苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训01情景探究题(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册期中期末满分冲刺卷特训01情景探究题(原卷版+解析)，共112页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般．研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．
(1)如图1，矩形中，，，将矩形绕点旋转，当经过点，连接，线段D的长度为______________．
(2)如图2，菱形绕点旋转，当与共线时，延长、交于点，判断四边形的形状并说明理由．
(3)如图3，将绕点旋转．
①当点落在边上时，小明发现点也恰好在直线上，王老师提供了如下思路，请完成此图表．
②若，，，连接，直接写出的长．
2．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
3．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图1，矩形的边在轴上，边在y轴上，点B的坐标为．D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处．
(1)如图1，当点E恰好落在y轴时，直接写出点D的坐标
(2)如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求点D的坐标．
(3)如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积．
4．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．
(1)如图2，四边形是矩形，，，则 ．
(2)如图3，四边形是平行四边形，，求证：四边形是菱形．
(3)已知如图，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述作图思路）
5．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，
①和的数量关系为___________．
②连接，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．
6．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的．通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图②）．
问题1：重叠部分的△ABC的形状___________（是、不是）等腰三角形．
问题2：如果长方形纸片的宽为cm，cm，重叠部分的面积为___________．
(2)折纸2：如图③，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上．请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置．
(3)折纸3：如图④，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
9．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
10．（2022秋·江苏·八年级期中）问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）
①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．
13．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为3正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点．
【探究1】当点是中点时如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．
【探究2】
(1)如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？______（填“是”或“否”）；
【探究3】
(3)连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
14．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）【问题背景】如图1，小正方形BEFG绕大正方形ABCD的顶点B旋转一周，其中，，．
(1)【问题探究】猜想AE与CG的数量关系是______，位置关系是______，请对上述猜想加以说明．
(2)如图2，当点E在正方形ABCD内，连接EC，若，，求线段AE长．
(3)【问题拓展】在旋转过程中，当C、E、F三点共线时，线段CF的长为______．
(4)如图3，连接DF，取DF中点M，连接EM，则线段EM的取值范围是______．
15．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
16．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=12，BC=5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．
(2)【思维运用】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．
(3)【问题拓展】如图3，AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作等腰三角形APC和等腰三角形PBE，点P、C、E在一条直线上，且AP=PC，PB=PE，∠BPE=60°．M、N分别是AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离的最小值为 ．（直接写出结果，不需要写过程）
17．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．
(1)[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
(2)等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．
求证：BO＝DO．
(3)[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．
①求证：∠BCE＝2∠DAC；
②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．
18．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
19．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时．
【理解】
(1)如图1，________；
(2)下列图形中一定是损矩形的是_________（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形是以为直径的损矩形，以为一边向外作菱形，点为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形是以为直径的损矩形，点为的中点，于点，若，则_______．
20．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
21．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
22．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________；
(5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______．
23．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……．
【实践探究】
（1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到．
【问题解决】
（2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值．
24．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为竖直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为L图形，记作L图形ABCDEF．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF，矩形GBCD，这两个矩形的对称中心，所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）．
【思考】如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】在L图形ABCDEF中，已知AB＝4，BC＝6．如图4，CD＝AF＝1
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
25．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形CEFG．
[方法提炼]
若点P、Q分别为BD、EG的中点，猜想线段PQ与线段AF有怎样的数量关系？并说明理由；
[类比探究]
如图2，将矩形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．连接BE、DG，点H为BE中点，线段CH与线段DG有怎样的数量关系？并说明理由；
[操作感知]
如图3，在矩形CEFG绕点C旋转的过程中，连接BE，点H为BE中点．若AB=3，BC=4，求△BDH面积的最大值．
26．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）【问题提出】
(1)如图1，将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得到折痕、，连接，则的度数为_______；
【问题解决】
(2)如图2，在正方形中，点E、F分别在边、上，保持的度数不变，将绕着点A顺时针旋转90°，得到，请写出、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)保持的度数不变，将图3中的正方形纸片沿对角线剪开得到图4，求证：．

【能力提升】
(4)如图5，保持的度数不变，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且，请直接写出线段、、之间的数量关系．
27．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
(1)尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是______；
结论2：MD、MF的位置关系是______；
(2)将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
28．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；
(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；
(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校考期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝，将△AMD绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到△ABE． 易证：，从而得．
【实践探究】
