中考数学一轮大单元复习专题1.1实数及其运算(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习专题1.1实数及其运算(原卷版+解析)，共36页。

例1．(2023·浙江·温州市南浦实验中学七年级期中）把下列各数的序号填入相应的集合里．
①0，②−4，③ 23， ④7，⑤36，⑥3.1313313331⋯ (两个“1”之间依次多一个“3”)．
整数∶______；
分数∶______；
无理数∶________；
知识点训练
1．(2023·陕西宝鸡·八年级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．有理数都是有限小数B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限小数D．π2是分数
2．(2023·江苏·沭阳县怀文中学七年级期中）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．13B．1.732C．−πD．227
3．(2023·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期中）以下四个数：−2，3.14，227，0.101，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．(2023·广东河源·八年级期中）在5，−0.333⋯，0，0.10010001⋯，38，(−2)0，3.1415，2.10101⋯(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．(2023·吉林·农安县新农乡初级中学八年级期中）下列各数3.1415926， 9，1.212212221……（相邻两个l之间2的个数逐次加1），17，2−π，−2020， 4中，有理数有___________个．
6．(2023··七年级期中）把下列各数填入相应的横线内：
－6，π，−23，0，5．
整数：__________________；
负数：__________________；
实数：__________________．
7．(2023·浙江·余姚市子陵中学教育集团七年级期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①0，②-π，③1.5，④−25，⑤−67，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”）
负数：{___________…}；
整数：{___________…}；
无理数：{___________…}．
8．(2023·浙江宁波·七年级期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里．①0；②3；③-2.5；④π2；⑤-57；⑥|−3|；⑦1.202002…… （每两个 “2”之间依次多一个“0”） ．
正整数：（ ）
负分数：（ ）
无理数：（ ）
9．(2023·福建省大田县教师进修学校八年级期中）把下列各数填入相应的括号内：
23，3−5，0.7·，−3.14，36，−22，1.010010001⋯
(1)无理数：{ …}；
(2)负实数：{ …}；
(3)整 数：{ …}；
(4)分 数：{ …}；
10．(2023·浙江金华·七年级期中）把下列各数对应的编号填在相应的大括号里：
（1）−49，（2）18，（3）57，（4）π2，（5）—3.141，（6）0，（7）7，（8）80%，（9）−−5，（10）0.101001．．．（自左而右每两个1之间依次多一个0）．
整 数：____________________________________
分 数：____________________________________
无理数：___________________________________
考点2：实数的相关概念
例2.（1）(2023·山东·宁津县育新中学九年级阶段练习）下列选项中，对2的说法错误的是（ ）．
A．2的相反数是−2B．2的倒数是22
C．2的绝对值是2D．2是有理数
（2）(2023·河北唐山·八年级期中）3−5的绝对值是___________．
（3）(2023·河北邢台·八年级期中）如图，有一个半径为12个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数______；若点B表示的数是−10，则点B在点A'的______（填“左边”、“右边”）.
知识点训练
1．(2023·山西实验中学八年级期中）实数−3的相反数是（ ）
A．3B．3C．−3D．−33
2．(2023·陕西·西安市铁一中学七年级期中）−5的绝对值是（ ）
A．5B．−5C．5D．−5
3．(2023·安徽省马鞍山市第七中学七年级期中）已知a为实数，则−a+|a|的值为（ ）
A．0B．不可能是负数
4．(2023·江苏无锡·八年级期中）5−2的相反数是（ ）
A．−0.236B．5+2C．2−5D．−2+5
5．(2023·河北石家庄·八年级期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．(2023·湖北黄石·中考真题）1−2的绝对值是（ ）
A．1−2B．2−1C．1+2D．±(2−1)
7．(2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
A．2−1B．1−2C．2−2D．2−2
8．(2023·四川省成都市七中育才学校八年级期中）5−1的相反数是____，绝对值是__________．
9．(2023·四川·成都外国语学校八年级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简a2−a+b+ (c−a)2+b+c− 3b3=___________．
10．(2023·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）计算：|−3|+(π+3)0−12．
11．(2023·福建省永春第三中学七年级期中）已知实数a，b满足|a|=b, |ab|+ab=0，化简|a|+−2b+3a．
12．(2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求|m−1|−|1−m|的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．
