长沙小升初数学分班考试集训班讲义

这是一份长沙小升初数学分班考试集训班讲义，共50页。试卷主要包含了熟记规律，常能化难为易，简便运算一般有三种方法等内容，欢迎下载使用。
掌握一定的解题方法和规律一点都不难。下面老师跟你支支招：
1、熟记规律，常能化难为易。
25×4=100， ②125×8=1000，③=0.25=25%，
④=0.75=75%, ⑤=0.125=12.5%, ⑥=0.375=37.5%, ⑦=0.625=62.5%,
⑧=0.875=87.5%
2、简便运算一般有三种方法：
凑整法：通过加、减一个数将其凑成整十、整百、整千的数。
交置法：也即通常所说的结合律，几个数相加、相减，将其位置交换一下，凑成整十、整百、整千的数。
去括号法：有时在计算含有括号的算式时，通过去除括号，可使运算简便，但要注意的是去括号后的符号变化。
二、典型例题：
例1、30.34＋9.76－10.34 变式训练： 1－－
,
例2、41.06－19.72－20.28 变式训练：7－3+
例3、 5.68＋（5.39＋4.32） 变式训练：5－(－)

例4、 1.25×（8÷0.5） 变式训练9.3÷(4÷)
例5、24×(---) 变式训练 ×103-×2-
例6、 变式训练：

例7、3.74×5.8＋62.6×0.58 变式训练.43×14＋1.4×75.7－14


例8、2005×97.75＋4010×1.125 37×1111＋7777×9

巩固练习：4.7×2.8＋3.6×9.4 999×778＋333×666
例9
变式训练：
例10、解方程

巩固训练：

课后作业：
[1－（+）]× ＋×15÷
(＋+)×72 43×＋57.125×－0.5

EQ 2\f(1,2) ×6.6＋2.5× EQ 6\f(3,5) EQ 11\f(7,8) － EQ 6\f(1,3) － EQ 1\f(2,3)

第二讲：按要求求周长、涂色面积或体积
一、相关计算公式
三角形面积= 梯形面积=
正方形面积= 正方形周长=
长方形面积= 长方形周长=
圆面积= 圆周长=
正方体表面积= 正方体体积=
长方体表面积= 长方体体积=
圆柱表面积= 圆柱体积=
圆锥体积=
经典例题：
题型一：求图形的周长和面积
1．计算下面各图形的周长和面积。（图中单位：米）
16

r =5
题型二：求图形的表面积和体积
2．计算计算每个图形的表面积和体积。（圆锥、组合体只求体积）

题型三：求阴影部分的面积
3.(1)求阴影部分的面积。（没有标注单位的图形，其单位为“厘米”）
10cm

面积与体积应用
1.一个游泳池，长25米，宽10米，深2米。这个游泳池占地多少平方米？最多能贮水多少立方米？

2. 一个圆锥形沙堆，高1.2米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨这堆沙约重多少吨？
一间教室长9米，宽6米，高4米，要粉刷房顶和四壁，扣除门窗和黑板面积共26平方米，若每平方米用涂料2.3千克，粉刷这间教室需要涂料多少千克？
4. 一个粮食专业户承包了一块长方形水田，水田长240米，宽100米，今年这块地共收粮食1800，平均每公顷产量是多少千克？
5. 一种压路机的滚筒是圆柱体，它的长是1.5米，滚筒的半径是0.5米，如果每分钟滚15周，每小时可以压路多少平方米？

6. 一个圆柱形汽油桶，底面直径6分米，高1米。做这个汽油桶至少需要多少铁皮？（接头处不计）这个油桶最多能装汽油多少升？
7. 一间长方形客厅，长6米，宽4米，用边长40厘米的正方形地砖来铺，需要多少块地砖？


8、如图，一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加25.12平方厘米，求原来圆柱的体积。
8cm
9．一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少?

