沪教版九年级上册数学专题训练专题05由三角函数值求锐角重难点专练(原卷版+解析)

这是一份沪教版九年级上册数学专题训练专题05由三角函数值求锐角重难点专练(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，解答题，填空题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海九年级专题练习）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（ ）
A．等边三角形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形
3．(2023·上海九年级专题练习）若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
4．(2023·上海浦东新区·九年级月考）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
5．(2023·上海浦东新区·九年级期中）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是的弦，点在⊙O上，且，联结、，并延长交弦于点，，．
（1）求的大小；
（2）若点E在⊙O上，，求的长．
7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．
（1）求∠OAB的大小；
（2）若点E在⊙O上，BEAO，求BE的长．
8．(2023·上海九年级专题练习）定义一种新运算：．例如：．
（1）求的值；
（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．
9．(2023·上海九年级专题练习）在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求csC的值．
10．(2023·上海普陀区·九年级一模）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．
（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；
①；②；③；④；⑤；⑥；
（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
11．(2023·上海浦东新区·八年级期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点.
（1）求的大小；
（2）若把沿着直线翻折得到，设
① 如图2，当点落在斜边上时，求的值；
② 如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域.
12．(2023·上海）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；
（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．
三、填空题
13．(2023·上海九年级专题练习）已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．
（备用数据tan31° = ct59°≈0.6， sin37° = cs 53°≈0.6)
14．(2023·上海九年级专题练习）中，， ，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．
15．(2023·上海九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
16．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）（1）若，则锐角=____________；
（2）若，则锐角=____________；
17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，则∠B的度数为_______.
18．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若sin30°=csB，那么∠B=________°．
19．(2023·上海九年级专题练习）如果，那么锐角的度数是____________.
20．(2023·上海嘉定区·）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
21．(2023·上海浦东新区·）若α为锐角，已知csα= ， 那么tanα=________ .
22．(2023·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=____度．
专题05 由三角函数值求锐角重难点专练（解析版）
第I卷（选择题）
一、单选题
1．(2023·上海金山区·九年级一模）若是锐角，，那么锐角等于（ ）
A．B．C．D．
答案:B
分析：
由sin45°=可得=45°即可确定．
【详解】
解：∵sin45°=，，是锐角
∴=45°，即=30°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值确定=45°成为解答本题的关键．
2．(2023·上海九年级专题练习）如果一个正多边形的外角为锐角，且它的余弦值是，那么它是（ ）
A．等边三角形B．正六边形C．正八边形D．正十二边形
答案:D
分析：
先根据一个外角的余弦值是，求出一个外角的度数，再利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【详解】
∵一个外角为锐角，且其余弦值为，
∴这个一个外角=30°，
∴360÷30=12．
故它是正十二边形．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的外角和及特殊角的三角函数值，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
3．(2023·上海九年级专题练习）若csα＝，则锐角α的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
答案:C
分析：
根据csα＝，求出锐角α的度数即可．
【详解】
解：∵csα＝，
∴α＝60．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
4．(2023·上海浦东新区·九年级月考）等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
答案:C
分析：
分三角形是锐角三角形与三角形是钝角三角形两种情况进行讨论，根据高与腰的比可得高所对的角的正弦值，即可求出高所对的角的度数，进而求解即可．
【详解】
如图1，当三角形ABC为锐角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，
∵=sin∠A，
∴∠A=30°，
如图2，当△ABC为钝角三角形时，AB=AC，BD为腰AC的高，
∵=sin∠BAD，
∴∠BAD=30°，
∴∠BAC=180°-30°=150°，
综上所述，顶角的度数为30°或150°，
故选C.