13．(2023·福建三明·八年级期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，体现了数形结合思想．
(1)由数到形：在数轴上用尺规作图作出−5对应的点P（不要写作法，保留作图痕迹）．
(2)由形到数：如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，作BC⊥AB于点B，截取BC=1；连接AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则点E表示的实数是________________．
考点3：平方根、算术平方根、与立方根
例3. (2023·山东·德州市第九中学九年级期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．
（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④-625______（填“有”或 “没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；
知识点训练
1．(2023·四川·绵阳中学英才学校二模）若−3xmy和5x3yn的和是单项式，则m+n3的平方根是（ ）
A．8B．−8C．±4D．±8
2．(2023·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（ ）
A．125的平方根是±15B．-0.12的平方根是±0.1
3．(2023·江苏·连云港市新海初级中学三模）9的值为_______．
4．(2023·上海嘉定·九年级期中）长为3、4的线段的比例中项长是___________．
5．(2023·山西临汾·九年级期中）已知y=x−2+2−x−3，则x+y2022x−y2023的值为 _____．
6．(2023·山东·测试·编辑教研五二模）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 ______．
7．(2023·四川攀枝花·中考真题）3−8−(−1)0=__________．
8．(2023·广东·东莞市万江第三中学三模）计算下列各题：
（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）−8的立方根是______；
9．(2023·全国·九年级专题练习）已知c10．(2023·全国·九年级专题练习）已知正数a的两个不同平方根分别是2x−2和6−3x，a−4b的算术平方根是4．
(1)求这个正数a以及b的值；
(2)求b3+3a−17的立方根．
考点4：科学记数法
例4.（1）(2023·山东济南·模拟预测）最新统计，中国注册志愿者总数已超30000000人，30000000用科学记数法表示为（ ）
A．3×107B．3×106C．30×106D．3×105
（2）(2023·四川德阳·二模）已知某种细胞的直径约为2.13×10−4cm，请问2.13×10−4这个数原来的数是（ ）
A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213
知识点训练
1．(2023·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆火星，为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）
A．47×107B．4.7×107C．4.7×108D．0.47×109
2．(2023·河南洛阳·二模）今年的“两会”上，李克强总理在谈到今年需要就业的新增劳动力时，指出今年高校毕业生1076万，是历年最高．数据“1076万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.076×107B．1.076×108C．10.76×106D．0.1076×108
3．(2023·福建·九年级专题练习）某种细胞的直径是5×10−4毫米，这个数用小数表示是（ ）
A．0.00005B．0.0005C．−50000D．50000
4．(2023·全国·七年级专题练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（ ）
A．7位数B．8位数
C．9位数D．10位数
5．(2023·全国·七年级专题练习）一个整数x用科学记数法表示为1.381×1028，则x的位数为（ ）
A．27B．28C．29D．30
6．(2023·河南·九年级专题练习）数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10−n，则3.7×10n表示的原数为（ ）．
A．3700000B．370000C．37000000D．−3700000
7．(2023·四川广安·九年级专题练习）近似数3.48×103精确到（ ）
A．百分位B．个位C．十位D．百位
8．(2023·山东师范大学第二附属中学模拟预测）数据0.0000314用科学记数法表示为（ ）
A．3.14×10−5B．31.44×10−4C．3.14×10−6D．0.314×10−6
9．(2023·河北邯郸·七年级期末）0.000985用科学记数法表示为9.85×10−n，则9.85×10n还原为原数为（ ）
A．9850000B．985000C．98500D．9850
10．(2023·吉林长春·一模）“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成______亿千米．
考点5：实数的大小比较
例5.（1）(2023·四川乐山·九年级专题练习）在实数−3.14，－3，−3，−π中，最小的数是（ ）
A．−3.14B．－3C．−3D．−π
（2）(2023·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0C．a知识点训练
1．(2023·山东·测试·编辑教研五二模）下列实数中，最大的数是（ ）
A．−4B．−5C．0D．3
2．(2023·湖南·长沙市南雅中学一模）下列实数中，最大的数是（ ）
A．0B．2C．πD．−3
3．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）在四个数−2，−0.6，12，3中，绝对值最小的数是（ ）
A．−2B．−0.6C．12D．3