(1)如图②，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且，请你直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系___．
【拓展】
(2)如图③，正方形ABCD的边长为10，点P为边CD上一点，于E，Q为BP中点，连接CQ并延长交BD于点F，且，则PD的长为___．
特训01 情景探究题
一、解答题
1．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）数学活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究的路径是从特殊到一般．研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．
(1)如图1，矩形中，，，将矩形绕点旋转，当经过点，连接，线段D的长度为______________．
(2)如图2，菱形绕点旋转，当与共线时，延长、交于点，判断四边形的形状并说明理由．
(3)如图3，将绕点旋转．
①当点落在边上时，小明发现点也恰好在直线上，王老师提供了如下思路，请完成此图表．
②若，，，连接，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)四边形是菱形，理由见解析
(3)①图4中①为：②为：；②
【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质得，，，，，然后由勾股定理得，则 ，即可解决问题；
（2）先证四边形是平行四边形，再证，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（3）①连接，证四边形是平行四边形，得，再证、、共线，即可得出结论；
②过点作，交延长线于，证是等边三角形，得，，则，再证，即可解决问题．
【解析】（1）如图，
∵四边形是矩形，
，，，
由旋转的性质得：，，，，，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
（2）四边形是菱形，理由如下：
菱形绕点旋转，'与共线，
，，，，，
四边形是平行四边形，
，即，
在和中，
，
∴，
，
四边形是菱形；
（3）①如图3，连接，
由旋转的性质得：，，，
和都是等腰三角形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
四边形由四边形旋转而成，
四边形是平行四边形，
，
又，
、、共线，
图中①为：，图中②为：；
②如图，过点作，交延长线于，

，，
是等边三角形，
，，
，
由旋转的性质得：，，
，则，
在中，，，
，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质好旋转的性质是解题的关键．
2．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，，、、为铅直方向的边，、、为水平方向的边，点在、之间，且在、之间，我们称这样的图形为“图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的两部分，则称此直线为该“图形”的等积线．
(1)下列四副图中，直线是该“图形”等积线的是_________(填写序号)
(2)如图2，直线是该“图形”的等积线，与边、分别交于点、，过中点的直线分别交边、于点、，则直线 (填“是”或“不是”)该图形的等积线．
(3)在图3所示的“图形”中，，，．
①若，在下图中画出与平行的等积线l(在图中标明数据)
②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边、分别交于、，求的最大值；
③如果存在与水平方向的两条边、相交的等积线，则的取值范围为 ．
【答案】(1)①②③
(2)是
(3)①1；②；③
【分析】（1）如图，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，由此可直接进行判断；
（2）如图2，证明，根据割补法可得直线是图形的面积平分线；
（3）①如图4，先计算图形的面积，可得出矩形的面积，由此可得出的长；
②如图5，根据面积平分线可知梯形的面积为，根据面积公式列式可得的长，根据勾股定理可得的最大值；
③如图6，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，列不等式可得的取值．
【解析】（1）解：根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心所在直线是该图形的面积平分线，
∴直线是该“图形”等积线的是①②③；
故答案为：①②③；
（2）如图2，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
，
即，
直线是图形的等积线．
故答案为：是；
（3）①图形的面积，
延长交于点，
，
若是图形的面积平分线，且，点必然在线段上，如图所示，
矩形的面积，
，
②如图，当与重合时，最大，过点作于，
是图形的面积平分线，
梯形的面积，
即，
，
，
，
由勾股定理得：；
即的最大值是；
③在与水平方向的两条边、相交的等积线，
如图，直线将图形分成上下两个矩形，当上矩形面积小于下矩形面积时，延长交于，延长交于，
则，
即，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，并明确面积平分线的画法，并熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
3．（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图1，矩形的边在轴上，边在y轴上，点B的坐标为．D是边上一点（不与点A、B重合），将沿直线翻折，使点B落在点E处．
(1)如图1，当点E恰好落在y轴时，直接写出点D的坐标
(2)如图2，当点E恰好落在矩形的对角线上时，求点D的坐标．
(3)如图3，当以O、E、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)12或
【分析】（1）利用矩形的性质，求出点的坐标，得出的长即可求解；
（2）中，由勾股定理得：，即可求解；
（3）①当时，，则的面积；②当时，利用勾股定理得：，求出，进而求解．
【解析】（1）∵点B的坐标为，且四边形是矩形，
∴点的坐标分别为，
∴，
由折叠得，
∴
∴点D的坐标为
（2）∵点A的坐标为，点C的坐标为，
∴．
∴中，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵沿折叠，
∴，
∴，
设,则,
∵中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴点D的坐标为；
（3）过点E分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
①当时，
∵，
∴，
的面积；
②当时，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
即，
解得：，
则，
的面积；
故的面积为12或．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
4．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图1，是平行四边形对角线的交点，过点作，，垂足分别为，，若，我们称是平行四边形的心距比．
(1)如图2，四边形是矩形，，，则 ．
(2)如图3，四边形是平行四边形，，求证：四边形是菱形．
(3)已知如图，在中，，点、、分别在、、边上，若存在一个四边形是平行四边形，且，请通过尺规作图作出一个点．（不写作法，但保留作图痕迹；如若有必要，可简述作图思路）
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）由面积法可得，即可求解；
（2）由角平分线的性质可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论；
（3）如图4，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于Q，连接，并延长交于点F，则点F为所求点．
【解析】（1）解：∵四边形是矩形，
∴， ，
∵，，
∴，
∴ ，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（3）如图，以点C为圆心，为半径作弧，交于点D，作的垂直平分线交于，连接，并延长交于点F，则点F为所求点．
理由如下：过作交于，过作交于，连接，交于，过作于，过作于，
由作图可得：，而，
∴，，
由作图可得： 作的垂直平分线交于，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的判定，基本作图等知识，理解新定义，并运用是解题的关键．
5．（2021春·江苏无锡·八年级校考期中）折纸不仅是一项有趣的活动，也是一项益智的数学活动．今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看着折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．
实践操作，解决问题
(1)如图1，将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点．在图1中，
①和的数量关系为___________．
②连接，和的位置关系为___________
(2)若图1中的矩形变为平行四边形时（），如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由
(3)小敏沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形（如图3所示），沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小敏折叠的矩形纸片的长宽之比为 （写出所有可能情况）
(4)新题探究：
平行四边形中，，如图4所示，将沿对角线翻折，使点落在所在平面内，连接，当恰好为直角三角形时，的长度为___________．
【答案】(1)①；②
(2)结论①和结论②成立，见解析
(3)或
(4)或或或
【分析】（1）①根据折叠的性质以及矩形的性质得出，，根据平行线的性质得出，等量代换得出，根据等角对等边即可求解；
②根据折叠的性质以及①的结论得出，根据顶角相等的两个等腰三角形两底角相等得出，进而根据平行线的判定定理即可求解；
（2）根据（1）的方法进行证明即可求解；
（3）分两种情况讨论，当点与点不重合时，得出，继而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解，当点与点重合时，根据正方形的性质即可求解；
（4）分三种情况讨论，分别画出图形，结合（1）中的结论，根据含度角的直角三角形的性质，以及勾股定理即可求解．
【解析】（1）解：①∵将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内，边和相交于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②如图，
②∵折叠，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵，
∴，即
∴
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），，理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴
∵，
∴，即
∴
又∵，，
∴，
∴；
（3）解：当点与点不重合时，如图，
依题意，，，，
设，则，
∵
∴,
解得：，
∴，
在中，，
∴矩形纸片的长宽之比为，
当点与点重合时，如图，
此时是正方形，
∴矩形纸片的长宽之比为，
故答案为：或
（4）解：当时，如图，设与交于点，
由（1）可得，
∴,
在中，∵
∴，
∴；
如图，当时，由（1）可得，
