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浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）
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这是一份浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题Word版含解析docx、浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分100分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量共线与垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，，
对于A中，由，所以向量与不共线，所以A错误；
对于B中，由，所以与不垂直，所以B错误；
对于C中，由，，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以向量与不平行，所以D错误.
故选：C.
2. 已知复数，其中为虚数单位.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的概念，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数为纯虚数，可得，解得.
故选：B.
3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线，
则存在实数使得，可得，解得.
故选：A.
4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理角化边，进行化简，再根据余弦定理求角.
【详解】由正弦定理角化边可知，，
整理为，
，，
所以.
故选：C
5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，圆台高为，上下底面半径分别为：.
弧长公式求得，，再用圆台的表面积公式解得，进而再得圆台的高为．
【详解】设，圆台高为，上下底面半径分别为：.
则，解得，
所以圆台的表面积为：，
解得，故圆台的高为：．
故选：D.
6. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.
【详解】，
,
，
，
，
.
故选：D
7. 已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可．
【详解】由题知，过圆锥顶点的截面中，截面为等腰直角三角形时，截面面积最大．
圆锥的底面积为，则底面半径为，高为，求得母线为.
截面三角形面积最大为：．
故选：C
8. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】，则，则，
所以外接圆的半径，
设，所以直三棱柱外接球半径，
球的体积，所以，即，
所以三棱柱的体积.
故选：A
二、多选题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 已知复数，下列命题正确的有（ ）
A. 复数的虚部为
B. 复数的共轭复数为
C
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，结合复数的概念，共轭复数的概念，以及复数的模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得，
对于A中，由复数的虚部为，所以A错误；
对于B中，由复数的共轭复数为，所以B正确；
对于C中，由复数，可得，所以C正确；
对于D中，由复数在复平面内对应的点为位于第一象限，所以D正确.
故选：BCD.
10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为
B. 在中，若，则为等腰直角三角形
C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为
D. 在中，若，则点为的重心
【答案】CD
【解析】
【分析】根据角为钝角，转化为数量积的正负，以及不平行，确定的取值范围；根据数量积的公式，结合余弦定理，判断三角形的形状；根据向量模的公式，判断C，根据向量的运算，转化为几何关系，结合重心的定义，即可判断D.
【详解】A.若角为钝角，则，且与不平行，
则，且，解得：且，故A错误；
B. 若，则，两边平方得
，由余弦定理，
所以，所以，则，
所以为直角三角形，故B错误；
C.，所以在方向上的投影向量的模为，故C正确；
D.如图，点是的中点，，若，则，则三点共线，且，所以点是的重心，故D正确.
故选：CD
11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A. B. 边的取值范围是
C. 面积取值范围是D. 周长取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围.
【详解】A选项，由题意得，即，
因为，所以，A正确；
B选项，由正弦定理得，
故，
因为锐角中，，所以，
解得，故，
，B正确；
C选项，由B可知，，故，
面积取值范围是，C正确；
D选项，由正弦定理得，故，
因为，所以，
故，
所以周长取值范围是，D错误.
故选：ABC
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
非选择题部分
三、填空题：（本大题共3小题，每题4分，共12分）
12. 已知一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是菱形，且，，则原四边形的面积是______；
【答案】32
【解析】
【分析】根据直观图还原四边形，再求四边形的面积.
【详解】如图，为水平放置的直观图，还原四边形，
四边形是矩形，,，所以四边形的面积为.
故答案为：32
13. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______；
【答案】
【解析】
【分析】利用复数模的几何意义，可得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，而的几何意义为定点到圆上点的距离，进而可解.
【详解】由已知得对应点为，
由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，
则的几何意义为点到圆上点的距离，
如图可得最大距离，最小距离为，
故答案为：.
14. 已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
四、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知在长方体中，，，，为棱的中点.
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积；
（2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
可得，
所以三棱锥的表面积为.
【小问2详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
且
所以.
16. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点上，满足交于，设，.