10、有一个圆环，内圆的周长是31.4厘米，外圆的周长是62.8厘米，圆环的宽是多少厘米？
第三讲 分数百分数应用题
一、知识要点
1、百分数应用题研究的是数量之间的关系，体现的是单位＂1＂的量,百分率对应数量之间的关系,解题时就要注意抓住单位＂1＂的量.要注意分析题中百分率和具体数量的对应关系,可以抓住百分率找对应的具体数量,也可以通过具体的数量找对应的百分率.百分数应用分为：
（１）求一个数是另一个数的百分之几（包括一个数比另一个数多百分之几，一个数比另一个数少百分之几），如求出勤率、求成活率、求合格率等。
（２）求一个数的百分之几。
（３）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。
2、分数应用题研究的是数与量的对应关系，确定单位“1”是解答分数应用题的关键。解题时就要注意抓住单位＂1＂的量，要注意分析题中分率和具体数量的对应关系：
如果已知单位＂1＂的量,求分率对应的具体的数量就用乘法。
如果已知分率对应的具体数量,求单位＂1＂,就要用除法。
温馨提示：对于题中多个单位＂1＂的量，要注意转化。
二、经典例题
例1、 机床厂去年生产机床500台，今年生产600台。
（１）今年生产的机床比去年多百分之几？
（２）去年生产的机床比今年的少百分之几？
变式训练、 饲养组养黑兔40只，
(1) 白兔的只数是黑兔的80%，白兔有多少只？
（2）白兔的只数比黑兔多25%，白兔有多少只？
（3）白兔的只数比黑兔少20%，白兔有多少只？
例2、种子发芽的有48棵，不发芽的有2棵，求发芽率是多少。
变式训练、1、一批零件经检验，发现有4个不合格，合格率是98%，那么有（ ）个合格零件。
用80粒大豆种子作发芽试验，结果有4粒没有发芽。种子的发芽率是（ ）%，
例3、 看一本160书，第一天看了它的40％，第二天看了它的25％。这共看了多少页？


变式训练：书店新到一批儿童读物，第一天售出这批读物的28％，第二天售出这批读物的32％，第二天比第一天多售出48本。这批儿童读物多少本？

例4、一套课桌椅的价钱是105元，其中椅子的价钱是课桌的。椅子的价钱是多少元？
例5、一桶油第一次用去，第二次比第一次多用去20千克，还剩下22千克。原来这桶油有多少千克？
变式训练：一堆煤，第一次用去这堆煤的20%，第二次用去290千克，这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千克？
例6、缝纫机厂女职工占全厂职工人数的，比男职工少144人，缝纫机厂共有职工多少人？
变式训练：菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的，第二天卖出余下的，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？
例7 、电视机厂有甲、乙两个装配车间，其中甲车间占两个车间总人数的，因工作需要，从甲车间调出36人到乙车间，这时两个车间人数正好相等，求甲、乙两个车间原有多少人？
变式训练： 名士小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占，后来又买进一些科技书，这时科技书占这两种书的，又买进科技书多少本？
课后作业：
1.虹飞几械厂扩建厂房计划投资4.2元，实际投资降到3.4万元，实际降低了百分之几？
2.李师傅改进技术后，每天制造零件 120 个，比原来每天多生产，李师傅 原来每天制造零件多少个？
3.果园里有桃树150棵。梨树的棵数是桃树的，又是苹果树的。苹果树有多少棵？


4.一堆沙子，用汽车已经运走了24吨，余下的比运走的多，这堆沙子原来重多少吨？
5.今年“六一”儿童节，妈妈送给玲玲《马小跳》和《哈利波特》各一套，共用去315元。一套《哈利波特》的价钱是一套《马小跳》的75%，一套《马小跳》的价钱是多少元？
6、班级图书角的故事书本数是科普书本数的80%。买来16本故事书后，故事书与科普书一样多。班级图书角有科普书多少本？
7、小张的阿姨服装店卖给以顾客两套服装，结果赚了20％，另一套赔了20％。两套衣服都卖了120元，算一算，张阿姨这笔生意时赔了还是赚了？
8．鸣人从家到学校，已走了全程的处，他要再走1400米，就走了全程的，他的家离学校共有多少米？
9、某车间要加工一批零件，第一天做了全部零件的还多16个，第二天做了全部零件的少2个，还剩88个。这批零件一共有多少个？
第四讲 利润和利率问题
【知识概述】
一、销售问题
商店出售商品，总是期望获得利润。例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50＝20（元）。通常，利润也可以用百分数来说，20÷50＝0.4＝40％，我们也可以说获得 40％的利润。因此
利润的百分数＝（卖价-成本）÷成本×100％
卖价＝成本×（1＋利润的百分数）
成本＝卖价÷（1＋利润的百分数）
商品的定价按照期望的利润来确定
定价＝成本×（1＋期望利润的百分数）
定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售，减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣。减价 25％，就是按定价的（1－25％）＝ 75％出售，通常就称为七五折。因此：
卖价＝定价×折扣的百分数
二、 纳税问题
纳税。
（1）纳税的相关名称。
eq \\ac(○,1)应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。
eq \\ac(○,2.)税率：应纳税额与各种收入（销售额、营业额……）的比率叫做税率。
应纳税额=总收入×税率。
三、利率问题利息=本金×利率×时间×（1-利息税）
例1、1.只列式不计算。
①买一件T恤衫，原价80元，如果打八折出售是多少元？
②有一种型号的手机，原价1000元，现价900元，打几折出售？

