中考数学一轮大单元复习1.3二次根式知识点演练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习1.3二次根式知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共41页。

例1．（1）(2023·湖北襄阳·八年级期末）在式子2,33,x2+1,x+y中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
（2）(2023·安徽合肥·八年级期中）函数y=1x−9+x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≥2且x≠9C．x≠9D．2≤x<9
（3）(2023·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）18m化简后是正整数，则整数m的最小值为_____．
知识点训练
1．(2023·辽宁大连·八年级期末）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
2．(2023·陕西安康·八年级期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．34B．−10C．5D．a
3．(2023·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
4．(2023·四川·树德中学八年级期中）使x−5有意义的x的取值范围是（ ）
A．x>5B．x<5C．x≠5D．x≥5
5．(2023·河南南阳·九年级期中）要使二次根式x−2有意义，x的值不可以取（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．(2023·山东·济宁高新区洸河中学九年级期中）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x>1D．x<1
7．(2023·北京市育英中学八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．−32=−3B．32+42=7C．412=212D．−4×−9=6
8．(2023·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+42=65B．12=23
C．4×3=6D．−32=−3
9．(2023·陕西西安·八年级期中）化简3−π2得( )
A．π−3B．3−πC．−π−3D．π+3
10．(2023·河南驻马店·九年级期中）y=2x+6+1−2x中变量x的取值范围是________．
11．(2023·河南洛阳·九年级期中）当a＞3时，化简：a−2−(a−3)2=_____．
12．(2023·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）已知xy>0，化简二次根式x−yx2的结果是______．
13．(2023·上海市奉贤区五四学校八年级期中）化简：xy2(y>0)=______．
考点2：二次根式的运算
例2.（1）(2023·广东·阳江市实验学校八年级期中）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．8B．12C．12D．3
（2）(2023·陕西榆林·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．5+2=7B．(34)3=4=2C．2×62=3D．27÷3=9
例3.(2023·福建福州·八年级期末）计算：
(1)27−12−3；
(2)18−12×2．
例4.(2023·北京密云·八年级期末）计算：25+3225−32．
例5.(2023·河南·许昌市第一中学八年级期中）计算题
(1)(48+20)−(12−5)；
(2)已知x=3+2,y=3−2，求(x−y)2+xy的值．
知识点训练
1．(2023·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8xB．x2+3C．13D．3a2b
2．(2023·甘肃省武威市第十中学八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．43−33=1
C．32×22=12D．12=2
3．(2023·山西·寿阳县教研室八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．52−32=5−3C．(3−1)2=3−1D．3×2=6
4．(2023·吉林·长春市十一高中北湖学校模拟预测）(2)2=______，3×4=______，6÷2=______．
5．(2023·广东佛山·八年级期中）计算
(1)3+23−2；
(2)32−412+2．
6．(2023·河南南阳·九年级期中）计算：18−92−3+63+(1−2)2+(3−3)1+13．
7．(2023·新疆·昌吉州行知学校八年级期中）已知：a＝3﹣2，b＝3+2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2
(2)a2b﹣ab2．
8．(2023·福建宁德·八年级期中）甲、乙两位同学对代数式m−nm+nm>0，n>0，分别作了如下变形：
甲：m−nm+n=m−nm−nm+nm−n=m−nm−nm−n=m−n，乙：m−nm+n=m+nm−nm+n=m−n．
(1)甲、乙两种变形过程正确的是 ；
A．甲乙都正确
B．甲乙都不正确
C．只有乙正确
D．只有甲正确
(2)化简：25+3．
考点3：二次根式的估算与大小比较
例6.（1）(2023·云南楚雄·八年级期末）估计13介于（）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
（2）(2023·重庆市第七中学校九年级期中）估计3×(7−3)的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
例7.(2023·广东·东莞市中堂中学七年级期中）已知a是29的整数部分，b是29的小数部分．
(1)a= ，b= ；
(2)求b−2a+|b−1|+29的值．
知识点训练
1．(2023·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）估算56的值在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
2．(2023·山东青岛·八年级期中）若m>|−310|，且m为整数，则m的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．(2023·北京密云·八年级期末）如图，数轴上有四个点A，B，C，D，则这四个点中对应的数是7的可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
4．(2023·陕西咸阳·八年级期中）估计19−1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
5．(2023·重庆市南开两江中学校八年级期中）估算18÷3的运算结果介于（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
6．(2023·河南·鹤壁市外国语中学九年级期中）估算25+52×15的值应在哪两个整数之间？ （ ）
A．6至7B．5至6C．4至5D．3至4
7．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）已知5的整数部分是x，小数部分是y，则2y+x2=_____．