∴,
∵折叠，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴
在中，，，
∴，，
∴；
如图，当时，
∵，
∴，
∵
∵四边形是平行四边形，
∴,，
∴，
∵折叠，
，，，
∴，
∴，
又，
∴
∵，
∴
又，
∴，
在中，，
∴，
∴；
如图，当时，同理可得
∴．
综上所述：的长度为或或或．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质矩形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
6．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）已知，正方形的边长为8，点P、G分别在射线、边上，连接，点B关于的对称点为Q，连接．
(1)如图1，取的中点E、F，连接，若点Q刚好落在线段上，且点P在线段FC上，则的度数不可能是下列选项中的______；（填序号）
①45°，②59°，③72°
(2)如图2，当点Q落在边上（不与点D重合）时，试判断点P是否一定在射线BC上点C的右侧，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，
①当时，求的长；
②若线段与相交于点N，连接，试探索点Q落在不同位置时，的度数是否发生变化，若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．
【答案】(1)③
(2)是，见解析
(3)①3；②的度数不变，且，见解析
【分析】（1）可推出，进而得出结果；
（2）作，可证得，进而得出结果；
（3）①作，交的延长线于E，连接，在中求得，进而求得的长，设，则，在中，由勾股定理列出方程求得结果；
②先证得，，进而证得，进而得出，进一步得出结果．
【解析】（1）解：如图1，
当点P在F点时，，
当点P在C点时，，
∴，
观察四个选项，不可能是③，
故答案为：③；
（2）解：如图2，
点P落在点C的右侧，理由如下：
连接，作于E，
∵点B和点Q关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴点P是否一定在射线上点C的右侧；
（3）解：①如图3，
作，交的延长线于E，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴；
②如图4，
不发生变化，理由如下：
作，
由（2）可知：，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数不发生变化．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
7．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们称长与宽之比为的矩形为“奇异矩形”，特别地，我们称长为，宽为1的矩形为“基本奇异矩形”，如图1所示，它的奇异之处在于：可以用若干个基本奇异矩形（互不重叠且不留缝隙地）拼成一般的奇异矩形，例如，图2中用2个基本奇异矩形拼成了一个奇异矩形．
(1)①请你在图3的虚线框中画出用4个基本奇异矩形拼成的奇异矩形（请仿照图1、图2标注必要的数据）；
②请你在图4的虚线框中画出用8个基本奇异矩形拼成的奇异矩形；
(2)若用K个基本奇异矩形可以拼成一般的奇异矩形，你发现正整数K有何特点？请叙述你的发现___________；
(3)①用32个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
②用256个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为___________；
③用n个基本奇异矩形拼成的奇异矩形，其对角线长为32，则___________．
【答案】(1)①见解析，②见解析
(2)若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
(3)①，②，③2048
【分析】（1）根据“奇异矩形”定义，可知“奇异矩形”必须满足长是宽的倍，依此规律可画出图形；
（2）根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形，
（3）由勾股定理可知：奇异矩形的宽、长、对角线之比为，由此规律即可解答
【解析】（1）解：①如图①，相关数据已标出，
图①中，长为，宽为2，
长：宽=；
符合奇异矩形的条件；
②图②中，长为4，宽为，
长：宽=，
符合奇异矩形的条件．
（2）解：根据观察，能够拼成奇异矩形，则都需要1个、2个、4个、8个基本奇异矩形，这些数据分别对应或需要个基本奇异矩形．
故答案为：若用k个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则或．
（3）解：①若用32个奇异矩形组成奇异矩形，
则长，宽=，此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理，，
故答案为：对角线为，
②若用256个基本奇异矩形拼成奇异矩形，则长=，宽，
此时满足奇异矩形的条件，
根据勾股定理： ，
故答案为：；
③根据规律可知：个基本矩形拼成的奇异矩形，长为，宽为，则对角线为，
∴
∴，
∴．
故答案为：2048．
【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、寻找规律的应用等知识点，较好的动手画图操作能力是解答本题的关键．
8．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）综合与实践：折纸中的数学
折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都广为流传的．通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)折纸1：如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图②）．
问题1：重叠部分的△ABC的形状___________（是、不是）等腰三角形．
问题2：如果长方形纸片的宽为cm，cm，重叠部分的面积为___________．
(2)折纸2：如图③，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上．请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置．
(3)折纸3：如图④，长方形纸片，，，若点为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
【答案】(1)问题1：是；问题；
(2)见解析；
(3)15．
【分析】（1）问题1：由折叠的性质知，，得到，即可求解；问题2：由的面积，即可求解；
（2）以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，即可求解；
（3）求出，证明，即可求解．
【解析】（1）解：问题1：如图②，设点是纸片下边上的点，
纸片为矩形，则，
，
由折叠的性质知，，
，
的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
问题2：过点作于点，则，
则，
则的面积，
故答案为：；
（2）解：以点为圆心，以长度为半径作圆交于点，作的角平分线，交于点，
作图过程如下：
（3）解：过点作于点，交于点，
由题意得：，
点恰好落在的垂直平分线上，故，
在中，，
，，则，则，
则，
，，
，
在中，，
解得：，
则．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．
9．（2022春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有ADB和ACB，此时；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在BC同侧有BAC和BDC，此时．
(1)【理解】
如图1，______；
(2)下列图形中一定是损矩形的是______（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，以AC为一边向外作菱形ACEF，点D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，点O为AC的中点，OG⊥BD于点G，若，则等于多少？
【答案】(1)∠ACD
(2)③
(3)正方形，理由见解析
(4)16
【分析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形；
（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，进而求得∠ACE=90°，从而推得结果；
（4）可推出OB=OD，进而推出△BOG是直角三角形，进一步求得结果．
（1）
在AD的同侧的∠ABD=∠ACD，
故答案为：∠ACD；
（2）
只有③是只有一组对角是直角的四边形，
故答案为：③；
（3）
四边形ACEF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEF是正方形；
（4）
∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵点O是AC的中点，
∴OB=AC，
∵中是的中点，
∴OD=AC，
∴OB=OD=BD，
∵点G是BD的中点，
∴OG⊥BD，
∴∠BOG=90°，
在中，
∴，
即，
∴，
故答案是为：16．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形，勾股定理，菱形的性质，正方形判定等知识，解决问题的关键是充分利用定义给出的结论．
10．（2022秋·江苏·八年级期中）问题初探
（1）如图，点，分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系．
聪明的小明是这样做的：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，由，得，即点、、共线，易证≌______故EF、、之间的数量关系为______．
类比探究
（2）如图，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请根据小明的发现给你的启示写出、、之间的数量关系，并证明．
联想拓展
（3）如图，在中，，点、均在边上，且，若，求的长．
【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3）
【分析】把绕点逆时针旋转至，使得与重合，证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案；
在上截取，连接，证明≌，得到，，再证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
把绕点逆时针旋转得，连接，根据的结论得出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解析】（1）解：把绕点逆时针旋转至，使得与重合，
则，，，
，即点、、在同一条直线上，
，，
，
，
在和中，
，
≌，

，
故答案为：；；
，
理由如下：在上截取，连接，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
（3）如图，把绕点逆时针旋转得，连接，
，，，，
，，
，，
，，
由可知，≌，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）【概念理解】若一条直线把一个图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线叫做这个图形的等积直线．如图1，直线经过三角形的顶点和边的中点，易知直线将分成两个面积相等的图形，则称直线为的等积直线．
(1)如图2，矩形对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，．