③老师在商店里花了56元钱买了一条牛仔裤，因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤原价多少元？
例2、益民五金公司去年的营业总额为400万元。如果按营业额的3％缴纳营业税，去年应缴纳营业税多少万元？
例3、王叔叔买了一辆价值16000元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳10％的车辆购置税。王叔叔买这辆摩托车一共要花多少钱？
例4、小红的爸爸将5000元钱存入银行活期储蓄，月利率是0.60%，4个月后，他可得税后利息多少元？可取回本金和利息共有多少元？
例5.小琴妈妈七月份的工资收入是1350元，扣除800元后按5﹪的税率缴个人所得25﹪的税。小琴妈妈应缴个人所得税多少元？
例6.爸爸2000年6月1日把5000元钱存入银行，定期三年，年利率为2.25﹪，到期时国家按所得利息的20﹪征收个人所得税。到期时爸爸应缴个人所得税多少元？爸爸这次储蓄实际收入多少元？
一件商品,原价比现价少百分之20,现价是1028元,原价是多少元?
一辆自行车200元，在原价基础上打八折，小明有贵宾卡，还可以再打九折，小明买这辆车花了多少钱？
小红在书店买了两本打八折出售的书，共花了12元，小红买这两本书便宜了多少钱。
王叔叔把4000元存入银行，整存整取3年，年利率为5.00%，到期时王叔叔可取回多少元？
拓展提高：
例1、商店有作业本100本，每本成本为0.5元，按每本0.7元销售，可获利润多少元？利润率是百分之几？
变式训练1、一台电风扇，进货价是250元，售价是300元。这种电风扇卖出后所能获得的利润占成本的百分之几？
2、商店每卖出一本挂历，可获得利润12元，已知每本挂历售价52元，这种挂历的利润率是百分之几？


例2、红星商店购回一批商品，按20%的利润定价，然后打八折出售，结果亏损400元。这批商品的成本是多少元？

变式训练1、某商品按20%的利润定价，然后打八折出售，结果亏损了64元。每个这种商品的成本是多少元?

2、一种商品商店先按20%的利润定价，然后按定价的90%出售，结果获利256元。这种商品的成本价是多少元？

例3、商店以每双6.5元的价格购进一批凉鞋，售价为每双8.7元，卖到还剩200双时，除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元。这批凉鞋共多少双？


变式训练 1、一个小商店以每瓶6.5元的价格购进一批蜂蜜，售价7.4元，买到剩5瓶时，除成本还获利44元。这批蜂蜜共进多少瓶？







第五讲 比和比例
知识点一：比例的意义和基本性质：
1．表示两个比相等的式子叫做比例.
2．组成比例的四个数,叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。
只要两个比的比值相等，就能组成比例。
知识点二：正反比例的比较和应用
正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（或商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫正比例关系。正比例关系用字母表示为：= k（一定）。
反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫反比例关系。反比例关系用字母表示为：x×y = k（一定）。
正比例的图像是直线，反比例的图像是曲线。
三、比例尺
图上距离与实际距离的比，叫这幅图的比例尺。

1. 数字比例尺 如：1：3000 000 图上1厘米表示实际3000 000厘米。注意统一单位。
2. 线段比例尺
3. 比例尺的应用
比例尺的关系式： 图上距离 ： 实际距离 = 比例尺
变形：图上距离 ＝ 实际距离 × 比例尺
实际距离 ＝ 图上距离 ÷ 比例尺
特别地：单位要统一
注意：比、比例、比例尺、百分数的后面不能带单位。
经典例题：
例1、4. 3﹕4 =（ ）﹕12 = =18÷（ ）=（ ）%
例2、解比例方程 X﹕3 = 0.6﹕0.15 12﹕X = ﹕
﹕X =﹕ =