8．(2023·浙江绍兴·七年级期中）设n为正整数，且n<669．(2023·福建省福州第十一中学七年级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且010．(2023·湖南永州·八年级期末）如图，实数π，7对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：
(1)实数π对应的点是 ；实数7对应的点是 ；
(2)计算：7−π−π= ．
11．(2023·江苏·东台市实验中学八年级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜2＜2，于是可用2﹣1来表示2的小数部分．请解答下列问题：
(1)21的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果7的小数部分为a，15的整数部分为b，求a+b﹣7的值．
考点4：二次根式非负性的应用
例8．(2023·福建宁德·八年级期中）已知a+b−33+b+3=b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x−3y的值．
知识点训练
1．(2023·四川·树德中学八年级期中）已知a−2+b+3=0，则P−a,−b在______象限．
2．(2023·浙江·杭州市杭州中学七年级期中）若a，b为实数，且满足a+4+b−2=0，则ab的值为________．
3．(2023·浙江温州·七年级期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b=______．
4．(2023·四川·测试·编辑教研五八年级期中）已知y=2x−1−1−2x+8，则4x+y的算术平方根为___________．
5．(2023·江苏扬州·八年级期中）已知a、b、c满足a+b−4+a−c+2=b−c+c−b，则a+b+c的平方根为____________．
6．(2023·广东·清远市清新区第二中学八年级期中）若x−1+4−y2=0，则xy= ______．
7．(2023·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）若x，y为实数，且满足x−3+y+3=0．
(1)如果实数x，y对应为平面直角坐标系上的点Ax,y，则点A在第几象限？
(2)求xy2015的值？
8．(2023·福建省永春第三中学八年级期中）若实数x，y，z满足x+16+y−42=0，则xy的立方根是（ ）
A．8B．−8C．4D．−4
考点5：二次根式的应用
例9. (2023·山东青岛·九年级期末）已知长方形的长a=482，宽b=273
(1)求长方形的周长；
(2)有个正方形与该长方形的面积相等，求正方形与长方形周长的比．
知识点训练
1．(2023·山东济宁·八年级期中）若矩形的周长是45cm，一边长是5−1cm，则它的面积是______cm2．
2．(2023·河北承德·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=48．
（1）矩形ABCD的周长为______；
（2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______．
3.(2023·云南·宾川县金牛镇第二初级中学八年级期中）中国共产党的第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开，为迎接大会的召开，计划在一个长为152m，宽为102m的矩形场地建如图所示的4个正方形花坛，且要求正方形花坛的边长为12m，求剩余部分空地的面积．
4．(2023·辽宁·沈阳市虹桥初级中学八年级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2−2x−5的值．王红的做法是：根据x=2+1得x−1=2，∴x−12=2，∴x2−2x+1=2，∴x2−2x=1．把x2−2x作为整体代入：得x2−2x−5=1−5=−4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知x=3−2，求代数式x2+4x−5的值；
(2)已知x=5−12，则代数式x3+x2+x+1的值为______．
5．(2023··七年级期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．
（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．
6．(2023·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1m，宽为13−1m，
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
7．(2023·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2），
(1)原小正方形的边长为 cm；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2:1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
8．(2023·江苏南京·八年级期末）材料阅读：
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp−ap−bp−c，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S=14a2b2−a2+b2−c222，被称之为秦九韶公式．
(1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积．
(2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________．
9．(2023·河南驻马店·八年级期中）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
10．(2023·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为12,1与1,12．
(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x的值；
(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求ab的值．
11．(2023·山东德州·八年级期中）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简12−1．
解：将分子、分母同乘以2+1得，12−1=2+12−12+1=2+1．
类比应用：
(1)化简：123−11=__________；
(2)化简：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12021+2020
拓展延伸：
宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
(3)黄金矩形ABCD的长BC=____________；
(4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论：
(5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________．
专题1.3二次根式及其运算知识点演练
考点1：二次根式的概念及性质
例1．（1）(2023·湖北襄阳·八年级期末）在式子2,33,x2+1,x+y中，二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：2是二次根式，符合题意，
