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苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训11期末解答压轴题(Ⅱ)代数题综合(原卷版+解析)
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这是一份苏科版七年级数学下册满分冲刺卷特训11期末解答压轴题(Ⅱ)代数题综合(原卷版+解析)，共59页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若 ，则将e的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．
(1)若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是，，3，5，则线段，的相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ；
(2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度为，求s的值；
(3)设数轴上点P表示的数是p，若线段，的相对离散度为e，请用含p的代数式表示e.
2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
3．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？
【回顾】
小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案）
【探究】
小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目.
由得，则，
由，，得关于x的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到x的取值范围为 ，
则w的取值范围是 .
【应用】
（1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围；
（2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）；
【拓展】
若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 .
4．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；
(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）
5．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），已知正方形CEFH的边长为a，长方形ABCD的宽为b，长为c（b＜a＜c）．
(1)写出a，b，c之间的等量关系；
(2)若长方形ABHG的周长记作C1，长方形DEFG的周长记作C2．
①求C1+C2的值（用含a、c的代数式表示）；
②若关于c的不等式C1+C2＜10﹣2c的正整数解只有2个，求a的取值范围；
(3)若长方形ABHG的面积记作S1，长方形DEFG的面积记作S2，试比较2S2与S1的大小，并说明理由．
6．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
7．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）【阅读感悟】
不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式．
【概念理解】
(1)下列属于同解不等式的是______；
①与；②与；③与；④与．
【问题解决】
(2)解不等式：；
【拓展延伸】
(3)不等式的解是______．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）对于数x，我们用(x]表示小于x的最大整数，如：(2.6]=2，(-3]=-4．
(1)填空：(-2021]= ，(0.7]= ．
(2)如果a、b都是整数，(a]和(b]互为相反数，求代数式 a2−b2+4b 的值；
(3)如果|(x]|=2，请直接写出x的取值范围．
9．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）疫情当前，每一个中国人都应该挺身而出，为战胜疫情而努力付出．疫情期间，某口罩生产企业为战胜疫情尽一份力，决定在原有生产机器的基础上，增加生产力度，再购进6台机器用于扩大生产某种型号口罩．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产该型号口罩的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
(1)按照企业要求可以有几种购买方案？
(2)如果该企业共购进了6台机器，同时要求日生产能力不能低于400万个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
10．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）对于有理数，规定新运算
例如，因为，所以．
(1)计算：；
(2)若，求；
(3)记，，判断和的大小关系，并说明理由．
11．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂、两种不同型号货厢50节
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节型货厢的运费是0.5万元，一节型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．
②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：_______．
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．
14．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．
(1)当时，如果购买甲、乙两种树苗公用27000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，其中甲种树苗买了棵．
①写出与满足的关系式；
②要使这批树苗的成活率不低于，求的最大值．
15．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
16．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．
（2）若图1中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
17．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）某商家线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A、B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如下表：
该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完．
(1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1520元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？
(2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？
(3)经市场调研，甲种纪念品热销．为了提高乙种纪念品的销量，要保证乙种纪念品每天的销量不低于60件，且每天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润不少于1760元，则甲种纪念品每天的销量最多是_____件．
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
19．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点．钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t．
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
并分别求出一期和二期的开采天数．
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出．由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值．
20．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？
如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝ ．
21．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．颜主任准备购买、两种奖品共个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，问：
(1)、两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）
(2)种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）
(3)在购买方案中最少费用是______元．
22．（2022春·江苏苏州·七年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
23．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空：
①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，在长方形中，，，点E，F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
24．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）先阅读下面材料，再解答：
例题：解一元二次不等式．
解：因为，所以．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有①或②
解不等式组①，得．
解不等式组②，得．
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
(1)求的解集；
(2)已知，求的解集．
25．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
26．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）题目：已知关于x、y的方程组，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.
问题解决：
(1)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因为3x＋3y＝18，则a值为________；
(2)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n，得，再将③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，……，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
(3)已知关于x、y的不等式组，若x＋5y＝2，求a的取值范围．
27．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）规定符号f（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，f（x）＝1（质数：是指除了本身和1之外，再没有其他因数的数）．
②对于任意两个正整数m和n，f（m•n）＝mf（n）＋nf（m）．
例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）＋3f（2） ＝2×1＋3×1＝5．
（1）直接写出f（3）＝ ，f（4）＝ ．
（2）求f（18）和f（24）的值；
（3）求满足不等式组的x的值．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）某商场的运动服装专柜，对两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
（1）问两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
29．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
30．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车．如果租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆（甲、乙都有租），请帮助旅行社设计租车方案；
②出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车（三种车都有租），出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
31．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
32．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）
33．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…
（2）请你也提出一个合理的猜想： 【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（万个）
100
60
①
∵
∴．
故当时代数式的最小值为-2
②
∵
∴
故当时代数式的最大值为4
信 息1．甲种树苗每棵60元；
2．乙种树苗每棵90元；
3．甲种树苗的成活率为；
4．乙种树苗的成活率为．
甲纪念品单件利润
乙纪念品单件利润
方案A
12
20
方案B
18
16
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
二期
1920+330
50%+10%
第一次
第二次
品牌运动服装数/件
20
30
品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
ax2+bx+3
…
0
3
4
…
特训11 期末解答压轴题（Ⅱ）代数题综合
一、解答题
1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若 ，则将e的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．
(1)若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是，，3，5，则线段，的相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ；
(2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度为，求s的值；
(3)设数轴上点P表示的数是p，若线段，的相对离散度为e，请用含p的代数式表示e.
【答案】(1)；
(2)s的值为或6
(3)当P在原点左侧， ；当P在原点右侧，
【分析】（1）先计算中点，再根据公式计算即可得到答案；
（2）设线段，的中点为L，K，分别计算出中点，根据公式建立方程，解方程即可得到答案；
（3）分别根据P在原点左和右侧两种情况展开讨论，根据公式建立等式即可得到答案．
【解析】（1）解：线段的中点为，的中点表示的数为，
∴，
∴，
∵线段，的中点表示的数都是1，
∴，
故答案为：；；
（2）解：设线段，的中点为L，K，
∵数轴上点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数为2，
∴，．
∴点L，K在数轴上表示的数为，1，
∴．
∵线段，的相对离散度为，
∴ ，
∴，
解得：或．
（3）解：当P在原点左侧时，，，
的中点表示的数为，的中点表示的数为1
∴，
∴，
当P在原点右侧，，，
的中点表示的数为，的中点表示的数为1
∴，
∴．
【点睛】本题考查数轴上的点、两点的中点和距离，解题的关键是根据题意建立等式．
2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①或者；②-4
(2)
(3)-2或0
【分析】（1）根据题意直接写出①的解；②加减消元法求出方程组的解，再代入，求出m的值．
（2）当m每取一个值时，这些方程有一个公共解，就是与m的取值无关，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．
（3）当n=3时方程组，结合方程组有整数解且m为整数，求出满足条件的m的值，再求出对应的方程组的解．
【解析】（1）①或
②由题意得
由①－②得:y=1
把y=1代入①得:x=1
方程组的解是
把代入中得：1-2+ m=-5
∴m= -4
∴m的值为 -4．
（2）∵x−2y＋mx＝−5
∴(m+1)x−2y＝−5
∵当m每取一个值时，这些方程有一个公共解
∴x=0
∴−2y＝−5
∴
是这些方程有公共解
（3）当n=3时方程组为
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴5+2m=±1或5+2m=±5
当5+2m=1时，即 m= -2，方程组的解为
当5+2m=-1时，即 m= -3，方程组的解为
当5+2m=5时，即 m= 0，方程组的解为
当5+2m= -5时，即 m= -5，方程组的解为
综上所述整数m的值为-2或0．
【点睛】此题考查了如何解二元一次组，解题的关键是根据条件确定m的取值．
3．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？
【回顾】
小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案）
【探究】
小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目.
由得，则，
由，，得关于x的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到x的取值范围为 ，
则w的取值范围是 .
【应用】
（1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围；
（2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）；
【拓展】
若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 .
