中考数学一轮大单元复习专题4.4特殊三角形知识点演练(6大题型，93题)(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习专题4.4特殊三角形知识点演练(6大题型，93题)(讲练)(原卷版+解析)，共127页。
例1．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点B、D、E在同一条直线上，连结CE．
(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求∠BEC的度数；
(3)过点A作AM⊥DE于点M，若AM=3.5，BD=5，求线段BC的长．
例2．(2023秋·浙江金华·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=2 10，AD是边BC上的高线，过点D作DE∥AC交AB于点E．
(1)求证：△ADE是等腰三角形；
(2)连结CE交AD于点H，若∠DCE=45°，求EH的长．
知识点训练
1．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=8，BC=4．则BD的长为（ ）
A．1B．32C．2D．52
2．（2023·陕西西安·统考一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF=2，则BE的长为（ ）
A．6B．52C．322D．722
3．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF．判断△DEF的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．无法判断
4．(2023秋·重庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠ABE的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
5．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论错误的是( )
A．BO=OHB．DF=CEC．DH=CGD．AB=AE
6．（2023秋·河南洛阳·八年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，则下列五个结论：①AD⊥BC，且BD=CD；②AE=AF；③∠BDE=∠BAD；④连接EF，AD垂直平分EF；⑤若∠BDE=30°，则BC=AC．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期末）如图，等腰△ABC中，AB=AC，BE=CD，BD=CF，作∠ACB的平分线交DF于点G，∠BED=2∠DFC，DG=4，BC=16，求BE的长为_________________．
8．(2023秋·黑龙江大庆·七年级大庆市第三十六中学校考期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=12S△ABC；④BE+CF=EF，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有_______（填序号）．
9．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且AD=BD，点E是线段AD上一点，且BE=AC，连接BE．
(1)求证：△ACD≌△BED；
(2)若∠C=78°，求∠ABE的度数．
10．(2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°．
(1)如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD=CE，BE与CD交于点F．试判断BF与CF的数量关系，并加以证明；
(2)点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD=CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．
11．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，在△ABC中，点D在AB上，点E为AC的中点，连结DE并延长至点F，使EF=ED，连结CF．
(1)求证：△AED≌△CEF．
(2)若CA平分∠BCF，求证：AB=BC．
12．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别在AB，AC，BC边上，且AD=BF，BD=AE．
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠C=40°时，求∠DEF的度数．
13．（2023秋·辽宁葫芦岛·八年级校考期末）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
(1)求证：AF⊥DE，BF=CE．
(2)若AD=10，AB=6，AF=8，求DE的长度．
14．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从A点出发，在线段AB上以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CP．设点P运动的时间为t秒．
(1)填空：AB=______；
(2)当t为何值时，线段CP的长最小；
(3)当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
15．（2023秋·贵州铜仁·八年级统考期末）已知，如图，在等腰三角形ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，点E，F分别是AC，BC上的动点，且始终满足CE=BF．
(1)求证：DE=DF；
