中考数学一轮大单元复习1.4分式知识点演练(讲练)(原卷版+解析)-

这是一份中考数学一轮大单元复习1.4分式知识点演练(讲练)(原卷版+解析)-，共51页。试卷主要包含了其中正确的是等内容，欢迎下载使用。

考点1：分式的定义和性质
例1．（1）(2023·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．n=2B．m=−2C．p=6D．q的值不存在
（2）(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；
（3）当a=0时，分式的值为−1．
你所写的分式为___________
（3）(2023·新疆·乌市一中八年级期中）下列结论：①不论a为何值aa2+1都有意义；②a=−1时，分式a+1a2−1的值为0；③若x2+1x−1的值为负，则x的取值范围是x<1；④若x+1x+2÷x+1x有意义，则x的取值范围是x≠−2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③D．①④
例2．(2023·全国·八年级课时练习）已知y=x−23−4x，x取哪些值时：
(1)y的值是正数；
(2)y的值是负数；
(3)y的值是零；
(4)分式无意义．
知识点训练
1．(2023·山东烟台·八年级期中）代数式25x,1π,3a2+2,b2−23,1x,m+1m+3中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）在式子3a，a+b7，5，1x−1，x8，x2+12y2中，分式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．(2023·福建·龙岩市第一中学锦山学校八年级期中）在1x,12,x2+13,3xyπ,5x+y中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．（2023·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）在代数式32a，a+b2，−x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（2023·河北石家庄·八年级期末）如果分式x−6x+6的值为0，那么x的值为（ ）
A．0B．6C．-6D．±6
6．(2023·河北唐山·八年级期中）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x<1C．x>-2且x≠1D．x>1
7．(2023·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末）若分式2x＋1x2的值为正，则x的取值范围为（ ）．
A．x≥－12B．x≤－12
C．x＞－12且x≠0D．x＜－12
8．(2023·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）分式x−3yx+y中，把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的10倍C．缩小为原来的D．不能确定
9．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）下列哪个分式和−x−1−2x+1值相等（ ）
A．−x+12x−1B．x−12x+1C．x+12x−1D．−x−12x+1
10．(2023·上海金山·七年级期末）如果将分式x2+y2x+y中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍D．扩大到原来的16倍
11．(2023·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）如果把分式2xyx−y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大6倍
12．(2023·广西贵港·八年级期中）下列各式从左边到右边的变形正确的是（ ）
A．x−yx+2y=y−xx+2yB．−a+bc=−a−bcC．0.2a+ba+0.2b=2a+ba+2bD．−x−yx+y=1
13．(2023·山东济宁·八年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．x2−1x2−2x+1=x+1x−1B．x+2yx+3y=23
C．x2−y2x−y=x−yD．y−x−y=−yx−y
14．(2023·山东泰安·八年级期中）下列各等式中成立的有（ ）个．
①−a−bc=−a−b−c； ②−a−bc=a−bc；
③−a+bc=−a+bc； ④−a+bc=a−b−c．
A．1B．2C．3D．4
15．(2023·河北唐山·八年级期中）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）
A．−a+b−a−b=a+ba−bB．−x+1−x−1=x−1x+1
C．1−x+y=1x+yD．−b−a−a−b=a+ba−b
16．(2023·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）下列判断错误的是（ ）
A．代数式a2+2aa​是分式B．当x=−3​时，分式x+32x+6​的值为0​
C．当a=−12​时，分式2a+1a​有意义D．0.5a+b0.2−0.3b=5a+10b2−3b​
17．(2023·河北唐山·八年级期末）由1+c3+c−13值的正负可以比较A=1+c3+c与13的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−3时，A=13B．当c=0时，A≠13
C．当c<−3时，A>13D．当c<0时，A<13
18．(2023·北京市顺义区第五中学八年级期中）请从m2−1，mn−n，n+mn中任选两个构造成一个分式，并化简该分式．你构造的分式是______，该分式化简的结果是______．
19．(2023·上海市培佳双语学校八年级期中）如果二次根式x−9x有意义，那么x应该满足的条件是__________．
20．(2023·四川达州·八年级期末）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是__________．
21．(2023·河南南阳·模拟预测）若分式1x−2有意义，则x ___________．
22．(2023·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）当x满足______ 时，式子y=3x−1+2−x2x+1有意义．
23．(2023·广西·贵港市教育局八年级期中）分式12x−2没有意义，则x的值为_____________．
24．(2023·湖南·桂阳县第二中学八年级期中）当x________时，分式xx+2的值不存在；当x_______时，分式xx+2有意义．
25．(2023·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式x2−11+x无意义，当x＝____时，分式x2−11+x的值为0．
26．(2023·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23-4x的值为负数，则实数x的取值范围是______
27．(2023·广东·八年级单元测试）已知：代数式22−m．
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)当m为何整数时，该式的值为正整数？
28．(2023·福建福州·八年级期末）已知A=6x−53x−1，B=3x−1．
(1)当A⋅B<0时，求x的取值范围；
(2)设y=A−2B．
①当y=−12时，求x的值；
②若x为整数时，求y的正整数值．
29．(2023·河北邢台·八年级期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
考点2：分式的运算
例3.(2023·上海金山·七年级期末）计算：x−1−y−1÷x−2−y−2−xyx+y−1
例4.(2023·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)(x+3)2x+2÷x2+3xx+2−3x
(2)x2+2x+1x+1+x2−4x+2÷2x−1x+1
例5.(2023·山东泰安·八年级期中）
(1)化简1−2x−1x2÷1−1x2；
(2)先化简：x2+xx2−2x+1÷2x−1−1x，再从−2知识点训练
1．(2023·湖南株洲·八年级期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．2x3y•6y2x2=2yxB．3x2x−y+3xyy−x=3x
C．2+12−1=3D．−22−323=2
2．(2023·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）化简4a22a−b+b2b−2a的结果是（ ）
A．−2a+bB．−2a−bC．2a+bD．2a−b
3．(2023·安徽·宣城十二中七年级期中）若ab=a−b≠0​，则分式1a−1b​与下面选项相等的是（​ ）​
A．1ab​B．a−b​C．1​D．−1​
4．(2023·山东济南·模拟预测）若1x−1y=1z，则z等于( )
A． x−y B．y−xxyC．xyx−yD．xyy−x
5．(2023·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）已知a+1b=3a+3b≠0，则a+3b3a+b的值为_____．
6．(2023·湖南省汉寿县教育研究室八年级期中）计算：a−4a−4a⋅a2a−2=__________．
7．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）计算，x2+x−6x−3×2x−64−4x+x2
8．(2023·北京·东直门中学八年级期中）计算：xx2−y2÷12x−2y⋅x+yx
9．(2023·上海金山·七年级期末）计算：−xy2⋅−yx3÷1xy2
10．(2023·山东淄博·八年级期中）计算∶
(1)a2a−1−a−1；
(2)−a2bc3⋅−c2a2÷bca4．
(3)先化简，再求值：3xx−2−xx+2÷xx2−4，在−2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
11．(2023·山东菏泽·八年级期中）计算：
(1)x2−16x+4÷2x−84x
(2)a2+2aa⋅aa2−4−2a−2
12．(2023·山东烟台·八年级期中）（1）先化简，再求值：3x+2yx2−y2+xy2−x2的值，其中x=2+y．
（2）先化简，再求值：3a−1a+1−a+1÷a2−6a+9a+1，从−1≤a≤3中选出合适的最小整数值代入求值．
