2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省百师联盟高二（下）联考数学试卷（6月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l的方向向量为(2,1,m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l⊥α，则m=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
2.某学校4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去1个小区，且每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为( )
A. 6B. 12C. 24D. 36
3.已知{an}为等比数列，公比q>0，a2+a3=12，a1⋅a5=81，则a5=( )
A. 81B. 27C. 32D. 16
4.甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为13,12，则密码被破译的概率为( )
A. 16B. 23C. 56D. 1
5.如图F1，F2是双曲线C1：x2−y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是( )
A. 23B. 45C. 35D. 25
6.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为( )
A. 2041年～2042年B. 2061年～2062年C. 2081年～2082年D. 2101年～2102年
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在DB，AB1上，且BE=2ED,AF=2FB1，若正方体的棱长为3，则|EF|=( )
A. 3B. 2 2C. 2 3D. 4
8.若a=14ln4,b=25ln52,c=12，则( )
A. a二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量ξ服从二项分布B(4,12)，则P(ξ=3)=14
B. 若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，P(η<2)=0.1，则P(2<η<8)=0.8
C. 若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=12，则D(X)=12
D. 若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(3Y+2)=8
10.已知点M在圆x2+y2+2x−3=0上，点P(0,1)，Q(1,2)，则( )
A. 存在点M，使得|MP|=1B. ∠MQP≤π4
C. 存在点M，使得|MP|=|MQ|D. |MQ|= 2|MP|
11.已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，以下说法正确的是( )
A. an=8n−6
B. 当k=3时，bn=2n
C. 当k=3时，b29不是数列{an}中的项
D. 若b9是数列{an}中的项，则k的值可能为7
12.设f′(x)是三次函数y=f(x)的导数，f′′(x)是f′(x)的导数，若方程f′′(x)=0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为三次函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心.设函数f(x)=x3+bx2+cx，则以下说法正确的是( )
A. f(x)的拐点为(−b3,f(b3))
B. f(x)有极值点，则b2−3c>0
C. 过f(x)的拐点有三条切线
D. 若b=−3，c=1，则f(2−x)+f(x)=−2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在( x3−3x)5的展开式中，x的系数为______．
14.若函数f(x)=x3+ax2+2在区间[1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是 ．
15.已知数列{an}为正项等比数列，且a2−a3=3，则a1的最小值为______．
16.已知点P在抛物线C：y2=2px(p>0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为H，点F为C的焦点.若∠HPF=60°，点P的横坐标为1，则p= ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=1x+2lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的零点个数．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2−a1=1，S5=3a5．
(Ⅰ)求{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn=an+12an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，点M为棱AB的中点，AB=AC=2，BC=2 2，AD=2．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)求平面BCD和平面DCM夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为e=12且过点(0, 3)．
(1)求椭圆方程；