①求证：．
②请你判断直线是否为该矩形的等积直线．______．（填“是”或“不是”）
(2)【问题探究】如图3是一个缺角矩形，其中，小华同学给出了该图形等积直线的一个作图方案：将这个图形分成矩形、矩形，这两个矩形的对称中心，所在直线是该缺角矩形的等积直线．
如图4，直线是该图形的一条等积直线，它与边，分别交于点，，过的中点的直线分别交边，于点，，直线______（填“是”或“不是”）缺角矩形的等积直线．
(3)【实际应用】若缺角矩形是老张家的一块田地如图5．为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了灌溉方便，便想使每个儿子分得的土地都有一边和水井相邻，试问该如何分割这块土地？画出图形，并说明理由．
【答案】(1)①证明见解析；②是
(2)是
(3)沿直线分割这块土地即可满足题意，作图见解析
【分析】（1）①根据矩形性质，得到，利用平行线性质和对顶角相等得到，，判定，得到；②根据，，，结合梯形面积公式即可得到将矩形分成两个面积相等的梯形，得到结论；
（2）根据题意，MO＝NO，结合平行线性质得到∠PMO＝∠QNO，判定△POM≌△QON（ASA），得到，再根据MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，进而得到直线PQ是等积直线；
（3）由（1）（2）的方法可知，如图所示，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，过的直线即可将土地分成满足题意的情况．
（1）
①证明：矩形对角线，相交于点，
，
，
在和中，
，
，
；
②由①知，
在矩形中，，
，，
，即直线为矩形的等积直线，
故答案为：是；
（2）
解：是MN的中点，
∴MO＝NO，
在缺角矩形ABCDEF中，AFBC，
∴∠PMO＝∠QNO，
在△POM和△QON中，

∴△POM≌△QON（ASA），
∴，
又∵MN是等积直线，分缺角矩形的两部分面积相等，
∴PQ也分缺角矩形的两部分面积相等，即直线PQ是等积直线，
故答案为：是；
（3）
解：由（1）（2）的方法可知，找到缺角矩形的等积直线，取的中点，过点且与相交的直线均为缺角矩形的等积直线，如图所示：
连接并延长，直线过点且与相交，为缺角矩形等积直线，
如上图所示，沿直线分割这块土地即可满足题意．
【点睛】本题考查应用与设计作图，读懂题意，明确等积直线的画法，熟练掌握三角形的中线，矩形的性质，梯形的面积的求解是解题的关键．
12．（2022春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）实践操作：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF（点E、F是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
(1)初步思考：若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）
①当点P与点A重合时，∠DEF＝____°；当点E与点A重合时，∠DEF＝____°；
②当点E在AB上，点F在DC上时（如图②），求证：四边形DEPF为菱形，并直接写出当AP＝7时的菱形EPFD的边长．
(2)深入探究：若点P落在矩形ABCD的内部（如图③），且点E、F分别在AD、DC边上，请直接写出AP的最小值____．
(3)拓展延伸：如图④ ，若点F与点C重合，点E在AD上，线段BA与线段FP交于点M，AM=DE，则线段AE的长度为_________．
【答案】(1)①90，45②证明见解析，
(2)2
(3)
【分析】（1）①当点P与点A重合时，作出图形即可得出答案；当点E与点A重合时，由折叠的性质可知EF平分，易得∠DEF的度数；②设DP、EF交于点O，证明，可得，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可证明四边形DEPF为平行四边形，然后根据“对角线相互垂直”可得DEPF为菱形；当时，设菱形的边长为x，在中，由勾股定理可知，即有，求出x的值即可确定菱形的边长；
（2）当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠可知，由勾股定理可求得，所以，即AP的最小值为2；
（3）连接EM，先证明，可知，然后设，则，，，在中，由勾股定理可知，即，求出x的值即可获得答案．
（1）
解：①当点P与点A重合时，如下图，
则，，即EF是矩形ABCD的对称轴，
故；
当点E与点A重合时，点P在边AB上，
则．
故答案为：90，45；
②当点E在AB上，点F在DC上时，由折叠性质可知，EF垂直平分DP，
设DP、EF交于点O，如下图，
∴，，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形DEPF为平行四边形，
∵，
∴DEPF为菱形；
当时，设菱形的边长为x，则
，，
在中，
由勾股定理可知，
即有，
解得，
∴当时，菱形的边长为；
（2）
若点P落在矩形ABCD的内部，且点E、F分别在AD、DC边上，如下图，
当点F与点C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，
由折叠可知，，
由勾股定理可知，，
∴，
即AP的最小值为2；
（3）
如下图，连接EM，
∵，
又∵，
∴，
∴，
设，
则，，
∵，，
∴，
在中，
，
即，
解得，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．
13．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）某数学兴趣小组利用正方形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题．
四边形是边长为3正方形，点是射线上的动点，，且交正方形外角的平分线于点．
【探究1】当点是中点时如图1，发现，这需要证明与所在的两个三角形全等，但与显然不全等，考虑到点是的中点，取的中点，连接，证明与全等即可．
【探究2】
(1)如图2，如果把“点是边的中点”改为“点是边上（不与点、重合）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程，如果不成立，请说明理由；
(2)如图3，如果点是边延长线上的任意一点，其他条件不变，请你画出图形，并判断“”是否成立？______（填“是”或“否”）；
【探究3】
(3)连接交直线于点，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)成立，理由见解析
(2)是
(3)当点E在BC上时，；当点E在BC的延长线上时，
【分析】（1）截取BM=BE，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因为全等三角形的对应边相等，所以AE=EF．
（3）分两种情况构造全等三角形进行证明即可；
（1）
成立，理由是：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）
成立．证明：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE．
∴BN=BE，
∴∠N=∠NEC=45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE=45°，
∴∠N=∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
即∠DAE+90°=∠BEA+90°，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（3）
分两种情况：①点E在BC上时，延长CB到H，使，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∴∠
∴△
∴∠
又
∴∠
∴∠
∴∠
∴∠
∴∠
又
∴△
∴
∴
∴
②当点E在BC的延长线上时，在BC上截取BQ，使，如图，
同理可证：△
∴
∵∠
∴∠
由①知，∠
∴
∴
又
∴△
∴
又
∴
【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
14．（2022春·江苏盐城·八年级校考期中）【问题背景】如图1，小正方形BEFG绕大正方形ABCD的顶点B旋转一周，其中，，．
(1)【问题探究】猜想AE与CG的数量关系是______，位置关系是______，请对上述猜想加以说明．
(2)如图2，当点E在正方形ABCD内，连接EC，若，，求线段AE长．
(3)【问题拓展】在旋转过程中，当C、E、F三点共线时，线段CF的长为______．
(4)如图3，连接DF，取DF中点M，连接EM，则线段EM的取值范围是______．
【答案】(1)相等，垂直，说明见解析
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）延长AE交BC于点O，交CG于点H．由正方形的性质利用“SAS”易证(SAS)，即得出AE=CG，．再由对顶角相等得出 ，从而得出，即；
（2）连接EG，由正方形的性质得出，，即证明A、E、G三点共线．从而得出，再由AE=CG结合勾股定理即可求出答案；
（3）由C、E、F三点共线，可得出，再由勾股定理求出EC的长，从而利用计算即可；
（4）延长FE至点N，使EN=EF，连接BN，DN，BD，即可知EM为的中位线，得出．根据等腰直角三角形的判定和性质可得出．再求出，利用三角形三边关系即可确定，从而可求出的范围．
（1）
如图，延长AE交BC于点O，交CG于点H．
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=BC，BE=BG，，
∴，即，
∴(SAS)，
∴AE=CG，．
∵，
∴，即．
故答案为：相等，垂直；
（2）
如图，连接EG，
∵四边形BEFG是正方形，
∴，，
∴，即A、E、G三点共线．
由（1）可知AE=CG，，
∴，
∴；
（3）
如图，
∵C、E、F三点共线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（4）
如图，延长FE至点N，使EN=EF，连接BN，DN，BD
由所作辅助线和题意可知EM为的中位线，
∴．
∵四边形BEFG是正方形，
∴．
∵E为线段NF的中点，
∴．
∵四边形ABCD是正方形，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，等腰三角形的判定和性质以及三角形三边关系的应用等知识，综合性较强，较难．正确的作出辅助线是解题关键．
15．（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）【问题情境】
(1)同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点在的延长线上，以为一边构造正方形，连接和，如图所示，则和的数量关系为______，位置关系为______．
【继续探究】
(2)若正方形的边长为，点是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接、，如图所示，
①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点作，如图，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程．
【拓展提升】
(3)在（2）的条件下，点在边上运动时，利用图，则的最小值为______．
【答案】(1)，
(2)①结论：，，理由见解析，②
(3)
【分析】（1）由“”可证，可得结论．
（2）①延长，交于点，由“”可证，可得，由四边形内角和定理可求，可得结论．
②过点作，交延长线于点，由“”可证，可得，，由勾股定理可求解．
（3）说明点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，作点关于直线的对称点，连接，．在中，可得．根据求解即可．
（1）
解：如图1中，延长交于．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，，
