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湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷（Word版附答案）
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这是一份湖南省浏阳市2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试卷（Word版附答案），共9页。试卷主要包含了已知向量，若，则的值为，复数在复平面内对应的点在，下列说法正确的是，给定一组数，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知向量，若，则的值为（ ）
A.-6 B.-4 C.4 D.6
2.复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
①已知为三条直线，若异面，异面，则异面；
②若不平行于平面，且，则内的所有直线与异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则，三点共线.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
8.某工业园区有共3个厂区，其中，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.给定一组数，则（ ）
A.平均数为3 B.标准差为
C.众数为2 D.分位数为5
10.有6个相同的小球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，为偶数，，则（ ）
A. B.与相互独立
C.与相互独立 D.与相互独立
11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ）
A.平面
B.直线与平面所成的角为
C.若点为棱上的动点，则的最小值为
D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师､中年教师､青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为__________.
13.拋两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为，则能够构成三角形三边长的概率为__________.
14.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.用表示为__________；若为上一动点且__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
16.（本小题15分）在某电视节目中，有5位歌手（1到5号）依次登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“”的事件概率.
17.（本小题15分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
18.（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题17分）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即
，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，则：.
如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
（1）试将写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；
（3）计算：的值.
2024年上学期期末质量监测参考答案（高一数学）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.B 2.D 3.A 4.C
5.B 6.A 7.C 8.B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ACD 11.AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.18 13. 14.；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：如图，
，
，
合速度的方向与水流的方向成的角
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
小船航行速度的大小为.
16.解：（1）设表示事件“观众甲选中3号歌手”，表示事件“观众乙选中3号歌手”，则.
事件与相互独立，与相互独立，
则表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”.
.
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.
（2）设表示事件“观众丙选中3号歌手”，则，
依题意，相互独立，相互独立，且彼此互斥.
又.，
，
.
17.解：（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，
该市居民用水的平均数估计为：
；
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨.
18.解：平面平面，
又四边形是矩形，，
平面，
平面，
又是的中点，，
，所以平面
（2）解：底面是矩形，异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由（1）得平面平面，
平面为直角三角形，
又是的中点，，
在中，即为异面直线与所成角，故，
异面直线与所成角的正切值为.
（3）解：取中点为，连接，
在中，分别为线段的中点，故，
平面平面，
，
由（1）得平面平面，
，又，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1）由于，故，
则；
（2）设模为1的复数为，
则
由复数乘方公式可得
故；
（3）首先证明：
由于，则，则
，故，
则可得
，
，
所以
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知向量，若，则的值为（ ）
A.-6 B.-4 C.4 D.6
2.复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.边长为2的正三角形的直观图的面积是（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是（ ）
①已知为三条直线，若异面，异面，则异面；
②若不平行于平面，且，则内的所有直线与异面；
③两两相交且不公点的三条直线确定一个平面；
④若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则，三点共线.
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
6.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，则的最小值为（ ）
A.2 B.4 C. D.
8.某工业园区有共3个厂区，其中，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.给定一组数，则（ ）
A.平均数为3 B.标准差为
C.众数为2 D.分位数为5
10.有6个相同的小球，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件A：为偶数，为偶数，，则（ ）
A. B.与相互独立
C.与相互独立 D.与相互独立
11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ）
A.平面
B.直线与平面所成的角为
C.若点为棱上的动点，则的最小值为
D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图，某学校共有教师200人，按老年教师､中年教师､青年教师的比例用分层随机抽样的方法从中抽取一个60人的样本，则被抽到的青年教师的人数为__________.
13.拋两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别为，则能够构成三角形三边长的概率为__________.
14.在中，点分别在边和边上，且交于点，设.用表示为__________；若为上一动点且__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头处出发，航行到位于河对岸（与河的方向垂直）的正西方向并且与相距的码头处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小.
16.（本小题15分）在某电视节目中，有5位歌手（1到5号）依次登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手.
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“”的事件概率.
17.（本小题15分）为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.
（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.
18.（本小题17分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正切值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19.（本小题17分）任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即
，其中为虚数单位，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立.设两个复数用三角函数形式表示为：
，则：.
如果令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题.
（1）试将写成三角形式；
（2）试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；
（3）计算：的值.
2024年上学期期末质量监测参考答案（高一数学）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.B 2.D 3.A 4.C
5.B 6.A 7.C 8.B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.AD 10.ACD 11.AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.18 13. 14.；
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：如图，
，
，
合速度的方向与水流的方向成的角
设小货船的速度为，水流速度为，合速度为，则，
小船航行速度的大小为.
16.解：（1）设表示事件“观众甲选中3号歌手”，表示事件“观众乙选中3号歌手”，则.
事件与相互独立，与相互独立，
则表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”.
.
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是.
（2）设表示事件“观众丙选中3号歌手”，则，
依题意，相互独立，相互独立，且彼此互斥.
又.，
，
.
17.解：（1）由频率分布直方图可得
，
又，则，
该市居民用水的平均数估计为：
；
（2）由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；
（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，
即标准为5.8吨.
18.解：平面平面，
又四边形是矩形，，
平面，
平面，
又是的中点，，
，所以平面
（2）解：底面是矩形，异面直线与所成角即为直线与直线所成的角，
由（1）得平面平面，
平面为直角三角形，
又是的中点，，
在中，即为异面直线与所成角，故，
异面直线与所成角的正切值为.
（3）解：取中点为，连接，
在中，分别为线段的中点，故，
平面平面，
，
由（1）得平面平面，
，又，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，
故，
所以直线与平面所成角的正弦值为
19.解：（1）由于，故，
则；
（2）设模为1的复数为，
则
由复数乘方公式可得
故；
（3）首先证明：
由于，则，则
，故，
则可得
，
，
所以
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