33是三次根式，不合题意，
x2+1是二次根式，符合题意，
x+y不是二次根式，不合题意．
故选：B．
（2）(2023·安徽合肥·八年级期中）函数y=1x−9+x−2中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥2B．x≥2且x≠9C．x≠9D．2≤x<9
解：x−9≠0x−2≥0，
解得x≥2且x≠9．
故选：B．
（3）(2023·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）18m化简后是正整数，则整数m的最小值为_____．
解：∵18m=9×2m=32m且18m化简后是正整数，
∴32m是正整数，
∴2m是一个非0完全平方数，且m是整数，
∴m的最小值为2，
故答案为：2．
知识点训练
1．(2023·辽宁大连·八年级期末）下列各式中是二次根式的为（ ）
A．a+bB．stC．−x3D．aa≥0
答案：D
分析：根据二次根式的定义判定即可．
【详解】解：A、a+b是整式不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、st是分式不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、−x3是单项式不是二次根式，故此选项不符合题意；
D、aa≥0是二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握二次根式的定义“形如aa≥0的式了叫二次根式”是解题的关键．
2．(2023·陕西安康·八年级期中）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．34B．−10C．5D．a
答案：C
分析：根据二次根式的定义即可得出正确选项．
【详解】A、34是三次根式，不合题意；
B、−10的被开方数是负数，不合题意；
C、5是二次根式，符合题意；
D、a中，当a＜0时，不是二次根式，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是本题的关键．
3．(2023·云南昭通·八年级期中）在下列代数式中，不是二次根式的是（ ）
A．5B．13C．x2+1D．2x
答案：D
分析：直接利用二次根式的定义即可解答．
【详解】解：A、5是二次根式，故此选项不合题意；
B、13是二次根式，故此选项不合题意；
C、x2+1是二次根式，故此选项不合题意；
D、2x，不是二次根式，故此选项符合题意．
故答案为D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式，正确把握二次根式的定义是解答本题的关键．
4．(2023·四川·树德中学八年级期中）使x−5有意义的x的取值范围是（ ）
A．x>5B．x<5C．x≠5D．x≥5
答案：D
分析：根据二次根式中的被开方数是非负数可得x−5≥0，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：x−5≥0，
解得：x≥5，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
5．(2023·河南南阳·九年级期中）要使二次根式x−2有意义，x的值不可以取（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：A
分析：根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】∵x−2≥0，
∴x≥2，
故选：A．
【点睛】本题考查二次根式，正确理解二次根式有意义的条件是解题的关键．
6．(2023·山东·济宁高新区洸河中学九年级期中）函数y=1x−1中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x>1D．x<1
答案：C
分析：由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件即可得出x−1>0，解之，即得出答案．
【详解】由题意得：x−1>0
解得：x>1．
故选C．
【点睛】本题考查求函数自变量的取值范围．掌握分式的分母不能为0，被开方数为非负数是解题关键．
7．(2023·北京市育英中学八年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A．−32=−3B．32+42=7C．412=212D．−4×−9=6
答案：D
分析：根据二次根式的性质和运算法则分别判断．
【详解】解：A、(−3)2=3，故错误，不符合题意；
B、32+42=5，故错误，不符合题意；
C、412=92=322，故错误，不符合题意；
D、(−4)×(−9)=4×9=6，故正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算，属于基础知识，要熟练掌握相关算法．
8．(2023·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．23+42=65B．12=23
C．4×3=6D．−32=−3
答案：B
分析：根据二次根式的化简，二次根式的乘法分别计算并判断．
【详解】解：23与42不是同类项，故不能合并，故选项A不正确；
12=23，故选项B正确；
4×3=23，故选项C不正确；
−32=3，故选项D不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了二次根式的化简，二次根式的乘法，熟记各计算法则是解题的关键．
9．(2023·陕西西安·八年级期中）化简3−π2得( )
A．π−3B．3−πC．−π−3D．π+3
答案：A
分析：根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【详解】解：3−π2
=|3−π|
=π−3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．(2023·河南驻马店·九年级期中）y=2x+6+1−2x中变量x的取值范围是________．
答案：−3≤x<0
分析：根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】解：依题意2x+6≥0①−2x>0②
解不等式①得：x≥−3
解不等式②得：x<0
∴不等式组的解集为：−3≤x<0，
故答案为：−3≤x<0
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式组的解集，掌握以上知识是解题的关键．
11．(2023·河南洛阳·九年级期中）当a＞3时，化简：a−2−(a−3)2=_____．
答案：1
分析：利用二次根式的性质和绝对值的性质计算即可．
【详解】解：∵a＞3，
∴a−2＞0，a−3＞0，
∴a−2−(a−3)2
=a−2−a−3
=a−2−a−3
=a−2−a+3
=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和绝对值的性质，熟记：a2=a=aa＞00a=0−aa＜0是解题的关键．
12．(2023·黑龙江·绥化市第五中学校九年级期中）已知xy>0，化简二次根式x−yx2的结果是______．
答案：−−y
分析：二次根式有意义，y<0，结合已知条件得y<0，化简即可得出最简形式．
【详解】解：根据题意，xy>0，
得x和y同号，
又∵ x−yx2中−yx2⩾0，
∴y<0，
∴x<0，y<0，
则原式=x·−yx2=x·−y−x=−−y，
故答案为：−−y．
【点睛】主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握开平方的结果为非负数．
13．(2023·上海市奉贤区五四学校八年级期中）化简：xy2(y>0)=______．