13．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）若Ax+Bx2+x−2为最简分式，且对任意x的值，有Ax+Bx2+x−2=2x+a−cx+b，且a+b=c，求B的值．
14．(2023·福建省福州第十九中学八年级期中）先化简，再求值x+1x2−1+x2−xx2−2x+1−1x−1，其中x=−2．
15．(2023·湖南邵阳·八年级期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求A=24×122−1+132−1+142−1+⋯+1102−1的整数部分．她百思而不得其解，于是向老师求助．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增；
先看一般情形：1a2−1=⋯=121a−1−1a+1；
再看特殊情形：当a=3时，121a−1−1a+1=1a2−1；
当a=4时，121a−1−1a+1=1a2−1；
老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了．”
(1)请你通过化简，说明一般情形121a−1−1a+1=1a2−1的正确性；
(2)请你完成该同学的解答．
16．（2023·广东江门·八年级期末）请你说明，在代数式x2−2x+1x2−1÷x2−xx+1+3x−1x有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变．
17．(2023·北京·北师大实验中学八年级期末）（1）计算：a+2b2−2a3b+8ab3÷2ab；
（2）化简求值：a2−b2a2−ab÷1a−1+2ab+b2a，其中a=−1，b=2．
18．(2023·山东菏泽·八年级期中）计算：
(1)x2−xx2−2x+1÷x+1x2−1；
(2)4aa2−9−2a+3；
(3)4x+2+x−2⋅4−x23x．
考点3：分式的应用
例6.(2023·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33 ② x−5x ③ x−1x+2 ④x+1x2
(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
例7.(2023·北京朝阳·八年级期末）阅读材料：
对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．
解决问题：
(1)已知实数x,则x+3x+7 x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞”）；
(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．
下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：
（1）x+3x+7 x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞”）；
（2）先到达B地的是 ．
说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B地用(x+y2x+x+y2y) th．
知识点训练
1．(2023·山东淄博·九年级期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算B．乙合算C．甲、乙一样D．无法确定
2．(2023·河南·商水县希望初级中学八年级期中）已知P=a−1b÷1a−b，Q=a2a−b−a−b，则当a>b>0时，P与Q的大小关系是（ ）
A．P>QB．P=QC．P3．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设m=图（1）中阴影部分面积图（2）中阴影部分面积a>b>0，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．14．(2023·上海田家炳中学七年级期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如4x+2，3x2x3−4x是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x−1，x2x+1假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1
(1)将假分式4x−32x+1 为一个整数与一个真分式的和
(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式x2x−3的值为正整数，求x的值
5．(2023·河南·商水县希望初级中学八年级期中）最近一段期间新冠肺炎肆虐，此情形下，很多单位都争着购买消毒液．某商贩先购进消毒液a箱，价格为每箱50元，后又购进消毒液b箱，价格为每箱60元，然后以每箱55元的价格全部售给某单位，请用a、b的式子表示每箱的平均进价．当a6．(2023·福建·莆田哲理中学八年级期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：x2−x+3x+1=x(x+1)−2(x+1)+5x+1 =x(x+1)x+1−2(x+1)x+1+5x+1=x−2+5x+1．
这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
(1)将分式x2+6x−3x−1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．
(2)已知整数x使分式2x2+5x−20x−3的值为整数，则满足条件的整数x的值．
7．(2023·全国·八年级单元测试）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”
小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：
第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则窗户面积地板面积=1780．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则窗户面积地板面积=1881，此时：
∵1881−1780≈0.01>0，
∴1881>1780，
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则窗户面积地板面积=xy，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则窗户面积地板面积=x+1y+1．
请帮小郝完成猜想证明过程．
第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则窗户面积地板面积=xy．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则窗户面积地板面积=x+my+m．
请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．
8．(2023·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nbm+n（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙进行作差比较，即计算x甲−x乙的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
9．(2023·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1kg/m2,F2kg/m2．
(1)F1= ；F2= ．（用含a的式子表示）
(2)求证：F1−F2<0．
(3)求F1F2的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
10．(2023·福建厦门·八年级期末）为促进学生健康成长，某校分批购进若干体育用品．第一批购买的单价不低于18元，第二批购买的单价比第一批的单价少5元．
(1)若第一批和第二批购买的费用分别为400元和450元，且第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5倍．求第一批体育用品每件的单价是多少元？
(2)由于该体育用品深受学生喜欢，学校继续筹划费用购买第三批体育用品．如果第二批和第三批购买费用分别为m元和n元，m:n=8:3．第三批所购买的单价比第一批购买单价的2倍少30元．第二批和第三批哪次购买的数量多，请说明理由．
11．（2023·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）为了安全与方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．现有甲、乙两车连续两次同时进入自助加油站加油，甲车选择每次只加40升，乙车选择每次只加200元为比较谁的加油方式更合算，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升，且x≠y．请回答下列问题：
（1）①甲车两次加油的平均油价为： 元/升；
②乙车两次加油的平均油价为： 元/升．
（2）请比较两车的平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
12．(2023·河北石家庄·八年级期中）已知：3−xx2−2x+1÷p=1+x2−2x−11−x．
(1)求P，并将之化简；
(2)当x=n时，记P的值为P(n)．如，当x=2时，P的值为P(2)；当x=3时，P的值为P(3)；…．请直接写出关于t的不等式t−24−3−t2≥P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)的解集及其最小整数解．
13．(2023·安徽·阜阳实验中学七年级期中）根据你发现的规律解答下列问题．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，……
(1)计算：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6= ；
(2)探究：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1= （用含有n的式子表示）；
(3)求11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1的值（用含有n的式子表示）．
x的取值
－2
2
p
q
分式的值
无意义
0
1
2
专题1.4分式及其运算知识点演练
考点1：分式的定义和性质
例1．（1）(2023·安徽合肥·七年级期末）已知分式2x+nx−m（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（ ）