【答案】0＜y＜3；；-2≤x＜3；-4≤w＜6；（1）-2＜t＜8；（2）2n+3；6
【分析】回顾：利用不等式的基本性质求出0＜x+1＜3，即可求解；
探究：根据所给材料的过程进行解题即可；
（1）由题意得t＝4+2b，则关于b的一元一次不等式组 ，求出﹣3＜b＜2，即可求﹣2＜t＜8；
（2）由题意可得关于a的一元一次不等式组 ，解得1＜a≤n+1，设t＝2a+b＝3a﹣n，求出3﹣n＜t≤2n+3，即可求t的最大值；
拓展：
由题意分别求出x＝2y+4，z＝3y+6，则关于y的不等式组为 ，解得﹣2＜y≤1，可得m＝﹣y+2，求出1≤m＜4，可知m＝1，2，3，则m所有可能的值的和为6．
【解析】【回顾】∵﹣1＜x＜2，
∴0＜x+1＜3，
∵y＝x+1，
∴0＜y＜3，
故答案为：0＜y＜3；
【探究】由题意可得 ，
解不等式组可得：﹣2≤x＜3，
∵w＝2x，
∴﹣4≤w＜6，
故答案为：，﹣2≤x＜3，﹣4≤w＜6；
（1）由a﹣b＝4得a＝4+b，
∴t＝a+b＝4+b+b＝4+2b，
∵a＞1，b＜2，
∴关于b的一元一次不等式组，
解该不等式组得﹣3＜b＜2，
∴﹣2＜t＜8；
（2）∵a﹣b＝n，
∴b＝a﹣n，
∵a＞1，b≤1，
∴关于a的一元一次不等式组 ，
解得1＜a≤n+1，
设t＝2a+b＝2a+a﹣n＝3a﹣n，
∴3﹣n＜t≤2n+3，
∴2a+b的最大值为2n+3，
故答案为：2n+3；
【拓展】∵3x＝6y+12，
∴x＝2y+4，
∵6y+12＝2z，
∴z＝3y+6，
∴关于y的一元一次不等式为 ，
解得﹣2＜y≤1，
∵m＝2x﹣2y﹣z＝2（2y+4）﹣2y﹣（3y+6）＝﹣y+2，
∴1≤m＜4，
∵m为正数，
∴m＝1，2，3，
∴m所有可能的值的和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，理解阅读材料，并能灵活应用阅读材料的方法解题是关键．
4．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；
(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和即可得；
（2）方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和；方法二；图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；
（3）方法一：利用直角梯形的面积公式求出这个图形的面积；方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，由此建立等式，并利用完全平方公式进行化简即可得．
【解析】（1）解：由图可知，大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和，
则，
故答案为：．
（2）解：方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和，即，
方法二：图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即，
则可以得到的乘法公式为，
故答案为：．
（3）解：方法一：这个图形是一个直角梯形，它的面积为，
方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即，
则，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积、乘法公式与图形面积，熟练掌握整式的乘法与乘法公式是解题关键．
5．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），已知正方形CEFH的边长为a，长方形ABCD的宽为b，长为c（b＜a＜c）．
(1)写出a，b，c之间的等量关系；
(2)若长方形ABHG的周长记作C1，长方形DEFG的周长记作C2．
①求C1+C2的值（用含a、c的代数式表示）；
②若关于c的不等式C1+C2＜10﹣2c的正整数解只有2个，求a的取值范围；
(3)若长方形ABHG的面积记作S1，长方形DEFG的面积记作S2，试比较2S2与S1的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)①，②；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据长方形ABHG与正方形DEFG的周长相等，构建关系式即可解决问题；
（2）①用b，c，a表示上述出矩形的周长，相加即可；
②把的值代入得到关于c的不等式，求出c的取值范围，其正整数解只有2个，得到关于a的不等式，解出即可得到a的取值范围；
（3）利用求差法比较大小即可．
（1）解：∵长方形ABHG和正方形DEFG周长相等，∴，∴；
（2）解：①∵长方形ABHG的周长记作，长方形DEFG的周长记作＝2（2a－b），∴；②∵，∴，∴c＜,∵c的正整数解只有2个，∴，解得： ，∴a的取值范围是；
（3）解：．理由：∵，，∴．∵，∴，∴，∵b＜a＜c，∴a－b＞0，∴＞0，∴．
【点睛】此题考查了长方形和正方形的面积与周长、解含有参数的一元一次不等式、作差法比较大小、整式的加减、整式的乘法、因式分解等知识，熟练掌握整式的运算法则和一元一次不等式的解法是解题的关键．
6．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)4≤k＜8
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“相依方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（1）解：①x﹣3＝0，解得：x＝3，②3x+2＝x，解得：x＝﹣1，③2x﹣10＝0，解得：x＝5，，∴原不等式组的解集为：2＜x≤5，∴不等式组的“相依方程”是：①③，故答案为：①③；
（2），解不等式①得：x＞−1，解不等式②得：x≤1，∴原不等式组的解集为：−1＜x≤1，2x+k＝6，解得：，∵关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，∴−1＜≤1，解得：4≤k＜8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
7．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）【阅读感悟】
不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式．
【概念理解】
(1)下列属于同解不等式的是______；
①与；②与；③与；④与．
【问题解决】
(2)解不等式：；
【拓展延伸】
(3)不等式的解是______．
【答案】(1)④
(2)≤3
(3)或
【分析】（1）根据同解不等式的定义即可判断；
（2）根据同解不等式的定义转化即可解答；
（3）将其转化成同解不等式即可解答．
(1)
解：根据同解不等式的定义可知，
①与，故选项错误；
②与，故选项错误；
③与且，故选项错误 ；
④与，选项正确．
故选：④；
(2)
解：等价转化为不等式组
①或②；
不等式组①无解，不等式组②的解为：，
不等式的解为；
(3)
解：等价转化为不等式组
①或②，
等价转化为不等式组
③或 ④，
不等式组③无解，不等式组④的解为： ，
的解为；
等价转化为不等式组
⑤或 ⑥，
不等式组⑤的解为 ，不等式组⑥的解为： ，
的解为或，
不等式组①的解为：或，不等式组②无解，
不等式的解为或．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）对于数x，我们用(x]表示小于x的最大整数，如：(2.6]=2，(-3]=-4．
(1)填空：(-2021]= ，(0.7]= ．
(2)如果a、b都是整数，(a]和(b]互为相反数，求代数式 a2−b2+4b 的值；
(3)如果|(x]|=2，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)−2022；0；
(2)4
(3)−2＜x≤−1或2＜x≤3．
【分析】（1）根据（x]表示的意义并结合有理数的大小比较求解；
（2）根据a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，得到a＋b＝2，进而代入求值即可；
（3）根据绝对值的意义分x＜0或x＞0两种情况进行解答．
(1)
解：由题意可得：（−2021]＝−2022，（0.7]＝0，
故答案为：−2022；0；
(2)
∵a，b都是整数，
∴（a]＝a−1，（b]＝b−1，
而（a]和（b]互为相反数，
∴a−1＋b−1＝0，即a＋b＝2，
∴＝（a＋b）（a−b）＋4b
＝2（a−b）＋4b
＝2a−2b＋4b
＝2a＋2b
＝2（a＋b）
＝2×2
＝4，
∴代数式的值为4；
(3)
当x＜0时，
∵|（x]|＝2，
∴（x]＝−2，
∴−2＜x≤−1，
当x＞0时，
∵|（x]|＝2，
∴（x]＝2，
∴2＜x≤3，
综上，x的取值范围为−2＜x≤−1或2＜x≤3．
【点睛】本题考查新定义，绝对值的意义和有理数的大小比较，理解新定义内容的意义，注意分类讨论思想解题是关键．
9．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）疫情当前，每一个中国人都应该挺身而出，为战胜疫情而努力付出．疫情期间，某口罩生产企业为战胜疫情尽一份力，决定在原有生产机器的基础上，增加生产力度，再购进6台机器用于扩大生产某种型号口罩．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产该型号口罩的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
(1)按照企业要求可以有几种购买方案？
(2)如果该企业共购进了6台机器，同时要求日生产能力不能低于400万个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【答案】(1)3种
(2)甲1台，乙5台
【分析】（1）根据题意，列出不等式，进而找出购买方案；
（2）由（1）得，根据3种方案进行计算，进而找出合适的购买方案．
(1)
解：设购买甲机器x台，则购买乙机器（6-x）台，由题意，得
7x+5（6-x）≤34，
解得x≤2，
∵x为非负整数，
∴x可取0，1，2，
∴按照企业要求可以有3种购买方案．
答：按照企业要求可以有3种购买方案．
(2)
解：由（1），得
按照企业要求可以有3种购买方案，
∴方案一：购买甲0台，购买乙6台；
方案二：购买甲1台，购买乙5台；
方案三：购买甲2台，购买乙4台，
∴方案一的日生产量为：0×100+6×60=360（万个）；
方案二的日生产量为：1×100+5×60=400（万个）；
方案三的日生产量为：2×100+4×60=440（万个）；
∵360<400<440，
∴为了节约资金，日生产能力不能低于400万个，应购买1台甲机器，5台乙机器．
答：为了节约资金，日生产能力不能低于400万个，应购买1台甲机器，5台乙机器．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找到不等关系是解决问题的关键．
10．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）对于有理数，规定新运算
例如，因为，所以．
(1)计算：；
(2)若，求；
(3)记，，判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据新运算的规则展开，再求出即可；
（2）先根据新运算的规则展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算的规则展开，再求出，，最后用差值法比较和的大小．
【解析】（1）∵，
∴．
（2）当，即时，
∵，
∴，
∴，
当，即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，舍去，
综上所述，．
（3）
理由如下：
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，整式的运算，能根据新运算展开是解本题的关键．
11．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②
(3)30
【分析】（1）把，代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；②利用完全平方公式变形可得，再求值即可；
（3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解2ab，从而可得答案．
（1）
解： ，，而
解得：
（2）
① ，
② ，
（3）
三点共线，且
三点共线，
，，
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂、两种不同型号货厢50节
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节型货厢的运费是0.5万元，一节型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
【答案】(1)共有三种方案，见详解
(2)安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元
【分析】（1）设安排A型货厢x节，则安排B型货厢（50-x）节，由题意得，解出不等式组并取整数分情况分析即可求解．
（2）设总运费为W万元，列出二元一次方程，根据（1）中x的值分情况讨论即可求解．
【解析】（1）解：设安排A型货厢x节，则安排B型货厢（50-x）节，
根据题意，可列方程组为，
解得：，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
因此共有三种方案，分别为：
第一种方案：安排A型货厢28辆，B型货厢22辆，
第二种方案：安排A型货厢29辆，B型货厢21辆，
第三种方案：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆．
（2）设总运费为W万元，，
∴当安排A型货厢28辆，B型货厢22辆时，，
当安排A型货厢29辆，B型货厢21辆时，W=31.3，
当安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，W=31，
∴安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元，
答：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用问题、二元一次方程的实际应用问题，根据题意，找准不等关系及等量关系，列出不等式组及等式，根据解分情况讨论是解题的关键．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．
②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：_______．
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．
【答案】（1）①见详解，②见详解
（2）
（3），，时，有最小值，为18．
【分析】（1）①运用完全平方公式进行计算即可得出结论；②可画出边长为a+b+c的正方形即可；
（2）将多项式组合后，运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）将代数式化成完全平方式即可判断出结果．
【解析】解：（1）①第一种变形方法：
=
=
=
=；
第二种变形方法：
=
=
=
=；
②如图，，
（2）
=
=
=，
故答案为：；
（3）
，
∵，，
∴当，，即，时，有最小值，为18．
即，，时，有最小值，为18．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何应用，能灵活运用完全平方公式解决问题是解答本题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．
(1)当时，如果购买甲、乙两种树苗公用27000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，其中甲种树苗买了棵．
①写出与满足的关系式；
②要使这批树苗的成活率不低于，求的最大值．
【答案】(1)甲种树苗购买了300棵，乙种树苗购买了100棵
(2)①；②375
【分析】（1）解设甲种树苗购买了棵，乙种树苗购买了棵，根据题意，得二元一次方程组求解即可；
（2）①根据题意，实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，列出m和n的关系式，批树苗的成活率不低于，得出一元一次不等式即可求解；
(1)
解：设甲种树苗购买了棵，乙种树苗购买了棵，
根据题意，得，
解得，
所以甲种树苗购买了300棵，乙种树苗购买了100棵．
(2)
①根据题意，得，
即．
②根据题意，得，
把带入，得
，
解得，
所以的最大值为375．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，通过解二元一次方程，找出m与n的关系是解题的关键．
15．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）③；（2）；（3）．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出x=，根据“子方城”的定义列出关于k的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，分＜与＞讨论，即可得出答案．
【解析】解：（1）解方程：3x-1=0得：
解方程：得：，
解方程：得：x=3，
解不等式组：
得：2＜x≤5，
所以不等式组 的“子方程”是③．
故答案为：③；
（2）解不等式3x-6＞4-x，
得：＞，
解不等式x-1≥4x-10，
得：x≤3，
则不等式组的解集为＜x≤3，
解：2x-k=2，
得：x=，
∴ ＜≤3，
＜，
解得：3＜k≤4；
（3）解方程：2x+4=0得，
解方程：
得：，
解关于x的不等式组
当＜时，不等式组为：，
此时不等式组的解集为：＞，不符合题意，
所以：＞
所以得不等式的解集为：m-5≤x＜1，
∵2x+4=0， 都是关于x的不等式组的“子方程”，
∴ ，
解得：2＜m≤3．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
16．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．
（2）若图1中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm；（3）29
【分析】（1）依据大长方形的面积，即可得到2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n）；
（2）依据mn=12，2n2+2m2=80，即可得到（m+n）2=n2+m2+2mn=64，进而得出m+n=8，据此可得所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=48（cm）；