(2)求∠EDF的大小；
(3)已知AC=20，求出四边形CEDF的面积，并直接写出四边形CEDF的面积与三角形ABC的面积之间的关系．
16．（2023秋·辽宁铁岭·九年级统考期末）如图1，在△ACB中，∠ACB=90°,CA=CB，点D，E分别在边CA,CB上，CD=CE，连接DE,AE,BD，过点C作CF⊥AE，垂足为H，直线CF交直线BD于F．
(1)求证：DF=BF；
(2)将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；
(3)若CD=2,CB=4，将△CDE绕点C逆时针旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出AE的长．
17．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）如图1，△ABC中，BD⊥AC于D，AD=BD=4，CD=2，过点A作AH⊥BC于H，交BD于P．回答下列问题：
(1)求线段DP的长；
(2)连结DH，求证：∠AHD=45°；
(3)如图2，若点O为AB的中点，点M为线段BD延长线上一动点，连结MO，过点O作ON⊥OM，交线段DA延长线于点N，则S△BOM−S△AON的值是否发生变化？若发生变化，请求出该值的取值范围；若不变化，请求出该值．
考点2：等边三角形的性质和判定
例3．（2023秋·河北石家庄·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△OAB是等边三角形，且点B的坐标为4，0，点A在反比例函数y=kxk>0的图象上．
（1）反比例函数y=kx的表达式为______；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k______k1（填“”或“=”）；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a=______．
例4．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F，∠ADB=∠C+∠4．
(1)判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．
(2)若∠C=30°，试判断△ABD的形状，并说明理由．
知识点训练
1．（2023秋·云南楚雄·八年级统考期末）在△ABC中，若AB=AC=3，∠B=60°，则BC的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023秋·山东菏泽·九年级统考期末）如图，D为等边△ABC边BC上一点，∠BAD=∠CDE，BD=2，CD=4，则CE的长为（ ）
A．23B．1C．43D．2
3．(2023秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）在△ABC中，AC=3，△ABC的周长为12，设AB的长为x，下列说法不正确的是（ ）
A．△ABC为等腰三角形时，x=4.5B．△ABC不可能是等边三角形
C．△ABC为直角三角形时，x=4D．30的图象上．
（1）反比例函数y=kx的表达式为______；
（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1．
①若此时另一个反比例函数y=k1x的图象经过点A1，则k和k1的大小关系是：k______k1（填“”或“=”）；
②当函数y=kx的图象经△O1A1B1一边的中点时，则a=______．
答案： y=43x < 1或3
分析：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，利用等边三角形的性质和勾股定理求出A2，23，再利用待定系数法求解即可；
（2）求出A12+a，23，由a>0，得到2+a>2，则k1>43=k；
（3）分当函数y=kx的图象经过O1A1的中点时，当函数y=kx的图象经过A1B1的中点时，两种情况利用两点中点坐标公式和待定系数法求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，过点A作AC⊥OB于C，
∵4，0，
∴OB=4，
∵△AOB是等边三角形，
∴OC=BC=12OB=2，OA=OB=4，
∴AC=OA2−OC2=23，
∴A2，23，
∵点A在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴23=k2，
∴k=43，
∴反比例函数y=kx的表达式为y=43x，
故答案为：y=43x；
（2）①∵把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O1A1B1，
∴A12+a，23，
∵反比例函数y=k1x的图象经过点A1，
∴23=k12+a，
∴k1=232+a，
∵a>0，
∴2+a>2，
∴k1>43=k，
故答案为：AC，以AB，BC，AC三边为边长的三个正方形面积分别为S1，S2，S3．若△ABC的面积为7，S1=40，则S2－S3的值等于______．
答案：451
分析：结合正方形面积公式，平方差公式，勾股定理，三角形面积公式，可知S2−S3=BC2−AC2=BC+ACBC−AC，BC2+AC2=40，BC⋅AC=14，然后运用完全平方公式a±b2=a2+b2±2ab求解即可．
【详解】解：根据题意，S1=AB2=40，S2=BC2，S3=AC2
∴S2−S3=BC2−AC2=BC+ACBC−AC
在Rt△ABC中，
根据勾股定理，
BC2+AC2=AB2
∴BC2+AC2=40
∵SRt△ABC=7
∴12⋅BC⋅AC=7
∴BC⋅AC=14
∴BC+AC=BC+AC2=BC2+AC2+2⋅BC⋅AC=40+2×14=217
BC−AC=BC−AC2=BC2+AC2−2⋅BC⋅AC=40−2×14=23
∴BC+ACBC−AC=217×23=451
即S2−S3=451
故答案为：451．
