沪教版九年级上册数学专题训练专题06二次函数与一元二次方程重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题06二次函数与一元二次方程重难点专练(原卷版+解析)，共58页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）
A．B．C．D．
2．若方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．（0，4）B．（1，4）C．（0，5）D．（4，0）
4．如图，抛物线（）经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
8．已知二次函数＝a+ax﹣1，＝+bx+1，令h＝b﹣a，（ ）
A．若h＝1，a＜1，则＞B．若h＝2，a＜，则＞
C．若h＝3，a＜0，则＞D．若h＝4，a＜﹣，则＞
9．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（ ）
①；②和3是关于x的方程的两个根；③．
A．①②B．①②③C．①③D．②③
10．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值．有以下结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③；④．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.
12．二次函数y＝x2+x+的图象与y轴的交点坐标是_____．
13．已知抛物线y＝x2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k＝______．
14．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于点；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点如此进行下去，则的顶点坐标是_______．
15．抛物线与轴的交点坐标是__________．
16．己知抛物线的顶点在轴上，则__________．
17．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）若该抛物线过原点，则t的值为________．
（2）已知点与点，若该抛物线与线段只有一个交点，则t的范围是__．
18．已知二次函数的图像经过点与，关于的方程有两个根，其中一个根是5，若关于的方程有两个整数根，则这两个整数根分别是______．
19．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②和3是关于的方程的两个根；③当时，随的增大而增大；④．其中所有正确结论的序号是_____．
20．关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点；②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．
21．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（－1，0）．下列四个结论：
①方程ax2＋bx＋c＝0的解为；
②3a＋c＝0；
③对于任意实数t，总有；
④不等式（k为常数）的解集为或．
其中正确的结论是_________（填写序号）．
22．若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________．
23．已知抛物线（，，是常数），，下列四个结论：
①若抛物线经过点，则；
②若，则方程一定有根；
③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；
④点，在抛物线上，若，则当时，．
其中正确的是__________（填写序号）．
三、解答题
24．已知:如图，反比例函数的图象经过点A、P，点A(6,43)，点P的横坐标是2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过坐标原点，且与x轴交于点B，顶点为P．
求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B点坐标．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C （0，2）．
（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；
（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．
26．如图，已知二次函数的图象经过点与点，且与轴交于点、．
（1）求该二次函数的表达式，以及与轴的交点坐标．
（2）若点在该二次函数图象上，
①求的最小值；
②若点到轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出的取值范围．
27．在平面直角坐标系中，已知二次函数．
（1）若，当时，函数图象的最低点的纵坐标为-18，求的值；
（2）若该函数图象上有两点，设，当时，总有，求的取值范围；
（3）已知和，若抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．
28．已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求的值（用含的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，的最大值为1，求的值；
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求的取值范围．
29．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）若点为抛物线对称轴上一动点，当是直角三角形时，请直接写出点的坐标；
（3）若点为抛物线上的一个动点，将点绕原点旋转180°得到点．
①当点落在该抛物线上时，求的值；
②当点落在第二象限内且取得最小值时，求的值．
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与两坐标轴分别相交于A，B，C三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与AOG相似，求点D的坐标．
31．定义：对于二次函数，其相依函数为一次函数，例如：二次函数的相依函数为：
（1）求二次函数的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数与其相依函数的图象分别交于点、，过该抛物线的顶点作直线平行于轴，已知点到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点为抛物线段上的一个动点，求面积的最大值．
32．已知二次函数的图像经过两点．
（1）求b的值．
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
33．已知抛物线
（1）通过配方可以将其化成顶点式为__________，根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征，可以判断，当顶点在x轴__________（填上方或下方），即__________0（填大于或小于）时，该抛物线与x轴必有两个交点；
（2）若抛物线上存在两点，，分布在x轴的两侧，则抛物线顶点必在x轴下方，请你结合A、B两点在抛物线上的可能位置，根据二次函数的性质，对这个结论的正确性给以说明；（为了便于说明，不妨设且都不等于顶点的横坐标；另如果需要借助图象辅助说明，可自己画出简单示意图）
（3）利用二次函数（1）（2）结论，求证：当，时，．
34．在初中阶段的学习中，我们经历了列表，描点，连线画出函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程．请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象：
（2）观察该函数图象，写出该函数图象的一条性质： ．
（3）己知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集： ．（保留1位小数，误差不超过0.2）
35．已知抛物线y＝x2－2mx＋m2－3（m是常数），抛物线的顶点为A．
（1）求抛物线顶点A的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求证：无论m取何值，该抛物线与x轴都有两个交点；
（3）该抛物线与x轴的两个交点分别为B，D，点B在点D的右侧，与y轴的交点为C．当|m|≤，m≠0时，△ABC的面积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．
36．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么，．
例如：已知方程的两根分别是，
则：，．
请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题：
（1）已知方程的两根分别是，求和的值；
（2）已知方程的两根分别是，且，求的值；
（3）若一元二次方程的一个根大于2，一个根小于2，求的取值范围．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣3
0
﹣1
0
﹣3
…
x
…
0
1
2
…
…
t