（3）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积．
【解析】解：（1）∵大长方形的面积=2m2+5mn+2n2，
大长方形的面积=（m+2n）（2m+n），
∴2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）由题意得：mn=12，2n2+2m2=80，
∴n2+m2=40，
∴（m+n）2=n2+m2+2mn=64，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n=8，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=48（cm）；
（3）阴影部分的面积=a2+b2-0.5a2-0.5b（a+b）
=0.5（a2+b2-ab）
=0.5[（a+b）2-3ab]
=0.5×（100-42）
=29．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键．
17．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）某商家线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A、B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如下表：
该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完．
(1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1520元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？
(2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？
(3)经市场调研，甲种纪念品热销．为了提高乙种纪念品的销量，要保证乙种纪念品每天的销量不低于60件，且每天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润不少于1760元，则甲种纪念品每天的销量最多是_____件．
【答案】(1)甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是60件、40件
(2)甲种纪念品当天的销量至少是40件
(3)30
【分析】（1）按照题目中等量关系列方程组解答，题目中的等量关系为：①甲种纪念品销售件数+乙种纪念品的销售件数=100，②甲种纪念品的销售利润+乙种纪念品的销售利润=1520．
（2）根据不等关系列不等式解答，题目中的不等关系为：方案B当天所获利润≥方案A当天所获利润．
（3）分别按照方案A，方案B两种方案进行计算，根据题意列不等式组解答．
【解析】（1）设甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是x件，y件．
由题意得：
解得
答：甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是60件、40件．
（2）设甲种纪念品当天的销量是m件，则乙种纪念品当天的销量是件
解得
答：甲种纪念品当天的销量至少是40件．
（3）设甲种纪念品每天销量为n件，则乙种纪念品每天的销量是（100-n）件，
①按照方案A销售：
由题意，得．
解这个不等式组，得n≤30．
∴甲种纪念品每天销量最多30件．
②按照方案B销售：
由题意，得．
解这个不等式组，得无解．
综上所述，符合要求的甲种纪念品每天的销量最多是30件．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组）的应用，弄清题意，找出（不）等量关系是解题的关键．
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【答案】(1)① ；②﹣4或2或8
(2)t的值为或
【分析】(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．
②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．
(2)求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①；②；③；④t>5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【解析】（1）①∵OA=1，OB=5，
1<5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，
故答案为1
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵，，
如果，那么，此时，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8．
（2）点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．
当移动的时间为秒时，点P表示的数为，点B表示的数为．
分四种情况：
①当时，，
∵，
∴，符合题意；
②当时，
，，
如果，，此时，不合题意，舍去；
如果，，此时，不合题意，舍去；
③当时，，
∵，
∴，符合题意；
④当时，，
∵，
∴，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为或
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．理解点到线段的 “绝对距离”的定义，进行分类讨论是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点．钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t．
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
并分别求出一期和二期的开采天数．
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出．由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值．
【答案】（1）填表见解析，一期和二期的开采天数分别为20天和17天；（2）0.5
【分析】（1）根据题意填表和列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据二期的总售价比一期多4170万元，列方程，解得a值即可．
【解析】解：（1）根据题意，一期总产铁量为：（吨）；二期开采天数为（x-3），二期总产铁量为：（吨）；
填表得，
根据题意列方程得，，
解得，，，
答：一期和二期的开采天数分别为20天和17天；
（2）由（1）得，一期总产铁量为吨，二期总产铁量为吨，
根据题意列方程得，，
解得，，
答：a的值为0.5
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是明确题目中的数量关系，找到等量关系列方程．
20．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？
如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝ ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）250°
【分析】（1）设a＝，将式子进行变形，即可求解；
（2）延长BA交CE于点F，利用平行线的判定定理可得出结论；
（3）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；
（4）连接A3、A7，分成两个五边形，利用多边形的内角和进行求解即可得到答案．
【解析】解：（1）设a＝，
原式＝（2+a）（a+）﹣a（2+a+）
＝；
（2）延长BA交CE于点F，如图所示：
∵∠EAB是∠EFA的外角，
∴∠EAB＝∠E+∠EFA，
又∵∠EAB＝∠E+∠C，
∴∠EFA＝∠C，
∴AB∥CD；
（3）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
方程组的解为：；
故答案为：
（4）连接A3、A7，分成两个五边形，如图所示：
五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
两个五边形的内角和为1080°，
∠A7＝两个五边形的内角和﹣2∠A1﹣2∠A2﹣2∠A6﹣∠A3
＝1080°﹣2×120°﹣2×70°﹣2×90°﹣270°＝250°，
故答案为：250°．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．
21．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．颜主任准备购买、两种奖品共个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，问：
(1)、两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）
(2)种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）
(3)在购买方案中最少费用是______元．
【答案】(1)、两种奖品的单价分别是元和元
(2)6个
(3)660
【分析】（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据“购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值．
（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据购买种奖品的数量不小于种奖品数量的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出．
（3）设购买总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的关系式，再利用不等式的性质求解即可．
（1）
解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：、两种奖品的单价分别是元和元．
（2）
解：设购买种奖品个，则购买种奖品个，
种奖品的数量不小于种奖品数量的，
，
，
又为整数，
．
种奖品至少买个；
（3）
解：设购买总费用为元，购买种奖品个，
则，
∵（当时）
∴当越大时，w越大，
当时，取得最小值，最小值．
∴购买方案中，最少费用是660元，
故答案为：660．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．
22．（2022春·江苏苏州·七年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)大，16
(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）仿照题意利用配方法求解即可；
（3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到，据此求解即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为50，
∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键．
23．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空：
①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，在长方形中，，，点E，F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①6 ；②17
(3)500平方米
【分析】对于（1），根据，代入计算即可；
对于（2）①，设，，求出，，再根据，求出答案即可；
②，令，，求出，，再根据，计算即可；
对于（3），根据题意得，设，，再表示，，然后根据代入计算即可.
【解析】（1）∵，
∴；
（2）①令，，
则，，
∴，
∴；
故答案为：6．
②令，，
则，，
∴，
∴，
故答案为：17；
（3）由题意得：，
令，，
则：，，
∴，
∴，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解公式的变形是解题的关键．即，，.
24．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）先阅读下面材料，再解答：
例题：解一元二次不等式．
解：因为，所以．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有①或②
解不等式组①，得．
解不等式组②，得．
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
(1)求的解集；
(2)已知，求的解集．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）读懂题意，结合一元二次不等式的特征选择恰当的因式分解的方法，根据“两数相乘，同号得正”，分别解原不等式分类得到的两个不等式组，得到最终解集即可；
（2）方法与第（1）题类似．
（1）
解：由得，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有或，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
故的解集为或，即的解集为或；
（2）
解：由题可得，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有或，
解不等式组①，得无解，
解不等式组②，得，
故的解集为，即的解集为．
【点睛】本题考查解一元二次不等式，涉及到分解因式，读懂题意，掌握题中告知的解法是解决问题的关键．
25．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)12
(2)①6；②17
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）注意整体法的运用，将（4-x）、（5-x）看成一个整体去求解；
（3）表示两个正方形的面积、，得到，结合，推出，再去计算阴影部分面积．
（1）
∵，∴，，
又∵，
∴＝64－40＝24，
∴；
（2）
①＝16－10＝6；
②＝＝17；
（3）
∵AB＝6，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵BC＝CF，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．
26．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）题目：已知关于x、y的方程组，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.
问题解决：
(1)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因为3x＋3y＝18，则a值为________；
(2)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n，得，再将③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，……，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
(3)已知关于x、y的不等式组，若x＋5y＝2，求a的取值范围．
【答案】(1)5；
(2)m=1，n=-3，a=-1；
(3)a的取值范围为．
【分析】（1）将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值；
（2）通过对比得到关于m，n，a的方程组求值；
（3）利用不等式的性质得到关于a的不等式，求出a的范围．
【解析】（1）解：，
①+②得：3x+3y=3a+3，
∵3x+3y=18，
∴3a+3=18，
∴a=5．
故答案为：5；
（2）解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，
∴，
∴m=1，n=-3，a=-1；
（3）解：已知关于x，y的不等式组，
①×3得：3x+6y＞-3a+9④，
②×（-1）得：-2x-y＞-4a⑤，
④+⑤得：x+5y＞-7a+9，
∵x+5y=2，
∴2＞-7a+9．
∴a＞1．
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．
27．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）规定符号f（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，f（x）＝1（质数：是指除了本身和1之外，再没有其他因数的数）．
②对于任意两个正整数m和n，f（m•n）＝mf（n）＋nf（m）．
例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）＋3f（2） ＝2×1＋3×1＝5．
（1）直接写出f（3）＝ ，f（4）＝ ．
（2）求f（18）和f（24）的值；
（3）求满足不等式组的x的值．
【答案】（1）1，4；（2）21，44；（3）．
【分析】（1）先判断3时质数，4不是质数，且4＝2×2，结合定义求出f（3），f（4）；
（2）由18＝3×6，24＝4×6，结合f（3），f（4），f（6）和定义，求出f（18）和f（24）；
（3）先将f（18x），f（2x）化简，然后将不等式变形化简，从而求出x的值．
【解析】解：（1）∵3是质数，4＝2×2，且2是质数，
∴f（3）＝1，f（4）＝f（2×2）＝2f（2）＋2f（2）＝2×1＋2×1＝4．
故答案为：1，4．
（2）f（18）＝f（3×6）＝3f（6）＋6f（3）＝3×5＋6×1＝21，
f（24）＝f（4×6）＝4f（6）＋6f（4）＝4×5＋6×4＝44．
（3）∵f（18x）＝18f（x）＋xf（18）＝18f（x）＋21x，
f（2x）＝2f（x）＋xf（2）＝2f（x）＋x，
∴不等式组可化为，
解得．
【点睛】本题以新定义为背景，考查了学生对质数的了解情况、解一元一次不等式组．本题解题的关键是理解新定义，在理解的基础上将数字或代数式进行拆分成质数相乘的形式．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）某商场的运动服装专柜，对两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
（1）问两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
【答案】（1）两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元；（2）最多能购进65件品牌运动服.