，
，即，
，
故答案为：，．
（2）
解：①结论：，．
理由：如图，延长，交于点，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
．
②如图3，过点作，交延长线于点，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，
．
（3）
解：如图4中，
由（2）可知，，
点的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，
作点关于直线的对称点，连接，．
在中，，，，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题．
16．（2022春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=12，BC=5，点M是斜边AB上一动点，求线段CM的最小值．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：当CM⊥AB时，线段CM取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．
(2)【思维运用】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥BC于点E，求线段DE的最小值．
(3)【问题拓展】如图3，AB=8，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作等腰三角形APC和等腰三角形PBE，点P、C、E在一条直线上，且AP=PC，PB=PE，∠BPE=60°．M、N分别是AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离的最小值为 ．（直接写出结果，不需要写过程）
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据垂线段最短得到答案；
（2）根据勾股定理求出AB，根据矩形的性质得到CM=DE，仿照（1）的方法解答；
（3）连接PM、PN，根据三角形中位线定理、等腰三角形的性质求出∠MPN=90°，推出四边形PNHM是矩形，仿照（1）的方法解答即可．
（1）
解：当时，CM取得最小值，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB==13，
∵△ABC的面积=BC×AC=AB×CM，
∴CM==，
∴CM的最小值为；
（2）
解：如图2，连接CM，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵MD⊥AC，ME⊥BC，
∴∠DME=∠MEC=∠ACB=90°，
∴四边形DMEC是矩形，
∴CM=DE，
∴当CM⊥AB时，CM的值最小，
此时，△ABC的面积=BC×AC=CM×AB，
∴CM==，
∴DE的最小值为；
（3）
解：如图，连接MP、NP，延长AC交BE于H，连接PH，
∵M、N分别是对角线AC、BE的中点，AP=PC，PB=PE，∠BPE=60°，
∴∠APC=120°，
∴∠APM=∠CPM=∠APC=60°，∠BPN=∠EPN=∠EPB=30°，∠PNE=90°，∠PMC=90°，
∴∠MPN=60°+30°=90°，
∴四边形PNHM是矩形，
∴MN=PH，∠AHB=90°，
∴当PH⊥AB时，PH有最小值，
此时，∵∠HAB=30°，∠AHB=90°，
∴BH=AB=4，AH=BH=4，
∵PH⊥AB，∠HAB=30°，
∴PH=AH=2，
∴MN的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握菱形的性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
17．（2022春·江苏南通·八年级校考阶段练习）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做等面积四边形，这条对角线叫做等面积对角线．
(1)[概念理解]下列图形中，属于等面积四边形的是______．
A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的四边形
(2)等面积四边形的性质：在等面积四边形中，等面积对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明等面积四边形的性质，即：
如图1，已知：四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点O，△ABC与△ADC的面积相等．
求证：BO＝DO．
(3)[探究应用]如图2，已知四边形ABCD是等面积四边形，等面积对角线AC与对角线BD交于点E，AC﹣BC＝2CE．
①求证：∠BCE＝2∠DAC；
②若∠DAC＝30°，AD＝CD，求证：AC＝BD．
【答案】(1)A
(2)见解析
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得结论．
（2）如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．证明△DOM≌△BON（AAS），可得结论．
（3）①如图2中，在EA上取一点T，使得ET=EC，连接DT，BT．证明四边形BCDT是平行四边形，可得结论．②证明四边形BCDT是矩形，△BCE，△DET都是等边三角形，可得结论．
（1）
平行四边形属于等面积四边形．
故答案为：A；
（2）
如图1中，过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N．
∵S△ADC＝S△ABC，
∴，
∴DM＝BN，
∵∠DMO＝∠BNO，∠DOM＝∠BON，
∴△DOM≌△BON（AAS），
∴OD＝OB．
（3）
①证明：如图2中，在EA上取一点T，使得ET＝EC，连接DT，BT．
∵四边形是等面积四边形，AC是等面积对角线，
∴DE＝EB，
∵EC＝ET，
∴四边形BCDT是平行四边形，
∴BC＝DT，DTBC，
∴∠BCE＝∠DTE，
∵AC﹣BC＝2CE，
∴AC﹣2CE＝BC，
∴AC﹣CT＝AT＝BC，
∴TA＝TD，
∴∠DAC＝∠ADT，
∵∠DTE＝∠DAC+∠ADT，
∴∠BCE＝2∠DAC．
②如图2﹣1中，辅助线同①．
由①可知，∠ECB＝2∠DAC＝60°，
∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠DCA+∠BCE＝90°，
∵四边形BCDT是平行四边形，
∴四边形BCDT是矩形，
∴EC＝ET＝ED＝DB，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠CEB＝∠DET＝60°，
∴△DET是等边三角形，
∵TA＝DT，
∴AT＝ET＝EC＝DE＝BE，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等面积四边形的定义，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
18．（2022春·江苏南京·八年级校联考期中）数学问题：如图①，正方形ABCD中，点E是对角线AC上任意一点，过点E作，垂足为E，交BC所在直线于点F．探索AF与DE之间的数量关系，并说明理由．
(1)特殊思考：如图②，当E是对角线AC的中点时，AF与DE之间的数量关系是______．
(2)探究证明：
①小明用“平移法”将AF沿AD方向平移得到DG，将原来分散的两条线段集中到同一个三角形中，如图③，这样就可以将问题转化为探究DG与DE之间的数量关系．请你按照他的思路，完成解题过程．
②请你用与（2）不同的方法解决“数学问题”．
【答案】(1)
(2)①见解析 ②见解析
【分析】（1）根据正方形的性质和勾股定理即可解决问题；
（2）①延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG，证明四边形AFGD为平行四边形．从而证明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到 ，故可求解；
②作，并截取，连接AG，证明△DEG是等腰直角三角形，得到 ， 再证明，，，再得到四边形AGEF为平行四边形，则 AF＝EG．故可求解．
（1）
，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴AB2＝2DE2，
∵B点与F点重合，
∴AF2＝2DE2，
∴；
故答案为：．
（2）
①如下图，延长BC，作，交BC的延长线于点G，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，．
∵，，
∴四边形AFGD为平行四边形．
∴AF＝DG，AD＝FG．
∴FG＝CD．
∵，AB＝BC，
∴．
∴
∵．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∴．
②如图，作，并截取，连接AG、GE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴，CD＝AD．
∴
同理，．
∵，
∴．
又∵DG＝DE，
∴△DEG是等腰直角三角形
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，AG＝EC．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴四边形AGEF为平行四边形
．∴AF＝EG．
∴．
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，生活中的平移现象，关键是根据正方形与平行四边形的性质、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质解答．
19．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）【定义】只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边同侧的两个角是相等的．图1中：和有公共边，在同侧有和，此时；再比如和有公共边，在同侧有和，此时．
【理解】
(1)如图1，________；
(2)下列图形中一定是损矩形的是_________（填序号）；
(3)【应用】如图2，四边形是以为直径的损矩形，以为一边向外作菱形，点为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？并说明理由；
(4)如图3，四边形是以为直径的损矩形，点为的中点，于点，若，则_______．
【答案】(1)
(2)③
(3)四边形为正方形；理由见解析
(4)16
【分析】（1）在AD的同侧的∠ABD=∠ACD；
（2）只有③是只有一组对角是直角的四边形；
（3）可得∠ADC=∠ABD=45°，进而求得∠ACE=90°，从而推得结果；
（4）可推出OB=OD，进而推出△BOG是直角三角形，进一步求得结果．
（1）
解：在AD的同侧的∠ABD=∠ACD；
故答案为：∠ACD；
（2）
解：只有③是只有一组对角是直角的四边形，
故答案为：③；
（3）
解：四边形ACEF是正方形，理由如下：
∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC＝45°，
∴∠ADC=∠ABD=45°，
∵四边形ACEF是菱形，
∴∠ECF=∠ACD=45°，
∴∠ACE=90°，
∴四边形ACEF是正方形；
（4）
解：∵四边形ABCD是以AC为直径的损矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵点O是AC的中点，
∴OB=AC，
同理可得：OD=AC，
∴OB=OD=BD，
∵点G是BD的中点，
∴OG⊥BD，
∴∠BOG=90°，
∴OB2BG2=OG2=4，
∴（AC）2（BD）2=4，
∴AC2BD2=16，