【点睛】本题考查勾股定理与三角形、正方形的面积，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，掌握并熟练应用勾股定理和各类公式是解题的关键．
例10.（2023·四川宜宾·校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE=DF，连接AE、AF、EF．
(1)求证△ABE≌△ADF；
(2)若AE=5，请求出EF的长．
答案：(1)见解析
(2)52
分析：（1）根据正方形的性质得到AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°，利用SAS定理证明结论即可；
（2）根据全等三角形的性质得到AE=AF，∠BAE=∠DAF，得到△AEF为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠ADF=90°，
在△ABE与△ADF中
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴△ABE≌△ADF；
（2）解：∵△ABE≌△ADF，
∴AE=AF=5，∠BAE=∠DAF，
∵∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠DAF+∠EAD=90°，即∠EAF=90°，
∴在Rt△EAF中，EF=AE2+AF2=52+52=52．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
知识点训练
．(2023秋·福建三明·八年级统考期中）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为（ ）
A．122cmB．285cmC．20cmD．613cm
答案：C
分析：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，连接A'B，根据两点之间线段最短，可知A'B即为最短距离，然后根据勾股定理求解．
【详解】解：将圆柱侧面展开，如图所示，作出A点关于DE的对称点A'，过点B作BC⊥CD于点C，
∵形容器高为18cm，点A处离杯上沿2cm，点B处离杯底4cm，
∴AD=A'D=2cm，CD=18−4=14cm，
∴A'C=AD+CD=2+14=16cm，
∵底面周长为24cm，
∴BC=12×24=12cm，
根据勾股定理可得：A'B=A'C2+BC2=162+122=20cm，
故选：C．
【点睛】本题考查平面展开，最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质找出最短路径是解题的关键．
2．(2023秋·福建三明·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知点A3,5，点B的坐标为3,−2，则线段AB的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
答案：D
分析：由题意可知，AB∥y轴，则线段AB的长度为5−(−2)=7．
【详解】解：∵点A3,5，B3,−2，
∴AB∥y轴，
∴AB=5−−2=7，
故选D．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，坐标的距离，解题关键是掌握当两个坐标点的横坐标相等时，这两点所在的直线与y轴平行；当两个坐标点的纵坐标相等时，这两点所在直线与x轴平行．
3．（2023·吉林长春·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点 B 恰好落在边 AC上，与点B'重合， AE为折痕，则EB'的长为（ ）
A．3cmB．2.5cmC．1.5cm D．1cm
答案：C
分析：设未知数利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=32+42=5
∵将△ABC折叠，使点 B 恰好落在边 AC上，与点B'重合，
∴BE=EB',AB=AB'=3,∠EB'C=90°，
∴B'C=5−3=2
设BE=B'E=x，则EC=4−x
∴在Rt△EB'C中，EC2=EB'2+B'C2
即x2+22=(4−x)2，解得x=1.5
∴EB'=1.5
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是设未知数列出方程．
4．（2023·辽宁阜新·校考一模）如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12B．6C．7 2D．52
答案：B
分析：连接BD，根据正方形的性质可得∠DBF=90°，根据勾股定理求出BD=32,BF=42，即可求出Rt△BDF的面积，最后根据三角形中线的性质，即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=AD=3，BE=EF=4，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，BD=32,BF=42，
∴Rt△BDF的面积=12BD⋅BF=12×32×42=12，
∵H为线段DF的中点，
∴图中阴影部分的面积=12×12=6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及三角形中线的性质，解题的关键是掌握三角形的中线将三角形的面积分成相等的两部分．
5．(2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，边AC，AB上的中线BE，CD相交于点F，若AC=6，BC=4，则BF=（ ）
A．103B．52C．4133D．13
答案：A
分析：连接DE，由题意可知DE为Rt△ABC的中位线，即可得到DE∥BC，DE=12BC=2，CE=12AC=3，利用勾股定理可得BE=CE2+BC2=5，然后根据平行线分线段成比例定理可得EFBF=DECB，即可获得答案．