【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【解析】（1）设两种品牌运动服的进货单价分别为元和元.
根据题意，得，
解之，得.
经检验，方程组的解符合题意.
答：两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.
（2）设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服件，
∴，
解得，.
经检验，不等式的解符合题意，∴.
答：最多能购进65件品牌运动服.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
29．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
(2)超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
(3)在的条件下超市不能实现利润元的目标
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
【解析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
30．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车．如果租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆（甲、乙都有租），请帮助旅行社设计租车方案；
②出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车（三种车都有租），出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【答案】(1)甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人
(2)①方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆．
方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
②租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，由题意：租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8-a）辆，由题意：该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车分别为m辆、n辆、（7-m-n）辆，由题意：旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，所租的三种客车的座位恰好坐满，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得：，解得：，答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8-a）辆，根据题意得：45a+30（8-a）≥303+8，解得：a≥，∵打算同时租甲、乙两种客车，∴a=5，6，7，有三种租车方案：方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆；方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车分别为m辆、n辆、（7-m-n）辆，根据题意得：65m+45n+30（7-m-n）=303+7，整理得：7m+3n=20，∵m、n为正整数，∴m=2，n=2，则7-m-n=3，答：租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
31．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
【答案】(1)-10
(2)
(3)或；
(4)
【分析】（1）根据题目所给新定义求解即可；
（2）根据题意可得，解不等式即可；
（3）分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可；
（4）先证明，然后根据新定义结合整数的加减计算法则求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
故答案为：-10；
（2）解：∵，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：当，即时，
∴，
∴，
解得；
当，即时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（4）解：当，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
32．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）
【答案】(1)
(2)
(3)10
(4)
【分析】（1）分两种方法表示出面积即可；
（2）把（1）中的式子整理可得答案；
（3）把数值代入（2）中得到的结论即可；
（4）分两种方法表示出体积即可；
（1）
方法一可表示为：
方法二可表示为：
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）
故答案为：10
（4）
方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积，根据图形用不同的方法表示面积或体积是解题关键．
33．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…
（2）请你也提出一个合理的猜想： 【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
【答案】（1）3，0；（2）当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；（3）甲的说法不正确，反例见解析，乙的说法正确，见解析
【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．
（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；
（3）举出反例即可判断．
【解析】解：（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；
当x＝1时，a+b+3＝4．
可得方程组．
解得：．
当x＝2时，ax2+bx+3＝3；
当x＝3时，ax2+bx+3＝0．
故答案是：3；0；
（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；
故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；
（3）甲的说法不正确．
举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．
乙的说法正确．
证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
∵（x﹣1）2≥0．
∴﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．
【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时，需要掌握待定系数法确定函数关系式和二次函数图象的性质．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（万个）
100
60
①
∵
∴．
故当时代数式的最小值为-2
②
∵
∴
故当时代数式的最大值为4
信 息1．甲种树苗每棵60元；
2．乙种树苗每棵90元；
3．甲种树苗的成活率为；
4．乙种树苗的成活率为．
甲纪念品单件利润
乙纪念品单件利润
方案A
12
20
方案B
18
16
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
二期
1920+330
50%+10%
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
960 x
二期
x-3
1920+330
50%+10%
1350 x-4050
第一次
第二次
品牌运动服装数/件
20
30
品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
ax2+bx+3
…
0
3
4
…
1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若 ，则将e的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．
(1)若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是，，3，5，则线段，的相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ；
(2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度为，求s的值；
(3)设数轴上点P表示的数是p，若线段，的相对离散度为e，请用含p的代数式表示e.
2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
3．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？
【回顾】
小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案）
【探究】
小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目.
由得，则，
由，，得关于x的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到x的取值范围为 ，
则w的取值范围是 .
【应用】
（1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围；
（2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）；
【拓展】
若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 .
4．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；
(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）
5．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），已知正方形CEFH的边长为a，长方形ABCD的宽为b，长为c（b＜a＜c）．
(1)写出a，b，c之间的等量关系；
(2)若长方形ABHG的周长记作C1，长方形DEFG的周长记作C2．
①求C1+C2的值（用含a、c的代数式表示）；
②若关于c的不等式C1+C2＜10﹣2c的正整数解只有2个，求a的取值范围；
(3)若长方形ABHG的面积记作S1，长方形DEFG的面积记作S2，试比较2S2与S1的大小，并说明理由．
6．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
7．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）【阅读感悟】
不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式．
【概念理解】
(1)下列属于同解不等式的是______；
①与；②与；③与；④与．
【问题解决】
(2)解不等式：；
【拓展延伸】
(3)不等式的解是______．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）对于数x，我们用(x]表示小于x的最大整数，如：(2.6]=2，(-3]=-4．
(1)填空：(-2021]= ，(0.7]= ．
(2)如果a、b都是整数，(a]和(b]互为相反数，求代数式 a2−b2+4b 的值；
(3)如果|(x]|=2，请直接写出x的取值范围．
9．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）疫情当前，每一个中国人都应该挺身而出，为战胜疫情而努力付出．疫情期间，某口罩生产企业为战胜疫情尽一份力，决定在原有生产机器的基础上，增加生产力度，再购进6台机器用于扩大生产某种型号口罩．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产该型号口罩的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
(1)按照企业要求可以有几种购买方案？
(2)如果该企业共购进了6台机器，同时要求日生产能力不能低于400万个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
10．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）对于有理数，规定新运算
例如，因为，所以．
(1)计算：；
(2)若，求；
(3)记，，判断和的大小关系，并说明理由．
11．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂、两种不同型号货厢50节
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节型货厢的运费是0.5万元，一节型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．
②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：_______．
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．
14．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．
(1)当时，如果购买甲、乙两种树苗公用27000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，其中甲种树苗买了棵．
①写出与满足的关系式；
②要使这批树苗的成活率不低于，求的最大值．
15．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
16．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．
（2）若图1中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
17．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）某商家线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A、B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如下表：
该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完．
(1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1520元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？
(2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？
(3)经市场调研，甲种纪念品热销．为了提高乙种纪念品的销量，要保证乙种纪念品每天的销量不低于60件，且每天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润不少于1760元，则甲种纪念品每天的销量最多是_____件．
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
19．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点．钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t．
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
并分别求出一期和二期的开采天数．
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出．由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值．
20．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？
如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝ ．
21．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．颜主任准备购买、两种奖品共个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，问：
(1)、两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）
(2)种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）
(3)在购买方案中最少费用是______元．
22．（2022春·江苏苏州·七年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
23．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空：
①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，在长方形中，，，点E，F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
24．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）先阅读下面材料，再解答：
例题：解一元二次不等式．
解：因为，所以．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有①或②
解不等式组①，得．
解不等式组②，得．
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
(1)求的解集；
(2)已知，求的解集．
25．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
26．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）题目：已知关于x、y的方程组，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.
问题解决：
(1)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因为3x＋3y＝18，则a值为________；
(2)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n，得，再将③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，……，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
(3)已知关于x、y的不等式组，若x＋5y＝2，求a的取值范围．
27．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）规定符号f（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，f（x）＝1（质数：是指除了本身和1之外，再没有其他因数的数）．
②对于任意两个正整数m和n，f（m•n）＝mf（n）＋nf（m）．
例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）＋3f（2） ＝2×1＋3×1＝5．
（1）直接写出f（3）＝ ，f（4）＝ ．
（2）求f（18）和f（24）的值；
（3）求满足不等式组的x的值．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）某商场的运动服装专柜，对两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
（1）问两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
29．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
30．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车．如果租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆（甲、乙都有租），请帮助旅行社设计租车方案；
②出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车（三种车都有租），出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
31．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
32．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）
33．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…
（2）请你也提出一个合理的猜想： 【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（万个）
100
60
①
∵
∴．
故当时代数式的最小值为-2
②
∵
∴
故当时代数式的最大值为4
信 息1．甲种树苗每棵60元；
2．乙种树苗每棵90元；
3．甲种树苗的成活率为；
4．乙种树苗的成活率为．
甲纪念品单件利润
乙纪念品单件利润
方案A
12
20
方案B
18
16
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
二期
1920+330
50%+10%
第一次
第二次
品牌运动服装数/件
20
30
品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
ax2+bx+3
…
0
3
4
…
特训11 期末解答压轴题（Ⅱ）代数题综合
一、解答题
1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）对于数轴上的点A，B，C，D，点M，N分别是线段，的中点，若 ，则将e的值称为线段，的相对离散度．特别地，当点M，N重合时，规定．设数轴上点O表示的数为0，点T表示的数为2．
(1)若数轴上点E，F，G，H表示的数分别是，，3，5，则线段，的相对离散度是 ，线段，的相对离散度是 ；
(2)设数轴上点O右侧的点S表示的数是s，若线段，的相对离散度为，求s的值；
(3)设数轴上点P表示的数是p，若线段，的相对离散度为e，请用含p的代数式表示e.