故答案是为：16．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形，勾股定理，菱形的性质，正方形判定等知识，解决问题的关键是充分利用定义给出的结论．
20．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）【问题提出】
学习了平行四边形的判定方法（即“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”、“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”、“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）后，我们继续对“一组对边相等和一组对角相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在四边形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠C．然后，对∠A和∠C进行分类，可分为“∠A和∠C是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：如图①，当∠A＝∠C＝90°时，求证：四边形ABCD是矩形．
第二种情况：如图②，当∠A＝∠C＞90°时，求证：四边形ABCD是平行四边形．
第三种情况：如图③，当∠A＝∠C＜90°时，小明同学研究后认为四边形ABCD不一定是平行四边形，请在图中画出大致图形，并写出必要的文字说明．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接BD，证明Rt△ABD≌Rt△CDB，根据全等三角形的性质得到BC=AD，根据平行四边形的性质判定定理证明结论；
（2）别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，AE=CF，证明结论；
（3）以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，根据图形证明结论．
【解析】解：（1）证明：如图①，连接BD，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴BC=AD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）证明如图②，分别过点B、D作BE⊥AD交AD的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，
则∠E=∠F=90°．
∵∠DAB=∠BCD，
∴180°-∠DAB=180°-∠BCD，即∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF，AE=CF，
∵∠E=∠F=90°，BE=DF，
∴四边形EBFD是矩形，
∴ED=BF，
∴ED-AE=BF-CF．即AD=BC，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）如图③，以B为圆心，BD为半径作弧，交AD于D′，以B为圆心，BA为半径作弧交以D为圆心，AD′为半径的弧于A′，
则△ABD′≌△A′BD，
∴∠A=∠A′，
而四边形A′BCD不是平行四边形．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质以及尺规作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
21．（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在中，于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，且．若，，则正方形PQMN的边长等于______．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画，在AB上任取一点，画正方形，使，在BC边上，在内，连结并延长交AC于点N，画于点M，交AB于点P，于点Q，得到四边形PQMN．
(3)推理：如图3，若点E是BN的中点，求证：．
(4)拓展：在（2）的条件下，射线BN上截取，连结EQ，EM（如图4）．当时，猜想的度数，并尝试证明．
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
【答案】(1)
(2)能画出这样的正方形，理由见解析
(3)见解析
(4)∠QEM=75°，证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质得PN=MN，将，代入求解即可；
（2）先证明四边形PQMN是矩形，再证明PN=MN即可；
（3）根据正方形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，结合ASA证明△PNE和△EMQ全等，再根据全等三角形的性质即可证的结论；
（4）先证明△EMN为等边三角形，得到∠EMN=90°，则∠EMQ=30°，再根据等腰三角形的性质可得出答案．
（1）
解：∵四边形PQMN是正方形，
∴PN=MN，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）
解：能画出这样的正方形，理由为：
∵于点M，交AB于点P，于点Q，
∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，
∴四边形PQMN是矩形，
∵四边形是正方形，
∴
∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，
∴，，
∴，
∵P′N′= M′N′，
∴PN=MN，
∴四边形PQMN为正方形；
（3）
解：连接ME，
∵点E为BN的中点，∠NMB=90°，
∴ME=BE=NE，
∴∠EBM=∠EMQ，
∵，
∴∠EBM=∠PNE，
∴∠PNE=∠EMQ，
在△PNE和△EMQ中，
，
∴△PNE≌△EMQ（SAS），
∴EP=EQ；
（4）
解：∠QEM=75°，证明如下：
由（2）知，四边形PQMN是正方形，则∠NMB=90°，NM=MQ，
∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，
∴∠MNB=90°－30°=60°，
∵NE=NM，
∴△EMN为等边三角形，
∴ME=NM，∠EMN=60°，
∴ME=MQ，∠EMQ=30°，
∴∠QEM=（180°－30°）=75°．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
22．（2022春·江苏镇江·八年级统考期中）问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质清晰显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
【问题提出】如图1，点P是等边△ABC内的一点，PA=5，PB=12，PC=13．你能求出∠APB的度数吗？
【问题解决】如图2，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，可得△BPP′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，从而使问题得到解决．
(1)结合上述思路完成填空：PP′=________，∠APP′=________，∠APB=________；
(2)【类比探究】如图3，若点P是正方形ABCD内一点，PC=1，PB=2，PA=3，则∠CPB=________；
(3)如图4，若点P是正方形ABCD外一点，且PA=13，，PC=3，则∠CPB=_____；
(4)【深入探究】如图5，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=5，，PC=3，则∠CPB=________；
(5)如图6，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=12，AC=5，P为△ABC内部一点，连接PA、PB、PC，则PA+PB+PC的最小值是_______．
【答案】(1)12，90，150
(2)135
(3)45
(4)120
(5)13
【分析】（1）由旋转的性质可得BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，可证△BPP'是等边三角形，可得BP=PP'=12，∠BPP'=60°，由勾股定理逆定理可得∠APP'=90°，进而可求∠APB=150°；
（2）将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合；则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3，根据勾股定理得PP′2=22+22=8，再由P′C2=32=9，PC2=12=1可知P′C2=PP′2+PC2，可求∠P'PC=90°，即可求∠CPB=135°；
（3）将△BPA绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C，连接PP′，由旋转的性质可得∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，由等腰直角三角形的性质可得∠BPP'=45°，PP'2=BP2+BP′2=+=25，由勾股定理的逆定理可求∠CPP'=90°，即可得∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°；
（4）把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=，P′H=BH=2，得到P′P=2P′H=4，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，于是有∠BPC=∠BP′A=30°+90°=120°，问题得解；
（5）将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD，由旋转的性质可得∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，可证△APE是等边三角形，可得EP=AP，则AP+BP+PC=PB+EP+DE，当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD，由勾股定理可求解．
（1）
解：如图2，
∵将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，
∴BP=BP'=12，PC=P'A=13，∠PBP'=60°，
∴△BPP'是等边三角形，
∴BP=PP'=12，∠BPP'=60°，
∵P'A2=169，AP2+P'P2=25+144=169，
∴P'A2=AP2+P'P2，
∴∠APP'=90°，
∴∠APB=150°，
故答案为：12，90，150；
（2）
解：将△ABP绕点B按顺时针方向旋转90°，使AB与BC重合，过点A作AH⊥BP于H，连接PP′，
则∠PBP′=90°，BP′=BP=2，P′C=PA=3；
由勾股定理得：PP′2=22+22=8；
∵PC2=12=1，P′C2=32=9，
∴P′C2=PP′2+PC2，
∴∠P′PC=90°，
又∵∠BPP′=45°，
∴∠BP′C=135°，
∴∠CPB=∠BPP′+∠P′PC=135°，
故答案为：135；
（3）
解：将△BPA绕点B顺时针旋转90°，得到△BP′C，连接PP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP，AP=CP′=13，
在Rt△PBP'中，BP=BP'，
∴∠BPP'=45°，
根据勾股定理得，PP'2=BP2+BP′2=+=25，
∵CP=12，
∴CP2+PP'2=144+25=169，
∵CP'2=132=169，
∴CP2+PP'2=CP'2，
∴△CPP'是直角三角形，且∠CPP'=90°，
∴∠CPB=∠CPP'-∠BPP'=90°-45°=45°，