【详解】解：连接DE，如下图，
∵BE，CD分别为边AC，AB上的中线，AC=6，BC=4，
即点D、E为AB、AC的中点，
∴DE为Rt△ABC的中位线，
∴DE∥BC，且DE=12BC=2，CE=12AC=3，
∵∠ACB=90°，
∴BE=CE2+BC2=32+42=5，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴EFBF=DECB=12，即EF=12BF，
∴BE=EF+BF=32BF=5，
∴BF=103．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形中线、中位线、勾股定理以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
6．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．若DF=3，则BE的长为（ ）
A．12B．34C．1D．2
答案：D
分析：利用SAS证明△AF≅△EAG，得EF=EG，设BE=x，则EF=EG=x+3，CE=6−x，在Rt△ECF中，利用勾股定理列方程即可解决问题．
【详解】解：∵将△ADF绕点A顺时针旋转到△ABG的位置，点D的对应点是点B．
∴∠ADF=∠ABG=90°，AF=AG，∠DAF=∠GAB，
∴∠ABG+∠ABE=180°，
∴点G、B、E共线，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠BAE=∠GAB+∠BAE=45°，
∴∠EAF=∠GAE，
∵AE=AE，
∴△EAF≅△EAG(SAS)，
∴EF=EG，
设BE=x，
则EF=EG=x+3，CE=6−x，
在Rt△ECF中，由勾股定理得，
32+(6−x)2=(x+3)2，
解得x=2，
∴BE=2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明EF=EG是解题的关键．
7．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠BAC的值为__________．
答案：13
分析：利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，再根据正切的定义进行求解即可．
【详解】解：由题意得，AC2=22+42=20，AB2=32+32=18，BC2=12+12=2，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠ABC=90°，
∴tan∠BAC=BCAB=232=13，
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
8．(2023秋·山东淄博·九年级统考期末）如图中，在Rt△ABC中，∠C=90°，ACAB=513，
(1)求tanB的值；
(2)若BC=24，求斜边AB的长．
答案：(1)512
(2)26
分析：（1）根据题意可设AC=5x,AB=13x，根据勾股定理可得BC=12x，再由锐角三角函数，即可求解；
（2）由（1）可得12x=24，从而得到x=2，即可求解．
【详解】（1）解：∵∠C=90°，ACAB=513，
∴可设AC=5x,AB=13x，
∴BC=AB2−AC2=13x2−5x2=12x，
∴tanB=ACBC=5x12x=512；
（2）解：由（1）得∶ BC=12x，
∵BC=24，
∴12x=24，即x=2，
∴AB=13x=26．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
9．（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）定义：三角形一边上的点到三角形的另两条边的距离相等，称此点为这个三角形这边上的雅实心，如：
如图1，当点P在△ABC的AC边上时，若PD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，且PD=PE，则称点P为△ABC的AC边上的雅实心，△ABC各边上的三个雅实心为顶点构成新三角形，叫做△ABC的雅实三角形．
(1)如图2，△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，求BC边上的雅实心P到AB的距离PD．
(2)如图3，等边△ABC的边长为4cm，求等边△ABC的雅实三角形的面积．
(3)如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在x，y轴上，且A2,0，∠BAO=60°，求△AOB的斜边上的雅实心P的坐标．
答案：(1)4.8cm
(2)3cm2
(3)P3−3,3−3
分析：（1）由雅实心的定义及等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，再利用等面积法即可求得PD的长度；
（2）由题意可知，等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，求面积即可；
（3）点P在斜边AB上，作PE⊥OB于E点，PF⊥OA于F点，由雅心点的性质可知PE=PF，分别利用勾股定理和等面积法进行求解即可．
【详解】（1）由题意可知，PA平分∠BAC，又AB=AC，
∴由等腰三角形的性质可得：AP⊥BC，
∴在Rt△ABP中，由等面积法可：BP×AP=AB×DP，
又Rt△ABP由勾股定理有：AP=102−62=8，BP=6．
∴PD=6×810=4.8（cm）．
（2）可知三角形中，雅心点实则是角平分线与该角所对的三角形边的交点，
结合等腰三角形的三线合一性质，可知等边△ABC的雅实三角形是三角形的三条中位线构成的三角形，如图，
在等边△ABC中边长为4cm，
∴等边△ABC中边上的高为42−22=23，
∴S△ABC=12×4×23=43，
故等边△ABC的雅实三角形的面积：S=14S△ABC=14×34×42=3．