答案：yx
分析：根据二次根式的性质进行解答即可．
【详解】解：∵y>0，
∴xy2=yx．
故答案为：yx．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知被开方数一定是非负数是解题的关键．
考点2：二次根式的运算
例2.（1）(2023·广东·阳江市实验学校八年级期中）下列根式中是最简二次根式的是（ ）
A．8B．12C．12D．3
解：A、8=22；A不是最简二次根式，
B、12=22；B不是最简二次根式，
C、12=23；C不是最简二次根式，
D、3是最简二次根式；故D符合题意，
故选：D
（2）(2023·陕西榆林·八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．5+2=7B．(34)3=4=2C．2×62=3D．27÷3=9
解：A．5和2不是同类二次根式，不能合并，故计算错误；
B．(34)3=4，故计算错误；
C．2×62=122=3，故计算正确；
D．27÷3=9=3，故计算错误；
故选C．
例3.(2023·福建福州·八年级期末）计算：
(1)27−12−3；
(2)18−12×2．
解：（1）27−12−3
=33−23−3
=0；
（2）18−12×2
=18×2−12×2
=6−1
=5．
例4.(2023·北京密云·八年级期末）计算：25+3225−32．
解：25+3225−32
=252−322
=20−18
=2
例5.(2023·河南·许昌市第一中学八年级期中）计算题
(1)(48+20)−(12−5)；
(2)已知x=3+2,y=3−2，求(x−y)2+xy的值．
解：（1）原式=43+25−23+5
=23+35；
（2）
∵x=3+2，y=3−2，
∴x−y=22，xy=3+23−2=3−2=1，
∴(x−y)2+xy
=(22)2+1
=8+1
=9．
知识点训练
1．(2023·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8xB．x2+3C．13D．3a2b
答案：B
分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】A、8x=22x，被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项不符合题意；
B、x2+3符合最简二次根式的条件；故本选项符合题意；
C、13=33，被开方数里含有分母；故本选项不符合题意．
D、3a2b=a3b，被开方数里含有能开得尽方的因式a2；故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2．(2023·甘肃省武威市第十中学八年级期末）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．43−33=1
C．32×22=12D．12=2
答案：C
分析：由合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意；
B、43−33=3，原计算错误，该选项不符合题意；
C、32×22=12正确，该选项符合题意；
D、12=12=22原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查合并同类二次根式，二次根式的乘法，二次根式的性质，掌握以上知识是解题关键．
3．(2023·山西·寿阳县教研室八年级期中）下列计算正确的是（ ）
A．2+3=5B．52−32=5−3C．(3−1)2=3−1D．3×2=6
答案：D
分析：利用二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质求解即可．
【详解】解：A、2与3不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意；
B、52−32=4，计算错误，不符合题意；
C、(3−1)2=4−23，计算错误，不符合题意；
D、3×2=6，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加法，二次根式的混合计算，二次根式的乘法以及二次根式的性质，熟知二次根式的相关知识是解题的关键．
4．(2023·吉林·长春市十一高中北湖学校模拟预测）(2)2=______，3×4=______，6÷2=______．
答案： 2 23 3
分析：根据二次根式的性质，二次根式的乘除法运算，即可求出答案．
【详解】解：(2)2=2，
3×4=23，
6÷2=3，
故答案为：2，23，3
【点睛】本题考查二次根式的性质以及二次根式的乘除法运算，解题的关键是正确理解二次根式的性质．
5．(2023·广东佛山·八年级期中）计算
(1)3+23−2；
(2)32−412+2．
答案：(1)1
(2)32．
分析：（1）利用平方差公式计算即可；
（2）二次根式化为最简，然后进行合并求出结果．
【详解】（1）解：3+23−2
=32−22
=3−2
=1；
（2）解：32−412+2
=42−4×22+2
=42−22+2
=32．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
6．(2023·河南南阳·九年级期中）计算：18−92−3+63+(1−2)2+(3−3)1+13．
答案：322
分析：先根据二次根式的基本性质以及二次根式的乘除法法则化简每一个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】解： 原式＝32−322−1−2+2−1+3−33+13
＝322−2+33+3−3−33
＝322−2+2
＝322
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
7．(2023·新疆·昌吉州行知学校八年级期中）已知：a＝3﹣2，b＝3+2，分别求下列代数式的值：
(1)a2+2ab+b2
(2)a2b﹣ab2．
答案：(1)12
(2)4
分析：（1）先因式分解，再把a=3−2，b=3+2代入计算，即可得到答案；
（2）先因式分解，再把a=3−2，b=3+2代入计算，即可得到答案 .
（1）解：∵a=3−2，b=3+2，
∴a2+2ab+b2=(a+b)2
=(3−2+3+2)2
=(23)2
=12；
（2）
解：a2b−ab2=ab(a−b)
=(3−2)(3+2)(3−2−3−2)
=−1×(−4)
=4 .
【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式的乘法运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行计算．
8．(2023·福建宁德·八年级期中）甲、乙两位同学对代数式m−nm+nm>0，n>0，分别作了如下变形：
甲：m−nm+n=m−nm−nm+nm−n=m−nm−nm−n=m−n，乙：m−nm+n=m+nm−nm+n=m−n．
(1)甲、乙两种变形过程正确的是 ；
A．甲乙都正确
B．甲乙都不正确
C．只有乙正确
D．只有甲正确
(2)化简：25+3．
答案：(1)C
(2)2
分析：（1）根据分式的基本性质可判断甲同学的变形错误，由平方差公式可判断乙同学的变形正确；
（2）把分子分母都乘以5−3，然后利用平方差公式计算．
【详解】（1）解：甲同学：分子分母同乘以m−n，而当m=n时，m−n=0，这不符合分式的基本性质，所以甲同学的计算错误；
乙同学：利用平方差公式变形，再约分，所以乙同学的计算正确．
故选：C．
（2）原式＝=25−35+35−3=25−35−3=5−3．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则，平方差公式是解题的关键．
考点3：二次根式的估算与大小比较