【答案】(1)；
(2)s的值为或6
(3)当P在原点左侧， ；当P在原点右侧，
【分析】（1）先计算中点，再根据公式计算即可得到答案；
（2）设线段，的中点为L，K，分别计算出中点，根据公式建立方程，解方程即可得到答案；
（3）分别根据P在原点左和右侧两种情况展开讨论，根据公式建立等式即可得到答案．
【解析】（1）解：线段的中点为，的中点表示的数为，
∴，
∴，
∵线段，的中点表示的数都是1，
∴，
故答案为：；；
（2）解：设线段，的中点为L，K，
∵数轴上点O右侧的点S表示的数是s，点T表示的数为2，
∴，．
∴点L，K在数轴上表示的数为，1，
∴．
∵线段，的相对离散度为，
∴ ，
∴，
解得：或．
（3）解：当P在原点左侧时，，，
的中点表示的数为，的中点表示的数为1
∴，
∴，
当P在原点右侧，，，
的中点表示的数为，的中点表示的数为1
∴，
∴．
【点睛】本题考查数轴上的点、两点的中点和距离，解题的关键是根据题意建立等式．
2．（2022春·江苏泰州·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组(n是常数)．
(1)当n=1时，则方程组可化为
①请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解．
②若该方程组的解也满足方程x+y=2，求m的值．
(2)当m每取一个值时，x-2y+mx=-5就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗?
(3)当n=3时，如果方程组有整数解，求整数m的值．
【答案】(1)①或者；②-4
(2)
(3)-2或0
【分析】（1）根据题意直接写出①的解；②加减消元法求出方程组的解，再代入，求出m的值．
（2）当m每取一个值时，这些方程有一个公共解，就是与m的取值无关，可得，x=0，代入求出y，即可求出公共解．
（3）当n=3时方程组，结合方程组有整数解且m为整数，求出满足条件的m的值，再求出对应的方程组的解．
【解析】（1）①或
②由题意得
由①－②得:y=1
把y=1代入①得:x=1
方程组的解是
把代入中得：1-2+ m=-5
∴m= -4
∴m的值为 -4．
（2）∵x−2y＋mx＝−5
∴(m+1)x−2y＝−5
∵当m每取一个值时，这些方程有一个公共解
∴x=0
∴−2y＝−5
∴
是这些方程有公共解
（3）当n=3时方程组为
∴
∵方程组有整数解且m为整数
∴5+2m=±1或5+2m=±5
当5+2m=1时，即 m= -2，方程组的解为
当5+2m=-1时，即 m= -3，方程组的解为
当5+2m=5时，即 m= 0，方程组的解为
当5+2m= -5时，即 m= -5，方程组的解为
综上所述整数m的值为-2或0．
【点睛】此题考查了如何解二元一次组，解题的关键是根据条件确定m的取值．
3．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么w的取值范围是什么？
【回顾】
小明回顾做过的一道简单的类似题目：已知：，设y= ，那么y的取值范围是 .（请你直接写出答案）
【探究】
小明想：可以将研学单上的复杂问题转化为上面回顾的类似题目.
由得，则，
由，，得关于x的一元一次不等式组 ，
解该不等式组得到x的取值范围为 ，
则w的取值范围是 .
【应用】
（1）已知a﹣b＝4，且a＞1，b＜2，设t=a+b，求t的取值范围；
（2）已知a﹣b＝n（n是大于0的常数），且a＞1，b≤1，的最大值为 （用含n的代数式表示）；
【拓展】
若，且，，，设，且m为整数，那么m所有可能的值的和为 .
【答案】0＜y＜3；；-2≤x＜3；-4≤w＜6；（1）-2＜t＜8；（2）2n+3；6
【分析】回顾：利用不等式的基本性质求出0＜x+1＜3，即可求解；
探究：根据所给材料的过程进行解题即可；
（1）由题意得t＝4+2b，则关于b的一元一次不等式组 ，求出﹣3＜b＜2，即可求﹣2＜t＜8；
（2）由题意可得关于a的一元一次不等式组 ，解得1＜a≤n+1，设t＝2a+b＝3a﹣n，求出3﹣n＜t≤2n+3，即可求t的最大值；
拓展：
由题意分别求出x＝2y+4，z＝3y+6，则关于y的不等式组为 ，解得﹣2＜y≤1，可得m＝﹣y+2，求出1≤m＜4，可知m＝1，2，3，则m所有可能的值的和为6．
【解析】【回顾】∵﹣1＜x＜2，
∴0＜x+1＜3，
∵y＝x+1，
∴0＜y＜3，
故答案为：0＜y＜3；
【探究】由题意可得 ，
解不等式组可得：﹣2≤x＜3，
∵w＝2x，
∴﹣4≤w＜6，
故答案为：，﹣2≤x＜3，﹣4≤w＜6；
（1）由a﹣b＝4得a＝4+b，
∴t＝a+b＝4+b+b＝4+2b，
∵a＞1，b＜2，
∴关于b的一元一次不等式组，
解该不等式组得﹣3＜b＜2，
∴﹣2＜t＜8；
（2）∵a﹣b＝n，
∴b＝a﹣n，
∵a＞1，b≤1，
∴关于a的一元一次不等式组 ，
解得1＜a≤n+1，
设t＝2a+b＝2a+a﹣n＝3a﹣n，
∴3﹣n＜t≤2n+3，
∴2a+b的最大值为2n+3，
故答案为：2n+3；
【拓展】∵3x＝6y+12，
∴x＝2y+4，
∵6y+12＝2z，
∴z＝3y+6，
∴关于y的一元一次不等式为 ，
解得﹣2＜y≤1，
∵m＝2x﹣2y﹣z＝2（2y+4）﹣2y﹣（3y+6）＝﹣y+2，
∴1≤m＜4，
∵m为正数，
∴m＝1，2，3，
∴m所有可能的值的和为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法，理解阅读材料，并能灵活应用阅读材料的方法解题是关键．
4．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）拼图是一种数学实验，我们利用硬纸板拼图，不仅可以探索整式乘法与因式分解之间的内在联系，还可以利用同一图形不同的面积表示方法来探索新的结论．
(1)观察下面图①的硬纸板拼图，写出一个表示相等关系的式子：____________________；
(2)用不同的方法表示图②中阴影部分的面积，可以得到的乘法公式为____________________；
(3)两个边长为a，b，c的直角三角形硬纸板和一个两条直角边都是c的直角三角形硬纸板拼成图③，用不同的方法计算这个图形的面积．你发现a，b，c之间具有的相等关系为____________________.（用最简形式表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和即可得；
（2）方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和；方法二；图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此即可得；
（3）方法一：利用直角梯形的面积公式求出这个图形的面积；方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，由此建立等式，并利用完全平方公式进行化简即可得．
【解析】（1）解：由图可知，大长方形的面积等于三个小正方形的面积与三个小长方形的面积之和，
则，
故答案为：．
（2）解：方法一：图②中阴影部分的面积等于两个小长方形的面积之和，即，
方法二：图②中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即，
则可以得到的乘法公式为，
故答案为：．
（3）解：方法一：这个图形是一个直角梯形，它的面积为，
方法二：这个图形的面积等于三个直角三角形的面积之和，即，
则，
整理得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式的乘法与图形面积、乘法公式与图形面积，熟练掌握整式的乘法与乘法公式是解题关键．
5．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）长方形ABCD和正方形CEFH，按如图所示的方式叠放在一起，且长方形ABHG与长方形DEFG的周长相等（其中点D在EC上，点B在CH的延长线上，AD和FH相交于点G），已知正方形CEFH的边长为a，长方形ABCD的宽为b，长为c（b＜a＜c）．
(1)写出a，b，c之间的等量关系；
(2)若长方形ABHG的周长记作C1，长方形DEFG的周长记作C2．
①求C1+C2的值（用含a、c的代数式表示）；
②若关于c的不等式C1+C2＜10﹣2c的正整数解只有2个，求a的取值范围；
(3)若长方形ABHG的面积记作S1，长方形DEFG的面积记作S2，试比较2S2与S1的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)①，②；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）根据长方形ABHG与正方形DEFG的周长相等，构建关系式即可解决问题；
（2）①用b，c，a表示上述出矩形的周长，相加即可；
②把的值代入得到关于c的不等式，求出c的取值范围，其正整数解只有2个，得到关于a的不等式，解出即可得到a的取值范围；
（3）利用求差法比较大小即可．
（1）解：∵长方形ABHG和正方形DEFG周长相等，∴，∴；
（2）解：①∵长方形ABHG的周长记作，长方形DEFG的周长记作＝2（2a－b），∴；②∵，∴，∴c＜,∵c的正整数解只有2个，∴，解得： ，∴a的取值范围是；
（3）解：．理由：∵，，∴．∵，∴，∴，∵b＜a＜c，∴a－b＞0，∴＞0，∴．
【点睛】此题考查了长方形和正方形的面积与周长、解含有参数的一元一次不等式、作差法比较大小、整式的加减、整式的乘法、因式分解等知识，熟练掌握整式的运算法则和一元一次不等式的解法是解题的关键．
6．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)①③
(2)4≤k＜8
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“相依方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（1）解：①x﹣3＝0，解得：x＝3，②3x+2＝x，解得：x＝﹣1，③2x﹣10＝0，解得：x＝5，，∴原不等式组的解集为：2＜x≤5，∴不等式组的“相依方程”是：①③，故答案为：①③；
（2），解不等式①得：x＞−1，解不等式②得：x≤1，∴原不等式组的解集为：−1＜x≤1，2x+k＝6，解得：，∵关于x的方程2x+k＝6是不等式组的“相依方程”，∴−1＜≤1，解得：4≤k＜8．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．
7．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）【阅读感悟】
不等式可等价转化为不等式线或，不等式也可等价转化为不等式组或，我们把不等式与称为同解不等式．
【概念理解】
(1)下列属于同解不等式的是______；
①与；②与；③与；④与．
【问题解决】
(2)解不等式：；
【拓展延伸】
(3)不等式的解是______．
【答案】(1)④
(2)≤3
(3)或
【分析】（1）根据同解不等式的定义即可判断；
（2）根据同解不等式的定义转化即可解答；
（3）将其转化成同解不等式即可解答．
(1)
解：根据同解不等式的定义可知，
①与，故选项错误；
②与，故选项错误；
③与且，故选项错误 ；
④与，选项正确．
故选：④；
(2)
解：等价转化为不等式组
①或②；
不等式组①无解，不等式组②的解为：，
不等式的解为；
(3)
解：等价转化为不等式组
①或②，
等价转化为不等式组
③或 ④，
不等式组③无解，不等式组④的解为： ，
的解为；
等价转化为不等式组
⑤或 ⑥，
不等式组⑤的解为 ，不等式组⑥的解为： ，
的解为或，
不等式组①的解为：或，不等式组②无解，
不等式的解为或．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）对于数x，我们用(x]表示小于x的最大整数，如：(2.6]=2，(-3]=-4．
(1)填空：(-2021]= ，(0.7]= ．
(2)如果a、b都是整数，(a]和(b]互为相反数，求代数式 a2−b2+4b 的值；
(3)如果|(x]|=2，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)−2022；0；
(2)4
(3)−2＜x≤−1或2＜x≤3．
【分析】（1）根据（x]表示的意义并结合有理数的大小比较求解；
（2）根据a，b都是整数，且（a]和（b]互为相反数，得到a＋b＝2，进而代入求值即可；
（3）根据绝对值的意义分x＜0或x＞0两种情况进行解答．
(1)
解：由题意可得：（−2021]＝−2022，（0.7]＝0，
故答案为：−2022；0；
(2)
∵a，b都是整数，
∴（a]＝a−1，（b]＝b−1，
而（a]和（b]互为相反数，
∴a−1＋b−1＝0，即a＋b＝2，
∴＝（a＋b）（a−b）＋4b
＝2（a−b）＋4b
＝2a−2b＋4b
＝2a＋2b
＝2（a＋b）
＝2×2
＝4，
∴代数式的值为4；
(3)
当x＜0时，
∵|（x]|＝2，
∴（x]＝−2，
∴−2＜x≤−1，
当x＞0时，
∵|（x]|＝2，
∴（x]＝2，
∴2＜x≤3，
综上，x的取值范围为−2＜x≤−1或2＜x≤3．
【点睛】本题考查新定义，绝对值的意义和有理数的大小比较，理解新定义内容的意义，注意分类讨论思想解题是关键．
9．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）疫情当前，每一个中国人都应该挺身而出，为战胜疫情而努力付出．疫情期间，某口罩生产企业为战胜疫情尽一份力，决定在原有生产机器的基础上，增加生产力度，再购进6台机器用于扩大生产某种型号口罩．现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产该型号口罩的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元．
(1)按照企业要求可以有几种购买方案？
(2)如果该企业共购进了6台机器，同时要求日生产能力不能低于400万个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？
【答案】(1)3种
(2)甲1台，乙5台
【分析】（1）根据题意，列出不等式，进而找出购买方案；
（2）由（1）得，根据3种方案进行计算，进而找出合适的购买方案．
(1)
解：设购买甲机器x台，则购买乙机器（6-x）台，由题意，得
7x+5（6-x）≤34，
解得x≤2，
∵x为非负整数，
∴x可取0，1，2，
∴按照企业要求可以有3种购买方案．
答：按照企业要求可以有3种购买方案．
(2)
解：由（1），得
按照企业要求可以有3种购买方案，
∴方案一：购买甲0台，购买乙6台；
方案二：购买甲1台，购买乙5台；
方案三：购买甲2台，购买乙4台，
∴方案一的日生产量为：0×100+6×60=360（万个）；