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错．
5．(2023·上海浦东新区·九年级期中）已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
答案:B
【详解】
试题分析：∵∠A为锐角，sinA=，∴∠A=30°．故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
第II卷（非选择题）
二、解答题
6．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知是的弦，点在⊙O上，且，联结、，并延长交弦于点，，．
（1）求的大小；
（2）若点E在⊙O上，，求的长．
答案:（1）30°，理由见解析；（2）4，理由见解析．
分析：
（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在中通过解直角三角形可求出的度数；
（2）连接OE，证是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．
【详解】
解：（1）如图1，连接OB，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵OA＝OB，
∴OD垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝6−r，在中，，
∴，
解得：r＝4，
∴＝＝，
∴，即；
（2）如图2，连接OE，
由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，勾股定理，等边三角形性质等知识点，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．
7．(2023·上海九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且，联结AO，CO，并延长CO交弦AB于点D，AB＝4，CD＝6．
（1）求∠OAB的大小；
（2）若点E在⊙O上，BEAO，求BE的长．
答案:（1）30°；（2）4
分析：
（1）连接OB，证OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通过解直角三角形可求出∠OAB的度数；
（2）连接OE，证△OBE是等边三角形，即可知BE的长度等于半径．
【详解】
解：（1）如图1，连接OB，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠BOD，
∵OA＝OB，
∴OD垂直平分AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
设⊙O的半径为r，则OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，
∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，
∴，
∴∠OAD＝30°，
即∠OAB＝30°；
（2）如图2，连接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，
∵OB＝OA，
∴∠OBA＝∠OAB＝30°，
∵EB∥AO，
∴∠EBD＝∠OAB＝30°，
∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，
∵OE＝OB，
∴△OEB是等边三角形，
∴BE＝r＝4．
【点睛】
本题考查了圆的有关性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是牢固掌握并熟练运用圆的有关性质．
8．(2023·上海九年级专题练习）定义一种新运算：．例如：．
（1）求的值；
（2）已知，算式“”的最终结果是1，“●”部分的值和相等，且，求锐角的值．
答案:（1）-5；（2）45°
分析：
（1）根据已知的式子计算即可；
（2）根据已知条件列出式子，再根据计算即可；
【详解】
解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了新定义运算，结合三角函数的知识点计算是关键．
9．(2023·上海九年级专题练习）在锐角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求csC的值．
答案:．
分析：
先利用特殊角的三角函数值得到∠A的度数，再根据三角形内角和求出∠C的度数，然后根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】
解：∵sinA＝，
∴锐角A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴csC＝cs45°＝．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记几个特殊角的三角函数值．
10．(2023·上海普陀区·九年级一模）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．
（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；
①；②；③；④；⑤；⑥；
（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．
答案:（1）④⑤；（2）；（3）或.
分析：
（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；
（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；
（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．
【详解】
（1）如图，作于M，交于N，
在中，∵，
设，则，
∵，
∴，解得，
∴，，
设正方形的边长为x，
在中，∵，
∴，
∴，
在中，，
∴为定值；
∵，
∴，
∴为定值；
在中，，
而在变化，
∴在变化，在变化，
∴在变化，
所以和是始终保持不变的量；
故答案为：④⑤
（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴
（3）∵，与相似，且面积不相等，
∴，即，
∴，
当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，
∴，
解得，
当点P在点F点左侧时，，
∴，
解得，
综上所述，正方形的边长为或．
【点睛】
本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．
11．(2023·上海浦东新区·八年级期末）如图1，在中，，，AB=4,点是边上动点（点不与点、重合），过点作，交边于点.
（1）求的大小；
（2）若把沿着直线翻折得到，设
① 如图2，当点落在斜边上时，求的值；
② 如图3，当点落在外部时，与相交于点，如果，写出与的函数关系式以及定义域.
答案:(1) ；(2) ①x=1，② ，定义域
分析：
（1）根据正弦的定义求出∠B=30°，根据平行线的性质解答；
（2）根据翻转变换的性质，等边三角形的判定定理得到△AQP为等边三角形，根据等边三角形的性质得到AQ=QP，证明AQ=QC，计算即可；
（3）作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，根据正弦的定义用x表示出QG，证明RE=RB，根据等腰三角形的性质得到EH= y，根据正切的定义计算即可．
【详解】
解：(1) 在Rt△ABC中，
∵ ，AB=4,
∴
∵
∴
(2) ① 如图2，当点落在斜边上时；
由翻折得
∴
∵
∴
∴
∵
∴
是等边三角形
即x=1.
② 如图3，当点落在外部时，
作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，
∵QR∥AB，
∴QG=RH，
在Rt△AQG中，QG=AQ×sinA
由翻折的性质可知，∠PRP=∠CRQ=30°，
∵QR∥AB，
∴∠REB=∠PRQ，
∴∠REB=∠B，
∴RE=RB，
∵RH⊥AB，
在Rt△ERH中，
∴
整理得，y=3x，
则y与x的函数关系式为y=3x（0＜x＜1）．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，翻转变换的性质，等边三角形的判定和性质，函数解析式的确定，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．(2023·上海）在平面直角坐标系中，如图，抛物线（、是常数）经过点、，与轴的交点为点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点为轴上一点，如果直线和直线的夹角为15º，求线段的长度；
（3）设点为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△为直角三角形时，求点的坐标．
答案:（1）抛物线的表达式是;(2) 或;(3) P或或或.