A．n=2B．m=−2C．p=6D．q的值不存在
解：∵x为﹣2时方程无意义，
∴x－m=0，解得：m=﹣2，故B正确，
故分式为：2x+nx+2，
当x=2时，分式的值为0，
故2×2＋n=0，n=﹣4，故A错误，
故分式为：2x−4x+2，
当分式值为1时，2x－4=x+2，解得：x=6，
故p=6，故C正确，
当2x−4x+2=2时，2x－4=2x＋4，此等式不成立，则q的值不存在，故D正确，
故选：A．
（2）(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为零；
（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3；
（3）当a=0时，分式的值为−1．
你所写的分式为___________
解：根据（1）分式的值不可能为零，可得分式的分子不等于零；
根据（2）分式有意义时，a的取值范围是a≠−3，可知当a=−3时，分式的分母等于零；
根据（3）当a=0时，分式的值为−1，可知把x=0代入后，分式的分子、分母互为相反数．
综上可知，满足条件的分式可以是：−3a+3，
故答案为：−3a+3（答案不唯一）．
（3）(2023·新疆·乌市一中八年级期中）下列结论：①不论a为何值aa2+1都有意义；②a=−1时，分式a+1a2−1的值为0；③若x2+1x−1的值为负，则x的取值范围是x<1；④若x+1x+2÷x+1x有意义，则x的取值范围是x≠−2且x≠0．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①③D．①④
解：①正确，∵a不论为何值a2+1>0，
∴不论a为何值aa2+1都有意义；
②错误，∵当a=−1时，a2−1=1−1=0，此时分式无意义，
∴此结论错误；
③正确，∵若x2+1x−1的值为负，即x−1<0，即x<1，
∴此结论正确；
④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若x+1x+2÷x+1x有意义，则x的取值范围是即x+2≠0x≠0x+1x≠0，x≠−2，x≠0且x≠−1，故此结论错误．
故选：C．
例2．(2023·全国·八年级课时练习）已知y=x−23−4x，x取哪些值时：
(1)y的值是正数；
(2)y的值是负数；
(3)y的值是零；
(4)分式无意义．
解：（1）根据题意，得
x−2>03−4x>0或x−2<03−4x<0，
解得34（2）根据题意，得
x−2<03−4x>0或x−2>03−4x<0，
解得x＜34或x＞2；
（3）根据题意，得
x−2=03−4x≠0，
解得x＝2；
（4）根据题意，得
3﹣4x＝0，
x＝34．
知识点训练
1．(2023·山东烟台·八年级期中）代数式25x,1π,3a2+2,b2−23,1x,m+1m+3中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：代数式25x,1π,3a2+2,b2−23,1x,m+1m+3中，属于分式的有：3a2+2,1x,m+1m+3共有3个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级期中）在式子3a，a+b7，5，1x−1，x8，x2+12y2中，分式的个数为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：A
分析：判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：在式子3a，a+b7，5，1x−1，x8，x2+12y2中，
分式有：3a，1x−1，共有2个．
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的定义，分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
3．(2023·福建·龙岩市第一中学锦山学校八年级期中）在1x,12,x2+13,3xyπ,5x+y中分式的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：A
分析：根据分式的定义判断选择即可．
【详解】解：1x,12,x2+13,3xyπ,5x+y中，是分式的是1x,5x+y，
故选A．
【点睛】本题考查了分式的定义即形如BA，其中A，B都是整式，且A中含有字母，熟练掌握定义是解题的关键．
4．（2023·宁夏·中宁县第三中学八年级期末）在代数式32a，a+b2，−x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
答案：B
分析：直接根据分时的定义判断．分母中含有字母是分式和整式的区别．
【详解】解：在32a，a+b2，−x+14−x，12xy+x2y，4abπ，x2yx中，分式有32a，−x+14−x，x2yx这3个，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．注意π是数字，不是字母．
5．（2023·河北石家庄·八年级期末）如果分式x−6x+6的值为0，那么x的值为（ ）
A．0B．6C．-6D．±6
答案：B
分析：根据分子等于0，分母不等于0，求出解．
【详解】∵分式x−6x+6=0，
∴x−6=0，且x+6≠0，
解得x=6．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的值为0的条件，即分式的值为0的要求是分式的分子等于0，分母不等于0．
6．(2023·河北唐山·八年级期中）若分式x+2x2−2x+1的值为正数，则x的取值范围是（ ）
A．x>-2B．x<1C．x>-2且x≠1D．x>1
答案：C
分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案．
【详解】解：原式=x+2x−12，
当x≠1时，（x-1）2＞0，
当x+2＞0时，分式的值为正数，
∴x＞-2且x≠1．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
7．(2023·辽宁·盘山县教师进修学校八年级期末）若分式2x＋1x2的值为正，则x的取值范围为（ ）．
A．x≥－12B．x≤－12
C．x＞－12且x≠0D．x＜－12
答案：C
分析：根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式．
【详解】解：由题意得，x2>0，且x≠0，
∵分式2x＋1x2的值为正，
∴2x+1＞0，
∴x＞-12，
所以x＞-12且x≠0．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．
8．(2023·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）分式x−3yx+y中，把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值（ ）
A．不变B．扩大为原来的10倍C．缩小为原来的D．不能确定
答案：A
分析：将x，y分别扩大2倍，代入原分式，利用分式的基本性质进行计算．
【详解】解：∵10x−3×10y10x+10y=x−3yx+y，
∴把x和y都扩大到原来的10倍，分式的值不变．
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
9．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）下列哪个分式和−x−1−2x+1值相等（ ）
A．−x+12x−1B．x−12x+1C．x+12x−1D．−x−12x+1
答案：C
分析：将分式进行化简，然后即可得出结果．
【详解】解：−x−1−2x+1=x+12x−1，
故选：C．
【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握化简法则是解题关键．
10．(2023·上海金山·七年级期末）如果将分式x2+y2x+y中的x和y都扩大到原来的4倍，那么分式的值（ ）
A．不变B．扩大到原来的4倍
C．扩大到原来的8倍D．扩大到原来的16倍
答案：B
分析：x，y都扩大成原来的4倍就是分别变成原来的4倍，变成4x和4y．用4x和4y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系即可得到答案．
【详解】解：将4x和4y分别替换原分式中的x， y得4x2+4y24x+4y=16x2+y24x+y=4x2+y2x+y，
∴分式的值扩大到原来的4倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
11．(2023·山东·烟台市芝罘区教育科学研究中心八年级期中）如果把分式2xyx−y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍B．缩小3倍C．不变D．扩大6倍
答案：A
分析：利用分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得2⋅3x⋅3y3x−3y=18xy3x−3y=6xyx−y，
∴把分式2xyx−y中的x，y都扩大3倍，那么分式的值扩大3倍，
故选：A．
【点睛】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
12．(2023·广西贵港·八年级期中）下列各式从左边到右边的变形正确的是（ ）
A．x−yx+2y=y−xx+2yB．−a+bc=−a−bcC．0.2a+ba+0.2b=2a+ba+2bD．−x−yx+y=1
答案：B
分析：根据分式的基本性质作答．
【详解】解：A、x−yx+2y=−y−xx+2y，此选项变形错误；
B、−a+bc=−a−bc，此选项变形正确；
C、0.2a+ba+0.2b=2a+10b10a+2b，此选项变形错误；
D、−x−yx+y=−1，此选项变形错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的变形，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
13．(2023·山东济宁·八年级期中）下列运算正确的是（ ）
A．x2−1x2−2x+1=x+1x−1B．x+2yx+3y=23
C．x2−y2x−y=x−yD．y−x−y=−yx−y
答案：A
分析：根据分式的基本性质逐项计算，即可求解．
【详解】解：A．x2−1x2−2x+1=(x+1)(x−1)(x−1)2=x+1x−1，故本选项符合题意；
B．x+2yx+3y≠23，故本选项不符合题意；
C．x2−y2x−y=(x+y)(x−y)x−y=x+y，故本选项不符合题意；