（3）∵A2,0，
∴OA=2，
∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∴AB=2OA=4，
即：OB=42+22=23，
点P在斜边AB上，作PE⊥OB于E点，PF⊥OA于F点，
由雅心点的性质可知PE=PF，
由等面积法有：23×PE+2×PF=23×2，
∴PE=3−3,
∴P3−3,3−3．
【点睛】本题以新定义的形式考查了角平分线的性质，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、等面积法等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023秋·吉林长春·九年级统考期末）【问题原型】如图①，△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE．求证：∠DAC=∠EBC
【问题延伸】如图②，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE ．试问∠DAC与∠EBC的大小有怎样的关系？请说明理由．
【问题应用】如图③，Rt△ACB∽Rt△DCE，∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=3．点E在边AB上，且BE=1，连接AD，则线段DE的长为______．
答案：问题原型：见解析；问题延伸：∠DAC=∠EBC，理由见解析；问题应用：4103
分析：问题原型：只需要利用SAS证明△DAC≌△EBC即可证明∠DAC=∠EBC；
问题延伸：由Rt△ACB∽Rt△DCE得到ACBC=DCEC，再证明∠ACD=∠BCE．即可证明△DAC∽△EBC，从而证明∠DAC=∠EBC；
问题应用：先利用勾股定理求出AB=5，则AE=4，同理证明△DAC∽△EBC，利用相似三角形的性质求出AD=43，由Rt△ACB∽Rt△DCE，得到∠CDE=∠CAE，推出A、D、C、E四点共圆，则∠DAE=90°，即可利用勾股定理得到DE=AD2+AE2=4103．
【详解】解：问题原型：∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACD=∠BCE．
∴△DAC≌△EBCSAS．
∴∠DAC=∠EBC．
问题延伸：∠DAC=∠EBC，理由如下：
∵Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴ACBC=DCEC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB−∠ACE=∠DCE−∠ACE，即∠ACD=∠BCE．
∴△DAC∽△EBC．
∴∠DAC=∠EBC．
问题拓展：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=5，
∵BE=1，
∴AE=AB−BE=4，
同理可证△DAC∽△EBC，
∴ADBE=ACBC，即AD1=43，
∴AD=43，
∵Rt△ACB∽Rt△DCE，
∴∠CDE=∠CAE，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠DAE=180°−∠DCE=90°，
∴DE=AD2+AE2=4103．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆内接四边形的性质等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
11．（2023秋·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，△ABC中，AB>AC，AD是BC边上的高，将△ADC沿AD所在的直线翻折，使点C落在BC边上的点E 处．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面积：
(2)求证：AB2−AC2=BE⋅BC．
答案：(1)126
(2)答案见解析
分析：（1）由AD是BC边上的高，AC=13，CD=5，得AD=12，BD=16，即有BC=BD+CD=16+5=21，故S△ABC=12BC⋅AD=126；
（2）根据△ADC沿AD所在的直线翻折得到ΔADE，得AC=AE，DC=DE，而AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)=AB2−AD2−DC2=(BD−DE)(BD+DE)，即可证明AB2−AC2=BE⋅BC．
【详解】（1）解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，CD=5，
∴AD=AC2−CD2=12，
在Rt△ADB中，
∵AB=20，AD=12，
∴BD=AB2−AD2=16，
∴BC=BD+CD=16+5=21，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×21×12=126；
（2）证明：∵△ADC沿AD所在的直线翻折得到△ADE，
∴AC=AE，DC=DE，
在RtΔADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，
在RtΔADB中，由勾股定理，得BD2=AB2−AD2，
∴AB2−AC2=AB2−(AD2+DC2)
=AB2−AD2−DC2
=BD2−DE2
=(BD−DE)(BD+DE)，
∵BE=BD−DE，BC=BD+DC=BD+DE，
∴AB2−AC2=BE⋅BC．
【点睛】本题考查三角形中的折叠，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握折叠的性质及勾股定理的应用．
考点6：等腰三角形的存在性问题
例11.（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）(1)如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=1，则BC的长为______________