例6.（1）(2023·云南楚雄·八年级期末）估计13介于（）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
解∶∵9<13<16，
∴3<13<4,
故选∶C．
（2）(2023·重庆市第七中学校九年级期中）估计3×(7−3)的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间
C．3和4之间D．4和5之间
解：3×(7−3)
=21−3，
∵4<21<5，
∴1<21−3<2，
故选A．
例7.(2023·广东·东莞市中堂中学七年级期中）已知a是29的整数部分，b是29的小数部分．
(1)a= ，b= ；
(2)求b−2a+|b−1|+29的值．
解：（1）∵25<29<36，
∴5<29<6，
∵ a是29的整数部分，b是29的小数部分，
∴ a=5，b=29−5，
故答案为：5，29−5；
（2）解：由（1）知a=5，b=29−5，
∴b−1=29−5−1=29−6<0，
∴ b−2a+|b−1|+29
=b−2a+1−b+29
=−2a+1+29
=−2×5+1+29
=29−9．
知识点训练
1．(2023·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）估算56的值在（ ）
A．5和6之间B．6和7之间C．7和8之间D．8和9之间
答案：C
分析：根据估算无理数的大小解答即可．
【详解】解：∵49<56<64，
∴7<56<8，即56在7和8之间，
故选：C．
【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键．
2．(2023·山东青岛·八年级期中）若m>|−310|，且m为整数，则m的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．0
答案：A
分析：先估算310，根据绝对值的意义即可求解．
【详解】解：∵23=8,33=27，8<10<27，
∴2<310<3，
∵m>|−310|，
∴m的值可能是3，
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义，无理数的估算，估算310的大小是解题的关键．
3．(2023·北京密云·八年级期末）如图，数轴上有四个点A，B，C，D，则这四个点中对应的数是7的可能是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
答案：D
分析：先求出7的范围，即可求出哪个点表示7．
【详解】解：∵4<7<9，
∴2<7<3，
故点D是表示7可能的点，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
4．(2023·陕西咸阳·八年级期中）估计19−1的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
答案：B
分析：先估算出19的值，即可解答．
【详解】∵16<19<25，
∴5<19<6，
∴4<19−1<5，
故选：B．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题关键．
5．(2023·重庆市南开两江中学校八年级期中）估算18÷3的运算结果介于（ ）
A．1与2之间B．2与3之间C．3与4之间D．4与5之间
答案：B
分析：根据二次根式的除法运算先得出18÷3=6，然后根据无理数的估算求解即可．
【详解】解：18÷3=6，
∵4<6<9，
∴2<6<3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根数的除法运算以及无理数的估算，能准确得出无理数在那两个整数之间是解本题的关键．
6．(2023·河南·鹤壁市外国语中学九年级期中）估算25+52×15的值应在哪两个整数之间？ （ ）
A．6至7B．5至6C．4至5D．3至4
答案：B
分析：由25+52×15=2+10，先估算10在3和4之间，即可解答．
【详解】解：∵25+52×15=2+10，且3＜10＜4，
∴5＜2+10＜6，即25+52×15的值在5至6之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的运算和无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
7．(2023·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）已知5的整数部分是x，小数部分是y，则2y+x2=_____．
答案：25
分析：根据算术平方根的定义估算无理数5的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵22=4,32=9，而4<5<9，
∴2<5<3，
∴5的整数部分x=2，小数部分y=5−2，
∴2y+x2=25−4+4=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根是正确解答的前提．
8．(2023·浙江绍兴·七年级期中）设n为正整数，且n<66答案：8
分析：估算出66的取值范围即可解答．
【详解】解：∵64<66<81，
∴8<66<9，
∵n<66∴n=8．
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，在确定形如a（a≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．
9．(2023·福建省福州第十一中学七年级期中）已知：3=x+y，其中x是整数，且0答案：3−1##−1+3
分析：根据3=x+y，其中x是整数，且0【详解】解：∵1<3<2，x是整数，
∴x=1，
∵ 3=x+y，
∴y=3−1，
∴xy=3−1．
故答案为：3−1．
【点睛】本题主要考查了无理数整数部分与小数部分的计算，解题的关键是根据题意得出x=1，y=3−1．
10．(2023·湖南永州·八年级期末）如图，实数π，7对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：
(1)实数π对应的点是 ；实数7对应的点是 ；
(2)计算：7−π−π= ．
答案：(1)D，C
(2)−7
分析：（1）根据3<π<4，2<7<3，结合各点在数轴上的位置即可找到对应的点；
（2）根据点D在点C的右侧，可知7<π，据此去绝对值即可求解．
【详解】（1）解：∵3<π<4，
∴结合各点在数轴上的位置可知实数π对应的点是D；
∵4<7<9，
∴ 4<7<9，
∴ 2<7<3，
∴实数7对应的点是C；
故答案为：D，C；
（2）解：∵点D在点C的右侧，
∴ 7<π，
∴ 7−π−π=−7−π−π=π−7−π=−7，
故答案为：−7．
【点睛】本题考查实数与数轴，化简绝对值，无理数的估算等，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．
11．(2023·江苏·东台市实验中学八年级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜2＜2，于是可用2﹣1来表示2的小数部分．请解答下列问题：
(1)21的整数部分是______，小数部分是______．
(2)如果7的小数部分为a，15的整数部分为b，求a+b﹣7的值．
答案：(1)4，21﹣4
(2)1
分析：（1）直接利用二次根式的性质得出21的取值范围，进而完成解答；
（2）直接利用二次根式的性质得出7、15的取值范围，进而完成解答．
【详解】（1）解：∵16＜21＜25，
∴4＜21＜5，
∴21的整数部分是4，小数部分是：21﹣4．
故答案为：4、21﹣4．
（2）解：∵4＜7＜9，
∴2＜7＜3，
∵7的小数部分为a，
∴a＝7﹣2，
