人教A版普通高中数学一轮复习第十章学科特色微专题二项分布与超几何分布模型识别问题学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第十章学科特色微专题二项分布与超几何分布模型识别问题学案，共6页。

类型一 超几何分布
【例1】(2024·衡水模拟)温室蔬菜种植技术是一种比较常见的技术，它使人们在任何时间都可以吃到新鲜的蔬菜，深受大众喜爱．温室蔬菜生长和蔬菜产品卫生质量与温室内土壤、灌溉水、环境空气等环境质量有关，温室蔬菜产地环境质量等级划定如表所示．
各环境要素的综合质量指数超标，灌溉水、环境空气可认为污染，土壤则应做进一步调研，若确对其所影响的植物(生长发育、可食部分超标或用作饮料部分超标)或周围环境(地下水、地表水、大气等)有危害，方能确定为污染．某乡政府计划对所管辖的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8个村发展温室蔬菜种植，对各村试验温室蔬菜环境产地质量监测得到的相关数据如下：
(1)若从这8个村中随机抽取2个村进行调查，求抽取的2个村应对土壤做进一步调研的概率；
(2)现有一技术人员在这8个村中随机选取3个村进行技术指导，记ξ为技术员选中村的环境空气等级为尚清洁的个数，求ξ的分布列和数学期望．
解：(1)由题图可知，应对土壤做进一步调研的村共4个．
从8个村中随机抽取2个村进行调查，样本点有C82＝28(个)．
其中抽取的2个村应对土壤做进一步调研的样本点有C42＝6(个)，
所以所求概率p＝628＝314．
(2)由题图可知，环境空气等级为尚清洁的村共有5个，则ξ所有可能的取值为0，1，2，3，
因为P(ξ＝0)＝C33C83＝156，P(ξ＝1)＝C51C32C83＝1556，P(ξ＝2)＝C52C31C83＝3056＝1528，P(ξ＝3)＝C53C83＝1056＝528，
所以ξ的分布列为
E(ξ)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝158．
超几何分布的识别、求解策略
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的特征：①考察对象分两类．②已知各类对象的个数．③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．
(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型，计算分布列和期望时直接套用公式即可．
类型二 二项分布
【例2】(2024·济南模拟)为了解学生掌握积化和差公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占35，其他相关数据如下表：
单位：人
请完成2×2列联表，以频率估计概率，从该校高一年级学生中随机抽取3名学生，记合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
解：由100名学生中高三年级的学生占35，可知高三年级的学生有100×35＝60(人)，高一年级的学生有40人．补充完整的列联表如下：
单位：人
高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为2440＝35．
依题意，得X～B3，35，
则P(X＝0)＝1−353＝8125，
P(X＝1)＝C31×35×1−352＝36125，
P(X＝2)＝C32×352×1−35＝54125，
P(X＝3)＝353＝27125．
所以X的分布列为
E(X)＝np＝3×35＝95．
判断某随机变量是否服从二项分布的关键点
(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
类型三 二项分布与超几何分布的综合问题
【例3】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些，服从超几何分布的是哪些．
(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；
(2)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回地抽取方法抽取n件(n＞N)，抽出的次品件数为X2；
(3)有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回地抽取方法抽取n件，出现次品的件数为X3(N－M≥n＞0，且M≥n)．
解：(1)X1的分布列为
X1服从二项分布，即X1～Bn，13．
(2)X2的分布列为
X2服从二项分布，即X2～Bn，MN．
(3)X3的分布列为
X3服从超几何分布．
超几何分布和二项分布的区别与联系
环境
质量
等级
土壤各单
项或综合
质量指数
灌溉水各
单项或综
合质量指数
环境空气各
单项或综合
质量指数
等级
名称
1
≤0.7
≤0.5
≤0.6
清洁
2
0.7～1.0
0.5～1.0
0.6～1.0
尚清
洁
3
＞1.0
＞1.0
＞1.0
超标
ξ
0
1
2
3
P
156
1556
1528
528
年级
成绩
合计
合格
不合格
高一
16
高三
54
合计
100
年级
成绩
合计
合格
不合格
高一
24
16
40
高三
54
6
60
合计
78
22
100
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125
X1
0
1
2
…
n
p
Cn0130·23n
Cn1130·23n-1
Cn2132·
23n−2
…
Cnn·
13n
X2
0
1
2
…
n
P
1−MNn
Cn1MN·
1−MNn−1
Cn2MN2·
1−MNn-2
…
MNn
X3
0
1
…
n
P
CN−MnCNn
CM1Cn−Mn−1C103
…
CMnCNn
区别
超几何分布
二项分布
需要知道总体的容量
不需要知道总体的容量
描述的是不放回抽样问题，总体在变化
描述的是有放回抽样问题，总体不改变
各次抽取不相互独立
各次抽取相互独立
区别
考察对象分为两类，并且已知各类对象的个数
每一次试验都是独立重复试验．两种结果(发生与不发生)、事件发生概率不变
联系
当总体容量很大时，超几何分布可近似看作二项分布