例3. 一个农场计划在150公顷的地里播种大豆和玉米。已知大豆和玉米播种的面积比是2 ：3，两种作物各播种多少公顷？
变式训练：1 把一批图书按4 ：5的比例分配给五、六两个年级的学生。已知六年级分到120本，五年级分到多少本？
配制一种农药，其中生石灰、硫磺粉和水的重量比是1∶2∶12，现在要配制这种农药2700千克，求各种原料分别需要多少千克。
例4.一个长方形地的周长是80米，长与宽的比是3﹕1 。这块地的面积是多少平方米？
变式训练．用200厘米的铁丝做一个长方体的框架。长、宽、高的比是5 ：3 ：2。这个长方体的体积是多少立方厘米？
例5、甲、乙两站的铁路长315千米，客车和货车同时从两站相向驶出，经过3.5小时在途中相遇。客车和货车速度的比是4：5，客车和货车每小时各行多少千米？
例6、一根电线，长70米，重15.4千克，现有这种电线940米，重多少千克？
变式训练、学校班车4分钟行驶了2400米，照这样的速度，从第1站到学校共行驶了30分钟，这段路程有多少千米？（解比例）
例7、同学们做操，每行站15人，正好站12行。如果每行站9人，可以站多少行？
变式训练1、给一间房子铺地，如果用边长6分米的方砖，需要80块。如果改用边长8分米的方砖，需要多少块？
修一条路，原计划15天完成，实际每天修300米，结果提前3天完成，原计划每天修多少米？
例8、在一幅地图上量得北京到武汉的距离是8厘米，而北京到武汉的实际距离是1152千米，求这幅地图的比例尺。
变式训练：1、在一张地图上量得A地到B地的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是1：3000000，A地到B地的实际距离是多少千米？
2、一张地图的比例尺是1：200000，从甲地到乙地的实际距离是60千米，求图上距离是多少厘米？
巩固训练与课后作业：
1、公鸡与母鸡的只数比是2∶9，也就是公鸡占总只数的（ ） ，母鸡占总只数的（ ） ，公鸡的只数是母鸡的（ ） ，母鸡的只数是公鸡的（ ） 。
2、一批货物按2∶3∶4分配给甲、乙、丙三个队去运，甲队运这批货物的（ ） ，丙队比乙队多运这批货物的 （ ）。
3. 1.5小时﹕24分钟化成最简整数比是（ ）。
A、3﹕48 B、1﹕16 C、15﹕4
4 . 用3、5、9、15组成的比例式是（ ）。
A、5﹕3 = 9﹕15 B、3﹕9 = 15﹕5 C、3﹕5 = 9﹕15
5. 减数是被减数的3/7，差和减数的比是（ ）。
A、4﹕7 B、3﹕4 C、7﹕4
6 线段比例尺 0 30 60 90 120千米化成数值比例尺是（ ）。
A、1﹕40 B、1﹕120 C、1﹕3000000
7. 圆的周长与它的半径的比是（ ）。
A、л﹕1 B、1﹕л C、2л﹕1 D、1﹕2л
8. 一个圆柱和一个圆锥的体积相等，它们底面积的比是3﹕1，高的比是（ ）。
A、1﹕3 B、3﹕1 C、1﹕9 D、1﹕9
修一条公路,每天修0.5千米，36天完成。如果每天修0.6千米，多少天可修完？（用比例方法解）
生产一批零件，计划每天生产160个，15天可以完成，实际每天超产80个，可以提前几天完成？（用比例方法解）
11.雏鹰假日小队的同学分3组采集蓖麻籽，第一小组、第二小组、第三小组的工作效率之比是12∶11∶7，第一小组采集蓖麻籽36千克，第二、第三小组各采集蓖麻籽多少千克？
12、水果店运进梨和苹果的筐数比是3∶2，当只卖出15筐梨后，苹果的筐数占梨的 。现在的梨和苹果各有多少筐？
第六讲 行程问题
【知识概述】
行程问题是研究相向运动中的速度、时间和路程三者之间关系的问题，（ 涉及两个或两个以上物体运动的问题）指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇，这类应用题叫做相遇问题。
数量关系：路程 ÷ 速度和 ＝ 相遇时间
路程 ÷ 相遇时间 ＝ 速度和
速度和 × 相遇时间 ＝ 路程
温馨提示：
（1）在处理相遇问题时，一定要注意公式的使用时二者发生关系那一时刻所处的状态；
（2）在行程问题里所用的时间都是时间段，而不是时间点(非常重要)；
（3）无论是在哪类行程问题里，只要是相遇，就与速度和有关。
解题秘诀：
（1）必须弄清物体运动的具体情况，运动方向（相向），出发地点（两地），出发时间（同时、先后），运动路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇）等。
要充分运用图示、列表等方法，正确反映出数量之间的关系，帮助我们理解题意，迅速的找到解题思路。
经典例题：
例1.小明和小兰同时从甲、乙两地出发，相对走来，小明每分走60米，小兰每分走50米，经过3分钟两人相遇，甲、乙两地相距多少米？