（1）用，表示，并求的模；
（2）求的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）表达出，平方后求出答案；
（2）由垂直关系得到.
【小问1详解】
等腰梯形，，，，，，
，
为的中点，，
作，垂足为，因为，，
所以，又，所以，
，
；
【小问2详解】
，
又，
在中，
.
17. 已知复数，，其中为虚数单位，若.
（1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简，由求出，即可得到，再求出其共轭复数，最后根据复数的几何意义得解；
（2）将代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可.
【小问1详解】
，
又，所以，解得，所以，
，则在复平面内对应的点的坐标；
【小问2详解】
是关于的方程的一个根，
，得，
所以，解得.
18. 在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点.
（1）若为的中点，，，求边；
（2）若平分，，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解；
（2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解.
【小问1详解】
，，
为的中点，则，
平方得：，
又，，
由余弦定理得：，；
【小问2详解】
设，
若平分，，易得，
又，得，，
平分，，
即
在中，，
19. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记.
（1）若，求的长；
（2）求的最小值.
【答案】（1）1 （2）.
【解析】
【分析】（1）根据条件可知，，从而确定点的位置，即可求解；
（2）和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值.
【小问1详解】
，
易知此时为直角三角形，则为中点，与重合，
【小问2详解】
在中，，
在中，，
换元：令，则
当且仅当，即时取等号.
的最小值为.
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分100分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合向量共线与垂直的坐标表示，逐项判定，即可求解.
【详解】由向量，，
对于A中，由，所以向量与不共线，所以A错误；
对于B中，由，所以与不垂直，所以B错误；
对于C中，由，，可得，所以，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以向量与不平行，所以D错误.
故选：C.
2. 已知复数，其中为虚数单位.若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，结合复数的概念，列出方程组，即可求解.
【详解】由复数为纯虚数，可得，解得.
故选：B.
3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
【详解】由，是平面内的一组基底，向量与共线，
则存在实数使得，可得，解得.
故选：A.
4. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则角（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理角化边，进行化简，再根据余弦定理求角.
【详解】由正弦定理角化边可知，，
整理为，
，，
所以.
故选：C
5. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，且圆台的表面积为，则该圆台的高为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，圆台高为，上下底面半径分别为：.
弧长公式求得，，再用圆台的表面积公式解得，进而再得圆台的高为．
【详解】设，圆台高为，上下底面半径分别为：.
则，解得，
所以圆台的表面积为：，
解得，故圆台的高为：．
故选：D.
6. 在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.
【详解】，
,
，
，
，
.
故选：D
7. 已知圆锥的底面积为，高为，过圆锥的顶点作截面，则截面三角形面积最大为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可．
【详解】由题知，过圆锥顶点的截面中，截面为等腰直角三角形时，截面面积最大．
圆锥的底面积为，则底面半径为，高为，求得母线为.
截面三角形面积最大为：．
故选：C
8. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ）
A. B. 1C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解.
【详解】，则，则，
所以外接圆的半径，
设，所以直三棱柱外接球半径，
球的体积，所以，即，
所以三棱柱的体积.
故选：A
二、多选题：（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9. 已知复数，下列命题正确的有（ ）
A. 复数的虚部为
B. 复数的共轭复数为
C
D. 复数在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，结合复数的概念，共轭复数的概念，以及复数的模和复数的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得，
对于A中，由复数的虚部为，所以A错误；
对于B中，由复数的共轭复数为，所以B正确；
对于C中，由复数，可得，所以C正确；
对于D中，由复数在复平面内对应的点为位于第一象限，所以D正确.
故选：BCD.
10. 给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 在中，，，若角为钝角，则实数的取值范围为
B. 在中，若，则为等腰直角三角形
C. 在中，若，则在方向上的投影向量的模为
D. 在中，若，则点为的重心
【答案】CD
【解析】
【分析】根据角为钝角，转化为数量积的正负，以及不平行，确定的取值范围；根据数量积的公式，结合余弦定理，判断三角形的形状；根据向量模的公式，判断C，根据向量的运算，转化为几何关系，结合重心的定义，即可判断D.