m
2
2
n
…
…
0
1
2
…
…
2
2
…
…
0
1
2
…
…
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…

…
专题06二次函数与一元二次方程重难点专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ）
A．B．C．D．
答案:B
解析：
分析：
除了x=2，y=﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x=2，y=﹣1错误．
【详解】
由表中数据得x=0和x=4时，y=3；x=1和x=3时，y=0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x=2时y=﹣1错误，因为x=2为对称轴，则其所对的纵坐标必为最值，题中的-1不符合要求．
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
2．若方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:A
分析：
将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m的取值范围．
【详解】
∵方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，
令f（x）=x2+（m+2）x+m+5，
则f（1）=1+m+2+m+5＜0，
解得，m＜-4．
故选A．
【点睛】
本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题．
3．抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A．（0，4）B．（1，4）C．（0，5）D．（4，0）
答案:A
分析：
根据y轴上点的坐标特征把x＝0代入y＝-（x−1）2＋5，然后计算出对应的y的值，即可确定抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】
把x＝0代入得y＝-（-1）2+5，即y＝4，
∴抛物线与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上点的坐标满足其解析式．
4．如图，抛物线（）经过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，总有；④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，且）的根为整数，则的值有且只有三个，其中正确的结论是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案:D
分析：
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
a＜0；
∵抛物线的对称轴为直线x1＜0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝-1，
∴1，
∴b＝2a，
∵经过点
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0，
故②正确；
∴当x＝-1时，y最大，即对于任意实数m有a-b+c≥am2+bm+c，
∴am2+bm≤a-b，
∴
故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝-1，与x轴的一个交点是（2，0），
∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣4，0），
∵b＝2a，8a+c＝0
∴y＝ax2+2ax﹣8a＝a（x+1）2﹣9a（a＜0），
∴顶点坐标为（-1，﹣9a），
由图象得当0＜y≤﹣9a时，﹣4＜x＜2，其中x为整数时，x＝-3，-2，-1，0，1，
又∵x＝-3与x＝1时，关于直线x＝-1轴对称
∴存在P使得根为x＝-3与x＝1；
又∵x＝-2与x＝0时，关于直线x＝-1轴对称
∴存在P使得根为x＝-2与x＝0；
当x＝-1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．
存在P使得根为x＝-1
所以P值可以有3个．故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键．
5．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案:D
分析：
首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线与抛物线C2相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】
解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴B（4，0），A（8，0）．
∴抛物线向左平移4个单位长度．
∴平移后解析式．
当直线过B点，有2个交点，
∴．
解得m=2．
当直线与抛物线C2相切时，有2个交点，
∴．
整理，得x25x2m=0．
∴△=25+8m=0．
∴m=．
如图，
∵若直线与C1、C2共有3个不同的交点，
∴＜m＜2．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
6．已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案:D
分析：
根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】
∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
7．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ ）
A．或B．或C．或D．或
答案:A
分析：
由二次函数解析式，可求与x轴的两个交点A、B，直线表示的图像可看做是直线的图像平移b个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线经过B点时，恰与所给图像有三个交点，故将B点坐标代入即可求解；当平移直线经过C点时，恰与所给图像有三个交点，即直线与函数关于x轴对称的函数图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．
【详解】
解：由知，当时，即
解得：
作函数的图像并平移至过点B时，恰与所给图像有三个交点，此时有：
平移图像至过点C时，恰与所给图像有三个交点，即当时，只有一个交点
当的函数图像由的图像关于x轴对称得到
当时对应的解析式为
即，整理得：
综上所述或
故答案是：A．
【点睛】
本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．
8．已知二次函数＝a+ax﹣1，＝+bx+1，令h＝b﹣a，（ ）
A．若h＝1，a＜1，则＞B．若h＝2，a＜，则＞
C．若h＝3，a＜0，则＞D．若h＝4，a＜﹣，则＞
答案:B
分析：
先利用减去y1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a＞0，△＝﹣8（1﹣a）＜0，据此对各个选项计算分析即可．
【详解】
解：﹣＝（1﹣a）+（b﹣a）x+2，
由＞y1得﹣＞0，
∴1﹣a＞5，△＝﹣8（1﹣a）＜0，
A、若h＝1，a＜1，则b﹣a＝1，1﹣a＞0
∴△＝﹣8（1﹣a）＝1﹣8（1﹣a）＝﹣7+8a，无法判断△与0的大小关系,
故A错误；
B、若 h＝2，a＜，则b﹣a＝2，8a＜4,
∴△＝﹣8（1﹣a）＝4﹣8（1﹣a）＝﹣4+8a＜0，
故B正确；
C、若h＝3，则b﹣a＝3，a＜0,
∴△＝﹣8（1﹣a）＝9﹣8（1﹣a）＝1+8a，
无法判断△与0的大小关系,
故C错误；
D、若h＝4，a＜﹣，则b﹣a＝4，1﹣a ＞,
∴△＝﹣8（1﹣a）＝16﹣8（1﹣a）＝8+8a＜4，
无法判断△与0的大小关系,
故D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．
9．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
且当时，与其对应的函数值．则下列结论中，正确的是（ ）
①；②和3是关于x的方程的两个根；③．
A．①②B．①②③C．①③D．②③
答案:B
分析：
由表知，当x=0和1时，函数值均为2，从而可得关于a、b、c的方程组，可得a与b的关系及c的值，再当时，与其对应的函数值，可得关系a的不等式，可判断a的符号且可得a的取值范围，从而可判断b的符号，因而可对①作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-2和x=3时，其函数值相等，从而可对②作出判断；根据抛物线的对称性，当x=-1和x=2时，其函数值相等，即n=m，再根据n的值及a的取值范围，即可对③作出判断．
【详解】
由表得： ，即
∴
当时，与其对应的函数值
即
∴
∴b>0
∴abc0，
∴抛物线开口向上，
∴物物线的最小值为a+b+c，
∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c，即at2+b≥a+b，则故③正确；
由②可得：c=-3a，b=-2a，
∴y=ax2+（b-k）x+c-k=ax2-（2a+k）x-3a-k对称轴
当x=-1时，y=0，
设y=ax2-（2a+k）x-3a-k与x轴另一交点横坐标为t，则得：
当