4．(2023·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，−2，0，3中最小的数是（ ）
A．1B．−2C．0D．3
5．(2023·四川·峨眉山市教育局二模）在2，-12，0，π这四个实数中，最小的一个实数是（ ）
A．2B．-12C．0D．π
6．(2023·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣4B．−3C．2D．3
7．(2023·四川乐山·九年级专题练习）比较23和32的大小，下面结论正确的是( )
A．23<32B．23=32C．23>32D．无法比较
8．(2023·河北承德·九年级期中）对于实数p，q，我们用符号minp,q表示p，q两数中较小的数，如min1,2=1，因此，min−2,−3=__________；minx2+2x+3,0=__________；若min(x−1)2,x2=1，则x=_____________．
9．(2023·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．
（1）max{26，5}＝_____；
（2）若max{﹣12，（一1）2}＝2x2−x，则x＝_____．
考点6与实数的相关的计算
例6．(2023·山东烟台·九年级期中）计算
(1)sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cs230°
(2)8−2sin45°+2cs60°+1−2+12−1．
知识点训练
1．(2023·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）计算：−3+2−1=______．
2．(2023·山东济南·模拟预测）计算：12−(2022−π)0−2×cs30°+(−12)−1．
3．(2023·山东济南·模拟预测）计算：−14−1−|3−1|+3tan30°+2022−π0．
4．(2023·吉林长春·一模）计算：12−3tan30°+2022−π0−12−1．
5．(2023·四川·峨眉山市教育局二模）计算： 38+3−23−tan60°+32+(π−2022)0
6．(2023·江苏·盐城市初级中学三模）计算：364+sin45°−tan45°+−12−1．
7．(2023·广西·南宁市第四十七中学九年级期中）计算：−(−1)2022+10÷2×12−13−1−3tan30°平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
x4
1
16
81
x
专题1.1实数及其运算（6大考点精讲）
考点1：实数的分类
例1．(2023·浙江·温州市南浦实验中学七年级期中）把下列各数的序号填入相应的集合里．
①0，②−4，③ 23， ④7，⑤36，⑥3.1313313331⋯ (两个“1”之间依次多一个“3”)．
整数∶______；
分数∶______；
无理数∶________；
解：①0，②−4=−2，③ 23， ④7，⑤36，⑥3.1313313331⋯ (两个“1”之间依次多一个“3”)中整数有：0，−4；7；分数有：23；无理数有36，3.1313313331⋯ (两个“1”之间依次多一个“3”)．
故答案为：①②④；③；⑤⑥．
知识点训练
1．(2023·陕西宝鸡·八年级期中）下列说法中正确的是（ ）
A．有理数都是有限小数B．无限小数都是无理数
C．无理数都是无限小数D．π2是分数
答案：C
分析：根据有理数的定义及无理数的定义即可得到答案．
【详解】解：A选项无限循环小数也是有理数，故A不正确；
B选项无限循环小数也是有理数，故B不正确；
C选项无限不循环小数叫无理数，故C正确；
D选项π是无理数，所以π2也是无理数，故D不正确，
故选C．
【点睛】本题考查有理数与无理数定义，解题关键是熟知两个概念．
2．(2023·江苏·沭阳县怀文中学七年级期中）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．13B．1.732C．−πD．227
答案：C
分析：无理数是无限不循环小数，找出符合的选项即可．
【详解】解：13、1.732、227均属于有理数中的分数，−π是无限不循环的小数，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的判断，掌握无理数的判断方法是解题关键．
3．(2023·四川·成都嘉祥外国语学校八年级期中）以下四个数：−2，3.14，227，0.101，无理数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：A
分析：无理数就是无限不循环小数，了解无理数的概念即可得出答案.
【详解】解：3.14，0.101是有限小数，属于有理数，227是分数，属于有理数，
无理数有−2，共一个，
故选：A.
【点睛】本题主要考查无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，熟练掌握无理数的概念是解决本题的关键.
4．(2023·广东河源·八年级期中）在5，−0.333⋯，0，0.10010001⋯，38，(−2)0，3.1415，2.10101⋯(相邻两个1之间有1个0)中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：无理数是无限不循环小数，常见的无理数有含有π的最简式子，开不尽方的二次根式，特殊结构的数（如0.10010001⋯），由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，38=2是有理数，(−2)0=1是有理数，
∴无理数有：5，0.10010001⋯，2.10101⋯(相邻两个1之间有1个0)，
故选：C．
【点睛】本题主要考查实数的分类，理解和掌握实数的分类方法是解题的关键．
5．(2023·吉林·农安县新农乡初级中学八年级期中）下列各数3.1415926， 9，1.212212221……（相邻两个l之间2的个数逐次加1），17，2−π，−2020， 4中，有理数有___________个．
答案：5
分析：根据有理数的概念，即可求解．
【详解】解：4=2，9=3，
3.1415926， 9，1.212212221……（相邻两个l之间2的个数逐次加1），17，2−π，−2020， 4中，有理数为3.1415926， 9，17，−2020， 4，共5个．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握有理数的概念，算术平方根的概念是关键.