D．y−x−y=y−(x+y)=−yx+y，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，能够根据分式的基本性质正确计算是解题的关键．
14．(2023·山东泰安·八年级期中）下列各等式中成立的有（ ）个．
①−a−bc=−a−b−c； ②−a−bc=a−bc；
③−a+bc=−a+bc； ④−a+bc=a−b−c．
A．1B．2C．3D．4
答案：A
分析：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，据此即可求解．
【详解】解：−a−bc=a−b−c，故①中等式不成立；
−a−bc=−a+bc，故②中等式不成立；
−a+bc=−a−bc，故③中等式不成立；
−a+b−c=a−bc，故④中等式成立．
综上，各等式中成立的有1个．
故选A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，属于基础题型，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
15．(2023·河北唐山·八年级期中）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）
A．−a+b−a−b=a+ba−bB．−x+1−x−1=x−1x+1
C．1−x+y=1x+yD．−b−a−a−b=a+ba−b
答案：B
分析：根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个，分式的值不变．
【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以−1，
A、−a+b−a−b=a−ba+b；
B、−x+1−x−1=x−1x+1；
C、1−x+y=−1x−y；
D、−b−a−a−b=a+ba+b=1，
故选：B．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．
16．(2023·安徽省宣城市奋飞学校七年级期中）下列判断错误的是（ ）
A．代数式a2+2aa​是分式B．当x=−3​时，分式x+32x+6​的值为0​
C．当a=−12​时，分式2a+1a​有意义D．0.5a+b0.2−0.3b=5a+10b2−3b​
答案：B
分析：根据分式的基本性质，分式有意义的条件，分式的值为零的条件，逐项判断即可求解．
【详解】解：A．代数式a2+2aa​是分式，正确，不符合题意；
B．当x=−3​时，分式x+32x+6​没有意义，错误，符合题意；
C．当a=−12​时，分式2a+1a​有意义，正确，不符合题意；
D．0.5a+b0.2−0.3b=5a+10b2−3b​，正确，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式有意义的条件，以及分式的值为零的条件，熟练掌握分式的性质是解本题的关键．
17．(2023·河北唐山·八年级期末）由1+c3+c−13值的正负可以比较A=1+c3+c与13的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−3时，A=13B．当c=0时，A≠13
C．当c<−3时，A>13D．当c<0时，A<13
答案：C
分析：将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算1+c3+c−13的正负，即可判断出选项C，D的对错．
【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意；
B选项，当c=0时，A=13，故该选项不符合题意；
C选项，1+c3+c−13
=3+3c33+c−3+c33+c
=2c33+c
∵c<−3，
∴3+c<0，c<0，
∴3(3+c)<0，
∴2c33+c>0，
∴A>13，故该选项符合题意；
D选项，当c<0时，
∵3(3+c)的正负无法确定，
∴A与13的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
18．(2023·北京市顺义区第五中学八年级期中）请从m2−1，mn−n，n+mn中任选两个构造成一个分式，并化简该分式．你构造的分式是______，该分式化简的结果是______．
答案： m2−1n+mn（答案不唯一） m−1n
分析：任意选两个组成分式，再根据分式的基本性质化简分式即可．
【详解】解：可选择m2−1，n+mn构成分式m2−1n+mn，
m2−1n+mn
=m+1m−1nm+1
=m−1n，
故答案为：m2−1n+mn，m−1n．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质并正确化简是解答的关键．
19．(2023·上海市培佳双语学校八年级期中）如果二次根式x−9x有意义，那么x应该满足的条件是__________．
答案：x≥9
分析：根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得：x−9≥0且x≠0，
解得：x≥9．
故答案为：x≥9．
【点睛】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
20．(2023·四川达州·八年级期末）若代数式xx−2有意义，则实数x的取值范围是__________．
答案：x≠2
分析：根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵代数式xx−2有意义，
∴x−2≠0，即x≠2，
故答案为：x≠2．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．
21．(2023·河南南阳·模拟预测）若分式1x−2有意义，则x ___________．
答案：≠2
分析：分式有意义，分母x−2≠0，据此可以求得x的值．
【详解】当分母x−2≠0，即x≠2时，分式1x−2有意义，
故答案是：≠2．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．
22．(2023·江苏·扬州市邗江区梅苑双语学校模拟预测）当x满足______ 时，式子y=3x−1+2−x2x+1有意义．
答案：−12分析：直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．
【详解】解：由题意可得：2−x⩾02x+1>0，
解得：−12故答案为：−12【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是正确掌握相关定义．
23．(2023·广西·贵港市教育局八年级期中）分式12x−2没有意义，则x的值为_____________．
答案：1
分析：分式无意义，指的是分式的分母为零，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，2x−2=0，
∴x=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是对分式无意义的理解，掌握分式的定义，分式无意义的理解是解题的关键．
24．(2023·湖南·桂阳县第二中学八年级期中）当x________时，分式xx+2的值不存在；当x_______时，分式xx+2有意义．
答案： =−2 ≠−2
分析：分别根据分式有意义的条件以及分式无意义的条件列出关于x的等式、不等式，求出x的取值即可．
【详解】（1）解：∵分式xx+2的值不存在，
∴x+2=0，
解得：x=−2；
（2）解：分式xx+2有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠−2；
故答案为：=−2，≠−2．
【点睛】本题考查分式有意义的条件以及分式无意义的条件，能够根据分式有意义的条件以及分式无意义的条件列出关于x的等式、不等式是解决本题的关键．
25．(2023·江苏无锡·八年级期末）当x＝____时，分式x2−11+x无意义，当x＝____时，分式x2−11+x的值为0．
答案： -1 1
分析：根据分式有意义的条件和分式值为0的条件列方程和不等式即可得答案．
【详解】解：由题意得使分式x2−11+x无意义时，
则1+x=0
x=-1，
当分式x2−11+x的值为0时，
则1+x≠0，x2−1=0
x≠−1，x=±1
∴x=1．
故答案为：-1；1
【点睛】本题考查分式的值为零的条件及分式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，分式的值为0，则分子为0，分母不为0．
26．(2023·新疆·克拉玛依市白碱滩区教育局八年级期末）分式23-4x的值为负数，则实数x的取值范围是______
答案：x>34##x>0.75
分析：根据题意易得3-4x<0，然后问题可求解．
【详解】解：由分式23-4x的值为负数，可知：3-4x<0，
∴x>34；
故答案为x>34．
【点睛】本题主要考查分式的值及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式的解法是解题的关键．
27．(2023·广东·八年级单元测试）已知：代数式22−m．
(1)当m为何值时，该式无意义？
(2)当m为何整数时，该式的值为正整数？
答案：(1)m=2
(2)m=1或0
分析：（1）根据分母等于0计算即可；
（2）根据值为整数进行判断求解即可；
【详解】（1）解：由题意得：2−m=0，
解得：m=2；
（2）解：∵代数式22−m的值为正整数，
∴2−m=1或2−m=2，
解得：m=1或0．
【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键．
28．(2023·福建福州·八年级期末）已知A=6x−53x−1，B=3x−1．
(1)当A⋅B<0时，求x的取值范围；
(2)设y=A−2B．
①当y=−12时，求x的值；
②若x为整数时，求y的正整数值．
答案：(1)x<56且x≠13；
(2)①1；②1或7．
分析：（1）根据A⋅B<0，可得6x−5<0，再根据分式有意义的条件，即可求解；
（2）先代入，可得y=6x−53x−1−23x−1=6x−73x−1，①根据y=−12，可得到关于x的方程，即可求解；②先变形为y=6x−73x−1=6x−2−53x−1=2−53x−1，再由x为整数，y为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：∵A⋅B<0，
∴6x−53x−1⋅3x−1<0，
∴6x−5<0，
∴x<56，
∵6x−53x−1为分式，
∴3x−1≠0，
∴x≠13，
∴x的取值范围为x<56且x≠13；
（2）解：根据题意，得y=6x−53x−1−23x−1=6x−73x−1，
①当y=−12时，6x−73x−1=−12，
解得x=1，
经检验，x=1是原分式方程的解，
∴当y=−12时，x的值为1；
②y=6x−73x−1=6x−2−53x−1=2−53x−1，
∵x为整数，y为正整数，