(2)过左焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，是否存在实数λ，使|MN|=λF1M⋅F1N恒成立？若存在，求此时|MN|的最小值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−ax−1，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)已知函数g(x)=(x−1)ln(x−1)−a，若f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：∵直线l的方向向量为(2,1,m)，
平面α的法向量为(1,12,2)，且l⊥α，
∴l的方向向量为(2,1,m)与平面α的法向量为(1,12,2)平行，
∴(2,1,m)=λ(1,12,2)．
∴2=λ1=12λm=2λ，解得m=4．
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
①将4人分为3组，有C42=6种分组方法，
②将分好的3组安排到3个小区，有A33=6种情况，
则有6×6=36种安排方法．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：∵{an}为等比数列，公比q>0，a2+a3=12，a1⋅a5=81=a32，
∴{an}的各项都是正实数，∴a3=9或a3=−9(舍去)，
∴a1=3，q2=a3a1=3，a5=a3⋅q2=27．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】解：甲、乙两人独立地破译一份密码，
设事件A表示甲能破译密码，事件B表示乙能破译密码，
则P(A)=13，P(B)=12，
密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，
∴密码被破译的概率为：
P=1−P(A−B−)=1−P(A−)P(B−)
=1−(1−13)(1−12)
=23．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1,a>b>0，右焦点为F2c,0，
由题意F1，F2是双曲线C1：x2−y28=1与椭圆C2的公共焦点可知，
c=3,|F1F2|=|F1A|=6，
由双曲线的定义可知：|F1A|−|F2A|=2，∴|F2A|=4，
由椭圆的定义可知：|F1A|+|F2A|=10=2a，所以a=5，
∴C2的离心率是ca=35．
故选C．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，可将哈雷彗星的回归时间构造成一个首项是1682，公差为76的等差数列{an}，
则等差数列{an}的通项公式为an=1682+76(n−1)=76n+1606，
∴a5=76×5+1606=1986，a6=76×6+1606=2062，
∴可预测哈雷彗星在本世纪回归的年份为2062年．
故选：B．
造等差数列求出其通项公式，给n赋值即可．
7.【答案】A
【解析】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别在DB，AB1上，且BE=2ED,AF=2FB1，正方体的棱长为3，
依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则D(0,0,0)，A(3,0,0)，B(3,3,0)，B1(3,3,3)，
因为BE=2ED,AF=2FB1，所以E(1,1,0)，F(3,2,2)，
所以EF=(2,1,2)，故|EF|= 4+1+4=3．
故选：A．
以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．
8.【答案】A
【解析】解：由题a=14ln4=12ln2，令f(x)=lnxx，x∈(0,+∞)，
所以f′(x)=1−lnxx2，由f′(x)=0，解得x=e，
所以当x∈(0,e)，f′(x)>0，当x∈(e,+∞)，f′(x)<0，
所以f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，
又2<52又y极大=f(e)=1e，因为在(0,+∞)上仅有一个极大值，
所以ymax=1e<12=c，即c最大，所以a故选：A．
先化简a=14ln4=12ln2，构造函数f(x)=lnxx，然后求导、研究单调性、极值、最值比较大小即可．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，若随机变量ξ服从二项分布B(4,12)，则P(ξ=3)=C43(12)3⋅(1−12)1=14，故选项A正确．
对于B，若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，P(η<2)=0.1，则P(η>8)=0.1，
故P(2<η<8)=1−P(η<2)−P(η>8)=0.8，故选项B正确．
对于C，若P(X=1)=12，E(X)=12，D(X)=(0−12)2×12+(1−12)2×12=14，故选项C错误．
对于D，根据方差的计算公式，D(Y)=2，则D(3Y+2)=32D(Y)=18，故选项D错误．
故选：AB．
根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解．
10.【答案】ABD
【解析】解：圆x2+y2+2x−3=0即(x+1)2+y2=4，圆心C(−1,0)，半径r=2，又P(0,1)，
所以|CP|= 2，因为点M在圆x2+y2+2x−3=0上，所以|MP|∈[2− 2,2+ 2]，
所以存在点M，使得|MP|=1，故A对；
因为(1+1)2+22=8>4，所以点Q在圆外，又|CP|= 2所以当QM与圆C相切时，∠MQP取最大值，
此时∠MQP=π4，所以∠MQP≤π4，故B对；
对于D，设M(x,y)，若|MQ|= 2|MP|，
⇔|MQ|2=2|MP|2
⇔(x−1)2+(y−2)2=2[x2+(y−1)2]