6．(2023··七年级期中）把下列各数填入相应的横线内：
－6，π，−23，0，5．
整数：__________________；
负数：__________________；
实数：__________________．
答案：整数：－6，0；负数：－6，−23；实数：－6，π，−23，0，5
分析：根据实数的概念，有理数的概念及正负数的定义逐一判断即可．
【详解】解：整数：－6，0；
负数：－6，−23；
实数：－6，π，−23，0，5．
【点睛】本题考查了实数的概念、有理数的概念及正负数的概念，熟练掌握概念是解题的关键．
7．(2023·浙江·余姚市子陵中学教育集团七年级期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内：
①0，②-π，③1.5，④−25，⑤−67，⑥1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”）
负数：{___________…}；
整数：{___________…}；
无理数：{___________…}．
答案：②，④，⑤；①，④；②，⑥．
分析：根据负数、整数和无理数的概念即可得出答案．
【详解】解：由负数、整数和无理数的概念可知：
负数为：-π，−25，−67
整数：0，−25
无理数：-π，1.1010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”）
故答案为：②，④，⑤；①，④；②，⑥．
【点睛】本题考查了负数、整数和无理数的概念，熟练掌握它们的定义是解题关键，注意带有根号的未必是无理数．
8．(2023·浙江宁波·七年级期中）把下列各数对应的序号填在相应的括号里．①0；②3；③-2.5；④π2；⑤-57；⑥|−3|；⑦1.202002…… （每两个 “2”之间依次多一个“0”） ．
正整数：（ ）
负分数：（ ）
无理数：（ ）
答案：⑥ ；③ ⑤ ；② ④ ⑦
分析：根据正整数，负分数和无理数的概念，即可求解．
【详解】解：|−3|=3，
正整数：（ ⑥ ）
负分数：（③ ⑤ ）
无理数：（ ② ④ ⑦ ）
【点睛】本题主要考查实数的分类，掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
9．(2023·福建省大田县教师进修学校八年级期中）把下列各数填入相应的括号内：
23，3−5，0.7·，−3.14，36，−22，1.010010001⋯
(1)无理数：{ …}；
(2)负实数：{ …}；
(3)整 数：{ …}；
(4)分 数：{ …}；
答案：(1)无理数：3−5,1.010010001⋯；
(2)负实数：3−5,−3.14⋯；
(3)整 数：36,−22⋯；
(4)分 数：23,0.7,−3.14⋯
分析：（1）根据无理数是无限不循环的小数判断即可；
（2）根据负实数包括负有理数和负无理数判断即可；
（3）根据整数包括正整数、0、负整数判断即可；
（4）根据分数包括正分数和负分数判断即可．
【详解】（1）解：无理数：3−5,1.010010001⋯；
（2）负实数：3−5,−3.14⋯；
（3）整 数：36,−22⋯；
（4）分 数：23,0.7,−3.14⋯．
【点睛】本题考查了实数的有关定义，解题的关键是掌握相关定义．
10．(2023·浙江金华·七年级期中）把下列各数对应的编号填在相应的大括号里：
（1）−49，（2）18，（3）57，（4）π2，（5）—3.141，（6）0，（7）7，（8）80%，（9）−−5，（10）0.101001．．．（自左而右每两个1之间依次多一个0）．
整 数：____________________________________
分 数：____________________________________
无理数：___________________________________
答案：（1）（6）（7）（9）；（3）（5）（8）；（2）（4）（10）
分析：根据实数的分类方法即可判定求解．
【详解】整数：（1）−49，（6）0，（7）7，（9）−−5；
分数：（3）57，（5）-3.141，（8）80%；
无理数：（2）18，（4）π2，（10）0.101001．．．（自左而右每两个1之间依次多一个0）．
故答案为：（1）（6）（7）（9）；（3）（5）（8）（2）（4）（10）．
【点睛】此题主要考查了实数的分类．实数分为：有理数和无理数；有理数分为：整数和分数；无限不循环小数是无理数．
考点2：实数的相关概念
例2.（1）(2023·山东·宁津县育新中学九年级阶段练习）下列选项中，对2的说法错误的是（ ）．
A．2的相反数是−2B．2的倒数是22
C．2的绝对值是2D．2是有理数
解：A. 2的相反数是−2不符合题意；
B. 2的倒数是22不符合题意；
C. 2的绝对值是2不符合题意；
D. 2是无理数，不是有理数，符合题意．
故选D.
（2）(2023·河北唐山·八年级期中）3−5的绝对值是___________．
解：∵5<3，
∴3−5的绝对值是：3−5．
故答案为：3−5．
（3）(2023·河北邢台·八年级期中）如图，有一个半径为12个单位长度的圆，将圆上的点A放在原点，并把圆沿数轴逆时针方向滚动一周，点A到达点A'的位置，则点A'表示的数______；若点B表示的数是−10，则点B在点A'的______（填“左边”、“右边”）.
