接球的球心为O ， 当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（ ）
A . B . C . D .
6. 已知为平面外一点，到两边的距离都为 ， 则到面的距离（ ）
A . B . C . D .
7. 数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为 ， 则下列结论正确的是（ ）
A . 勒洛四面体最大的截面是正三角形 B . 若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为 C . 勒洛四面体的体积是 D . 勒洛四面体内切球的半径是
8. 在△ABC中，为上一点，且 ， ， ， 则（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。(共3题；共18分)
9. 下列命题中，真命题为（ ）
A . 复数为纯虚数的充要条件是 B . 复数的共轭复数为 C . 复数的虚部为 D . 复数 ， 则
10. 已知 ， ， 是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（ ）
A . 一定存在实数 ， 使得成立 B . 若 ， 那么一定有 C . 若 ， 那么 D . 若 ， 那么 ， ， 一定相互平行
11. 在菱形 中， ， ，将菱形 沿对角线 折成大小为 的二面角 ，若折成的四面体 内接于球 ，则下列说法正确的是（ ）．
A . 四面体 的体积的最大值是 B . 的取值范围是 C . 四面体 的表面积的最大值是 D . 当 时，球 的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。(共3题；共15分)
12. 复数 的模是____________________．
13. 在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是____________________.
14. 已知平面向量与的夹角为 ， 若恒成立，则实数的取值范围为____________________．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(共5题；共77分)
15. 在△ABC中，角的对边分别为已知.
（1） 求角的大小；
（2） 若 ， 求的面积；
（3） 若为BC的中点，求AD的长.
16. 设复数 ．
（1） 在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
（2） 若是纯虚数，求.
17. 已知正方体中， ， 点M ， N分别是线段 ， 的中点．
（1） 求点M到平面的距离；
（2） 判断 ， M ， B ， N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．
18. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
（1） 设为中点，点在线段上，且 ， 求证：平面；
（2） 若二面角的大小为 ， 且 ， 求直线和平面所成角的正弦值．
19. 个有次序的实数 ， ， ， 所组成的有序数组 ， ， ， 称为一个维向量，其中 ， 2， ， 称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量 ， 若 ， ， ， 称为维信号向量．设 ， ， 则和的内积定义为 ， 且 ．
（1） 直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2） 证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3） 已知个两两垂直的2024维信号向量 ， ， ， 满足它们的前个分量都是相同的，求证： ． 题号
一
二
三
四
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