人教A版普通高中数学一轮复习第六章学科特色微专题立体几何中的动态问题学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第六章学科特色微专题立体几何中的动态问题学案，共6页。

类型一 空间位置关系的判定
【例1】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1上的动点，且EH∥FG，则必有( )
A．BD1⊥EH
B．AD∥FG
C．平面BB1D1D⊥平面EFGH
D．平面A1BCD1∥平面EFGH
B 解析：当E与A1重合，H与D1重合时，BD1与EH的夹角即BD1与A1D1的夹角，显然BD1与A1D1的夹角不是π2，故A错误．
当FG不与B1C1重合时，因为EH∥FG，EH⊂平面A1B1C1D1，FG⊄平面A1B1C1D1，所以FG∥平面A1B1C1D1.因为FG⊂平面BCC1B1，平面A1B1C1D1∩平面BCC1B1＝B1C1，所以FG∥B1C1∥AD．当FG与B1C1重合时，显然FG∥AD，故B正确．
当平面EFGH与平面BCC1B1重合时，显然平面BB1D1D与平面BCC1B1不垂直，故C错误．
当FG与BC重合时，平面A1BCD1与平面EFGH相交，故D错误．
【例2】如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列结论一定成立的是( )
A．三棱锥A-A1PD的体积大小与点P的位置有关
B．A1P与平面ACD1相交
C．平面PDB1⊥平面A1BC1
D．AP⊥D1C
C 解析：对于选项A，VA-A1PD＝VP-AA1D．在正方体中，BC1∥平面AA1D，所以当点P运动时其到平面AA1D的距离不变，即三棱锥P-AA1D的高不变．又△AA1D的面积不变，因此三棱锥P-AA1D的体积不变，即三棱锥A-A1PD的体积与点P的位置无关，故A不成立．
对于选项B，由于BC1∥AD1，AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可证BA1∥平面ACD1.又BA1∩BC1＝B，BA1，BC1⊂平面BA1C1，所以平面BA1C1∥平面ACD1.因为A1P⊂平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立．
对于选项C，因为A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，则A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D．又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1.又B1D⊂平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立．
对于选项D，当B与P重合时，AP与D1C的夹角为π4，故D不成立．
解决空间位置关系的动点问题
(1)应用“位置关系定理”转化．
(2)建立“坐标系”计算．
类型二 轨迹问题
【例3】(2024·韶关模拟)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面正方形ABCD内的一动点．若△APC1的面积S＝12，则动点P的轨迹是( )
A．圆的一部分
B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分
D．椭圆的一部分
D 解析：设d是△APC1边AC1上的高，则S△APC1＝12|AC1|·d＝32d＝12，所以d＝33，即点P到直线AC1的距离为定值33，所以点P在以直线AC1为轴，33为底面半径的圆柱侧面上，直线AC1与平面ABCD既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCD上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCD内．
【例4】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点．若C1M∥平面CD1EF，则点M的轨迹长度为 ．
2 解析：如图，取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四边形EGC1D1是平行四边形，所以C1G∥D1E.又C1G⊄平面CD1EF，D1E⊂平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.
因为C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH，所以平面C1GH∥平面CD1EF.
由点M是正方形ABB1A1内的动点可知，若C1M∥平面CD1EF，则点M在线段GH上，所以点M的轨迹长度为12+12＝2.
解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法
(1)几何法：根据平面的性质进行判定．
(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定，或用代替法进行计算．
(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除．
类型三 最值问题
【例5】已知在如图所示的正三棱锥P-ABC中，侧棱PA，PB，PC的长为2，底面三角形ABC的边长为2，D为AC的中点，E为AB的中点，M是PD上的动点，N是平面PCE上的动点，则AM＋MN的最小值为( )
A．6+24B．3+12
C．64D．32
B 解析：将正三棱锥P-ABC放入棱长为2的正方体AGIJ-PCHB中，如图1所示，先固定点M，那么MN的最小值即点M到平面PCE的距离．连接GH，设GH的中点为F，连接PF，DG.由题意，得平面PGF⊥平面PCE，且交线为PF，故MN⊥PF，所以点M在PD上运动时，点N在PF上运动．把平面AGP和平面PGF沿PG展开，示意图如图2所示，作AN′⊥PF交PG于点M′，则AN′即所求，(AM＋MN)min＝AN′＝AP·sin (45°＋30°)＝3+12．
【例6】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值是( )
A．13013B．63
C．33D．3913
D 解析：如图，取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，所以C1E⊥平面ABB1A1，取BE的中点F，连接AF，DF.
因为D为BC1的中点，所以DF∥C1E，所以DF⊥平面ABB1A1，所以∠DAF即为直线AD与侧面ABB1A1所成的角．在Rt△AFD中，DF＝12C1E＝34a，AF＝34a2+12 b2＝9a2+4b24，所以tan ∠DAF＝DFAF＝3a9a2+4b2＝13+4b23a2≥13+43＝3913，当且仅当a＝b时，等号成立，所以直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为3913．
在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的思路是：
(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值，即可求解．
(2)函数思想：通过建立坐标系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值．