∵9＜15＜16，
∴3＜15＜4，
∵15的整数部分为b，
∴b＝3，
∴a+b− 7＝7 −2+3− 7＝1．
【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解答本题的关键．
考点4：二次根式非负性的应用
例8．(2023·福建宁德·八年级期中）已知a+b−33+b+3=b+3，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分．求2x−3y的值．
解：∵a+b−33+b+3=b+3，a+b−33≥0，b+3≥0，
∴a+b−33=0，
∴a+b=33，
∵5＜33＜6，x为a+b的整数部分，y为a+b的小数部分，
∴x=5，y=33−5，
∴2x−3y=10−333+15=25−333，
答：2x−3y的值为25−333．
知识点训练
1．(2023·四川·树德中学八年级期中）已知a−2+b+3=0，则P−a,−b在______象限．
答案：二
分析：根据非负数的性质得到a，b的值，得到点P的坐标，即可知道点P所在的象限．
【详解】解：根据题意得，
a−2=0，b+3=0，
∴a=2，b=−3，
∴P−2,3，
∴点P在第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了非负数的性质，点的坐标，掌握两个非负数的和为0，则这两个非负数分别等于0是解题的关键．
2．(2023·浙江·杭州市杭州中学七年级期中）若a，b为实数，且满足a+4+b−2=0，则ab的值为________．
答案：−8
分析：由绝对值和算术平方根的非负性可求出a和b的值，再代入ab中求值即可．
【详解】∵a+4+b−2=0，
∴a+4=0，b−2=0，
解得：a=−4，b=2，
∴ab=−4×2=−8．
故答案为：−8．
【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题关键．
3．(2023·浙江温州·七年级期中）若a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，则a+b=______．
答案：0，2，4
分析：先根据绝对值和算术平方根的非负性分三种情况进行讨论得出a，b的值，再代入进行计算即可求解
【详解】解：∵a−2022+b+2022=2，其中a，b均为整数，
又∵|a−2022|≥0，b+2022≥0
①当|a−2022|=0，b+2022=2时，
∴a=2022，b=−2018
∴a+b=2022−2018=4
②当|a−2022|=1，b+2022=1时，
∴a=2023或a=2021，b=−2021
∴a+b=2023−2021=2或a+b=2021−2021=0
③当|a−2022|=2，b+2022=0时，
∴a=2024或a=2020，b=−2022
∴a+b=2024−2022=2或a+b=2020−2022=2
故答案为：4或2或0
【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，得出a、b可能的取值是解决此题的关键，注意分类讨论的数学思想．
4．(2023·四川·测试·编辑教研五八年级期中）已知y=2x−1−1−2x+8，则4x+y的算术平方根为___________．
答案：10
分析：根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式求出4x+y的值，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】解：∵y=2x−1−1−2x+8，
∴2x−1≥0，1−2x≥0，
∴2x−1=0，
∴x=12，
∴y=8，
∴4x+y=4×12+8=10，
∴4x+y的算术平方根为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性，非负数的性质，算术平方根的定义．根据非负性求出x，y的值是关键．
5．(2023·江苏扬州·八年级期中）已知a、b、c满足a+b−4+a−c+2=b−c+c−b，则a+b+c的平方根为____________．
答案：±7
分析：利用非负数的性质求出a，b，c的值，根据开平方，可得答案．
【详解】解：由题意得，b−c≥0且c−b≥0，
∴b≥c且c≥b，
∴b=c，
∴a+b−4+a−c+2=b−c+c−b=0，
由非负数的性质，得a+b=4a−c=−2，即a+b=4a−c=−2b=c，
解得a=1b=3c=3，
a+b+c=7，
∴a+b+c的平方根是±7．
故答案为：±7
【点睛】本题考查了绝对值非负性，算术平方根的非负性，平方根，解题的关键是根据算术平方根的非负性和绝对值非负性求出a，b，c的值
6．(2023·广东·清远市清新区第二中学八年级期中）若x−1+4−y2=0，则xy= ______．
答案：2
分析：根据非负数的性质列出方程求出x 、y 的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵x−1+4−y2=0
∴x−1=04−y=0
解得：x=1y=4 ，
∴xy=4=2
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，正确得出x ，y 的值是解题关键．
7．(2023·安徽省宣城市奋飞学校八年级期中）若x，y为实数，且满足x−3+y+3=0．
(1)如果实数x，y对应为平面直角坐标系上的点Ax,y，则点A在第几象限？
(2)求xy2015的值？
答案：(1)点A在第四象限
(2)xy2015=−1
分析：（1）根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出x,y的值，根据点的符号特征，即可判断出点A所在象限；
（2）将x,y的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵x−3+y+3=0，x−3≥0，y+3≥0，
∴x−3=0，y+3=0，
解得：x=3，y=−3；
∴A3,−3，在第四象限；
（2）解：∵x=3，y=−3，
∴xy2015=3−32015=−12015=−1．
【点睛】本题考查非负性．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．同时考查了象限点的符号特征，以及有理数的乘方运算．
8．(2023·福建省永春第三中学八年级期中）若实数x，y，z满足x+16+y−42=0，则xy的立方根是（ ）
A．8B．−8C．4D．−4
答案：D
分析：根据几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0，可求出x和y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵x+16+y−42=0，
∴x+16=0，y−4=0，
解得：x=−16，y=4，
∴3xy=3−16×4=3−64=−4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，求一个数的立方根，解题的关键是熟练掌握几个非负数和为0，则这几个非负数分别为0．
考点5：二次根式的应用
例9. (2023·山东青岛·九年级期末）已知长方形的长a=482，宽b=273
(1)求长方形的周长；
(2)有个正方形与该长方形的面积相等，求正方形与长方形周长的比．
解：（1）长方形的长a=482=23，宽b=273=3
所以长方形的周长=2a+b=2×23+3=63
（2）
长方形的面积=23×3=6
根据面积相等，则正方形的边长=6，
周长=46，
所以，正方形与长方形周长的比为46:63=223
知识点训练
1．(2023·山东济宁·八年级期中）若矩形的周长是45cm，一边长是5−1cm，则它的面积是______cm2．
答案：4