变式练习：1、甲、乙两地相距240千米，客车和货车同时从甲、乙两地相向而行，已知客车每小时行50千米，货车每小时行30千米。几小时两车相遇？
例2、从长沙到广州的铁路长745千米，一列货车从长沙开往广州，每小时行60千米，2小时后，一列客车从广州开往长沙，每小时行65千米，再过几小时两车相遇？
变式练习：1、东西两镇相距480千米，一辆客车上午8时从东镇开往西镇，一辆货车10时从西镇开往东镇，客车每小时行60千米，货车每小时行40千米，问：货车从西镇开出几小时与客车相遇？
例3.甲、乙两地相距450千米，客货两车同时从甲乙两地相向开出，5小时相遇。已知客车每小时行50千米，货车每小时行多少千米？

变式练习：1、A、B两地相距120千米，甲骑自行车从A地到B地，每小时行30千米，同时乙骑摩托车从B地到A地，1.5小时后甲乙在中途相遇。求乙的速度。
2、两列火车同时从相距480千米的两个城市出发，相向而行，甲车每小时行40千米，乙车每小时行42千米，5小时后两列火车相距多少千米？
例4、甲、乙两地相距288千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时分别从两地相对开出，经过4小时相遇，已知汽车的速度是拖拉机速度的2倍，求拖拉机的速度。
变式练习：1、小东和小强两人同时从甲、乙两地出发相向而行，小东每分钟行120米，小强的速度是小东的2倍。已知甲、乙两地的距离是720千米。求两人相遇时各走了多少分钟？
2、一辆汽车和一辆自行车从相距196千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，4小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行19千米。求汽车和自行车的速度各是多少?
例5、小军和小强两人同时从相距2000米的两地相向而行，小军每分钟行120米，小强每分钟行80米，如果一只狗与小军同时出发，同向而行，它每分钟行400米，当它遇到小强后，立即回头向小军跑去，遇到小军后又立即回头向小强跑去，这样来回不断，直到小军和小强相遇为止，这只狗跑了多少米？
变式练习：1、甲、乙两站相距440千米，一辆大车和一辆小车从两站同时相对开出，大车每小时行35千米，小车每小时行45千米。一只燕子以每小时50千米的速度和大车同时出发，向小车飞去，遇到小车又折回向大车飞去。遇到大车有往回飞向小车。这样一直飞下去，燕子飞多少千米，两车才能相遇？
2、姐妹俩同时从家到少年宫，路程全长770米，妹妹步行每分钟走60米，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇，这时妹妹走了多少分钟?
例6、甲、乙两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点32千米处相遇。东、西两地相距多少千米？
变式练习：
1、甲、乙两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行55千米，两车在距离中点15千米处相遇。求两地间的距离.
2、一辆汽车和一辆摩托车同时从A、B两城相对开出，汽车每小时行60千米，摩托车每小时行70千米，当摩托车行到两城中点处时，与汽车还相距30千米。求A、B两城之间的距离。
例7、一辆小轿车从甲地开往乙地，每小时行驶90千米。同时，一辆卡车从乙地开往甲地，6小时后，两车相遇。相遇后，小汽车又用了4小时到达乙地。问，相遇后，卡车多少小时可以到达甲地？
例8、 AB两城间有一条公路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城出发，甲以每小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立即以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中第二次相遇？相遇地点离A城多少千米？


变式练习：
AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，并连续往返于甲、乙两地。甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米。几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？
例9. 一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两城同时出发，向一个方向前进，汽车在前，每小时40千米；摩托车在后，每小时75千米。经过3小时摩托车追上了汽车。甲乙两城的距离是多少？