【详解】A.若角为钝角，则，且与不平行，
则，且，解得：且，故A错误；
B. 若，则，两边平方得
，由余弦定理，
所以，所以，则，
所以为直角三角形，故B错误；
C.，所以在方向上的投影向量的模为，故C正确；
D.如图，点是的中点，，若，则，则三点共线，且，所以点是的重心，故D正确.
故选：CD
11. 已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A. B. 边的取值范围是
C. 面积取值范围是D. 周长取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围.
【详解】A选项，由题意得，即，
因为，所以，A正确；
B选项，由正弦定理得，
故，
因为锐角中，，所以，
解得，故，
，B正确；
C选项，由B可知，，故，
面积取值范围是，C正确；
D选项，由正弦定理得，故，
因为，所以，
故，
所以周长取值范围是，D错误.
故选：ABC
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.
非选择题部分
三、填空题：（本大题共3小题，每题4分，共12分）
12. 已知一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是菱形，且，，则原四边形的面积是______；
【答案】32
【解析】
【分析】根据直观图还原四边形，再求四边形的面积.
【详解】如图，为水平放置的直观图，还原四边形，
四边形是矩形，,，所以四边形的面积为.
故答案为：32
13. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______；
【答案】
【解析】
【分析】利用复数模的几何意义，可得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，而的几何意义为定点到圆上点的距离，进而可解.
【详解】由已知得对应点为，
由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，
则的几何意义为点到圆上点的距离，
如图可得最大距离，最小距离为，
故答案为：.
14. 已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
四、解答题：（本大题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知在长方体中，，，，为棱的中点.
（1）求三棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角形的面积公式，分别求得各个面的面积，进而得到其表面积；
（2）根据题意，利用棱柱和棱锥的体积公式，结合，即可求解.
【小问1详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
可得，
所以三棱锥的表面积为.
【小问2详解】
解：在长方体中，由，，，为棱的中点，
可得，
且
所以.
16. 如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点上，满足交于，设，.
（1）用，表示，并求的模；
（2）求的长.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）表达出，平方后求出答案；
（2）由垂直关系得到.
【小问1详解】
等腰梯形，，，，，，
，
为的中点，，
作，垂足为，因为，，
所以，又，所以，
，
；
【小问2详解】
，
又，
在中，
.
17. 已知复数，，其中为虚数单位，若.
（1）若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据复数代数形式的除法运算化简，由求出，即可得到，再求出其共轭复数，最后根据复数的几何意义得解；
（2）将代入方程，再由复数相等得到方程组，解得即可.
【小问1详解】
，
又，所以，解得，所以，
，则在复平面内对应的点的坐标；
【小问2详解】
是关于的方程的一个根，
，得，
所以，解得.
18. 在中，角，，所对边分别为，，，且，为边上的动点.
（1）若为的中点，，，求边；
（2）若平分，，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式求得角，结合平面向量加法法则得，再由余弦定理求解；
（2）设，由根据题意，利用余弦定理求解的值，从而得解.
【小问1详解】
，，
为的中点，则，
平方得：，
又，，
由余弦定理得：，；
【小问2详解】
设，
若平分，，易得，
又，得，，
平分，，
即
在中，，
19. 如图，在等边三角形中，，点，是边上的两动点，满足，记.
（1）若，求的长；
（2）求的最小值.
【答案】（1）1 （2）.
【解析】
【分析】（1）根据条件可知，，从而确定点的位置，即可求解；
（2）和中，利用正弦定理表示，即可得到，并利用三角函数表示，利用换元，结合基本不等式，即可求解最值.
【小问1详解】
，
易知此时为直角三角形，则为中点，与重合，
【小问2详解】
在中，，
在中，，
换元：令，则
当且仅当，即时取等号.
的最小值为.
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