分析：先根据矩形的周长公式求出另一边的长，然后再利用面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形的周长是45，一边长是5−1，
∴另一边长为：45−25−12=5+1cm，
∴矩形的面积为：5+15−1=4cm2．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、二次根式的乘法等知识点，利用周长求出矩形的边长是解答本题的关键．
2．(2023·河北承德·八年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=48．
（1）矩形ABCD的周长为______；
（2）若一正方形的面积与矩形ABCD的面积相等，则这个正方形的边长为______．
答案： 123 26
分析：（1）根据长方形周长公式求解即可；
（2）设正方形的边长为x，由题意得x2=12×48=576=24，解方程即可．
【详解】解：（1）∵矩形ABCD中，AB=12，BC=48，
∴矩形ABCD的周长为2AB+BC=2×12+48=2×23+43=123，
故答案为：123，
（2）设正方形的边长为x，
由题意得x2=12×48=576=24，
∴x=26（负值已舍去），
∴正方形的边长为26，
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
3.(2023·云南·宾川县金牛镇第二初级中学八年级期中）中国共产党的第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开，为迎接大会的召开，计划在一个长为152m，宽为102m的矩形场地建如图所示的4个正方形花坛，且要求正方形花坛的边长为12m，求剩余部分空地的面积．
答案：剩余部分空地的面积为252m2
分析：利用长方形的面积减去四个小正方形的面积即可得．
【详解】解：由题意得：152×102−4×122
=300−48
=252m2，
答：剩余部分空地的面积为252m2．
【点睛】本题考查了二次根式乘法的实际应用，正确列出运算式子是解题关键．
4．(2023·辽宁·沈阳市虹桥初级中学八年级期中）阅读理解：已知x=2+1，求代数式x2−2x−5的值．王红的做法是：根据x=2+1得x−1=2，∴x−12=2，∴x2−2x+1=2，∴x2−2x=1．把x2−2x作为整体代入：得x2−2x−5=1−5=−4．即：把已知条件适当变形，再整体代入解决问题．请你用上述方法解决下面问题：
(1)已知x=3−2，求代数式x2+4x−5的值；
(2)已知x=5−12，则代数式x3+x2+x+1的值为______．
答案：(1)−6
(2)5
分析：（1）仿照阅读材料解答即可；
（2）把已知变形可得x2+x=1，代入即可求出答案．
【详解】（1）∵x=3−2，
∴x+2=3，
∴x+22=32，
∴x2+4x=−1，
∴x2+4x−5=−1−5=−6；
（2）∵x=5−12，
∴2x=5−1，
∴2x+1=5，
∴2x+12=52，
变形整理得：x2+x=1，
∴x3+x2+x+1
=xx2+x+x+1
=x+x+1
=2x+1
=5．
故答案为：5
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是读懂题意，能将已知式子适当变形．
5．(2023··七年级期末）（1）已知一个长方形的长是宽的2倍，面积是10，求这个长方形的周长．
（2）如图，已知长方形内两个相邻正方形的面积分别为9和3，求图中阴影部分的面积．
答案：（1）65；（2）33−3
分析：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，根据长方形面积公式为长×宽，代入计算即可；
（2）两个小阴影部分可以组成一个长为3，宽为(3−3)的长方形，直接计算即可．
【详解】解：（1）设长方形的宽为x，则长方形的长为2x，
∴2x·x=10，解方程得，x1=5或x2=−5（不符合题意，舍去），
∴长方形的宽为5，长为25，
∴长方形的周长为(5+25)×2=65．
解：（2）由题意可知，大正方形的边长为9=3，小正方形的变成为3，
∴阴影部分的面积为(3−3)×3=33−3．
【点睛】本题考查二次根式的应用，能够将图形的面积公式和二次根式熟练的结合在一起是解答本题的关键．
6．(2023·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为162m，宽AB为128m（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1m，宽为13−1m，
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
答案：(1)342m
(2)6600元
分析：（1）根据矩形周长公式列式计算即可；
（2）用绿地面积减花坛面积差乘以50元，列式计算即可．
【详解】（1）解：长方形ABCD的周长=2162+128=292+82=342m，
答：长方形ABCD的周长是342m；
（2）解：购买地砖需要花费=5092×82−13+113−1
=50144−13+1
=50×132
=6600（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
【点睛】本题考查二次根式的应用，根据题意列出版算式和掌握二次根式运用法则是解题的关键．
7．(2023·广东·佛山市华英学校八年级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积为16cm2的大正方形纸片如图（2），
(1)原小正方形的边长为 cm；
(2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为2:1，且面积为12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
(3)如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
答案：(1)22
(2)不能，理由见解析
(3)能，图见解析，5
分析：（1）根据小正方形的面积是大正方形面积的一半可得小正方形的面积，即可解决问题；
（2）设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，根据面积为12cm2可得x的值，则长为26>4，即可得出结论；
（3）一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5，据此画出示意图即可．
【详解】（1）∵小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为16÷2=8（cm2），
设小正方形的边长为a，
则a2=8，
∴a=22（舍去负值），
∴小正方形的边长为22cm，
（2）解：不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，
依题意得2x⋅x=12，
∴x=6或x=−6（舍去），
∴长为26>4，
∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为5，
画出示意图如图：
【点睛】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、二次根式的实际应用等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
8．(2023·江苏南京·八年级期末）材料阅读：
古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》中提出：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp−ap−bp−c，这一公式称为海伦公式．