⇔x2+y2+2x−3=0，
又点M在圆x2+y2+2x−3=0上，∴|MQ|= 2|MP|一定成立，故D对，C错．
故选：ABD．
将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而判断A、B，设M(x,y)，若|MQ|= 2|MP|，推出恒成立，即可判断C、D．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由题意得an=2+8(n−1)=8n−6，故A正确；
对于B，新数列的首项为2，公差为10−24=2，故bn=2+2(n−1)=2n，B正确；
对于C，由B选项可知b29=58，令8n−6=58，所以n=8，所以b29是数列{an}的第8项，C错误；
对于D，插入k个数，则a1=b1，a2=bk+2+2，a3=b2k+3+a，a4=b3k+4，…，
则等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中对应的下标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，则an=b1+(n−1)(k+1)，
而b9是数列{an}的项，
令1+(n−1)(k+1)=9，当k=7时，n=2，D正确．
故选：ABD．
求出等差数列{an}的通项公式可判断A，求出新数列的首项和公差可判断BC，分析数列{an}与{bn}的下标关系可判断D．
12.【答案】ABD
【解析】解：A选项，f′(x)=3x2+2bx+c，f′(x)=6x+2b，
令f′(x)=0解得x=−b3，故f(x)的拐点为(−b3,f(−b3))，A正确；
B选项，f(x)有极值点，则f′(x)=3x2+2bx+c有变号零点，故Δ=4b2−12c>0，故b2−3c>0，B正确；
C选项，不妨设b=c=0，此时f(x)=x3，拐点为(0,0)，f′(x)=3x2，切点为(x0,y0)，y0=x03，
故切线方程为y=3x02x，将(0,0)代入y=3x02x，得x0=0，故过f(x)的拐点有1条切线，C错误；
D选项，b=−3，c=1时，f(x)=x3−3x2+x，
f′(x)=3x2−6x+1，
f′(x)=6x−6，
令f′(x)=6x−6=0得，x=1，
则f(1)=1−3+1=−1，故拐点为(1,−1)，
则f(x)=x3−3x2+x关于点(1,−1)对称，所以f(2−x)+f(x)=−2，D正确．
故选：ABD．
A选项，二次求导，解方程，求出拐点为(−b3,f(−b3))；B选项，f′(x)=3x2+2bx+c有变号零点，由根的判别式得到不等式，得到B正确；C选项，举出反例f(x)=x3，求出过f(x)的拐点只有1条切线；D选项，二次求导得到函数的拐点(1,−1)，从而得到对称中心，得到D正确．
13.【答案】−527
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅( x3)5−r(−3x)r=C5r⋅(13)5−r⋅(−3)r⋅x5−3r2，
令5−3r2=1，求得r=1，
∴二项式的展开式中x的系数为C51⋅(13)4⋅(−3)=−527．
故答案为：−527．
在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得开式中x的系数．
14.【答案】[−32,+∞)
【解析】解：若函数f(x)=x3+ax2+2在区间[1,+∞)上单调递增，
则f′(x)=3x2+2ax≥0在[1,+∞)上恒成立，
则a≥−32x在[1,+∞)上恒成立，
而y=−32x在[1,+∞)上的最大值是−32，
故a的取值范围是[−32,+∞)，
故答案为：[−32,+∞)．
15.【答案】12
【解析】解：∵数列{an}为正项等比数列，
∴设其公比为q，则q>0，
由a2−a3=3，得a1q−a1q2=3，
则a1=3−q2+q，q>0，又an>0，解得a1∈[12,+∞)．
∴a1的最小值为12．
故答案为：12．
设等比数列的公比为q，则q>0，由已知把首项用含有q的代数式表示，即可求解a1的最小值．
16.【答案】23
【解析】解：如图所示：
不妨设点P在第一象限，联立y2=2pxx=1，整理得x=1y=± 2p，即P(1, 2p)，
由题意得PH⊥y轴，则PH/​/x轴，则∠xFP=∠HPF=60°，
∴直线PF的倾斜角为60°，
又焦点F(p2,0)，则kPF= 2p1−p2= 3，整理得2 2p= 3(2−p)，且2−p>0，故0∴2 2p= 3(2−p)，即3p2−20p+12=0，
∴(3p−2)(p−6)=0，解得p=23或p=6(不合题意，舍去)；
故答案为：23．
不妨设点P在第一象限，可得点P(1, 2p)，则直线PF的倾斜角为60°，利用直线的斜率公式可得出关于p的等式，求解即可得出答案．
17.【答案】解：(1)函数f(x)=1x+2lnx，可得f′(x)=−1x2+2x，
所以f′(1)=1且f(1)=1，即切线的斜率为k=1且切点坐标为(1,1)，
所以切线方程为y−1=x−1，即x−y=0．
(2)由(1)知，f′(x)=2x−1x2,x>0，
当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以当x=12时，函数f(x)取得极小值，也为最小值，
由f(12)=2+2ln12=2−2ln2>0，
所以f(x)>0，
所以函数f(x)没有零点，即函数f(x)的零点个数为0．
【解析】(1)先求切点，再利用导数求切线的斜率，利用点斜式写出切线方程；
(2)求导，分析函数的单调性，根据函数的极值判断函数零点的个数．
18.【答案】解：(Ⅰ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2−a1=1，S5=3a5，
设等差数列{an}的公差为d，
由题意得a2−a1=d=15a1+10d=3(a1+4d)，解得a1=1d=1，
