重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学试题
（分数：150分，时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z满足(其中为虚数单位)，则z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．设复数的共轭复数为，则（ ）
A．B．C．D．
3．与向量=（12，5）垂直的单位向量为( )
A．（，）B．（-，-）
C．（，）或（，-）D．（±，）
4．已知等边，边长为，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则的形状是
A．正三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
6．已知复数满足为虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．1-iD．2-i
7．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为
A．B．
C．D．
8．已知平面向量满足，则以下说法正确的有个.
①；
②对于平面内任一向量，有且只有一对实数，使；
③若，且，则的范围为；
④设，且在处取得最小值，当时，则；
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。
9．在复平面内，复数对应的点是，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与的方向相同或相反
C．若，，则
D．对任一非零向量，是一个单位向量
11．已知△ABC面积为12，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．的最大值为
C．的值可以为D．的值可以为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知a=1,2，b=x,2，若a⊥b，则 .
13．若复数为纯虚数，则实数的值为 ．
14．若点在以为圆心，为半径的弧AB（包括、两点）上，，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知在△ABC与△A'BC中，与在直线的同侧，，直线与直线交于.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：.
16．已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.
17．蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．
(1)若，求三角形手巾的面积；
(2)当取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
18．在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：，；，.已知复数z是方程的解.
(1)若，且（a，，i是虚数单位），求；
(2)若，复数，，且，，求t的取值范围.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角所对的边分别为，且
(1)求；
(2)若，设点为△ABC的费马点，求；
(3)设点为△ABC的费马点，，求实数的最小值．
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高一数学答案
（分数：150分，时间：120分钟）
1．A2．D3．C4．C5．D
6．C由题意，根据复数的定义，设出复数，结合模长公式，以及共轭复数与复数的乘法，可得答案.
7．B先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.
8．C根据题意，利用向量知识，对每个选项进行逐一判断即可.
9．AD根据复平面内，复数的对应的点的坐标，即可求得复数，逐一分析选项，即可得答案.
10．ABC本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.
11．AD利用同角的三角函数的基本关系结合面积、余弦定理可得，计算出可判断A的正误，而利用余弦定理、基本不等式可得关于的三角函数不等式，从而可判断B的正误，对于C，求出的范围后可判断其正误，对于D，由可得的值，结合已知条件可判断三角形是否存在.
12．
13．
14．
15．
（1）在△ABC中，因为，所以，设，
由于，所以，由余弦定理得，
所以，从而，故；
（2）
连结，记，在中由正弦定理知，要证明，只需证明.设，，由题意知，从而在与中由余弦定理得
所以，故.
16．
（1）因为当时，表示实数，所以，所以.
又因为当时表示纯虚数，所以，且
所以.
从而.
（2）因为
.
当时，，则取得最大值，此时的最大值为.
17．
（1）在△ACD中，，，故，，
由正弦定理得，即，
而，
故，故,
故三角形手巾的面积为
（2）设，则，
则在中，，
在△ACD中，，
故
，
由于，当且仅当，即时取等号，
故，
即取到最小值即取最小值时，，即此时.
18．
（1）因为z是方程的根，解得，
Im（），，
，，
，解得，；
（2）Im（），复数，，且Re（），Im（）
，又，
，
Re（），Im（）
，解得.
所以t的取值范围为.
19．
（1）由已知△ABC中，即，
故，由正弦定理可得，
故△ABC直角三角形，即.
（2）由（1），所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，由得：
，整理得，
则
.
（3）点为△ABC的费马点，则，
设，
则由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或（舍去），
故实数的最小值为.