∴3x−1=5或1或−1或−5，
当3x−1=5，即x=2时，y=2−55=1；
当3x−1=1时，x=23，不合题意，舍去；
当3x−1=−1，即x=0时，y=2−5−1=7；
当3x−1=5，即x=−43时，y=2−5−5=3不合题意，舍去；
综上所述，当x为整数时，y的正整数值为1或7．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
29．(2023·河北邢台·八年级期中）小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．
(1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______；
(2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明．
答案：(1)x+3x+1，x−1x−3
(2)小强说的有道理，理由见详解
分析：（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解；
（2）比较分式x+3x+1，x−1x−3大小即可求解．
【详解】（1）解：根据分式的大小关系可知，
小明组成的分式中值最大的分式是x+3x+1，小强组成的分式中值最大的分式是x−1x−3．
（2）解：小强说的有道理， 理由如下：
∵x−1x−3−x+3x+1=x−1x+1x−3x+1−x+3x−3x+1x−3=8x+1x−3，
当x是大于3的正整数时，
∴x+1x−3>0，
∴8x+1x−3>0，
∴x−1x−3>x+3x+1，
故小强说的有道理．
【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键．
考点2：分式的运算
例3.(2023·上海金山·七年级期末）计算：x−1−y−1÷x−2−y−2−xyx+y−1
解：原式=1x−1y÷1x2−1y2−xyx+y
=1x−1y÷1x+1y1x−1y−xyx+y
=1÷1x+1y−xyx+y
=1÷x+yxy−xyx+y
=xyx+y−xyx+y
=0．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
例4.(2023·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)(x+3)2x+2÷x2+3xx+2−3x
(2)x2+2x+1x+1+x2−4x+2÷2x−1x+1
解：（1）原式=(x+3)2x+2·x+2x(x+3)−3x=x+3x−3x=x+3−3x=1
（2）解：原式=(x+1)2x+1+(x+2)(x−2)x+2÷2x−1x+1=(x+1+x−2)÷2x−1x+1
=(2x−1)·x+12x−1=x+1．
例5.(2023·山东泰安·八年级期中）
(1)化简1−2x−1x2÷1−1x2；
(2)先化简：x2+xx2−2x+1÷2x−1−1x，再从−2解：（1）1−2x−1x2÷1−1x2=x2−2x+1x2÷x2−1x2 =x−12x2⋅x2x+1x−1=x−1x+1．
（2）解：原式=xx+1x−12÷2x−x+1xx−1=xx+1x−12⋅xx−1x+1=x2x−1，
当x=2时，
原式=222−1=4（x≠−1，1，0）．
知识点训练
1．(2023·湖南株洲·八年级期末）下列各式中计算正确的是（ ）
A．2x3y•6y2x2=2yxB．3x2x−y+3xyy−x=3x
C．2+12−1=3D．−22−323=2
答案：B
分析：根据分式乘法运算法则进行计算，判断A，根据分式加法运算法则进行计算，判断B，根据平方差公式进行计算，判断C，先算乘方，然后算减法进行计算，判断D．
【详解】解：A．2x3y•6y2x2=4yx，故A错误；
B．3x2x−y+3xyy−x=3x2x−y−3xyx−y=3x(x−y)x−y=3x，故B正确；
C．2+12−1=2−1=1，故C错误；
D．−22−323=2−2=0，故D错误；
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握平方差公式a+ba−b=a2−b2是解题关键．
2．(2023·河北·辛集市辛集镇育红中学八年级期末）化简4a22a−b+b2b−2a的结果是（ ）
A．−2a+bB．−2a−bC．2a+bD．2a−b
答案：C
分析：先将分式化成同分母，再计算分式的减法，最后化简分式即可．
【详解】原式=4a22a−b−b22a−b
=4a2−b22a−b
=(2a+b)(2a−b)2a−b
=2a+b
故选：C
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，根据运算法则将分式转化为同分母是解题关键
3．(2023·安徽·宣城十二中七年级期中）若ab=a−b≠0​，则分式1a−1b​与下面选项相等的是（​ ）​
A．1ab​B．a−b​C．1​D．−1​
答案：D
分析：把分式通分化简为−b−aab，然后整体代入约分即可．
【详解】解：∵ab=a−b≠0​
∴1a−1b=b−aab=−a−bab=−1​，
故选：D​．
【点睛】本题考查了分式的减法运算及整体代入求值，关键是把分式通分．
4．(2023·山东济南·模拟预测）若1x−1y=1z，则z等于( )
A． x−y B．y−xxyC．xyx−yD．xyy−x
答案：D
分析：根据分式的运算，求解即可．
【详解】解：由1x−1y=1z可得y−xxy=1z，
则z=xyy−x，
故选D
【点睛】此题考查了分式的运算，解题的关键是掌握分式运算的法则．
5．(2023·浙江·宁波市鄞州实验中学模拟预测）已知a+1b=3a+3b≠0，则a+3b3a+b的值为_____．
答案：35##0.6
分析：根据题意得出a=3b，再代入求值即可．
【详解】解：∵a+1b=3a+3b，
∴3b(ab+1)=a(ab+1)，
∵a+1b=ab+1b≠0，
∴ab+1≠0，
∴a=3b，
原式=3b+3b9b+b=35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查了分式的加减法以及分式有意义的条件，把条件变形得出a=3b是解本题的关键．
6．(2023·湖南省汉寿县教育研究室八年级期中）计算：a−4a−4a⋅a2a−2=__________．
答案：a2−2a##−2a+a2
分析：先算括号里的，根据异分母分式减法运算法则计算，再对分子分母因式分解，最后根据分式乘法化简即可得到答案．
【详解】解：a−4a−4a⋅a2a−2
=a2a−4a−4a×a2a−2
=a2−4a+4a×a2a−2
=a−22a×a2a−2
=aa−2
=a2−2a．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及异分母分式减法运算、因式分解及分式乘法运算，熟练掌握相关运算法则及运算顺序是解决问题的关键．
7．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）计算，x2+x−6x−3×2x−64−4x+x2
答案：2x+6x−2
分析：根式分式的乘法运算法则，将分子分母的式子进行因式分解，然后约分即可．
【详解】解：x2+x−6x−3×2x−64−4x+x2
=(x+3)(x−2)x−3×2(x−3)(x−2)2
=2(x+3)x−2
=2x+6x−2．
【点睛】题目主要考查分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
8．(2023·北京·东直门中学八年级期中）计算：xx2−y2÷12x−2y⋅x+yx
答案：2
分析：先把能够分解因式的分子，分母分解因式，再把除法化为乘法，约分即可．
【详解】解：xx2−y2÷12x−2y⋅x+yx
=xx+yx−y·2x−y1·x+yx
=2．
【点睛】本题考查的是分式的乘除混合运算，掌握“分式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．
9．(2023·上海金山·七年级期末）计算：−xy2⋅−yx3÷1xy2
答案：−xy3
分析：先计算乘方运算，再把除法运算转化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】解：−xy2⋅−yx3÷1xy2
=x2y2⋅−y3x3÷1x2y2
=x2y2⋅−y3x3⋅x2y2
=−xy3
【点睛】本题考查了含乘方的分式乘除法，解本题的关键在熟练掌握其运算法则．
10．(2023·山东淄博·八年级期中）计算∶
(1)a2a−1−a−1；
(2)−a2bc3⋅−c2a2÷bca4．
(3)先化简，再求值：3xx−2−xx+2÷xx2−4，在−2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
答案：(1)1a−1
(2)−a6bc3
(3)2x+8，当x=1时，原式=10
分析：（1）根据分式的加减进行计算即可求解；
（2）先算乘方，再将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解；
（3）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，然后根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件取舍，代入求值即可求解．
【详解】（1）a2a−1−a−1
=a2a−1−(a+1)=a2a−1−(a+1)(a−1)a−1
=a2−a2+1a−1=1a−1；
（2）−a2bc3⋅−c2a22÷−bca4
=−a6b3c3⋅c4a4÷b4c4a4
=−a6b3c3⋅c4a4⋅a4b4c4
=−a10b3c4a4b4c7
=−a6bc3；
（3）解：3xx−2−xx+2÷xx2−4=3x(x+2)−x(x−2)(x−2)(x+2)⋅x2−4x
=2x(x+4)(x−2)(x+2)⋅(x−2)(x+2)x=2(x+4)=2x+8
当x=−2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，以及化简求值，掌握分式的运算法则，准确的计算是解题的关键．
11．(2023·山东菏泽·八年级期中）计算：
(1)x2−16x+4÷2x−84x
(2)a2+2aa⋅aa2−4−2a−2
答案：(1)2x
(2)1
分析：（1）先将除法转化为乘法，然后根据分式乘法法则计算即可；
（2）先将分式进行因式分解，再进行约分化简计算即可．
【详解】（1）解：x2−16x+4÷2x−84x
=x+4x−4x+4×4x2x−4
=2x
（2）解：a2+2aa⋅aa2−4−2a−2
=aa+2a⋅aa+2a−2−2a−2
=aa−2−2a−2
=1
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，解题关键是理清运算顺序，掌握运算法则．
12．(2023·山东烟台·八年级期中）（1）先化简，再求值：3x+2yx2−y2+xy2−x2的值，其中x=2+y．