方案二的日生产量为：1×100+5×60=400（万个）；
方案三的日生产量为：2×100+4×60=440（万个）；
∵360<400<440，
∴为了节约资金，日生产能力不能低于400万个，应购买1台甲机器，5台乙机器．
答：为了节约资金，日生产能力不能低于400万个，应购买1台甲机器，5台乙机器．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的实际应用，读懂题意，找到不等关系是解决问题的关键．
10．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）对于有理数，规定新运算
例如，因为，所以．
(1)计算：；
(2)若，求；
(3)记，，判断和的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据新运算的规则展开，再求出即可；
（2）先根据新运算的规则展开，再解一元一次方程即可；
（3）先根据新运算的规则展开，再求出，，最后用差值法比较和的大小．
【解析】（1）∵，
∴．
（2）当，即时，
∵，
∴，
∴，
当，即时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴不合题意，舍去，
综上所述，．
（3）
理由如下：
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，解一元一次方程，整式的运算，能根据新运算展开是解本题的关键．
11．（2022春·江苏苏州·七年级统考期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题；
(1)【直接应用】若，，求xy的值；
(2)【类比应用】填空：①若，则______；
②若，则______；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②
(3)30
【分析】（1）把，代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；②利用完全平方公式变形可得，再求值即可；
（3）先证明 三点共线， 可得 结合已知条件可得 再利用 ，求解2ab，从而可得答案．
（1）
解： ，，而
解得：
（2）
① ，
② ，
（3）
三点共线，且
三点共线，
，，
【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）南京火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，某公司将安排一列火车将这批货物运往上海，这列火车可挂、两种不同型号货厢50节
(1)已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节型货厢，运输这批货物有几种安排货厢方案？
(2)若一节型货厢的运费是0.5万元，一节型货厢的运费是0.8万元，如何安排运输方案，才能使得运费最少？并求出最少运费．
【答案】(1)共有三种方案，见详解
(2)安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元
【分析】（1）设安排A型货厢x节，则安排B型货厢（50-x）节，由题意得，解出不等式组并取整数分情况分析即可求解．
（2）设总运费为W万元，列出二元一次方程，根据（1）中x的值分情况讨论即可求解．
【解析】（1）解：设安排A型货厢x节，则安排B型货厢（50-x）节，
根据题意，可列方程组为，
解得：，
∵x为整数，
∴x=28或29或30，
因此共有三种方案，分别为：
第一种方案：安排A型货厢28辆，B型货厢22辆，
第二种方案：安排A型货厢29辆，B型货厢21辆，
第三种方案：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆．
（2）设总运费为W万元，，
∴当安排A型货厢28辆，B型货厢22辆时，，
当安排A型货厢29辆，B型货厢21辆时，W=31.3，
当安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，W=31，
∴安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元，
答：安排A型货厢30辆，B型货厢20辆时，运费最少，且最少运费为31万元．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的实际应用问题、二元一次方程的实际应用问题，根据题意，找准不等关系及等量关系，列出不等式组及等式，根据解分情况讨论是解题的关键．
13．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）（1）学习“完全平方公式”时，小明遇到课本上一道题目“计算”，他联系所学过的知识和方法，想到两种解决思路；
①可以用“整体思想”把三项式转化为两部分：或，然后可以利用完全平方公式解决，请你选择一种变形方法写出计算过程．
②可以用“数形结合”的方法，画出表示的图形，根据面积关系得到结果．请你在下面方框中画出图形，并作适当标注．
（2）利用（1）的结论分解因式：_______．
（3）小明根据“任意一个数的平方不小于0”，利用配方法求出了一些二次多项式的最大值或最小值，方法如下：
请你参考小明的方法，求当x，y取何值时代数式有最小值，并确定它的最小值．
【答案】（1）①见详解，②见详解
（2）
（3），，时，有最小值，为18．
【分析】（1）①运用完全平方公式进行计算即可得出结论；②可画出边长为a+b+c的正方形即可；
（2）将多项式组合后，运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）将代数式化成完全平方式即可判断出结果．
【解析】解：（1）①第一种变形方法：
=
=
=
=；
第二种变形方法：
=
=
=
=；
②如图，，
（2）
=
=
=，
故答案为：；
（3）
，
∵，，
∴当，，即，时，有最小值，为18．
即，，时，有最小值，为18．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何应用，能灵活运用完全平方公式解决问题是解答本题的关键．
14．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计棵．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．
(1)当时，如果购买甲、乙两种树苗公用27000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
(2)实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，其中甲种树苗买了棵．
①写出与满足的关系式；
②要使这批树苗的成活率不低于，求的最大值．
【答案】(1)甲种树苗购买了300棵，乙种树苗购买了100棵
(2)①；②375
【分析】（1）解设甲种树苗购买了棵，乙种树苗购买了棵，根据题意，得二元一次方程组求解即可；
（2）①根据题意，实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，列出m和n的关系式，批树苗的成活率不低于，得出一元一次不等式即可求解；
(1)
解：设甲种树苗购买了棵，乙种树苗购买了棵，
根据题意，得，
解得，
所以甲种树苗购买了300棵，乙种树苗购买了100棵．
(2)
①根据题意，得，
即．
②根据题意，得，
把带入，得
，
解得，
所以的最大值为375．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，通过解二元一次方程，找出m与n的关系是解题的关键．
15．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．
问题解决：
（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方程”，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）③；（2）；（3）．
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）解不等式组求得其解集，解方程求出x=，根据“子方城”的定义列出关于k的不等式组，解之可得；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，分＜与＞讨论，即可得出答案．
【解析】解：（1）解方程：3x-1=0得：
解方程：得：，
解方程：得：x=3，
解不等式组：
得：2＜x≤5，
所以不等式组 的“子方程”是③．
故答案为：③；
（2）解不等式3x-6＞4-x，
得：＞，
解不等式x-1≥4x-10，
得：x≤3，
则不等式组的解集为＜x≤3，
解：2x-k=2，
得：x=，
∴ ＜≤3，
＜，
解得：3＜k≤4；
（3）解方程：2x+4=0得，
解方程：
得：，
解关于x的不等式组
当＜时，不等式组为：，
此时不等式组的解集为：＞，不符合题意，
所以：＞
所以得不等式的解集为：m-5≤x＜1，
∵2x+4=0， 都是关于x的不等式组的“子方程”，
∴ ，
解得：2＜m≤3．
【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解“子方程”的定义是解题的关键．
16．（2022春·江苏连云港·七年级校考期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积．
（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为___________．
（2）若图1中每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．
（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积．
【答案】（1）（m+2n）（2m+n）；（2）48cm；（3）29
【分析】（1）依据大长方形的面积，即可得到2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n）；
（2）依据mn=12，2n2+2m2=80，即可得到（m+n）2=n2+m2+2mn=64，进而得出m+n=8，据此可得所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=48（cm）；
（3）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积．
【解析】解：（1）∵大长方形的面积=2m2+5mn+2n2，
大长方形的面积=（m+2n）（2m+n），
∴2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n），
故答案为：（m+2n）（2m+n）；
（2）由题意得：mn=12，2n2+2m2=80，
∴n2+m2=40，
∴（m+n）2=n2+m2+2mn=64，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n=8，
∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=48（cm）；
（3）阴影部分的面积=a2+b2-0.5a2-0.5b（a+b）
=0.5（a2+b2-ab）
=0.5[（a+b）2-3ab]
=0.5×（100-42）
=29．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键．
17．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）某商家线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A、B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如下表：
该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完．
(1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1520元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？
(2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？
(3)经市场调研，甲种纪念品热销．为了提高乙种纪念品的销量，要保证乙种纪念品每天的销量不低于60件，且每天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润不少于1760元，则甲种纪念品每天的销量最多是_____件．
【答案】(1)甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是60件、40件
(2)甲种纪念品当天的销量至少是40件
(3)30
【分析】（1）按照题目中等量关系列方程组解答，题目中的等量关系为：①甲种纪念品销售件数+乙种纪念品的销售件数=100，②甲种纪念品的销售利润+乙种纪念品的销售利润=1520．
（2）根据不等关系列不等式解答，题目中的不等关系为：方案B当天所获利润≥方案A当天所获利润．
（3）分别按照方案A，方案B两种方案进行计算，根据题意列不等式组解答．
【解析】（1）设甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是x件，y件．
由题意得：
解得
答：甲、乙两种纪念品当天的销售量分别是60件、40件．
（2）设甲种纪念品当天的销量是m件，则乙种纪念品当天的销量是件
解得
答：甲种纪念品当天的销量至少是40件．
（3）设甲种纪念品每天销量为n件，则乙种纪念品每天的销量是（100-n）件，
①按照方案A销售：
由题意，得．
解这个不等式组，得n≤30．
∴甲种纪念品每天销量最多30件．
②按照方案B销售：
由题意，得．
解这个不等式组，得无解．
综上所述，符合要求的甲种纪念品每天的销量最多是30件．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式（组）的应用，弄清题意，找出（不）等量关系是解题的关键．
18．（2023春·江苏苏州·七年级校考期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．
(1)当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
(2)在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【答案】(1)① ；②﹣4或2或8
