人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题函数的值域学案

这是一份人教A版普通高中数学一轮复习第二章学科特色微专题函数的值域学案，共4页。


类型一 配方法
【例1】求函数f(x)＝4x－3×2x+1＋1(0≤x≤2)的值域．
解：f(x)＝4x－3×2x+1＋1＝(2x)2－6×2x＋1＝(2x－3)2－8.
因为0≤x≤2，所以1≤2x≤4.
所以当2x＝3时，函数f(x)取得最小值－8；
当2x＝1时，函数f(x)取得最大值－4，
所以函数f(x)的值域为[－8，－4].
配方法主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题，并且往往需结合函数图象求值域．
类型二 单调性法
【例2】函数f(x)＝x2＋1x(x≤－1)的值域是 ．
[0，＋∞) 解析：函数y＝x2和y＝1x在(－∞，－1]上都单调递减，所以f(x)min＝f(－1)＝0，且当x趋向于－∞时，f(x)趋向于＋∞，所以函数f(x)的值域为[0，＋∞)．
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
类型三 数形结合法
【例3】(2024·哈尔滨模拟)求函数f(x)＝x2+2x-3，-2≤x<0，x2-2x-3，0≤x≤3 的值域．
解：作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
因为f(－1)＝f(1)＝－4，f(－2)＝－3，f(3)＝0，f(0)＝－3，
所以函数f(x)的最大值、最小值分别为0和－4，即函数f(x)的值域为[－4，0].
对于一些函数(如二次函数、分段函数等)的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数的值域．用数形结合法，可以使运算过程大大简化．
类型四 换元法
【例4】求f(x)＝x＋1-x的值域．
解：令1-x＝t≥0，则x＝1－t2(t≥0)，所以f(x)＝g(t)＝1－t2＋t＝－t-122＋54≤54，所以函数f(x)的值域为-∞， 54．
引入新变量，使原函数转化成关于新变量的函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．
类型五 反解法
【例5】求函数y＝x-3x+1的值域．
解：函数y＝x-3x+1可化为x＝y+31-y，
可得y≠1，
所以原函数的值域为{y∈R|y≠1}．
就是用y来表示x，利用其变形形式求得原函数的值域．
类型六 分离常数法
【例6】求函数y＝2x2x+1的值域．
解：y＝2x2x+1＝2x+1-12x+1＝1－12x+1．
因为2x>0，所以2x＋1>1，
所以0<12x+1<1，所以－1<－12x+1<0，
所以0<1－12x+1<1.
所以函数的值域为(0，1)．
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子、分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数与一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．