（2）先化简，再求值：3a−1a+1−a+1÷a2−6a+9a+1，从−1≤a≤3中选出合适的最小整数值代入求值．
答案：（1）2x−y，1；（2）−aa−3，0
分析：（1）先根据同分母分式相加减法则计算，再把x=2+y代入，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，然后根据分式有意义的条件可得符合条件的最小整数为a=0，再代入，即可求解．
【详解】解：（1）原式=3x+2yx+yx−y−xx−yx+y
=2x+yx+yx−y
=2x−y，
当x=2+y时，原式=22+y−y=1
（2）原式=3a−1a+1−a−1÷a−32a+1
=3a−1−a2+1a+1×a+1a−32
=−aa−3a+1×a+1a−32
=−aa−3
∵a≠−1,3，
∴当−1≤a≤3时，符合条件的最小整数为a=0，
∴原式=−00−3=0．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
13．(2023·上海·测试·编辑教研五七年级期中）若Ax+Bx2+x−2为最简分式，且对任意x的值，有Ax+Bx2+x−2=2x+a−cx+b，且a+b=c，求B的值．
答案：B的值为−4或5
分析：将已知等式进行通分得出B=2b−ac，a+b=1，ab=−2，得出a=2，b=−1或a=−1，b=2，c=1，然后分情况代入求值即可．
【详解】解：Ax+Bx2+x−2=2x+a−cx+b
∴Ax+Bx2+x−2=2(x+b)−c(x+a)(x+a)(x+b)=(2−c)x+2b−acx2+(a+b)x+ab
∴B=2b−ac，
∴a+b=1，ab=−2，
∴a=2，b=−1或a=−1，b=2，
∵a+b=c，
∴c=1，
∵B=2b−ac
∴当a=2，b=−1，c=1时，B=−4；
当a=−1，b=2，c=1时，B=5，
综上得：B的值为−4或5
【点睛】题目主要考查分式的化简及通分运算，熟练掌握分式的运算进行分类讨论是解题关键．
14．(2023·福建省福州第十九中学八年级期中）先化简，再求值x+1x2−1+x2−xx2−2x+1−1x−1，其中x=−2．
答案：xx−1，23
分析：先把分子分母因式分解，再化简，然后把x=−2代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：x+1x2−1+x2−xx2−2x+1−1x−1
=x+1x+1x−1+xx−1x−12−1x−1
=1x−1+xx−1−1x−1
=xx−1，
当x=−2时，原式=−2−2−1=23．
【点睛】本题主要考查了分式的加减混合，熟练掌握分式的加减混合法则是解题的关键．
15．(2023·湖南邵阳·八年级期中）某同学在学习的过程中，遇到这样的问题：求A=24×122−1+132−1+142−1+⋯+1102−1的整数部分．她百思而不得其解，于是向老师求助．数学老师进行了深入浅出的讲解：观察算式可知，每个分母中的减数都是1，且被减数按照一定的规律在递增；
先看一般情形：1a2−1=⋯=121a−1−1a+1；
再看特殊情形：当a=3时，121a−1−1a+1=1a2−1；
当a=4时，121a−1−1a+1=1a2−1；
老师讲解到这里时，该同学说：“老师我知道怎么做了．”
(1)请你通过化简，说明一般情形121a−1−1a+1=1a2−1的正确性；
(2)请你完成该同学的解答．
答案：(1)见解析
(2)15
分析：（1）根据分式的加减法则把分式进行化简即可；
（2）根据题中所给出的式子把原式进行化简，求出A最接近的整数即可．
【详解】（1）左边=12a+1a−1a+1−a−1a+1a−1
=12⋅a+1−a+1a−1a+1
=12⋅2a−1a+1
=1a2−1
右边=1a2−1
∴121a−1−1a+1=1a2−1
（2）A=24×122−1+132−1+142−1+⋯+1102−1
=24×11×3+12×4+13×5+⋯+19×11
=12×21×3+22×4+23×5+⋯+29×11
=12×1−13+12−14+13−15+⋯+19−111
=12×1+12−110−111
=16−15+111
∵15+111<1
∴A=24×122−1+132−1+142−1+⋯+1102−1的整数部分为15．
【点睛】本题考查了分式的加减，根据题意找出规律是解题的关键．
16．（2023·广东江门·八年级期末）请你说明，在代数式x2−2x+1x2−1÷x2−xx+1+3x−1x有意义的情况下，无论x取何值，代数式的值都不变．
答案：见解析
分析：将原式进行化简，得到最终结果为3，即可证明无论x取何值，代数式的值都不变．
【详解】证明：x2−2x+1x2−1÷x2−xx+1+3x−1x
=x−12x−1x+1×x+1xx−1+3x−1x
=1x+3x−1x
=3xx
=3
在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的结果均为3，即无论x取何值，代数式的值都不变．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
17．(2023·北京·北师大实验中学八年级期末）（1）计算：a+2b2−2a3b+8ab3÷2ab；
（2）化简求值：a2−b2a2−ab÷1a−1+2ab+b2a，其中a=−1，b=2．
答案：（1）4ab；（2） 1a+b；1
分析：（1）利用完全平方公式a±b2=a2±2ab+b2和去括号，多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，注意括号前面有负号，去掉括号后括号里的每一项都要变号；
（2）利用a−p=1ap（a≠0，p为正整数）计算1a−1，计算分式的加减法时，找到公分母通分后，分母不变，分子相加减，计算分式的乘除法时，先对分子和分母因式分解，再找到分子分母的公因式，约掉公因式即可．
【详解】解：（1）a+2b2−2a3b+8ab3÷2ab，
=a2+4ab+4b2−a2−4b2，
=4ab；
（2）a2−b2a2−ab÷1a−1+2ab+b2a，
=a+ba−baa−b÷a+2ab+b2a，
=a+ba÷a2+2ab+b2a，
=a+ba⋅aa+b2，
=1a+b，
当a=−1，b=2时，原式=1−1+2=1．
【点睛】本题考查了整式的化简和分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握计算步骤和法则，并仔细计算．
18．(2023·山东菏泽·八年级期中）计算：
(1)x2−xx2−2x+1÷x+1x2−1；
(2)4aa2−9−2a+3；
(3)4x+2+x−2⋅4−x23x．
答案：(1)x
(2)2a−3
(3)2x−x23
分析：（1）先把除法转化为乘法，再把分子、分母约分化简；
（2）先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算；
（3）先把括号内通分化简，再约分化简．
【详解】（1）解：原式=x2−xx2−2x+1×x2−1x+1
=xx−1x−12×x+1x−1x+1
=x；
（2）解：原式=4aa+3a−3−2a−6a+3a−3
=4a−2a+6a+3a−3
=2a+3a+3a−3
=2a−3；
（3）解：原式=4x+2+x2−4x+2⋅4−x23x
=x2x+2⋅2+x2−x3x
=2x−x23．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
考点3：分式的应用
例6.(2023·北京昌平·八年级期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，则x+1x−1是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①x+33 ② x−5x ③ x−1x+2 ④x+1x2
(2)请将“和谐分式”x2+6x+3x+3化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
(3)应用：先化简x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
解：（1）①x+33=1+x3，不是“和谐分式”，
②x−5x=1−5x，是“和谐分式”，
③x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2，是“和谐分式”，
④x+1x2 =1x+1x2，不是“和谐分式”，
故答案为：②③；
（2）解：x2+6x+3x+3
=x+32−6x+3
=x+3−6x+3；
（3）解：x−xx+1÷x2−3xx2−9⋅x+1x2+6x
=xx+1−xx+1·x+3x−3xx−3·x+1xx+6
=x2x+1x+3x−3x2x+1x−3x+6
=x+3x+6
=x+6−3x+6
=1−3x+6，
∵1−3x+6为整数，
∴x+6 =±1,±3，
∴当x=−3,−5,−7,−9时，1−3x+6是整数，
又∵x≠0,−1,3,−3,−6．
∴x=−5,−7,−9时，原式的值是整数．
【点睛】本题主要考查分式的化简及分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则及对和谐分式的定义的理解．
例7.(2023·北京朝阳·八年级期末）阅读材料：
对于两个实数a，b大小的比较，有如下规律：若a-b＞0，则a＞b；若a-b=0，则a=b；若a-b＜0，则a＜b. 反过来也成立．
解决问题：
(1)已知实数x,则x+3x+7 x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞”）；
(2)甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲用一半时间以每小时xkm的速度行走，另一半时间以每小时y km的速度行走；乙以每小时x km的速度行走一半路程，另一半路程以每小时y km的速度行走. 若x≠y，判断谁先到达B地，并说明理由．
下面是小明参考上面的规律解决问题的过程，请补充完整：
（1）x+3x+7 x+4x+6（填“＜”，“=”或“＞”）；
（2）先到达B地的是 ．
说明：设甲从A地到B地用2th，则A，B两地的路程为（x+y）t km，乙从A地到B地用(x+y2x+x+y2y) th．
解： (1)(x+3)(x+7)−(x+4)(x+6)=(x2+10x+21)−(x2+10x+24)=−3
故应填“＜”
(2)(x+y2x+x+y2y)t−2t
=(x+y2x+x+y2y−2)t
=[(x+y)y+(x+y)x2xy−4xy2xy]t
=(x+y)2−4xy2xyt
=(x−y)22xyt
∵x≠y，
∴(x−y)2＞0
∵x＞0，y＞0，t＞0，
∴(x−y)22xyt＞0
∴(x+y2x+x+y2y)t＞2t
所以甲先到达B地．
知识点训练
1．(2023·山东淄博·九年级期中）甲、乙两人分两次在同一粮店内买粮食，两次的单价不同，甲每次购粮100千克，乙每次购粮100元．若规定：谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就合算．那么这两次购粮（ ）