故答案为：45；
（4）
解：如图5．
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，
把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，
∴∠P′BP=120°，BP′=BP=，P′A=PC=3，∠BP′A=∠BPC，
∴∠BP′P=∠BPP′=30°，
过B作BH⊥PP′于H，
∵BP′=BP，
∴P′H=PH，
在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=，
∴BH=BP′=，P′H=BH=2，
∴P′P=2P′H=4，
在△APP′中，AP=5，PP′=4，AP′=3，
∵52=42+32，
∴AP2=PP′2+AP′2，
∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，
∴∠BP′A=30°+90°=120°，
∴∠CPB=120°．
故答案为：120；
（5）
解：将△ACP绕着点A逆时针旋转60°，得到△ADE，连接EP，BD，
∴△ACP≌△ADE，
∴∠CAP=∠DAE，AD=AC=5，∠CAD=∠PAE=60°，AE=PA，CP=DE，
∴△APE是等边三角形，
∴EP=AP，
∴AP+BP+PC=PB+EP+DE，
∴当点D，点E，点P，点B共线时，PA+PB+PC有最小值BD，
∵∠BAC=30°，
∴∠DBC=∠BAC+∠DAC=90°，
∴BD= =13，
故答案为：13．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
23．（2022春·江苏南通·八年级校联考期中）【阅读材料】如图1，通过观察，可以发现“绝对值函数”y=|x|的图象是轴对称图形，有最低点，而且增减性也很特殊……．
【实践探究】
（1）在图1中画出“绝对值函数”y=|x−3|的图象．写出该图象的两条性质，并根据图象判断：“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向_______平移_______个单位得到．
【问题解决】
（2）如图2，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，顶点C（3，3），D（−1，3），当“绝对值函数”y=|x−k|（k为常数）的图象有部分被矩形ABCD覆盖时，被覆盖的部分记作“图象W”，点P（m，n）是“图象W”上的一个动点．①当n的最大值为3时，求k的取值范围；②已知n的最小值为k+3，求满足条件的k的值．
【答案】（1）图见解析，性质：①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大（合理即可）；右，3；
（2）①或；②
【分析】（1）利用描点法画出图象即可；根据图象即可得出结论；
（2）①根据（1），分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，根据题意结合图象求解即可；②分k>3时，当−1≤k≤3时，当k<−1时，求解即可．
【解析】解：（1）当x=0时，y=3，当x=2时，y=1，
当x=3时，y=0，当x=4时，y=1，当x=5时，y=2，
则“绝对值函数”y=|x−3|的图象图象如图所示：
由图可知，“绝对值函数”y=|x−3|的图象①关于直线x=3对称；最低点（3，0）；②当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大．
“绝对值函数”y=|x−3|的图象可以由y=|x|的图象向右平移3个单位得到，
故答案为：右，3；
（2）①由（1）知，“绝对值函数”y=|x−k|的图象可以由y=|x|的图象向右或向左平移｜k｜个单位得到，由题意，分别画出“绝对值函数”y=|x−k|经过点C和点D的图象，如图所示：
由题意，当n的最大值为3时，点P在CD上，
由图可知，当n的最大值为3时，k的取值范围为−4②由题意，当k>3时，|3−k|=k+3，无解；
当−1≤k≤3时，k+3=0，k=−3舍去
当k<−1时，|−1−k|=k+3，k=−2．
综上，当n的最小值为k+3，满足条件的k=−2．
【点睛】本题考查一次函数与几何变换的综合、画函数的图象、绝对值，借助数形结合思想解决问题是解答的关键．
24．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝90°，AB，FE，DC为竖直方向的边，AF，ED，BC为水平方向的边，点E在AB，CD之间，且在AF，BC之间，我们称这样的图形为L图形，记作L图形ABCDEF．若直线将L图形分成面积相等的两个图形，则称这样的直线为该L图形的面积平分线．
【活动】小华同学给出了图1的面积平分线的一个作图方案：如图2，将这个L图形分成矩形AGEF，矩形GBCD，这两个矩形的对称中心，所在直线是该L图形的面积平分线．
请用无刻度的直尺在图1中作出其他的面积平分线（作出一种即可，不写作法，保留作图痕迹）．
【思考】如图3，直线是小华作的面积平分线，它与边BC，AF分别交于点M，N，过MN的中点O的直线分别交边BC，AF于点P，Q，直线PQ （填“是”或“不是”）L图形ABCDEF的面积平分线．
【应用】在L图形ABCDEF中，已知AB＝4，BC＝6．如图4，CD＝AF＝1
①该L图形的面积平分线与两条水平的边分别相交于点P，Q，求PQ长的最大值；
②该L图形的面积平分线与边AB，CD分别相交于点G，H，当GH的长取最小值时，BG的长为 ．
【答案】活动：见详解；思考：是；应用：①；②
【分析】活动：如图1，根据题意把原本图形分成左右两个矩形，这两个矩形的对称中心O1，O2所在直线是该L图形的面积平分线；
思考：如图2，首先证明△OQN≌△OPM（AAS），再根据割补法可得直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线；
应用：①先计算L图形ABCDEF的面积，根据面积平分线可知梯形CDQP的面积为，根据面积公式列式可得CH的长，根据勾股定理可得PQ的最大值；②当GH⊥AB时，GH最小，设BG＝x，根据面积相等列方程，解出即可；
【解析】解：【活动】如图1，直线O1O2是该L图形的面积平分线；
【思考】如图2，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴，
∴∠NQO＝∠MPO，
∵点O是MN的中点，
∴ON＝OM，
在△OQN和△OPM中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴直线PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
故答案为：是
【应用】①如图，当P与B重合时，PQ最大，过点Q作QH⊥BC于H，
L图形ABCDEF的面积＝4×6﹣（4﹣1）×（6﹣1）＝9，
∵PQ是L图形ABCDEF的面积平分线，
∴梯形CDQP的面积＝×（DQ+BC）×CD＝，
即×（DQ+6）×1＝，
∴DQ＝CH＝3，
∴PH＝6﹣3＝3，
∵QH＝CD＝1，
由勾股定理得：PQ＝＝＝；
即PQ长的最大值是；
②如图，当GH⊥AB时，GH最短，过点E作EM⊥AB于M，
设BG＝x，则MG＝1﹣x，
根据上下两部分面积相等可知，6x＝（4﹣1）×1+（1﹣x）×6，
解得x＝，
即BG＝；
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了应用与设计作图，矩形的性质和判定，四边形面积的平分，三角形全等的性质和判定等知识，熟练掌握矩形面积平分线是过对角线交点的性质是解题的关键．
25．（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图1，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形CEFG．
[方法提炼]
若点P、Q分别为BD、EG的中点，猜想线段PQ与线段AF有怎样的数量关系？并说明理由；
[类比探究]
如图2，将矩形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°<α<180°）．连接BE、DG，点H为BE中点，线段CH与线段DG有怎样的数量关系？并说明理由；
[操作感知]
如图3，在矩形CEFG绕点C旋转的过程中，连接BE，点H为BE中点．若AB=3，BC=4，求△BDH面积的最大值．
【答案】[方法提炼]AF=2PQ，理由见解析；[类比探究]DG=2CH，理由见解析；[操作感知]△BDH面积的最大值为．
【分析】[方法提炼]根据矩形的性质得点P是BD、AC的交点，点Q是CF、EG的交点，且AP=CP，CQ=EQ，根据三角形中位线定理即可得出结论；
[类比探究]延长CH到点N，使NH=CH，则四边形BNEC是平行四边形，证明△BNC≌△CDG，可得DG=CN，即可得出DG=2CH；
[操作感知]过点E作EN⊥BD于N，过点H作HM⊥BD于M，由题意可得点E的运动轨迹为以C为圆心，CD为半径的圆，则NE过圆心C时，NE最大，即HM的值最大，求出NE，可得HM的值，利用三角形的面积公式即可求解．
【解析】解：[方法提炼]AF=2PQ，理由如下：
连接AC，CF，
∵四边形ABCD是矩形，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形CEFG．
∴点P是BD、AC的交点，点Q是CF、EG的交点，且AP=CP，CQ=EQ，
∴PQ是△ACF的中位线，
∴AF=2PQ；
[类比探究]DG=2CH，理由如下：
延长CH到点N，使NH=CH，连接BN，NE，
∵点H为BE中点，NH=CH，
∴四边形BNEC是平行四边形，
∴ECBN，BN=EC，
∴∠NCE=∠BNC，
由旋转得：CD=CE，CG=BC，
∴CD=BN，
∵∠DCG+∠BCN+∠NCE=360°-∠BCD-∠ECG=360°-90°-90°=180°，
∠CBN+∠BCN+∠CNB=180°，
∴∠DCG=∠CBN，
∴△BNC≌△CDG（SAS），
∴DG=CN，
∵NH=CH，
∴DG=2CH；
[操作感知]过点E作EN⊥BD于N，过点H作HM⊥BD于M，
∴MHEN，
∵点H为BE中点．
∴MH是△BNE的中位线，
∴MH=NE，
由题意可得点E的运动轨迹为以C为圆心，CD为半径的圆，则NE过圆心C时，NE最大，即HM的值最大，
此时，点N、C、E在同一直线上，NE=CE+CN，
∴CE=CD=AB=3，
在Rt△BCD中，，
∴，
∴，
∴
∴△BDH面积的最大值．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键．
26．（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）【问题提出】
(1)如图1，将正方形纸片折叠，使边、都落在对角线上，展开得到折痕、，连接，则的度数为_______；
【问题解决】
(2)如图2，在正方形中，点E、F分别在边、上，保持的度数不变，将绕着点A顺时针旋转90°，得到，请写出、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)保持的度数不变，将图3中的正方形纸片沿对角线剪开得到图4，求证：．

【能力提升】
(4)如图5，保持的度数不变，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）由四边形是正方形得，由折叠得，，所以；
（2）由四边形是正方形，得，，由旋转得，，，，则点、、在同一条直线上，再证明，则，所以；
（3）将绕点顺时针旋转，得到，连接，则，先证明，则，再证明，得，则；
（4）将线段向两方延长，交的延长线于点，交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，，所以，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则，，，，，，可证明，则，，所以，得，再证明，得，即可推导出．
（1）
解：四边形是正方形，
，
由折叠得，，
，
故答案为：．
（2）
BE+DF=EF，