解：∵圆的周长为2π×12=π，
∴OA'=π，
故A'点表示的数是−π．
∵−10=10>3.15，−π=π<3.15，
∴−10>−π
∴−10<−π，
∴点B在点A'的左边．
故答案为：−π；左．
知识点训练
1．(2023·山西实验中学八年级期中）实数−3的相反数是（ ）
A．3B．3C．−3D．−33
答案：B
分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：实数−3的相反数是3．
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．(2023·陕西·西安市铁一中学七年级期中）−5的绝对值是（ ）
A．5B．−5C．5D．−5
答案：A
分析：根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可求解．
【详解】−5=5
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键．
3．(2023·安徽省马鞍山市第七中学七年级期中）已知a为实数，则−a+|a|的值为（ ）
A．0B．不可能是负数
C．可以是负数D．可以是正数也可以是负数
答案：B
分析：通过分类讨论去绝对值，即可判断结果．
【详解】当a>0时，−a+|a|=−a+a=0；
当a=0时，−a+|a|=−a+a=0；
当a<0时，−a+|a|=−a−a=−2a>0．
综上所述，−a+|a|的值不可能是负数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，a是实数时，正数、0、负数三种情况都要考虑到，用到了分类讨论的方法．
4．(2023·江苏无锡·八年级期中）5−2的相反数是（ ）
A．−0.236B．5+2C．2−5D．−2+5
答案：C
分析：根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：∵5−2的相反数是−5−2=2−5，
故选C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，解决本题的关键是掌握其定义：只有符号不同的两个数互为相反数．
5．(2023·河北石家庄·八年级期中）在以下说法中：①无理数和有理数统称为实数；②实数和数轴上的点是一一对应的；③0的算术平方根是0；④无限小数都是无理数．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
答案：C
分析：根据实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念对各小题分析判断即可得解
【详解】①无理数和有理数统称为实数，说法正确
②实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确
③0的算术平方根是0，说法正确
④无限小数都是无理数，说法错误，因为无限循环小数是有理数
故选C
【点睛】本题主要考查实数的相关概念、实数与数轴的对应关系、算术平方根的概念，算数平方根的概念是解题的关键
6．(2023·湖北黄石·中考真题）1−2的绝对值是（ ）
A．1−2B．2−1C．1+2D．±(2−1)
答案：B
分析：根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：∵2>1，
∴｜1−2｜＝2−1，
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值，估算无理数，熟练掌握一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反相数，0的绝对值中0是解题的关键．
7．(2023·浙江·七年级专题练习）数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（ ）
A．2−1B．1−2C．2−2D．2−2
答案：C
分析：根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．
【详解】解：根据对称的性质得：AC=AB
设点C表示的数为a，则1−a=2−1
解得：a=2−2
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC=AB．
8．(2023·四川省成都市七中育才学校八年级期中）5−1的相反数是____，绝对值是__________．
答案： 1−5 5−1
分析：直接利用相反数、绝对值的性质分别分析得出答案．
【详解】解：5−1的相反数是：1−5，绝对值是5−1．
故答案为：1−5，5−1．
【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．
9．(2023·四川·成都外国语学校八年级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图所示．化简a2−a+b+ (c−a)2+b+c− 3b3=___________．
答案：b+2c−a
分析：利用数轴知识分析a、b、c的取值，再根据算术平方根的定义，绝对值的定义，立方根的定义计算即可．
【详解】由图可知ac>b，
∴a2−a+b+ (c−a)2+b+c− 3b3
=−a−−a−b+c−a+b+c−b
=−a+a+b+c−a+b+c−b
=b+2c−a．
故答案为：b+2c−a．
【点睛】本题考查了实数的运算，数轴的知识，解题的关键是掌握a2=a，3b3=b．
10．(2023·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校一模）计算：|−3|+(π+3)0−12．
答案：1−3
分析：先逐项化简，再同类二次根式即可．
【详解】解：原式=3+1−23
=1−3．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，零指数幂的意义，以及二次根式的加减，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
11．(2023·福建省永春第三中学七年级期中）已知实数a，b满足|a|=b, |ab|+ab=0，化简|a|+−2b+3a．
答案：2a+2b
分析：根据实数的性质，绝对值的性质，相反数的意义，判断出a,b的符号，进而化简绝对值，再根据整式的加减进行化简即可求解．
【详解】解：∵|a|=b, |ab|+ab=0
∴b≥0，ab≤0
∴a≤0
∴|a|+−2b+3a
=−a+2b+3a
=2a+2b．
【点睛】本题考查了实数的性质，整式的加减，化简绝对值，判断出a,b的符号是解题的关键．
12．(2023·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，设点B所表示的数为m．
(1)实数m的值是______；