A．甲合算B．乙合算C．甲、乙一样D．无法确定
答案：B
分析：分别算出两次购粮的平均单价，用作差法比较即可．
【详解】解：设第一次购粮时的单价是x元/千克，第二次购粮时的单价是y元/千克，
甲两次购粮共花费：100x+100y，一共购买了粮食：100+100=200千克，甲购粮的平均单价是：100x+100y200=x+y2；
乙两次购粮共花费：100+100=200元，一共购买粮食：100x+100y=100x+yxy（千克），乙购粮的平均单价是：2xyx+y；
甲乙购粮的平均单价的差是：x+y2−2xyx+y=x+y2−4xy2x+y=x−y22x+y>0，
即x+y2>2xyx+y，
所以甲购粮的平均单价高于乙购粮的平均单价，乙的购粮方式更合算，故选B．
【点睛】本题考查分式的减法，解题关键是列出分式并作差，掌握分式的减法法则．
2．(2023·河南·商水县希望初级中学八年级期中）已知P=a−1b÷1a−b，Q=a2a−b−a−b，则当a>b>0时，P与Q的大小关系是（ ）
A．P>QB．P=QC．P答案：C
分析：先利用分式的混合运算法则将P、Q分别化简，再利用实数的比较规则即可得解．
【详解】解：∵P=a−1b÷1a−b，
=ab−1b÷1−aba，
=ab−1b×a1−ab，
=−ab＜0，
Q=a2a−b−a−b，
=a2a−b−a2−b2a−b，
=b2a−b＞0，
∴P＜Q，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算以及比较实数的大小，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
3．(2023·北京昌平·八年级期中）如图，大正方形的边长均为a，图（1）中白色小正方形的边长为b，图（2）中白色长方形的宽为b，设m=图（1）中阴影部分面积图（2）中阴影部分面积a>b>0，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．1答案：B
分析：根据正方形和长方形的面积分别求得阴影部分的面积，代入m，根据分式的性质化简，进而即可求解．
【详解】解：图（1）的阴影部分的面积为：a2−b2，
图（2）的阴影部分的面积为：a2−ab，
∴m=a2−b2a2−ab
=(a−b)(a+b)a(a−b)
=a+ba
=1+ba，
∵a>b>0，
∴1<1+ba<2，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的应用，分别求得阴影部分面积，掌握分式的中是解题的关键．
4．(2023·上海田家炳中学七年级期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如4x+2，3x2x3−4x是真分式，如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式x+1x−1，x2x+1假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：x+1x−1=(x−1)+2x−1=1+2x−1
(1)将假分式4x−32x+1 为一个整数与一个真分式的和
(2)利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式x2x−3的值为正整数，求x的值
答案：(1)2−52x+1
(2)x=4或6或12
分析：（1）根据题意，把分式4x−32x+1化为整式与真分式的和的形式即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】（1）解：由题可得，4x−32x+1=22x+1−52x+1=2−52x+1；
（2）解：x2x−3=x2−9+9x−3=x+3x−3+9x−3=x+3+9x−3，
∵分式的值为正整数，且x为整数，
∴x−3=1，x−3=3，x−3=9，
∴x=4或6或12．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
5．(2023·河南·商水县希望初级中学八年级期中）最近一段期间新冠肺炎肆虐，此情形下，很多单位都争着购买消毒液．某商贩先购进消毒液a箱，价格为每箱50元，后又购进消毒液b箱，价格为每箱60元，然后以每箱55元的价格全部售给某单位，请用a、b的式子表示每箱的平均进价．当a答案：50a+60ba+b，该平均进价相对55元的售价更高，理由见解析
分析：用每箱的进价乘以箱数，再除以总箱数即可表示出两次的平均进价；然后求与55的差即可求解 ．
【详解】解：根据题意，该商贩购进消毒液每箱的平均价格为50a+60ba+b，
55−50a+60ba+b
=55a+ba+b−50a+60ba+b
=55a+55b−50a−60ba+b
=5a−5ba+b．
∵a∴5a−5b<0，
∴5a−5ba+b<0，
∴55<50a+60ba+b．
∴该平均进价相对55元的售价更高．
【点睛】本题考查了分式加减法的应用及代数式的表示，读懂题意，找出已知数量之间的关系是解题的关键．
6．(2023·福建·莆田哲理中学八年级期末）阅读下列材料，解决问题：
在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．
将分式x2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：x2−x+3x+1=x(x+1)−2(x+1)+5x+1 =x(x+1)x+1−2(x+1)x+1+5x+1=x−2+5x+1．
这样，分式x2−x+3x+1就拆分成一个整式x﹣2与一个分式5x+1的和的形式．
(1)将分式x2+6x−3x−1拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______．
(2)已知整数x使分式2x2+5x−20x−3的值为整数，则满足条件的整数x的值．
答案：(1)x+7+4x−1
(2)满足条件的整数x的值为2或4或﹣10或16
分析：（1）按照定义拆分即可．
（2）先将2x2+5x−20x−3拆分为一个整式与一个分式的和的形式，2x2+5x−20x−3 =2x(x−3)+11(x−3)+13x−3＝2x(x−3)x−3+11(x−3)x−3+13x−3 =2x+11+13x−3，若要值为整数，只需13x−3为整数即可．
（1）
解：x2+6x−3x−1
=x(x−1)+7(x−1)+4x−1
＝x(x−1)x−1+7(x−1)x−1+4x−1
=x+7+4x−1．
（2）
解：2x2+5x−20x−3
=2x(x−3)+11(x−3)+13x−3
＝2x(x−3)x−3+11(x−3)x−3+13x−3
=2x+11+13x−3
若要2x2+5x−20x−3值为整数，只需13x−3为整数即可
当x=2时132−3=−13
当x=4时134−3=13
当x=-10时13−10−3=−1
当x=16时1316−3=1
故x=2或4或-10或16．
【点睛】本题主要考查了分式的化简、求使分式值为整数的未知数等知识点，理解逆用分数加减法的化简方法是解答本题的关键．
7．(2023·全国·八年级单元测试）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．”
小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验：
第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则窗户面积地板面积=1780．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则窗户面积地板面积=1881，此时：
∵1881−1780≈0.01>0，
∴1881>1780，
所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则窗户面积地板面积=xy，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则窗户面积地板面积=x+1y+1．
请帮小郝完成猜想证明过程．
第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则窗户面积地板面积=xy．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则窗户面积地板面积=x+my+m．
请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论．
答案：证明见解析，结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
分析：根据分式的减法，作差比较大小即可求解．
【详解】证明：第二步：x+1y+1−xy=yx+1yy+1−xy+1yy+1=xy+y−xy−xyy+1=y−xyy+1
∵y>x>0
∴y−x>0,y+1>0
∴ y−xyy+1 >0
即x+1y+1>xy
∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好；
第三步：同理可得，
x+my+m−xy=y(x+m)y(y+m)−x(y+m)y(y+m)
=y(x+m)−x(y+m)y(y+m)
=xy+my−xy−xmy(y+m)
=m(y−x)y(y+m)
∵y＞x＞0，m＞0，
∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0，
∴m(y−x)y(y+m)>0，
∴x+my+m>xy，
∴窗户面积和地板面积同时增加m平方米，住宅的采光条件会更好；
结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好．
【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键．
8．(2023·全国·八年级单元测试）课本中有一探究活动如下：“商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为ma+nbm+n（平均价）．现有甲乙两种什锦糖，均由A，B两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由10千克A种糖和10千克B种糖混合而成；乙种什锦糖由100元A种糖和100元B种糖混合而成．你认为哪一种什锦糖的单价较高？为什么？”请你完成下面小明同学的探究：
(1)小明同学根据题意，求出甲、乙两种什锦糖的单价分别记为x甲和x乙（用a、b的代数式表示）；
(2)为了比较甲、乙两种什锦糖的单价，小明想到了将x甲与x乙进行作差比较，即计算x甲−x乙的差与0比较来确定大小；
(3)经过此探究活动，小明终于悟出了建议父亲选择哪种方式加油比较合算的道理（若石油价格经常波动．方式一：每次都加满；方式二：每次加200元）．选择哪种方式？请简要说明理由．