我国南宋时期数学家秦九韶在《数书九章》中提出利用三角形三边a，b，c，求三角形面积的公式S=14a2b2−a2+b2−c222，被称之为秦九韶公式．
(1)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．你同意这种说法吗？请利用以下数据验证两公式的一致性．如图①，在△ABC中，BC=a=7，AC=b=5，AB=c=6，求△ABC的面积．
(2)在（1）的基础上，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O．过点O作OD⊥AB，OD的长为____________．
答案：(1)我同意这种说法．S△ABC=66
(2)236
分析：（1）分别代入公式求解，答案一样就是一致的；
（2）利用角平分线的性质与判定定理得点O到△ABC三边的距离相等，设OD=x，再利用面积相等即可求解．
（1）
解：我同意这种说法．
验证：利用海伦公式：p=12×（5+6+7）=9．
△ABC的面积的面积为：S1=9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=66；
利用秦九韶公式：
△ABC的面积的面积为
S2=14a2b2−(a2+b2−c22)2=1472×52−(72+52−622)2
=12352−192=66．
∵S1=S2，
∴海伦公式与秦九韶公式本质上是同一个公式．且S△ABC=66；
（2）
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴点O分别到AB、BC及BC、AC的距离相等，
∴点O到AB、AC的距离相等，
∴O在∠BAC的平分线上，
∴O到三角形的三条边的距离相等，距离为OD的长，设为x，
∴△ABC的面积等于：12×（5+6+7）x=66，
解得：x=236．
所以OD的长为：236．
故答案为：236．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，角平分线的判定定理与性质定理，解题的关键是明白海伦公式与秦九韶公式的运用，代入数据即可．
9．(2023·河南驻马店·八年级期中）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为98米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为13+1米，宽为13−1米
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
答案：(1)166+142米；
(2)34862−72元．
分析：（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先计算出空白部分面积，再计算即可．
【详解】（1）解：长方形ABCD的周长=2×(83+98)=2(83+72)=166+142（米），
答：长方形ABCD的周长是166+142米；
（2）解：通道的面积=(83×98)−(13+1)(13−1)
=5812−12（平方米），
购买地砖需要花费=6×5812−12=34862−72（元）．
答：购买地砖需要花费34862−72元．
【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．
10．(2023·安徽合肥·八年级期中）我们规定用a,b表示-对数对，给出如下定义：记m=1a，n=b（a>0，b>0），将m,n与n,m称为数对a,b的一对“对称数对”，例如：4,1的一对“对称数对”为12,1与1,12．
(1)数对25,4的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1，求x的值；
(3)若数对a,b的一对“对称数对”的一个数对是3,33，求ab的值．
答案：(1)15,2；2,15.
(2)x=1
(3)9或19
分析：（1）根据题意将a=25，b=4代入m=1a=2，n=b=1即可；
（2）由题m=1a，n=b，数对x,2的一对“对称数对”的一个数对是2,1和1,2，可得，1x=1即可得出x的值；
（3）将数对a,b的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab．
（1）
解：由题意知：m=125=15，n=4=2，
∴数对25,4的一对“对称数对”是15,2和2,15．
（2）
解：∵数对x,2的一对“对称数对”是1x,2和2,1x，
∴1x=1，
∴x=1.
（3）
解：∵数对a,b的一对“对称数对”是1a,b和b,1a，
∴1a=3b=33或1a=33b=3.
∴a=13b=27或a=127b=3.
∴ab=9或19.
【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题的关键．
11．(2023·山东德州·八年级期中）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简12−1．
解：将分子、分母同乘以2+1得，12−1=2+12−12+1=2+1．
类比应用：
(1)化简：123−11=__________；
(2)化简：12+1+13+2+⋅⋅⋅+12021+2020
拓展延伸：
宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1．
(3)黄金矩形ABCD的长BC=____________；
(4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论：
(5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________．
答案：(1)23+11
(2)2021−1
(3)5+12
(4)见解析
(5)10+24
分析：（1）仿照题干中的过程进行计算即可；
（2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可；
（3）根据黄金矩形定义结合AB=1进行计算即可；
（4）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值为5−12即可；
（5）在图②中，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可．
（1）
化简：123−11= 23+1123+1123−11=23+11．
故答案为：23+11．
（2）
解：原式＝2−1+3−2+⋅⋅⋅+2021−2020
=2021−1
（3）
∵宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽AB=1，
∴黄金矩形ABCD的长BC为：15−12=25−1=5+12．
故答案为：5+12．
（4）
矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，
根据黄金矩形的性质可知：
ADBC=15−12=25−1=5+12，
∴FD=EC=AD-AF=5+12−1=5−12，
∴FDEF=5−121=5−12，
所以矩形DCEF是黄金矩形；
（5）
如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB=EF=1，AD=5+12，
∴AE=12+12=2，
在△AED中，
S△AED=12×AD×EF=12×AE×GD，
∴AD×EF=AE×GD，
5+12×1=2DG，
解得DG=10+24，
∴以点D到线段AE的距离为10+24，
故答案为：10+24．
【点睛】本题考查了黄金分割、平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．