(2)求|m−1|−|1−m|的值；
(3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与d−4互为相反数，求2c+3d的平方根．
答案：(1)−2+2；
(2)0
(3)±22
分析：（1）根据两点间的距离公式可得答案；
（2）根据点B在数轴上的位置可知0（3）根据非负数的性质求出c、d的值，再代入2c+3d，进而求其平方根．
（1）
解：∵蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2
∴点B表示−2+2
∴m=−2+2．
故答案为：−2+2；
（2）
解：由数轴可知：0∴m−1<0，1−m>0，
∴原式=1−m−(1−m)
=0；
（3）
解：∵|2c+4|与d−4互为相反数，
∴|2c+4|+d−4=0，
∵|2c+4|≥0，d−4≥0，
∴2c+4=0，d−4=0，
∴c=−2，d=4，
∴2c+3d
=2×(−2)+3×4
=−4+12
=8，
∵8的平方根为±22，
∴2c+3d的平方根为±22．
【点睛】本题考查了实数与数轴、实数的性质、相反数的定义、非负数的性质、求一个数的平方根等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
13．(2023·福建三明·八年级期中）实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来，体现了数形结合思想．
(1)由数到形：在数轴上用尺规作图作出−5对应的点P（不要写作法，保留作图痕迹）．
(2)由形到数：如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，作BC⊥AB于点B，截取BC=1；连接AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧交AC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则点E表示的实数是________________．
答案：(1)见解析
(2)5−1
分析：（1）利用勾股定理作出长度为5的线段，再以0对应的点为圆心，以该线段长为半径作圆弧，所作圆弧与数轴负半轴的交点即为所求的点P．
（2）先利用勾股定理计算出AC，再根据CD=CB计算出AD，即可得到AE的长，从而得到点E表示的实数．
【详解】（1）解：如图，点P为所作；
作法：作线段AB的垂直平分线MN；以点D为圆心，DB长为半径作弧交MN于点C；以点O为圆心，OC长为半径作弧交数轴负半轴于点P．
（2）解：由作法知CD=CB=1，AD=AE，
∵BC⊥AB，AB=2，CB=1，
∴AC=AB2+BC2=22+12=5，
∴AD=AC−CD=AC=5−1，
∴AE=5−1，
∵点A表示的数分别为0，
∴点E表示的实数是5−1，
故答案为：5−1．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，勾股定理，实数与数轴等知识点，解题的关键是结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，从而解决问题．
考点3：平方根、算术平方根、与立方根
例3. (2023·山东·德州市第九中学九年级期中）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．
（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④-625______（填“有”或 “没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；
解：类比探索
（1）±14=1，±24=16，±34=81；表格中数据依次为：±1，±2，±3；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即x4=a，那么这个数x就叫做a的四次方根；
（2）①1的四次方根是：±1；②16的四次方根：±2；③0的四次方根是：0；④-625没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
拓展应用
（1）±4256= ±4；（2）4-254= 25；
（3）∵34=9,484=8,9>8，∴348．
知识点训练
1．(2023·四川·绵阳中学英才学校二模）若−3xmy和5x3yn的和是单项式，则m+n3的平方根是（ ）
A．8B．−8C．±4D．±8
答案：D
分析：根据题意可得−3xmy和5x3yn是同类项，从而得到m=3,n=1，再代入，即可求解．
【详解】解：∵−3xmy和5x3yn的和是单项式，
∴−3xmy和5x3yn是同类项，
∴m=3,n=1，
∴m+n3=3+13=64，
∴m+n3的平方根是±8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到−3xmy和5x3yn是同类项是解题的关键．
2．(2023·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（ ）
A．125的平方根是±15B．-0.12的平方根是±0.1
C．-9是81的算术平方根D．3-27=-3
答案：C
分析：根据平方根、算术平方根、立方根的定义即可解答．
【详解】解：A. 125的平方根是±15，说法正确，不符合题意；
B. -0.12的平方根是±0.1，说法正确，不符合题意；
C. 81＝9，9的算术平方根是3，说法错误，符合题意；
D. 3-27=-3，说法正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义等知识点，正确理解相关定义成为解答本题的关键．
3．(2023·江苏·连云港市新海初级中学三模）9的值为_______．
答案：3
分析：根据算术平方根的定义即可求解．
【详解】解：9=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查求算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．
4．(2023·上海嘉定·九年级期中）长为3、4的线段的比例中项长是___________．
答案：23
分析：根据成比例线段的定义和比例的性质进行解答即可．
【详解】解：长为3、4的线段的比例中项长是：
3×4=12=23．
故答案为：23．
【点睛】本题主要考查了比例线段的性质，解题的关键是列出比例中项的算式．
5．(2023·山西临汾·九年级期中）已知y=x−2+2−x−3，则x+y2022x−y2023的值为 _____．
答案：2+3##3+2
分析：先利用二次根式有意义求得x与y的值，然后把x与y的值代入变形后的代数式求值即可．
【详解】解：∵y=x−2+2−x−3，
