浙江省绍兴市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

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高一数学
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须做在答卷相应位置上.
2.全卷满分100分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2. 用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形的直观图，所得图形的面积是（ ）
A. 4B. C. D.
3. 十名工人某天生产同一批零件，生产的件数分别是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，则这组数据的极差、众数、第一四分位数分别是（ ）
A. 3，17，12B. 5，16，14C. 7，17，14D. 7，17，13
4. 已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
5. 已知平面四边形，，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
6. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，C，其中，，则（ ）
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件C互为对立D. 事件A与事件C相互独立
8. 如图，矩形ABCD中，．面积为的平行四边形ACEF绕AC旋转，且平面ABCD，则（ ）
A. 平面平面EFDB. 平面平面ABC
C. 平面平面BCFD. 平面平面ADF
二、选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 复数的模为B. 复数的虚部为﹣1
C. 若，则D. 若复数满足，则
10. 已知一组样本数据标准差，其平均数，则下列数据的标准差与不相等的是（ ）
A
B.
C.
D.
11. 如图，已知正方体的棱长为，分别为棱上的点，，则（ ）
A.
B. 平面经过棱的中点
C. 平面截该正方体，截面面积的最大值为
D. 点到平面距离的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.
12. 抛掷两枚质地均匀骰子，则事件“两枚骰子的点数都为奇数”的概率是______．
13. 已知向量与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为______．
14. 正四棱锥的外接球半径为R，内切球半径为r，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，
（1）求及向量与夹角的大小；
（2）若，求实数t的值.
16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAB是正三角形，平面PAB，M，N分别为AB，PC的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）求四棱锥的体积．
17. 某机构对甲、乙两个工厂生产的一批零件随机抽取部分进行尺寸检测，统计所得数据分别画出了如下频率分布直方图：
根据乙工厂零件尺寸的频率分布直方图估计事件“乙工厂生产的零件尺寸不低于60cm”的频率为0.70．
（1）估计甲工厂生产这批零件尺寸的平均值；
（2）求乙工厂频率分布直方图中a，b的值，并求乙工厂被测零件尺寸的中位数(结果保留两位小数)；
（3）现采用分层抽样的方法，从甲工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[70，80)内的零件3个，从乙工厂生产的零件中随机抽取尺寸在[40，50)和[80，90)内的零件5个，再从抽得的8个零件中任取2个，求这两个零件的尺寸都在[40，50)内的概率．
18. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，．
（1）证明：平面ACE；
（2）求点E到平面ABCD的距离；
（3）求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值．
19. 克罗狄斯、托勒密(ptlemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四边形(所有内角都小于180°的四边形)中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．已知圆O是凸四边形ABCD的外接圆，其中．
（1）若圆O半径为r，且，
(ⅰ)求的大小；
(ⅱ)求的取值范围(用r表示)．
（2）若，求线段BD长度的最大值．