例10. 小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米.如果小明站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？

例11．甲乙两人赛跑，甲的速度是8米/秒，乙的速度是5米/秒，如果甲从起点往后退20米，乙从起点处向前进10米，问甲经过几秒钟追上乙？


【变式训练】1．甲乙两车相距90千米，两车同向而行，甲车每小时行65千米，乙车每小时行50千米，经过多少小时甲车能追上乙车？

2．某学校组织学生看电影，第一批的学生骑自行车先走，他们的速度是200/分，10分钟后，其余同学乘汽车前往电影院，汽车的速度是600/分，结果所有的同学同时到达。求学校和电影院的距离。
3． 小明步行上学，每分行75米，小明离家12分钟后，爸爸发现小明的数学书没有带，就骑自行车去追，每分钟行375米，爸爸出 发多少分钟后能追上小明？
4、已知甲骑自行车追赶前面步行的乙，乙的速度是每分钟60米，甲的速度是每分钟150米，甲出发8分钟追上乙，那么乙比甲早出发多少分钟？
例12、甲每小时行6千米，乙每小时行4.5千米，甲、乙两人同时从A地出发去B地，甲到达B地后立即沿原路返回，在距B地3千米处与乙相遇，A、B两地相距多少千米？



例13．小兰和小松同时从学校去少年宫，小兰步行每分钟走6米，小松骑自行车，每小时行15千米，小松比小兰早到12分钟，学校到少年宫一共有多少米？
例14、快车长106米，慢车长74米，两车同向行使，快车追上慢车后，又给过1分钟才超过慢车，如果相向而行的话，车头相接后经过12秒两车才完全离开。就两列车的速度？
变式训练1、在400米的环行跑道上，甲、乙两人同时同地起跑，如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度各是多少？
某校202名学生排成两路纵队，以每秒3米的速度去春游，前后相邻两个人之间的距离为0.5米。李老师从队尾骑自行车以每秒5米的速度到队头，然后又返回到队尾，一共要用多少秒？
巩固训练与课后作业：
1.两只军舰同时从相距869千米的两个港口对开。一只军舰每小时行40千米，另一只军舰每小时行39千米，经过多少小时两只军舰可以相遇？
2.两列火车同时从北京和沈阳相对开出，从北京开出的火车每小时行59千米，从沈阳开出的火车每小时行64千米，6小时以后两列火车相遇。北京到沈阳的铁路长多少千米？
3.甲乙两人同时从相距27千米的两地相向而行，3小时相遇。已知甲每小时行5千米，乙每小时行多少千米？
4.甲乙两人同时从相距3.5千米的两地背向而行，甲向东每小时行5千米，乙向西每小时行4.8千米。3.5小时后两人相距多少千米？
甲乙两车从相距1200千米的两地同时相向开出，甲车每小时行55千米，乙车每小时行45千米，几小时后两车相距200千米？
6.两辆汽车相距1500千米，甲车在乙车前面，甲车每分钟行610米，乙车每分钟660米，乙车追上甲车需几分钟？
7.老王和老张从甲地到乙地开会，老张骑自行车的速度是15千米/小时，先出发2小时后，老王老出发，老王用了3小时追上老张，求老王骑车速度？
8.上午10点，从一个港口开出一只货船，下午2点钟，又从这个港口开出一只客船，客船开出12小时追上货船，客船速度20千米/小时，求货船速度？
9.两地相距900千米，甲车行全程需15小时，乙车行全程需12小时，甲车先出发2小时后，乙去追甲，问乙车要走多少千米才能追上甲车？
10. 小张从家到公园,原打算每分钟走50米,为了提早10分钟到,他把速度加快,每分钟走75米.小张家到公园有多少米？
11.甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行12千米，甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？
12.四年级同学从学校步行到工厂参观，每分钟行75米，24分钟以后，因有重要事情，派张兵骑车从学校出发去追。如果他每分钟行225米，那么几分钟后可以追上同学们？
第七讲 工程问题
【知识概述】
在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是：
工作效率 × 工作时间 ＝工作总量
工作总量 ÷ 工作效率 ＝工作时间
工作总量 ÷ 工作时间 ＝工作效率
在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”
另外，还有一类没有具体量的工程问题，这类型的题目一般只有工作时间，这里我们一般把工作总量看是“单位1”；
工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。具体的题目当中
把时间的倒数看做的工作效率；比如，一项工程甲单独完成需要10天，则甲每天完成这项工程的
【典型例题】
例１ 一项工程，由甲工程队修建，需要１２天，由乙工程队修建，需要２０天，两队共同修建需要多少天？
变式训练：1 一项工程，甲队独做８天完成，乙队独做１０天完成，两队合做，多少天完成全部工程的？
2、 一项工程，甲、乙合做６天可以完成。甲独做１８天可以完成，乙独做多少天可以完成？
例2 加工一批零件，单独１人做，甲要１０天完成，乙要１５天完成，丙要１２天完成。如果先由甲、 乙两人合做５天后，剩下的由丙１人做，还要几天完成？
变式训练：一件工程，甲、乙合作６天可以完成。现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好 做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
例3、单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
变式训练：一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
例4、修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
变式训练1.修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？
例5：（整体法）有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
变式训练:.有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时?
巩固训练：
一件工程，甲独做10天完工，乙独做15天完工，二人合做几天完工？
一项工作，甲单独做要10天完成，乙单独做要15天完成。甲、乙合做几天可以完成这项工作的80％？
一项工程，甲独做要18天，乙独做要15天，二人合做6天后，其余的由乙独做，还要几天做完？
修一条路，甲单独修需16天，乙单独修需24天，如果乙先修了9天，然后甲、乙二人合修，还要几天？
5. 一项工程，甲队独做15天完成，乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后，剩下的工程由丙队8天完成。如果这项工程由丙队独做，需几天完成？
6. 甲和乙两队合修一条公路，完成任务时，甲队修了这条公路的。如果乙队单独完成要24天，甲队单独做几天完成？
一项工程，甲独做要10天，乙独做要15天，丙独做要20天。三人合做期间，甲因病请假，工程6天完工，问甲请了几天病假？
8. 一项工程，甲队独做要20天完成，乙队独做要5天能完成全工程的。现由两队合做，多少天可以完成？
第八讲 统计概率
知识要点：
一 统计表
（一）意义
* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
（二）组成部分
* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
（四）制作步骤
1搜集数据
2整理数据：
要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
3设计草表：
要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。
4 正式制表：
把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
二 统计图
（一）意义
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
（二）分类
1 条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
2 折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
3扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤：
（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。
（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
经典例题：
例1、根据下面所提供的信息填空。