(2)t的值为或
【分析】(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．
②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．
(2)求出点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①；②；③；④t>5．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【解析】（1）①∵OA=1，OB=5，
1<5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，
故答案为1
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵，，
如果，那么，此时，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，，
∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴，
∴，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8．
（2）点P运动到点A时需要的时间为秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为秒．
当移动的时间为秒时，点P表示的数为，点B表示的数为．
分四种情况：
①当时，，
∵，
∴，符合题意；
②当时，
，，
如果，，此时，不合题意，舍去；
如果，，此时，不合题意，舍去；
③当时，，
∵，
∴，符合题意；
④当时，，
∵，
∴，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为或
【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．理解点到线段的 “绝对距离”的定义，进行分类讨论是解题的关键．
19．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期末）某钢铁厂每天可开采菱铁矿1920 t，其中含铁率为50%，每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多330 t，且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了10个百分点．钢铁厂一期开采某处菱铁矿，二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少3天，但总产铁量比一期提高了3750 t．
（注：本题中含铁率＝ × 100%）
（1）设一期菱铁矿开采了x天，根据题目中的数量关系，用含x的式子填表（结果需要化简）：
并分别求出一期和二期的开采天数．
（2）该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁，一期将钢铁按照每吨a万元定价，且全部售出．由于成本增加，该厂将二期的钢铁每吨定价提高了0.1万元，也全部售出，且二期的总售价比一期多4170万元，求a的值．
【答案】（1）填表见解析，一期和二期的开采天数分别为20天和17天；（2）0.5
【分析】（1）根据题意填表和列一元一次方程，解方程即可；
（2）根据二期的总售价比一期多4170万元，列方程，解得a值即可．
【解析】解：（1）根据题意，一期总产铁量为：（吨）；二期开采天数为（x-3），二期总产铁量为：（吨）；
填表得，
根据题意列方程得，，
解得，，，
答：一期和二期的开采天数分别为20天和17天；
（2）由（1）得，一期总产铁量为吨，二期总产铁量为吨，
根据题意列方程得，，
解得，，
答：a的值为0.5
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是明确题目中的数量关系，找到等量关系列方程．
20．（2021春·江苏扬州·七年级校考期末）【阅读•领会】怎样判断两条直线否平行？
如图①，很难看出直线a、b是否平行，可添加“第三条线”（截线c），把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系．我们称直线c为“辅助线”．
在部分代数问题中，很难用算术直接计算出结果，于是，引入字母解决复杂问题，我们称引入的字母为“辅助元”．
事实上，使用“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”可以更容易地解决问题．
【实践•体悟】
（1）计算，这个算式直接计算很麻烦，请你引入合适的“辅助元”完成计算．
（2）如图②，已知∠C+∠E＝∠EAB，求证AB∥CD，请你添加适当的“辅助线”，并完成证明．
【创造•突破】（3）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为 ．
（4）如图③，∠A1＝∠A5＝120°，∠A2＝∠A4＝70°，∠A6＝∠A8＝90°，我们把大于平角的角称为“优角”，若优角∠A3＝270°，则优角∠A7＝ ．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）250°
【分析】（1）设a＝，将式子进行变形，即可求解；
（2）延长BA交CE于点F，利用平行线的判定定理可得出结论；
（3）把代入方程组得到不含x，y的方程组，通过与方程组比较便可得到答案；
（4）连接A3、A7，分成两个五边形，利用多边形的内角和进行求解即可得到答案．
【解析】解：（1）设a＝，
原式＝（2+a）（a+）﹣a（2+a+）
＝；
（2）延长BA交CE于点F，如图所示：
∵∠EAB是∠EFA的外角，
∴∠EAB＝∠E+∠EFA，
又∵∠EAB＝∠E+∠C，
∴∠EFA＝∠C，
∴AB∥CD；
（3）把代入方程组得：，
与方程组比较得：，
方程组的解为：；
故答案为：
（4）连接A3、A7，分成两个五边形，如图所示：
五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
两个五边形的内角和为1080°，
∠A7＝两个五边形的内角和﹣2∠A1﹣2∠A2﹣2∠A6﹣∠A3
＝1080°﹣2×120°﹣2×70°﹣2×90°﹣270°＝250°，
故答案为：250°．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，平行线的性质与判断，解二元一次方程组，多边形的内角和等知识，加入了“辅助”的思想解题的关键是正确找到“辅助线”、“辅助元”等“辅助元素”．
21．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）颜主任计划为年级“英文歌曲大赛”购买奖品．已知购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元．颜主任准备购买、两种奖品共个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，问：
(1)、两种奖品的单价分别是多少元？（用二元一次方程组解决问题）
(2)种奖品至少买几个？（用一元一次不等式解决问题）
(3)在购买方案中最少费用是______元．
【答案】(1)、两种奖品的单价分别是元和元
(2)6个
(3)660
【分析】（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据“购买个种奖品和个种奖品共需元；购买个种奖品和个种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值．
（2）设购买种奖品个，则购买种奖品个，根据购买种奖品的数量不小于种奖品数量的，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出．
（3）设购买总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的关系式，再利用不等式的性质求解即可．
（1）
解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：、两种奖品的单价分别是元和元．
（2）
解：设购买种奖品个，则购买种奖品个，
种奖品的数量不小于种奖品数量的，
，
，
又为整数，
．
种奖品至少买个；
（3）
解：设购买总费用为元，购买种奖品个，
则，
∵（当时）
∴当越大时，w越大，
当时，取得最小值，最小值．
∴购买方案中，最少费用是660元，
故答案为：660．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键．
22．（2022春·江苏苏州·七年级校考期末）阅读材料题：
我们知道，所以代数式a2的最小值为0，学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如：求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴
∴的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究： ；
(2)代数式有最 （填“大”或“小”）值为 ；
(3)如图，长方形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的棚栏的总长是20m，棚栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)大，16
(3)当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）仿照题意利用配方法求解即可；
（3）设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，利用长方形面积公式得到，据此求解即可．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴的最大值为16，
故答案为：大，16；
（3）解：设长方形花圃垂直于墙的长度为xm，则平行于墙的长度为（20-2x）m，长方形花圃面积为S，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为50，
∴当长方形花圃垂直于墙的长度为5m，平行于墙的长度为10m时，花圃的面积最大，最大为 ．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确理解题意掌握配方法是解题的关键．
23．（2022春·江苏扬州·七年级校联考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若，，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，，求的值；
(2)填空：
①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，在长方形中，，，点E，F是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．
【答案】(1)
(2)①6 ；②17
(3)500平方米
【分析】对于（1），根据，代入计算即可；
对于（2）①，设，，求出，，再根据，求出答案即可；
②，令，，求出，，再根据，计算即可；
对于（3），根据题意得，设，，再表示，，然后根据代入计算即可.
【解析】（1）∵，
∴；
（2）①令，，
则，，
∴，
∴；
故答案为：6．
②令，，
则，，
∴，
∴，
故答案为：17；
（3）由题意得：，
令，，
则：，，
∴，
∴，
所以阴影部分的面积和为500平方米．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，理解公式的变形是解题的关键．即，，.
24．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）先阅读下面材料，再解答：
例题：解一元二次不等式．
解：因为，所以．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有①或②
解不等式组①，得．
解不等式组②，得．
故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或．
(1)求的解集；
(2)已知，求的解集．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）读懂题意，结合一元二次不等式的特征选择恰当的因式分解的方法，根据“两数相乘，同号得正”，分别解原不等式分类得到的两个不等式组，得到最终解集即可；
（2）方法与第（1）题类似．
（1）
解：由得，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有或，
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
故的解集为或，即的解集为或；
（2）
解：由题可得，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有或，
解不等式组①，得无解，
解不等式组②，得，
故的解集为，即的解集为．
【点睛】本题考查解一元二次不等式，涉及到分解因式，读懂题意，掌握题中告知的解法是解决问题的关键．
25．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若，求的值；
解：因为，所以，即：，又因为，所以＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若，求的值；
(2)填空：①若，则＝ ；
②若，则＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)12
(2)①6；②17
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）注意整体法的运用，将（4-x）、（5-x）看成一个整体去求解；
（3）表示两个正方形的面积、，得到，结合，推出，再去计算阴影部分面积．
（1）
∵，∴，，
又∵，
∴＝64－40＝24，
∴；
（2）
①＝16－10＝6；
②＝＝17；
（3）
∵AB＝6，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵BC＝CF，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．
26．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）题目：已知关于x、y的方程组，求：（1）若3x＋3y＝18，求a值；（2）若－5x－y＝16，求a值.
