山东省聊城第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份山东省聊城第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若复数是纯虚数,则Z的共轪复数( )
A.-1B.C.iD.1
2．如图所示的中,点D是线段上犁近A的三等分点,点E是线段的中点,则( )
A.B.C.D.
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是( )
A.B.C.D.
4．已知,是两个不共线的向量,,.若与是共线向量,实数k的值为( )
A.B.C.D.
5．在等腰中,,AD平分且与BC相交于点D,则向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6．下列命题正确的是( )
A.若a,b是两条直线,,是两个平面,且,则a,b是异面直线
B.四边形可以确定一个甲面
C.已知两条相交直线a,b,且平面,则b与的位置关系是相交
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
7．已知点O,N,P在所在平面内,且,,,则点O,N,P依次是的( )
A.重心,外心,垂心B.重心,外心,内心
C.外心,重心,垂心D.外心,重心,内心
二、多项选择题
8．中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是( )
A.B.
C.D.
9．如图,透明望料制成的长方体内灌进一些水,固定容器底面一边于水平地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度不同,其中正确的命题的是( )
A.没有水的部分始终呈棱柱形;B.水面所在四边形的面积为定值;
C.棱始终与水面所在平面平行;D.当容器倾斜如图（3）所示时,是定值.
10．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是：“以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实：一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有满足,且的面积,请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ）
A.的周长为B.三个内角A,B,C满足
C.外接圆的直径为D.的中线的长为
三、填空题
11．已知点,向旦,,点P是线段的三等分点,求点P的坐标__________.
12．如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么在,,,这四条线段中,有____________对异面直线？
13．如下图,在中,点O是的中点,过点O的直线分别交直线,于不同的两点M,N.设,,则________.
四、解答题
14．如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值.
15．如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积.
16．在复平面内,点A,B对应的复数分别是,（其中i是虚数单位）,设向量对应的复数为Z.
（1）求复数Z;
（2）求;
（3）若,且是纯虚数,求实数m的值.
17．如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东,B点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,试求：
（1）轮船D与观测点B的距离;
（2）救援船到达D点所需要的时间.
18．在等腰梯形中,,,,,,动点E,F分别在线段和上（不包含端点）,和交于点,且,.
（1）用向量,表示向量;
（2）求的取值范围;
（3）是否存在点E,使得.若存在,求;若不存在,说明理由.
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,当的三个内角均小于时,使得的点O即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,设点P为的费马点,求;
（3）设点P为的费马点,,求实数t的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：,
因为复数是纯虚数,
所以,
则,所以.
故本题正确答案为：C.
2．答案：B
解析：依题意.
3．答案：A
解析：直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，如图：
其中，高，
，
原图形的周长.
故选：A.
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：由余弦定理可知,
,,
AD平分且与BC相交于点D,是等腰三角形,
是中点,,
由图可知向量在上的投影向量为,
,,.
故选：B.
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：,则点O到的三个顶点距离相等,
O是的外心.,,
设线段AB的中点为M,则,由此可知N为AB边上中线的三等分点(靠近中点M),
所以N是的重心.
,.
即,同理由,可得.
所以P是的垂心.
故选：C.
8．答案：BC
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：或
解析：
12．答案：3
解析：如图所示：把展开图再还原成正方体,
由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得,,,,这四条线段所在直线是异面直线的有:
和,和,和,共三对,
故答案为：3.
13．答案：2
解析：
14．答案：
解析：M，N分别是BC，AC的中点，
，.
与的夹角等于，.
，
，
，
.
15．答案：表面积为，体积为
解析：设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，则，.
又可知圆柱母线长，圆锥母线长，
剩下几何体的表面积
.
剩下几何体的体积.
答：剩下几何体的表面积为，体积为.
16．答案：（1）
（2）
（3）-1
解析：（1）因为点A,B对应的复数分别是,,所以,,
所以,故.
（2）因为,所以
.
（3）因为,所以,
由是纯虚数,可知且,解得.
17．答案：（1）海里
（2）1小时
解析：（1）由D在A的北偏东,在B的北偏西,
,,,
由正弦定理得,
又,
代入上式得：（海里）,
答：轮船D与观测点B的距离为海里;
（2）中,海里,海里,,
,
,解得海里,（小时）,
答：救援船到达D所需的时间为1小时.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析:（1）因为,
所以.
又.
（2）,
因为,
所以
.
因为动点E,F分别在线段和上゙且不包含端点,所以,
所以,
所以的取值范围是.
（3）设,其中,
则,
因为,
由平面向量基本定理,得
解得,
由,得,故,
所以,解得,或.因为,所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三个角都小于,
则由费马点定义可知：,
设,,,由得：
,整理得,
则.
（3）点P为的费马点,则,
设,,,,,
则由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,,故,
当且仅当,结合,解得时,等号成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故实数t的最小值为.