（1）参加人数最多的是（ ）班，最少的是（ ）班。
（2）一共有（ ）人参加植树，其中男生有（ ）人，女生有（ ）人。
（3）已知一共栽了339棵树，平均每人栽了（ ）树。
（4）五（3）班男生约占全年级人数的（ ）%。
例2、下面是两个班的成绩统计图：

（1）如果85分以上为优秀，分别计算两班的优秀率：
一班优秀率：______________
二班优秀率：______________
（2）指出一班人数最多的扇形的圆心角的度数.
（3）这两个班的及格率分别是多少？
变式训练1、下面是陈明家六月份生活开支情况统计图。
（1）陈明家六月份水电气的开支占生活总开支的百分之几？
（2）陈明家六月份的哪两项开支约占生活总开支的二分之一？
（3）如果陈明家这个月的生活支出是2000元，请你分别计算陈明家各项支出的钱数。
2、.初一某班有学生50人，下面收集的是这个班同学身高的数据：
请问：（1）140~149的占全班总数的百分数为________；
（2）149~155的占全班总数的百分数为________；
（3）155~160的占全班总数的百分数为________；
求160~167占的百分数，你有不同于（1）、（2）、（3）的计算方法吗？
哪一个范围内的人数占全班的一半？
（6）哪一个范围的人数最少？
例3、观察扇形统计图，并填空。

