重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某中学有三栋教学楼，如图所示，若某学生要从处到达他所在的班级处（所有楼道间是连通的），则最短路程不同的走法为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】C
【解析】从到共需走6步，其中横步（向右）有两步，竖直向上的有4步，
故最短路程的不同走法数为，
故选C．
2. 展开式中含项的系数为（ ）
A. 30B. 24C. 20D. 15
【答案】D
【解析】，令，解得，
所以含项的系数为.
故选：D
3. 若函数在时取得极值，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】对函数求导可得，，
∵在时取得极值，所以
此时，
时，，时，，是极值点．
故选：D.
4. 已知是等差数列的前项和，且满足，则（ ）
A. 65B. 55C. 45D. 35
【答案】D
【解析】设数列的公差为，则，
．
故选：D
5. 在展开式中，含的项的系数是（ ）
A. 220B. -220C. 100D. –100
【答案】D
【解析】展开式的通项为，
于是得，，
则展开式中含的项是，
所以含的项的系数是.故选：D
6. 设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，，令，
则，
故为上的奇函数，
因为当时，，
即时，，
所以在区间上单调递减，
所以奇函数在区间上也单调递减，
又，所以，所以，
所以当时，.
故选：B.
7. 已知，若且，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设，作出函数和的图象如下图所示：
由图象可知，当时，函数和的图象有三个交点，
且，
由已知可得，所以，，，，
所以，，
令，其中，
则，
令，可得，列表如下：
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为，，故，
所以，函数在上的值域为，
因此，取值范围是.
故选：D.
8. 已知函数，，若两曲线，有公共点，且在该点处它们的切线相同，则当时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设公切点为，
由题意得，解得，
设，则，
当时，；当时，，
故，即的最大值为，故选A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A. 由1，2，3，4构成含有2个元素的集合个数
B. 五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1，2，3组成两位数的不同方法数
D. 由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【解析】A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题；
B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，
例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题；
C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；
如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合；
D选项与C选项类似，故D选项为排列问题.
故选：AB.
10. 已知X的分布列为
则下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确；
，故B正确；
，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD
11. 已知数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为递增数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，即，
所以数列为递增数列，可得，选项A正确；
因为数列为递增数列且，则为递减数列，选项B错误；
因为，可得，
两边平方整理得，选项C正确．
因为，整理得，
两边平方得，
即，
可得，
累加可得，
即，所以，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在处的切线方程为______.
【答案】
【解析】∵，
∴，，
∴函数在处的切线方程为.
故答案为: .
13. 曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】，
，
则曲线在点处的切线方程为，
即，
故答案为：.
14. 已知为常数，函数，若关于的方程有且只有2个不同的解，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为关于的方程有且只有2个不同的解，
所以的图像与直线有两个不同的交点，
又及的图像如图所示：
当时，因的图像与直线有两个不同的交点，
故直线与相切，与有一个交点，
设切点为，从而，
解得，．
当时，因的图像与直线有两个不同的交点，
故直线与有两个公共点，
所以方程有两个不同的解，
即有两个不同的解，即，
所以，故，
综上，．故填．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的公差，且，，的前n项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，，成等比数列，求m的值．
解：（1）等差数列中，由，得，又，而，即，
解得，则，
于是
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，则，，，
由，，成等比数列，得，
即，
整理得，而，解得，
所以.
16. 已知函数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，
又，
又，二次函数，开口向上，对称轴为，当时，
所以关于的方程异号的两个实数根，解得或（舍），
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）依题意可得当时，恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，则.
令，，
由，知上单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，
所以的取值范围是.
17. 从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式（），并求（）.
解：（1）的可能取值为2和3，
则，
所以随机变量的分布列为：
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，.
②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
即，，
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
即次传球后球在甲手中的概率是.
18. 将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，， ．
（1）求样本（，2…，15）的相关系数；
（2）假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求（）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值．
附：相关系数．
解：（1）由，，，
得相关系数.
（2）（ⅰ）依题意，，
又，
则，当时，把换成，
则，
两式相减，得，
即，
又，于是对任意都成立，
从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，
所以；
（ⅱ）由定义知，，
而，
显然，
于是，
两式相减得
，
因此，
当足够大时，，，则，可认为．
所以该植物寿命期望的值是10.
19. 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
（1）计算：，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
（2）证明：
（3）利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：.
解：（1），，
规律：，证明如下：
的展开式中，
的系数为，
同时，的展开式中的系数为，
所以.
（2）的展开式中的系数为，
又，的展开式中的系数为
，
所以.
（3）由（1）可知，
由（2）可知，
两式相减可得，
即.
减
极小值
增
X
0
1
2
P
a
2
3