答案：(1)x甲 =12(a+b)，x乙 =2aba+b
(2)甲糖的单价较高，理由见解析
(3)方式二更合算
分析：（1）根据单价=总价÷数量分别求出甲糖单价和乙糖单价；
（2）根据作差法比较大小即可求解；
（3）由探究的结果进行分析即可．
【详解】（1）解：甲糖单价为：x甲=(10a+10b)÷20=12(a+b)（元），
乙糖单价为：x乙=(100+100)÷(100a+100b)=2aba+b（元）；
（2）12(a+b)−2aba+b
=(a+b)2−4ab2(a+b)
=(a−b)22(a+b)
∵甲、乙两种什锦糖，均由A，B两种单价不同的糖混合而成，
∴(a−b)22(a+b)>0，
∴甲糖的单价较高．
（3）由探究可知方式一相当于甲种什锦糖，方式二相当于乙种什锦糖，
故选择方式二更合算．
【点睛】本题考查了列代数式（分式），分式的加减法.注意代数式的正确书写：出现除号的时候，用分数线代替．
9．(2023·河南省直辖县级单位·八年级期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了550kg．设“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量分别为F1kg/m2,F2kg/m2．
(1)F1= ；F2= ．（用含a的式子表示）
(2)求证：F1−F2<0．
(3)求F1F2的值．
(4)当a＝49时，高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
答案：(1)550a2−1，550(a−1)2
(2)证明见解析
(3)a−1a+1
(4)高的单位面积产量是低的单位面积产量的2524倍
分析：（1）利用小麦的产量分别除以“丰收1号”、“丰收2号”的面积即可得F1,F2；
（2）根据分式的减法法则计算F1−F2，利用偶次方的非负性即可得证；
（3）根据分式的除法法则进行计算即可得；
（4）先求出a=49时，F1F2的值，再根据（2）的结论即可得．
【详解】（1）解：由题意得：F1=550a2−1，F2=550(a−1)2，
故答案为：550a2−1，550(a−1)2．
（2）证明：F1−F2=550a2−1−550(a−1)2
=550(a+1)(a−1)−550(a−1)2
=550a−1a+1a−12−550a+1a+1a−12
=550a−550−550a−550a+1a−12
=−1100a+1a−12，
∵a>1，
∴a+1>0,a−12>0，
∴−1100a+1a−12<0，
即F1−F2<0．
（3）解：F1F2=550a2−1÷550a−12
=550a+1a−1⋅a−12550
=a−1a+1．
（4）解：当a=49时，F1F2=a−1a+1=49−149+1=2425，
∵F1−F2<0，
∴F1∴F2F1=2524，
∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的2524倍．
【点睛】本题考查了列代数式、分式的减法与除法的实际应用等知识点，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
10．(2023·福建厦门·八年级期末）为促进学生健康成长，某校分批购进若干体育用品．第一批购买的单价不低于18元，第二批购买的单价比第一批的单价少5元．
(1)若第一批和第二批购买的费用分别为400元和450元，且第二批所购体育用品数是第一批所购体育用品数的1.5倍．求第一批体育用品每件的单价是多少元？
(2)由于该体育用品深受学生喜欢，学校继续筹划费用购买第三批体育用品．如果第二批和第三批购买费用分别为m元和n元，m:n=8:3．第三批所购买的单价比第一批购买单价的2倍少30元．第二批和第三批哪次购买的数量多，请说明理由．
答案：(1)20元
(2)第二批购买数量多；理由见解析
分析：（1）设第一批每件单价为x元，则第二批每件单价为x−5元，结合两批购买的费用和数量列出分式方程，解方程即可；
（2）根据题意先求出第二批和第三批的费用，设第一批的购买单价为y元，结合题意可求出第二批和第三批的购买单价，再分别求出第三批和第二批购买的数量，用第二批购买的数量减第三批的购买数量，结合第一批购买单价y≥18，即可解答．
(1)
设第一批每件单价为x元，则第二批每件单价为x−5元
由题意可得：1.5×400x=450x−5
解得：x=20
检验：x=20是原方程的根，且符合题意
答：第一批体育用品每件的单价为20元
(2)
第二批购买的数量多，理由如下
∵第二批和第三批购买费用分别为m元和n元，m:n=8:3
∴n=38m
∴第二批和第三批购买的费用分别为：m元和38m元
设第一批购买的单价为y元，
∵第一批购买的的单价不低于18元，
∴y≥18
由题意可得：第二批购买的单价为y−5元，第三批购买单价为2y−30元
∴第二批购买的数量为：my−5件，第三批购买的数量为：38m2y−30件
∴my−5−38m2y−30=3m3y−15−3m16y−240
∵y≥18
∴16y−240−3y−15=13y−225>0
∴my−5−38m2y−30=3m3y−15−3m16y−240>0
∴my−5>38m2y−30
即第二批购买的数量多．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题关键是读懂题意正确列出分式方程，结合第一批购买单价的范围比较两个分式的大小．
11．（2023·吉林·四平市铁西区教师进修学校八年级期末）为了安全与方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”．现有甲、乙两车连续两次同时进入自助加油站加油，甲车选择每次只加40升，乙车选择每次只加200元为比较谁的加油方式更合算，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次加油时油价为y元/升，且x≠y．请回答下列问题：
（1）①甲车两次加油的平均油价为： 元/升；
②乙车两次加油的平均油价为： 元/升．
（2）请比较两车的平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算．
答案：（1）①x+y2；②2xyx+y；（2）乙车加油方式合算，见解析
分析：（1）①根据题意每次只加40升的平均油价为（40x＋40y）÷（40＋40），化简即可；
②每次只加200元的平均油价＝(200＋200)÷(200x＋200y)，化简即可；
（2）比较x+y2−2xyx+y与零的大小，故可判断求解．
【详解】解：（1）①每次只加40升的平均油价为（40x＋40y）÷（40＋40）=x+y2
②每次只加200元的平均油价＝(200＋200)÷(200x＋200y)=2xyx+y
故答案为：①x+y2；②2xyx+y；
（2）x+y2−2xyx+y=x+y22x+y−4xy2x+y=x+y2−4xy2x+y=x−y22x+y
∵x,y为两次加油的汽油单价，且x≠y，故x+y>0，x−y2>0
即x+y2>2xyx+y．
∴乙车加油方式合算．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，能根据题意列出算式是解此题的关键．
12．(2023·河北石家庄·八年级期中）已知：3−xx2−2x+1÷p=1+x2−2x−11−x．
(1)求P，并将之化简；
(2)当x=n时，记P的值为P(n)．如，当x=2时，P的值为P(2)；当x=3时，P的值为P(3)；…．请直接写出关于t的不等式t−24−3−t2≥P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)的解集及其最小整数解．
答案：(1)1x2−x
(2)t≥236，最小整数解为4
分析：（1）根据等式的性质求得P，根据分式的混合运算化简即可求解；
（2）先求得P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8) =78，进而解关于t的不等式，根据不等式的解集求得最小整数解即可求解．
【详解】（1）解： P=3−xx2−2x+1÷1+x2−2x−11−x
=3−x(x−1)2÷x2−3x1−x
=3−x(x−1)2⋅1−xxx−3
=1xx−1
=1x2−x；
（2）解：∵P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)
= 12×1+13×2+⋅⋅⋅18×7
= 1−12+12−13+⋅⋅⋅+17−18
=78，
t−24−3−t2≥P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)+P(7)+P(8)，
∴t−24−3−t2≥78，
t−2−6+2t4≥78，
即3t−8≥72，
解得：t≥236，
∴不等式的解集为t≥236，
其最小整数解为4．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
13．(2023·安徽·阜阳实验中学七年级期中）根据你发现的规律解答下列问题．
11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，……
(1)计算：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6= ；
(2)探究：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1= （用含有n的式子表示）；
(3)求11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1的值（用含有n的式子表示）．
答案：(1)56；
(2)nn+1；
(3)n2n+1．
分析：（1）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（2）利用已知将各分数进行分解，进而化简求出答案；
（3）结合（2）中所求，进而分解各数，即可求解．
【详解】（1）解：11×2+12×3+13×4+14×5+15×6
=1−12+12−13+13−14+14−15+15−16
=1−16
=56；
（2）解：11×2+12×3+13×4+⋯+1nn+1
=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1；
（3）解：11×3+13×5+15×7+⋯+12n−12n+1
=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)
=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12(1−12n+1)
=n2n+1．
【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用．
x的取值
－2
2
p
q
分式的值
无意义
0
1
2