上图是张叔叔1个月工资的安排情况统计图。（总工资：1500元）
张叔叔每个月的基本生活费是（ ）元；每个月用于休闲的费用是（ ）元；
每个月用于其他的费用是（ ）元； 每个月储蓄了（ ）元。
张叔叔想要买一台4500元的电脑，他需要多少个月的存款才能买到？
例4、右图是某农场各种农作物种植面积统计图，看图回答问题：已知粮食作物比经济作物多312公顷，这个农场一共耕种土地多少公顷？三种作物各耕种多少公顷？
变式训练：.六年级学生进行一次“我最喜欢的文艺节目”小调查，统计结果如下图。
= 1 \* GB3 ①、已知喜欢小品的有60人，六年级有多少人？
= 2 \* GB3 ②、喜欢歌曲的人数比相声多多少人？
巩固训练：
一、填空。
1、常用的统计图有（ ）统计图，（ ）统计图，（ ）统计图。
2、如果要表示各部分数量同总数之间的关系，可以用（ ）统计图表示。
3、扇形统计图是用（ ）表示总数，用 （ ）表示各部分所占总数的百分比。
4、如果要反映数量的增减变化情况，可以用（ ）统计图表示。
5、要反映小明家上个月各项支出占他家总支出的关系，可选用（ ）统计图。
6、右图是一件毛衣各种毛占总重量的统计图，
根据右图回答问题。
（1）棉的含量占这件衣服的（ ）%。
（2）（ ）的含量最多，（ ）的含量最少。
（3）兔毛含量比涤纶少占总数的（ ）%。
（4）这件毛衣重400克，羊毛有（ ）克，兔毛
有（ ）克。
7、下面数据分别用哪种统计图表示比较合适？
A.人离不开水，成年人每天体内47%的水靠喝水获得，39%来自食物含的水，14%来自体内氧化时释放出来的水。
B.某校五年级学生最喜欢的课外活动统计表如下。
C.小强从一年级到五年级每年体检的身高记录如下。
A用( )统计图 B用( )统计图 C用( )统计图
9、要反映某食品中各种营养成份的含量，最好选用（ ）统计图。
10、用统计表表示的数量，还可以用（ ）来表示。
11、要绘制一幅能反映出全校各年级男女生人数的统计图，绘制成（ ）统计图较好。
二、仔细分析，再解答。
1、我国国土总面积是960万平方千米。下面是我国地形分布情况统计图，请根据统计图回答问题。
（1）我国山地面积占总面积的百分之几？
（2）各类地形中，什么地形面积最大？什么最小？
（3）请算出各类地形的实际面积，填入下表。
2、聪聪家2009年11月支出情况统计如下图。聪聪家2009年11月的总支出是3600元。请你回答问题。
这个月哪项支出最多？支出了多少元？
（2）文化教育支出了多少元？购买衣物支出了多少元？
（3）购买衣物的支出比文化教育支出少百分之几？少支出了多少元？
3、右图是养兔专业户养的黑兔、灰兔、白兔的扇形统计图。
如果这个养兔专业户共养兔3000只，算出三种兔各养了多少只？
4、下图是某学校教师喜欢看的电视节目统计图。
（1）实验小学喜欢《走进科学》栏目的老师占百分之几？
（2）喜欢的《大风车》的老师比喜欢《焦点访谈》的
多20人，实验小学一共有多少老师？
（3）喜欢《新闻联播》的和喜欢《走进科学》的一共有多少人？
5、下面是林场育苗基地树苗情况统计图。
⑴柳树有2500棵，这些树苗的总数是多少棵？
⑵柏树和槐树一共有多少棵？
⑶杨树比松树多百分之几？
6、食品公司2009年上半年生产情况统计图
2009年7月
（1）（ ）月份的产量最高，（ ）月份的产量最低。
（2）上半年平均月产量是多少吨？

（3）六月份产量比一月份增长百分之几？
7.这是六年一班期中数学成绩统计图，请根据下列信息解答相关问题。
（1）不合格率为（ ）%
（2）已知得优的有12人，比得良等级的人数少多少人？

8.一块的菜地种植了4种蔬菜，分布情况如下图。若黄瓜的种植面积是450m2，则 西红柿的面积比芹菜多多少平方米？

9.营安隆超市销售C,B,A,三种饮料, 第二季度C,B,A,三种饮料的销售量如图:已知A种饮料比C种饮料少销售18000箱.(1)三种饮料共销售多少箱? (2)C种饮料销售多少箱?
比
比例
意义
两个数相除又叫做这两个数的比
表示两个比相等的式子叫做比例
构成
由两项组成，分别叫做比的前项和后项
由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项
基本
性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积
身高（cm）
140~149
149~155
155~160
160~167
人数
8
25
12
5
活动项目
看电视
打球
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其他
人数 （人）
80
68
74
56
23
年级
一
二
三
四
五
六
身高 （cm）
125
129
135
140
150
153
地形种类
山地
丘陵
高原
盆地
平原
面积（万平方千米）