分析：
（1）将点A和点B坐标代入解析式求解可得；
（2）先求出点C坐标，从而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，据此知∠DBO=30°或60°，依据DO=BO•tan∠DBO求出得DO＝或3，从而得出答案；
（3）设P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分点B、点C和点P为直角顶点三种情况分别求解可得．
【详解】
（1）依题意得：，
解得：
∴抛物线的表达式是
（2）∵抛物线与轴交点为点
∴点的坐标是，又点的坐标是
∴

∴或
在直角△中，
∴或，∴或.
（3）由抛物线得：对称轴是直线
根据题意：设，又点的坐标是，点的坐标是
∴，，，
①若点为直角顶点，则即：解之得：，
②若点为直角顶点，则即：解之得：，
③若点为直角顶点，则即：解之得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
【点睛】
本题是二次函数的综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
三、填空题
13．(2023·上海九年级专题练习）已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为_______．
（备用数据tan31° = ct59°≈0.6， sin37° = cs 53°≈0.6)
答案:37°．
分析：
画出图形，设坡角为α，根据sinα=，可求得α的度数．
【详解】
由题意，作出图形，设坡角为α，
∵sina=
即sina= 0.6
∴a= 37°
故答案为: 37°.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形.
14．(2023·上海九年级专题练习）中，， ，，对角线AC，BD交于点O，将绕点O顺时针旋转，使点D落在AD上处，点C落在处，交AD于点P，则的面积是___________．
答案:
分析：
过点作，作，，，，为垂足，根据，，，可证是直角三角形，，可求△各边长，以及的长，由可求的长，即可求的面积．
【详解】
解：过点作，作，，，，为垂足，
，，，
，
，
．
，
，
，
是平行四边形，
，，，
，
在中，，
旋转，
，，，，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
且，
，
，
故答案为．
【点睛】
本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，关键是灵活运用这些性质解决问题．
15．(2023·上海九年级专题练习）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
答案:直角三角形
分析：
根据特殊的三角函数值，求得∠A，∠B的度数，再进行判断．
【详解】
∵，，
∴ ∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形，
故填：直角三角形．
【点睛】
本题考查特殊的三角函数值，熟练记忆是关键．
16．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）（1）若，则锐角=____________；
（2）若，则锐角=____________；
答案:
分析：
（1）根据特殊角的余弦值即可得；
（2）根据特殊角的正弦值即可得．
【详解】
（1），
锐角；
（2），
，
锐角；
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了特殊角的正弦与余弦值，熟记特殊角的正弦与余弦值是解题关键．
17．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，则∠B的度数为_______.
答案:45°
分析：
根据特殊的三角函数值,表示出∠B的正弦值即可解题.
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，
∴sinB=,
∴∠B=45°.
【点睛】
本题考查了三角函数的特殊值,属于简单题,熟悉特殊角的三角函数值是解题关键.
18．(2023·上海市静安区实验中学九年级课时练习）若sin30°=csB，那么∠B=________°．
答案:60
分析：
根据特殊角的三角函数值即可得．
【详解】
，
，
，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
19．(2023·上海九年级专题练习）如果，那么锐角的度数是____________.
答案:
分析：
根据特殊角的三角函数值，即可求解.
【详解】
∵，
∴锐角的度数是：.
故答案是：
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角三角函数值，是解题的关键.
20．(2023·上海嘉定区·）已知一个斜坡的坡度，那么该斜坡的坡角的度数是______．
答案:
分析：
坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【详解】
解：∵，
∴坡角=30°．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
21．(2023·上海浦东新区·）若α为锐角，已知csα= ， 那么tanα=________ .
答案:
解析：
试题分析：根据余弦值可得：α=60°，则tanα=tan60°=．
22．(2023·上海九年级专题练习）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=____度．
答案:60°.
【详解】
试题分析：做出图形，可得tanA=，继而可求得∠A的度数．
由图可得：tanA==，
则∠A=60°．
故答案为60．
考点：特殊角的三角函数值．