∴x−2≥02−x≥0，解得x=2，
∴y=2−2+2−2−3=−3，
∴x+y2022x−y2023
=x+y2022x−y2022x−y
=x+yx−y2022x−y
=2−32+320222+3
=2+3．
故答案为：2+3
【点睛】本题考查了代数式的化简求值，二次根式有意义的条件的应用是解题的关键．
6．(2023·山东·测试·编辑教研五二模）如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8，若阴影部分为正方形ABCD，则此正方形的边长是 ______．
答案：2
分析：根据已知，先可求出每个小正方体的棱长，再利用勾股定理求阴影部分的正方形的边长即可．
【详解】解：由于由8个同样大小的立方体组成的魔方的体积为8，
所以每个小正方体的体积为1，
即小正方体的棱长为1，
所以正方形ABCD的边长AB=12+12=2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查了立方根、勾股定理等知识，熟练掌握立方根的定义与勾股定理是解答此题的关键．
7．(2023·四川攀枝花·中考真题）3−8−(−1)0=__________．
答案：−3
分析：根据立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式=−2−1=−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了立方根的定义，零指数次幂的定义以及有理数减法法则，正确进行计算是解题的关键．
8．(2023·广东·东莞市万江第三中学三模）计算下列各题：
（1）4的平方根是______；（2）25的算术平方根是______；（3）−8的立方根是______；
答案： ±2 5 -2
分析：（1）根据求一个数的平方根方法求解即可；
（2）根据求一个数的算术平方根方法求解即可；
（3）根据求一个数的立方根方法求解即可．
【详解】解：（1）4的平方根是±4=±2，
故答案为：±2；
（2）25的算术平方根是25=5，
故答案为：5；
（3）−8的立方根是3−8=−2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查求一个数的平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是解题的关键．
9．(2023·全国·九年级专题练习）已知c答案：2a
分析：根据绝对值的意义可得a−b>0,b+c<0,−b>0,b−a<0，然后通过计算可得．
【详解】解：∵c∴a−b>0,b+c<0,−b>0,b−a<0，
a−b2+c2−b+c−−b−3b−a3
=a−b−c+b+c+b−b−a
=a−b−c+b+c+b−b+a
=2a．
【点睛】此题考查了整式的加减和绝对值的意义、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键，并注意整体代入思想的运用．
10．(2023·全国·九年级专题练习）已知正数a的两个不同平方根分别是2x−2和6−3x，a−4b的算术平方根是4．
(1)求这个正数a以及b的值；
(2)求b3+3a−17的立方根．
答案：(1)a=36，b=5
(2)6
分析：（1）首先利用正数的平方根有两个，它们互为相反数，再利用互为相反数的两个数相加为0，即可得出两个平方根，进而得出正数a的值，然后再利用题意“a−4b的算术平方根是4”，把a的值代入a−4b，即可得出b的值．
（2）根据（1）得出a=36，b=5，然后把a=36，b=5代入b3+3a−17，求出值，然后再开立方，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵正数a的两个不同平方根分别是2x−2和6−3x，
∴2x−2+6−3x=0，
解得：x=4，
∴2x−2=2×4−2=6，6−3x=6−3×4=−6，
∵±62=36，
∴a=36，
又∵a−4b的算术平方根是4，
又∵42=16，
∴a−4b=16，
∴把a=36代入a−4b=16，
可得：36−4b=16，
解得：b=5．
（2）解：由（1）可得：a=36，b=5，
把a=36，b=5代入b3+3a−17，
可得：53+3×36−17=216
∴3b3+3a−17=3216=6
【点睛】本题考查了平方根的性质、算术平方根、立方根，解本题的关键在熟练掌握平方根的性质．
考点4：科学记数法
例4.（1）(2023·山东济南·模拟预测）最新统计，中国注册志愿者总数已超30000000人，30000000用科学记数法表示为（ ）
A．3×107B．3×106C．30×106D．3×105
：30000000=3×107．
故选：A．
（2）(2023·四川德阳·二模）已知某种细胞的直径约为2.13×10−4cm，请问2.13×10−4这个数原来的数是（ ）
A．21300B．2130000C．0.0213D．0.000213
解：2.13×10-4=0.000213，
故选：D．
知识点训练
1．(2023·山东·济南市历城区教育教学研究中心一模）2021年5月15日，我国首个火星探测器“天问一号”经过470000000公里旅程成功着陆火星，为我国的宇宙探测之路迈出重要一步．将470000000用科学记数法表示为（ ）
A．47×107B．4.7×107C．4.7×108D．0.47×109
答案：C
分析：根据科学记数法的表示方法确定a，n的值即可．
【详解】解：470000000=4.7×108，
故选：C．
【点睛】题目主要考查科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
2．(2023·河南洛阳·二模）今年的“两会”上，李克强总理在谈到今年需要就业的新增劳动力时，指出今年高校毕业生1076万，是历年最高．数据“1076万”用科学记数法表示为（ ）
A．1.076×107B．1.076×108C．10.76×106D．0.1076×108
答案：A
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1⩽|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值⩾10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数，由此即可得到答案．
【详解】解：1076万=10760000=1.076×107．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的定义．
3．(2023·福建·九年级专题练习）某种细胞的直径是5×10−4毫米，这个数用小数表示是（ ）
A．0.00005B．0.0005C．−50000D．50000
答案：B
分析：根据科学记数法a×10n得到n=−4，所以小数点向前移动4位来求解．