(2) 如图，在平面直角坐标系中，点A4,3，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有 ___________个．
答案： 4 8
分析：(1)首先可求得∠CDE=30°，根据直角三角形的性质可求得CD=2CE=2，再根据等边三角形的性质，即可求得BC的长；
(2)分别以点O、A为圆心，以OA的长为半径画弧，以及作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，∠CDE=90°−∠C=90°−60°=30°，
∵EC=1，
∴CD=2EC=2，
∵BD平分∠ABC，且AB=BC，
∴AD=CD=2，
∴AB=AC=AD+CD=4，
∴BC=4，
故答案为：4；
(2)如图所示，以O为圆心，以OA长为半径，所作的圆与坐标轴有4个交点；以A为圆心，以OA为半径，所作的圆与坐标轴有2个交点；作OA的垂直平分线，与坐标轴有2个点，
故满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
例12.(2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有A，B两个格点，请以AB为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
(1)在图甲中画一个面积为4的直角三角形；
(2)在图乙中画一个等腰（非直角）三角形，且这个等腰三角形的腰长为_______________．
答案：(1)见解析
(2)见解析；10（画图3填13）
分析：（1）根据题意画出符合要求的直角三角形即可；
（2）画出符合要求的等腰三角形，根据勾股定理求出腰长即可．
【详解】（1）解：△ABC为所求作的三角形，如图所示：
（画出一种情况即可）
（2）解：△ABD为所求作的三角形，如图所示：（画出一种情况即可）
图1和图2中腰长为32+12=10；
图3中腰长为22+32=13．
故答案为：10（画图3填13）．
【点睛】本题主要考查了在网格中画等腰三角形，直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格特点．
知识点训练
1．(2023秋·山东日照·八年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,−2，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
答案：B
分析：如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点；符合条件的点一共4个．
【详解】解：分情况进行讨论：
当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；
当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点．
∴符合条件的点一共4个．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；针对线段OA在等腰三角形中的地位，分类讨论用画圆弧的方式，找与y轴的交点，比较形象易懂．
2．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）如图，在3×4正方形的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点上确定一点C，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为___________
．
答案：8
分析：根据等腰三角形的判定找出符合条件的所有点C即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
点C在C1、C2、C3、C4位置上时，AC=BC；
点C在C5、C6位置时，AB=AC；
点C在C7、C8位置上时，AB=BC，
即满足条件的点C的个数为8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，能找出符合条件的所有点是解题关键，注意有两边相等的三角形是等腰三角形．
3．(2023秋·江西九江·八年级统考期中）已知点A3,−1和点B0,2，点C在y轴上，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标是________．
答案：0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4
分析：利用勾股定理求出AB=32，然后分C1A=C1B=3，BC2=BA=32，BC3=BA=32和AC4=AB四种情况，分别作出图形，利用等腰三角形的定义和性质求解即可．
【详解】解：∵A3,−1，B0,2，
∴AB=32+−1−22=32，
若△ABC是等腰三角形，
如图，当C1A=C1B=3时，点C1的坐标是0,−1，
当BC2=BA=32时，点C2的坐标是0,2−32，
当BC3=BA=32时，点C3的坐标是0,2+32，
当AC4=AB时，可得BC1=C1C4=3，则点C4的坐标是0,−4，
综上，若△ABC是等腰三角形，则点C的坐标是0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4，
故答案为：0,−1或0,2−32或0,2+32或0,−4．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义和性质，正确分类讨论是解题的关键．
4．(2023秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在8×8正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)请在图中作出△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C'．