所以an=a1+(n−1)d=n；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，bn=an+12an=n+12n，
所以Tn=(1+12)+(2+122)+(3+123)+⋅⋅⋅+(n+12n)
=(1+2+3+⋅⋅⋅+n)+(12+122+123+⋅⋅⋅+12n)
=n×(n+1)2+12×[1−(12)n]1−12
=n2+n+22−(12)n，
则数列{bn}的前n项和Tn=n2+n+22−(12)n．
【解析】(Ⅰ)由题意a2−a1=d=15a1+10d=3(a1+4d)，利用等差数列通项公式即可求解；
(Ⅱ)分组后利用等差数列和等比数列的求和公式即可求解．
19.【答案】解：(1)证明：∵AD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，
∴AC⊥AD.∵AB=AC=2,BC=2 2，
∴AB2+AC2=BC2，∴AC⊥AB．
又AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABD，
∴AC⊥平面ABD．
又BD⊂平面ABD，
∴AC⊥BD．
(2)由题及(1)可知AB，AC，AD两两相互垂直，以AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则根据题意可得：D(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，M(1,0,0)，
∴BC=(−2,2,0),DC=(0,2,−2),CM=(1,−2,0)，
设平面BCD和平面DCM的法向量分别为m=(x,y,z),n=(a,b,c)，
则m⊥BCm⊥DC，n⊥DCn⊥CM，
即m⋅BC=−2x+2y=0,m⋅DC=2y−2z=0,n⋅DC=2b−2c=0,n⋅CM=a−2b=0,
取m=(1,1,1),n=(2,1,1)，
∴平面BCD和平面DCM夹角的余弦值为|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|=4 3× 6=2 23．
【解析】(1)先证AC⊥平面ABD，再利用线面垂直的性质定理即可得证；
(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面BCD和平面DCM的法向量，利用向量夹角公式即可求解．
20.【答案】解：(1)根据题目所给已知条件：离心率为e=12且过点(0, 3)，我们可以得到b= 3，e= 1−b2a2=12，所以解得a2=4，
进一步我们可以得到椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，F1(−1,0)．
根据直线MN的斜率是否存在分两种情况进行讨论．
当直线MN斜率为零时，不妨设M(−2,0)，N(2,0)，
则F1M=(−1,0),F1N=(3,0),F1M⋅F1N=−3,|MN|=4，

此时存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N成立，
当直线MN斜率不为零时，设直线方程为x=my−1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
联立方程组消去x得(3m2+4)y2−6my−9=0，易知Δ>0，
所以y1+y2=6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，|MN|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2=12(m2+1)3m2+4，F1M⋅F1N=(x1+1,y1)⋅(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2，
又因为x1x2=m2y1y2−m(y1+y2)+1,x1+x2=m(y1+y2)−2，
所以F1M⋅F1N=(m2+1)y1y2=−9(m2+1)3m2+4,|MN|=−43F1M⋅F1N，
又因为|MN|=12(m2+1)3m2+4=4−43m2+4，当m=0时，|MN|最小为3．
综上所述，存在λ=−43，使|MN|=λF1M⋅F1N成立，|MN|最小为3．
【解析】(1)根据题目条件得到a，b即可．
(2)联立方程，根据弦长公式得到|MN|=12(m2+1)3m2+4=4−43m2+4，进而得到最值．
21.【答案】解：(1)f′(x)=ex−a，
①若a≤0，f′(x)>0，f(x)在(−∞,+∞)上单调递增；
②若a>0，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，f(x)在(−∞,lna)上单调递减；
当x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(lna,+∞)上单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)上单调递增．
(2)f(x)≥g(x)，
ex−ax−1≥(x−1)ℎn(x−1)−a，
ex−1≥(x−1)ℎn(x−1)+a(x−1)，
令t=x−1，则et+1−1≥tnt+at(t>0)，即a≤et+1−1t−lnt在(0,+∞)上恒成立，
令ℎ(t)=et+1−1t−lnt(t>0)，
则ℎ′(t)=(t−1)et+1+1−tt2=(t−1)(et+1−1)t2，
令ℎ(t)<0，得00，得t>1，
所以ℎ(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
则ℎ(t)≥ℎ(1)=e2−1，所以a≤e2−1，
即实数a的取值范围为(−∞,e2−1]．
【解析】(1)求导得f′(x)=ex−a，分类讨论a≤0、a>0两种情况下f(x)的单调性即可；
(2)将问题转化为a≤et+1−1t−lnt=ℎ(t)在t∈(0,+∞)上恒成立，利用导数讨论函数ℎ(t)的单调性可得ℎ(t)≥ℎ(1)=e2−1，即可求解．