问题解决：
(1)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，将①＋②可得3x＋3y＝3a＋3，又因为3x＋3y＝18，则a值为________；
(2)王磊解决的思路：观察方程组中x、y的系数发现，若将方程组中的①与②直接进行加减，已经不能解决问题，经过思考，王磊将①×m，②×n，得，再将③＋④得：（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，……，请根据王磊的思路，求出m、n及a的值；
问题拓展：
(3)已知关于x、y的不等式组，若x＋5y＝2，求a的取值范围．
【答案】(1)5；
(2)m=1，n=-3，a=-1；
(3)a的取值范围为．
【分析】（1）将方程组中的两个方程直接相加，整体代换求值；
（2）通过对比得到关于m，n，a的方程组求值；
（3）利用不等式的性质得到关于a的不等式，求出a的范围．
【解析】（1）解：，
①+②得：3x+3y=3a+3，
∵3x+3y=18，
∴3a+3=18，
∴a=5．
故答案为：5；
（2）解：∵（m+2n）x+（2m+n）y=（-m+4n）a+3m，又因为-5x-y=16，
∴，
∴m=1，n=-3，a=-1；
（3）解：已知关于x，y的不等式组，
①×3得：3x+6y＞-3a+9④，
②×（-1）得：-2x-y＞-4a⑤，
④+⑤得：x+5y＞-7a+9，
∵x+5y=2，
∴2＞-7a+9．
∴a＞1．
【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式，根据题意建立适当的方程和不等式是求解本题的关键．
27．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）规定符号f（x）（x是正整数）满足下列性质：
①当x为质数时，f（x）＝1（质数：是指除了本身和1之外，再没有其他因数的数）．
②对于任意两个正整数m和n，f（m•n）＝mf（n）＋nf（m）．
例如：f（6）＝f（2×3）＝2f（3）＋3f（2） ＝2×1＋3×1＝5．
（1）直接写出f（3）＝ ，f（4）＝ ．
（2）求f（18）和f（24）的值；
（3）求满足不等式组的x的值．
【答案】（1）1，4；（2）21，44；（3）．
【分析】（1）先判断3时质数，4不是质数，且4＝2×2，结合定义求出f（3），f（4）；
（2）由18＝3×6，24＝4×6，结合f（3），f（4），f（6）和定义，求出f（18）和f（24）；
（3）先将f（18x），f（2x）化简，然后将不等式变形化简，从而求出x的值．
【解析】解：（1）∵3是质数，4＝2×2，且2是质数，
∴f（3）＝1，f（4）＝f（2×2）＝2f（2）＋2f（2）＝2×1＋2×1＝4．
故答案为：1，4．
（2）f（18）＝f（3×6）＝3f（6）＋6f（3）＝3×5＋6×1＝21，
f（24）＝f（4×6）＝4f（6）＋6f（4）＝4×5＋6×4＝44．
（3）∵f（18x）＝18f（x）＋xf（18）＝18f（x）＋21x，
f（2x）＝2f（x）＋xf（2）＝2f（x）＋x，
∴不等式组可化为，
解得．
【点睛】本题以新定义为背景，考查了学生对质数的了解情况、解一元一次不等式组．本题解题的关键是理解新定义，在理解的基础上将数字或代数式进行拆分成质数相乘的形式．
28．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）某商场的运动服装专柜，对两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表．
（1）问两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于品牌运动服的销量明显好于品牌，商家决定采购品牌的件数比品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件品牌运动服？
【答案】（1）两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元；（2）最多能购进65件品牌运动服.
【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案；
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
【解析】（1）设两种品牌运动服的进货单价分别为元和元.
根据题意，得，
解之，得.
经检验，方程组的解符合题意.
答：两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元.
（2）设购进品牌运动服件，则购进品牌运动服件，
∴，
解得，.
经检验，不等式的解符合题意，∴.
答：最多能购进65件品牌运动服.
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
29．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
(1)求、两种型号的电风扇的销售单价；
(2)若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
(3)在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元
(2)超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元
(3)在的条件下超市不能实现利润元的目标
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的电扇收入元，台型号台型号的电扇收入元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余元，列不等式求解；
（3）设利润为元，列方程求出的值为，不符合的条件，可知不能实现目标．
【解析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解
30．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）某校组织师生外出进行社会实践活动，打算租用某汽车租赁公司的客车．如果租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．
(1)请问甲、乙两种客车每辆分别能载客多少人？
(2)若该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．
①现打算同时租甲、乙两种客车共8辆（甲、乙都有租），请帮助旅行社设计租车方案；
②出发前，旅行社的一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车（三种车都有租），出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满，请问旅行社的租车方案如何安排？
【答案】(1)甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人
(2)①方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆．
方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；
方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；
②租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆
【分析】（1）设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，由题意：租用甲种客车3辆，乙种客车2辆，则可载195人；如果租用甲种客车2辆，乙种客车4辆，则可载210人．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8-a）辆，由题意：该校有303名师生，旅行社承诺每辆车安排一名导游，导游也需一个座位．列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题；
②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车分别为m辆、n辆、（7-m-n）辆，由题意：旅行社只能安排7名导游，为保证所租的每辆车均有一名导游，所租的三种客车的座位恰好坐满，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
（1）解：设甲种客车每辆能载客x人，乙种客车每辆能载客y人，根据题意得：，解得：，答：甲种客车每辆能载客45人，乙种客车每辆能载客30人；
（2）解：①设租甲种客车a辆，则租乙种客车（8-a）辆，根据题意得：45a+30（8-a）≥303+8，解得：a≥，∵打算同时租甲、乙两种客车，∴a=5，6，7，有三种租车方案：方案一：租甲种客车5辆，则租乙种客车3辆；方案二：租甲种客车6辆，则租乙种客车2辆；方案三：租甲种客车7辆，则租乙种客车1辆；②设同时租65座、45座和30座的大小三种客车分别为m辆、n辆、（7-m-n）辆，根据题意得：65m+45n+30（7-m-n）=303+7，整理得：7m+3n=20，∵m、n为正整数，∴m=2，n=2，则7-m-n=3，答：租车方案为：租65座的客车2辆，45座的客车2辆，30座的3辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
31．（2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．
例如：，．
(1)填空：______．
(2)若，则的取值范围为______；
(3)已知，求的取值范围；
(4)计算．
【答案】(1)-10
(2)
(3)或；
(4)
【分析】（1）根据题目所给新定义求解即可；
（2）根据题意可得，解不等式即可；
（3）分当，即时，当，即时，两种情况讨论求解即可；
（4）先证明，然后根据新定义结合整数的加减计算法则求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴，
故答案为：-10；
（2）解：∵，
∴，
解得，
故答案为：；
（3）解：当，即时，
∴，
∴，
解得；
当，即时，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（4）解：当，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次不等式，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键．
32．（2022春·江苏苏州·七年级苏州高新区第二中学校考期末）【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，两个边长分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如如图（1）所示的梯形，请用两种方法计算梯形面积．
(1)方法一可表示为______；方法二可表示为______；
(2)根据方法一和方法二，你能得出，，之间的数量关系是______（等式的两边需写成最简形式）；
(3)由上可知，一直角三角形的两条直角边长为6和8，则其斜边长为______；
(4)【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图（2）是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为______；（等号两边需化为最简形式）
【答案】(1)
(2)
(3)10
(4)
【分析】（1）分两种方法表示出面积即可；
（2）把（1）中的式子整理可得答案；
（3）把数值代入（2）中得到的结论即可；
（4）分两种方法表示出体积即可；
（1）
方法一可表示为：
方法二可表示为：
故答案为：
（2）
故答案为：
（3）
故答案为：10
（4）
方法一可表示为：（a+b）3；
方法二可表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
∴等式为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．
【点睛】本题考查多项式的乘法与图形面积，根据图形用不同的方法表示面积或体积是解题关键．
33．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）某数学实验小组在探究“关于x的二次三项式ax2+bx+3的性质（a、b为常数）”时，进行了如下活动．
【实验操作】取不同的x的值，计算代数式ax2+bx+3的值．
（1）根据上表，计算出a、b的值，并补充完整表格．【观察猜想】实验小组组员，观察表格，提出以下猜想．同学甲说：“代数式ax2+bx+3的值随着x的增大而增大”．同学乙说：“不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4”．…
（2）请你也提出一个合理的猜想： 【验证猜想】我们知道，猜想有可能是正确的，也可能是错误的．
（3）请你分别判断甲、乙两位同学的猜想是否正确，若不正确，请举出反例；若正确，请加以说理．
【答案】（1）3，0；（2）当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；（3）甲的说法不正确，反例见解析，乙的说法正确，见解析
【分析】（1）通过解方程组求得a、b的值．
（2）可以根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象性质进行猜想；
（3）举出反例即可判断．
【解析】解：（1）当x＝﹣1时，a﹣b+3＝0；
当x＝1时，a+b+3＝4．
可得方程组．
解得：．
当x＝2时，ax2+bx+3＝3；
当x＝3时，ax2+bx+3＝0．
故答案是：3；0；
（2）言之有理即可，比如当x＜1时，（ax2+bx+3）随x的增大而增大；当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的；
故答案是：当x＝﹣2和x＝4时，代数式（ax2+bx+3）的值是相等的（答案不唯一）；
（3）甲的说法不正确．
举反例：当x＝1时，y＝4；但当x＝2时，y＝3，所以y随x的增大而增大，这个说法不正确．
乙的说法正确．
证明：﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．
∵（x﹣1）2≥0．
∴﹣（x﹣1）2+4≤4．
∴不论x取何值，代数式ax2+bx+3的值一定不大于4．
【点睛】考查了配方法的应用和非负数的性质，解题时，需要掌握待定系数法确定函数关系式和二次函数图象的性质．
甲
乙
价格（万元/台）
7
5
每台日产量（万个）
100
60
①
∵
∴．
故当时代数式的最小值为-2
②
∵
∴
故当时代数式的最大值为4
信 息1．甲种树苗每棵60元；
2．乙种树苗每棵90元；
3．甲种树苗的成活率为；
4．乙种树苗的成活率为．
甲纪念品单件利润
乙纪念品单件利润
方案A
12
20
方案B
18
16
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
二期
1920+330
50%+10%
开采天数（天）
每天开采量（t）
含铁率
总产铁量（t）
一期
x
1920
50%
960 x
二期
x-3
1920+330
50%+10%
1350 x-4050
第一次
第二次
品牌运动服装数/件
20
30
品牌运动服装数/件
30
40
累计采购款/元
10200
14400
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
台
台
元
第二周
台
台
元
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
ax2+bx+3
…
0
3
4
…
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