(2)在线段A'B'上找一点P（点P在格点上），使得△ABP为等腰三角形．
答案：(1)见解析；
(2)见解析．
分析：（1）分别找到A、B、C关于直线l的对称点，然后顺次连接对称点即可；
（2）△ABC与△A'B'C'关于直线l成轴对称，且A'B'∥AB∥l，故A'B'的中点即为所求．
【详解】（1）解：如图，

（2）解：如图，
【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点．
5．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）在直角坐标系中，我们把横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(−3，0)，B(0，4)．请在所给的网格区域（含边界）作图．
(1)画一个等腰△ABC，且点C为第一象限内的整点，并写出点C的坐标．
(2)画一个△OAD，使△OAD与△AOB重叠部分的面积是△AOB面积的一半，且点D为整点，并写出点D的坐标．
答案：(1)画法不唯一，点C的坐标为(4，1)，图见解析
(2)画法不唯一，点D的坐标为(−3，4)，图见解析
分析：（1）利用网格根据等腰三角形的定义即可作图；
（2）利用网格根据平生的性质即可作图．
【详解】（1）解：如图，等腰△ABC即为所求；
点C的坐标为：(4，1)；
（2）解：如图，△OAD即为所求．
点D的坐标：(−3，4)．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质和平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
6．（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）（1）动手尝试：如图，有甲、乙、丙、丁四张三角形纸片，甲是直角三角形纸片，乙是内角分别为40°，60°，80°的三角形纸片；丙是内角分别为x40°，60°，80°的三角形纸片；丁是的内角分别为35°，40°，105°的三角形纸片，你能把每一张三角形纸片一条剪痕剪成两个等腰三角形吗？请把能剪的用虚线画出剪痕并标出各角的度数．
（2）项目研究：综合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，画出相应的示意图，并标出能说明是等腰三角的相应的角．
答案：（1）见解析；（2）见解析
分析：（1）甲，利用直角三角形斜边中线即可求解；乙，将60°角分成40°和20°；是内角分别为40°，60°，80°的三角形纸片；丙，不能剪成两个等腰三角形；丁，将105°角分成70°和35°；
（2）根据（1）中两个三角形的分割特点，总结出规律即可．
【详解】解：（1）甲，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
乙，将60°角分成40°和20°，能将三角形分成两个等腰三角形；
丙，不能剪成两个等腰三角形；
丁，将105°角分成70°和35°，能将三角形分成两个等腰三角形；
如图所示：
（2）当三角形是直角三角形时，斜边的中线能将三角形分成两个等腰三角形；
当三角形中一个角是另一个角的2倍时，能分成两个等腰三角形；
当三角形中有一个角是另一个角的3倍时，能分成两个等腰三角形．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的角的关系，通过实践总结出一般规律是解题的关键．
7．(2023秋·上海宝山·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，直线y=12x经过点Am,2，反比例函数y=kxk≠0的图像经过点A和点B8,n．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)在x轴上找一点C，△ABC为等腰三角形，求点C的坐标．
答案：(1)y=8x
(2)458,0或4,0或4+13,0或4−13,0
分析：（1）先把点Am,2代入y=12x求出m，再把点A的坐标代入y=kx求出k即可；
（2）先求出点B的坐标，设Cx,0，再根据两点间的距离公式分三种情况建立方程求出x即可．
【详解】（1）解：∵直线y=12x经过点Am,2，
∴12×m=2，
∴m=4，
∴A4,2，
∵反比例函数y=kxk≠0的图像经过点A，
∴k4=2，
∴k=8，
∴反比例函数解析式为y=8x．
（2）∵反比例函数y=8x的图像经过点B8,n，
∴n=88=1，
∴B8,1，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=28k+b=1，
解得：k=−14b=3，
∴直线AB的解析式为y=−14x+3，
设点Cx,0，
∴AC=x−42+0−22=x−42+4，BC=x−82+1−02=x−82+1，
AB=8−42+1−22=17，
当点C满足以下三种情况时，△ABC为等腰三角形：
①当AC=BC时，得： x−42+4=x−82+1，
解得：x=458，
∴C458,0；
②当AB=BC时，得： x−82+1=17，
解得：x1=4，x2=12，
当x=12时，y=−14x+3=−14×12+3=0，即点C此时在直线AB上，不符合题意，舍去，
∴C4,0；
③当AB=AC时，得： x−42+4=17，
解得：x1=4+13，x2=4−13，
∴点C的坐标为4+13,0或4−13,0．
综上所述，点C的坐标为458,0或4,0或4+13,0或4−13,0．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，一次函数解析式，反比例函数及一次函数图像上点的坐标特征，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，等腰三角形的定义等知识．求出反比例函数解析式是解题的关键．