理由：如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABE=∠BAD=90°，
由旋转得BG=DF，AG=AF，∠ABG=∠D=90°，∠BAG=∠DAF，
∴∠ABE+∠ABG=180°，
∴点G、B、E在同一条直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
∵AE=AE，AG=AF，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
∵BE+DF=BE+BG=EG，
∴BE+DF=EF．
（3）
证明：如图4，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，连接MH，
∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠D=45°，
由旋转得∠ABH=∠D=45°，BH=DN，AH=AN，∠BAH=∠DAN，
∴∠MBH=∠ABD+∠ABH=90°，
∴BM2+BH2=MH2，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAH=∠BAM+∠BAH=∠BAM+∠DAN=90°-∠MAN=45°，
∴∠MAH=∠MAN，
∵AM=AM，AH=AN，
∴△MAH≌△MAN（SAS），
∴MH=MN，
∴BM2+DN2=MN2．
（4）
，
理由：如图5，将线段向两方延长，交的延长线于点，交的延长线于点，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
将绕点顺时针旋转，得到，连接、，
则，，，，，，
点在的延长线上，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，AH=AF，
，
，
，
．
【点睛】此题考查正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．
27．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACFG和正方形BCDE，连接GE，点M是GE的中点，连接MD、MF．
(1)尝试探究：
结论1：MD、MF的数量关系是______；
结论2：MD、MF的位置关系是______；
(2)将图1中的正方形BCDE绕点C按顺时针方向旋转．
①如图2，当点B恰好落在边FC的延长线上，连接GE，点M是GE的中点，连接MD，MF，请问（1）中的两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋转过程中，当D，E，F三点在一条直线上时，请直接写出ME的长．
【答案】(1)MF＝MD，MF⊥MD
(2)①仍然成立，详见解析；②ME＝或
【分析】（1）延长DM交GF于点H，证△GMH△EMD，得到MH＝MD，DE＝GH，进而推出HF＝DF，得到△HFD是等腰直角三角形，再结合三线合一和直角三角形斜边中线性质即可得到结论．
（2）①延长DM交AG的延长线于N，连接NF，DF，证△DME△NMG得到NG＝DE，再证△GFN△CFD得到∠GFN＝∠CFD，进而推出△DFN是等腰直角三角形，再结合三线合一和直角三角形斜边中线性质即可得到结论．②分情况讨论并作出图形，结合前面得到的结论，利用勾股定理可求得ME的长．
【解析】（1）如图1，延长DM交GF于点H，
∵GFDE，
∴∠GHM＝∠MDE，∠HGM＝∠MED，
∵M是GE的中点，
∴GM＝ME，
∴△GMH△EMD（ASA），
∴MH＝MD，DE＝GH，
∵四边形ACFG为正方形，
∴DE＝CD，
∴CD=GH，
∵GF＝CF，CD=GH，
∴GF﹣GH＝CF﹣CD，即HF＝DF，
∴△HFD是等腰直角三角形，
又∵MH＝MD，
∴MF⊥MD，MF＝MD；
答案为：MF＝MD，MF⊥MD；
（2）①仍然成立，如图2，延长DM交AG的延长线于N，连接NF，DF，
在正方形BCDE中，DEBC，CD＝DE，
在正方形ACFG中，AGBF，CF＝GF，
∴AGDE，
∴∠MED＝∠MGN，
∵点M是线段GE的中点，
∴GM＝EM，
∵∠DME＝∠NMG，
∴△DME△NMG（ASA），
∴NG＝DE，MN＝MD，
∵CD＝DE，
∴NG＝CD，
∴△GFN△CFD（SAS），
∴NF＝DF，∠GFN＝∠CFD，
∴∠GFN+∠CFN＝∠CFD+∠CFN，
即∠CFG＝∠DFN，
∵∠CFG＝90°，
∴∠DFN＝90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
∵MN＝MD，
∴MF＝MD，MF⊥MD；
②如图3，当D点在线段EF上时，
过点E作EP⊥MD交延长线于P，
∵FM＝MD，FM⊥MD，
∴FD＝MD，∠MDF＝45°，
∵AC＝2，BC＝2，
∴在Rt△FCD中，FD＝，
∴MD＝3，
在Rt△DEP中，，
∴DP＝PE＝，
∴MP＝MD+DP＝4，
在Rt△MPE中，ME＝；
如图4，当E点在线段DF上时，
过M作MQ⊥DF交于Q，
∵MD＝MF，MD⊥MF，
∴MQ＝DF，
在Rt△CDF中，DF＝6，
∴FQ＝DQ＝MQ＝3，
∴EQ＝DQ-DE＝3﹣2＝1，
在Rt△MEQ中，ME＝＝；
综上所述：ME＝或．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质、直角三角形勾股定理、分类讨论、数形结合是解题的关键．
28．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，点，点．
操作发现：以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．
(1)如图，当点落在边上时，求点的坐标；
(2)继续探究：如图，当点落在线段上时，与交于点，求证：；
(3)拓展探究：如图，点是轴上任意一点，点是平面内任意一点，是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，，再根据旋转的性质得到，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，由此即可得；
（2）先根据旋转的性质得到，，从而可得，再利用定理即可得证；
（3）分三种情况讨论：①当四边形为菱形时；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时，利用菱形的性质求解即可得．
【解析】（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵矩形是由矩形旋转得到，
∴，
在中，，
∴，
∴．
（2）证明：四边形是矩形，
，
点在线段上，
，
由旋转的性质得：，
在和中，，
∴．
（3）解：存在，求解过程如下：
设点的坐标为，点的坐标为，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当四边形为菱形时，
则，
，
解得或，
当时，点的坐标为，
菱形的对角线互相平分，
，解得，
即此时点的坐标为；
当时，点的坐标为，
菱形的对角线互相平分，
，解得，
即此时点的坐标为；
②如图，当四边形为菱形时，
菱形的对角线互相垂直且平分，
点与点关于轴对称，
，
；
③如图，当四边形为菱形时，
菱形的对角线互相平分，
，解得，
，
又四边形为菱形，
，
，即，
解得，
则此时点的坐标为，
综上，存在点使以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定、旋转的性质、菱形的性质、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
29．（2022春·江苏连云港·八年级统考期末）【问题情境】（1）小明在学习过程中遇到这样的一道试题：
如图，正方形的边长为2，为边上一动点． ，垂足为，求证：．
请你帮助小明完成证明；
【问题探究】（2）小明在“问题情境”的基础上继续探究． 如图2，点在的延长线上，且满足． 连接，，．
①求证：；
②判断、的数量关系，并说明理由；
【问题探究】（3）在（2）的基础上，如图3，若为的中点，直接写出的最小值为_________．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形的性质可得，由，根据三角形内角和定理可得，根据等角对等边即可求解；
（2）①根据已知条件证明，可得；②连接，证明，可得，进而可得，证明是等腰直角三角形，可得，等量代换即可证明；
（3）连接，，则，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，即可求解．
【解析】（1）证明：∵正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①由（1）知，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
②．
理由如下： 如图，连接，
∵，
∴，
∴，，
又，
∴．
由（1）知，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，，
，
∴当三点共线时，取得最小值，
正方形的边长为,为的中点，则中，，
，即的最小值为，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
30．（2022春·江苏苏州·八年级苏州市平江中学校校考期中）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝，将△AMD绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到△ABE． 易证：，从而得．
【实践探究】
(1)如图②，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且，请你直接写出线段BE，EF，FD之间的数量关系___．
【拓展】
(2)如图③，正方形ABCD的边长为10，点P为边CD上一点，于E，Q为BP中点，连接CQ并延长交BD于点F，且，则PD的长为___．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，将△ADF让点A顺时针旋转90度得到△ABG，先证明GBE=90°，得到，然后证明△EAG≌△EAF得到EF=GE，即可证明；
（2）如图所示，连接QE，CE，先证明ED=DP，再证明QE=QB=QP=QC，推出∠EQP=2∠DBP，∠PQC=2∠CBP，从而证明△CQE为等腰直角三角形，则∠ECF=45°，再根据（1）可知，可设，则，推出，则，据此求解即可．
【解析】（1）解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，AD=AB，
如图所示，将△ADF让点A顺时针旋转90度得到△ABG，
由旋转的性质得AG=AF，∠BAG=∠DAF，∠ABG=∠ADF=45°，BG=DF，
∴∠GBE=∠ABG+∠ABE=90°，
∴，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=45°=∠EAF，
又∵AG=AF，AE=AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EF=GE，
∴；
（2）解：如图所示，连接QE，CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCP=90°，∠DBC=45°，
∵PE⊥BD，
∴∠PEB=∠PCB=90°，
∴∠EPD=∠EDP=45°，
∴ED=DP，
∵Q为BP的中点，
∴QE=QB=QP=QC，
∴∠QEB=∠DBE，
∴∠EQP=2∠DBP，
同理∠PQC=2∠CBP，
∴∠CQE=∠PQE+∠PQC=2∠DBP+2∠CBP=90°，
∴△CQE为等腰直角三角形，
∴∠ECF=45°，
将△DCE绕点C逆时针旋转90°得到△BCG，连接FG，则∠ECG=90°，EC=EG，∠CBG=∠CDE=45°，
∴同（1）原理可证，
∵，
∴可设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．