安徽省十校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题含参考答案

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.
2.答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效.
4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用求出模长.
【详解】.
故选：A
2. 设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出四个命题：
①若，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.
【详解】，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，
若，，则，，相交或异面，故①不正确；
若，，则，故②正确；
若，，则，故③正确；
若，，则或，故④不正确；
正确命题的个数是.
故选：.
3. 下图是我国年纯电动汽车销量统计情况，则下列说法错误的是（ ）

A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势
B. 这六年销量的第60百分位数为536.5万辆
C. 2020年销量高于这六年销量的平均值
D. 这六年增长率最大的为2019年至2020年
【答案】C
【解析】
【分析】根据条形图数据一一分析即可.
【详解】对于A，从条形图中看出，纯电动汽车销量逐年递增，故A正确；
对于B，因为，将所有汽车销量数据从小到大排序，
所以销量的第60百分位数为第4个数据，即536.5，故B正确；
对于C，这六年销量的平均数为，故C错误；
对于D，因为2019年至2020年的增长率为，超过其他年份的增长率，故D正确.
故选：C．
4. 已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将左右同时平方可求得的值，结合投影向量公式计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，，所以，
所以在上的投影向量为.
故选：D.
5. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内．已知飞机在点时，测得，在点时，测得，，千米，则（ ）
A. 千米B. 千米C. 千米D. 千米
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件得到是等边三角形，从而有，记直线与直线的交点为，根据条件得到为的中点，从而有，即可求出结果.
【详解】因为，，可得是等边三角形，千米.
记直线与直线的交点为，，
所以为的中点，所以为等腰三角形，，
又，所以千米，
故选：D.
6. 如图，电路中、、三个电子元件正常工作的概率分别为，，，则该电路正常工作的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知，该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题知该电路正常工作指的是元件正常工作且、中至少有一个能正常工作，
因为该电路正常工作为事件，则
，
故选：A．
7. 已知正四棱台的高为，其所有顶点均在同一个表面积为的球面上，且该球的球心在底面上，则棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用棱台及其外接球的特征结合台体体积公式计算即可.
【详解】设球心为，球的半径为，棱台高为，
则，所以，
由于在底面上，底面为正方形，
易得正方形的边长为，面积为16；
设底面的外接圆半径为，则，
易得正方形的边长为，面积为4；
所以正四棱台的体积为.
故选:C．
8. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论错误的是（ ）
A. 角C为钝角B.
C. 的最小值为D.
【答案】C
【解析】
【分析】选项A，结合诱导公式、二倍角公式对已知等式化简可得，即可判断；选项B，由A和余弦定理，即可判断；选项D，结合选项B的结论，再根据同角三角函数的商数关系、正弦定理和余弦定理，可推出，从而可判断；选项C，结合选项D的结论，再由三角形的内角和定理与正切的两角和公式，结合基本不等式，即可判断．
【详解】对于A，∵，
∴，即，
∴，又，
∴一定为钝角，故选项A正确；
对于B，由余弦定理知，，
化简得，故选项B正确；
对于D，∵，
∴，故选项D正确；
对于C，∵，
∴，
∵为钝角，则，，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
此时取得最大值，故选项C错误.
故选：C
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且，则z在复平面对应的点在一条直线上
【答案】AD
【解析】
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；根据复数的乘法运算即可判断B；举出反例即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D.
详解】对于A，设，则，
所以，故A正确；
对于B，由，得，
所以，
所以，故B错误；
对于C，若，则，而，故C错误；
对于D，因为，设对应的点为，
若，则在复平面内对应点到和的距离相等，
即在复平面内对应点在线段的垂直平分线上，
所以在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：AD．
10. 已知随机事件A，B的概率都大于0，表示事件A的对立事件，则（ ）
A. 当时，相互独立
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】AC
【解析】
【分析】根据相互独立事件的定义即可判断A；借助韦恩图可以分析即可判断BC；根据对立事件的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以相互独立，所以相互独立，故A正确；
对于B，如图，小圆圈表示的对立事件，大圆圈表示事件，，
无法判断与的大小，故B错误；
对于C，根据题意，得到如图所示，阴影部分代表事件，
由图可知，，故C正确；
对于D，根据对立事件的定义，，又，
所以，概率相等，不一定事件相等，故D错误；
故选：AC.
11. 已知正方体的棱长为，点是棱上的动点（不含端点），下列说法正确的有（ ）
A. 可能垂直
B. 三棱锥体积为定值
C. 过点截正方体的截面可能是等腰梯形
D. 若，过点且垂直于的截面的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直的坐标表示可知不存在满足题意的点，知A错误；利用三棱锥体积公式可知B正确；取中点，则可作出截面，知C正确；取中点，可证得平面，由此可确定截面为梯形，计算可知D正确.
【详解】对于A，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设，则，，
若，则，解得：（舍），
不存在点，使得，A错误；
对于B，，点到平面的距离，
，B正确；
对于C，取中点，连接，
，，，，
，，四边形即为过点的正方体的一个截面；
又，四边形为等腰梯形，C正确；
对于D，由题意知：为中点，
取中点，连接，
，四点共面；
，，，，，
，，，
，，，
又，平面，平面，
则四边形即为过点且垂直于的截面，
，，，
截面的周长为，D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，其中涉及到截面问题求解的关键是能够结合平行关系确定平面与正方体各个平面的交线的位置，进而确定截面图形.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 文以载道，数以忘忧，本学期某校学生组织数学知识竞答（满分），并从中随机抽取了名学生的成绩为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图：
估计该校高二学生数学成绩的平均数为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】由频率分布直方图的面积和为求出，再根据平均数计算公式求解即可.
【详解】由频率分布直方图的面积和为得
，
解得，
所以该校高二学生数学成绩的平均数为
.
故答案为：.
13. 在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为______（用代数形式表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.
【详解】复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
.
故答案为：.
14. 如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同的两点，，，.若，则直线与平面所成角的正弦值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】在平面内过作与平行且相等的线段，过作于，连接，先证明平面平面，根据面面垂直的性质可得平面，则为直线与平面所成角，再解即可.
【详解】在平面内过作与平行且相等的线段，
过作于，连接，
则四边形为平行四边形，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，故为直线与平面所成角，
由，
得二面角的平面角即为，
所以，
又，
所以是等边三角形，可得，，
因为，所以平面，
又平面，所以，
在中，由勾股定理可得，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三棱柱中，平面，且.
（1）求证：平面平面；
（2）求点与平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
由（1）得平面，
因为平面，所以，
又，所以，
故，
由，得，
因为平面，平面，
所以，所以，
设点与平面的距离为，
由，得，解得，
即点与平面的距离为.
16. 已知分别为锐角三个内角的对边，.
（1）求；
（2）若的面积为，求边的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式化简即可得解；
（2）先求出角，再求出，利用正弦定理得出的关系，再根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，即，
所以，
又，所以，
所以，
所以，；
【小问2详解】
由（1）得，
又，所以，
则，
由正弦定理得，所以，
则，
解得.
17. 立德中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：
（1）按男女比例，采用分层抽样在该班级抽取了5人，现从这5人中随机抽2人，求抽到的2人中至少有一个男生的概率；
（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）.
【答案】（1）
（2）平均数为，标准差为；
【解析】
【分析】（1）由分层抽样比可得男女生人数，再由古典概型概率计算公式可得结果；
（2）利用分样本与总样本的平均数与方差的关系式代入计算可得结果.
【小问1详解】
根据分层抽样比例可得抽取的5人中3名男生，2名女生；
记3名男生分别为，2名女生分别为；
现从这5人中随机抽2人的结果为：
，共10种；
其中至少有一个男生共有9种；
所以抽到的2人中至少有一个男生的概率为
【小问2详解】
由分层样本与总体样本平均数可得该班参加考试学生成绩的平均数为：
；
易知男生样本方差为，女生样本方差为；
则总体样本方差为
可得标准差为
18. 如图①，已知是边长为2的等边三角形，D是的中点，，如图②，将沿边DH翻折至.
（1）在线段BC上是否存在点F，使得平面？若存在，求值；若不存在，请说明理由；
（2）若平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，求点B到直线CH的距离.
【答案】（1）存在，
（2）
【解析】
【分析】（1）在图①中，取的中点M，连接AM，证明，则平面BDH，在线段BC上取点F使，连接MF，FA，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得解；
（2）连接，取的中点，连接，平面，易得，则即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，求出，再利用等面积法求解即可.
【小问1详解】
在图①中，取的中点M，连接AM，如图所示，
因为是等边三角形，的中点为M，
所以,
因为，
所以，
在图②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且，
在线段BC上取点F使，连接MF，FA，如图所示，
因为，
所以，
又因为平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，
又因为平面AMF，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面BDH，
所以存在点F满足题意，且；
【小问2详解】
如图所示，连接，取的中点，连接，
由折叠性质可得平面，平面，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为为的中点，
所以，
所以即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，
由（1）可得，，
因为平面BHC与平面BDA所成的二面角的正切值为，
所以，所以，
所以，所以，
设点B到直线CH的距离为，
则，
即，解得，
即点B到直线CH的距离为.
【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：
（1）通过面面平行得到线面平行；
（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记.
（1）在仿射坐标系中.
①若，求；
②若，且，的夹角为，求；
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值.
【答案】（1）①；②
（2）
【解析】
【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到；
②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到；
（2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案.
【小问1详解】
①因为，
，
所以；
②由，即，
得，
，
，
因为与的夹角为，
则，得；
【小问2详解】
依题意设，
，
因为为中点，则，
为中点，所以，
所以
，
因，
则，
在中依据余弦定理得，所以，代入上式得，
，
在中，由正弦定理，
设，则，
，其中，是取等号，
则.
【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键.性别
参加考试人数
平均成绩
标准差
男
30
100
16
女
20
90
19