【详解】解：∵5×10−4
∴n=−4，
∴5×10−4=0.0005．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了把科学记数法还原原数，还原原数时，关键是看n，n＜0时，n是几，小数点就向前移几位．
4．(2023·全国·七年级专题练习）据科学家估计，地球的年龄大约是4.6×109年，4.6×109是一个（ ）
A．7位数B．8位数
C．9位数D．10位数
答案：D
分析：把科学记数转化为原数即可求得答案．
【详解】解：4.6×109=4600000000，
故选D．
【点睛】本题考查了把科学记数法转化为原数，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
5．(2023·全国·七年级专题练习）一个整数x用科学记数法表示为1.381×1028，则x的位数为（ ）
A．27B．28C．29D．30
答案：C
分析：将科学记数法表示的数的指数加上1得到原来的数的整数位，由此解答即可．
【详解】x的整数数位少1位为28，则x的位数为29．
故选C．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数整数位与指数的关系．
6．(2023·河南·九年级专题练习）数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10−n，则3.7×10n表示的原数为（ ）．
A．3700000B．370000C．37000000D．−3700000
答案：A
分析：根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，可确定n的值．即得出3.7×10n表示的数为3.7×106，再将其转化为数字即可．
【详解】∵数据0.0000037用科学记数法表示成3.7×10−n，
∴n=6，
∴3.7×10n即为3.7×106，
∴3.7×10n表示的原数为3700000．
故选A．
【点睛】本题主要考查数科学记数法之间的转换．掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同是解题关键．
7．(2023·四川广安·九年级专题练习）近似数3.48×103精确到（ ）
A．百分位B．个位C．十位D．百位
答案：C
分析：先把科学记数法表示的数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．
【详解】近似数3.48×103 =3480，8在十位上，故精确到十位
故选C
【点睛】本题考查了求近似数，将科学记数法还原是解题的关键．
8．(2023·山东师范大学第二附属中学模拟预测）数据0.0000314用科学记数法表示为（ ）
A．3.14×10−5B．31.44×10−4C．3.14×10−6D．0.314×10−6
答案：A
分析：绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，其中n为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000314=3.14×10−5
故选：A．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤a<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
9．(2023·河北邯郸·七年级期末）0.000985用科学记数法表示为9.85×10−n，则9.85×10n还原为原数为（ ）
A．9850000B．985000C．98500D．9850
答案：C
分析：用科学记数法表示的数还原成原数时，n> 0时，n是几，小数点就向右移几位．
【详解】∵0.000985= 9.85×10-4
∴n=4，
∴9.85×104= 98500．
故选: C．
【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数，将科学记数法a× 10n”表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数科学记数法a×10n表示的数，还原成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．
10．(2023·吉林长春·一模）“天文单位”是天文学中用来计量距离的一种单位．1天文单位用科学记数法表示为1.496×108千米，这个数也可以写成______亿千米．
答案：1.496
分析：根据1亿=108，对这个数进行换算即可作答．
【详解】解：∵1亿=108，
∴1.496×108千米=1.496亿千米，
故答案为：1.496．
【点睛】本题考查了科学记数法−−−原数，解题的关键是掌握科学记数法表示的数与原数的关系．
考点5：实数的大小比较
例5.（1）(2023·四川乐山·九年级专题练习）在实数−3.14，－3，−3，−π中，最小的数是（ ）
A．−3.14B．－3C．−3D．−π
答案：D
分析：根据实数的比较大小的规则比较即可．
【详解】解：∵−3.14=3.14，
∴−π＜−3<−3<−3.14，
在实数−3.14，－3，−3，−π中，最小的数是：−π ；
故选：D．
【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小．
（2）(2023·山东济南·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0C．a答案：D
分析：利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．
【详解】解：根据图形可以得到：
−3∴ab<0，故A项错误，
a+b<0，故B项错误，
a>b，故C项错误，
a+1故选：D．
知识点训练
1．(2023·山东·测试·编辑教研五二模）下列实数中，最大的数是（ ）
A．−4B．−5C．0D．3
答案：D
分析：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵−5<−4<0<3，
∴最大的数是3，
故选：D．
【点睛】此题考查实数的大小比较的方法，熟练掌握：负实数<0<正实数，两个负数绝对值大的反而小，是解答此题的关键．
2．(2023·湖南·长沙市南雅中学一模）下列实数中，最大的数是（ ）
A．0B．2C．πD．−3
答案：C
分析：直接比较大小即可．
【详解】解：∵−3<0<2<π
∴最大的数是π．
故选C．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小．
3．(2023·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）在四个数−2，−0.6，12，3中，绝对值最小的数是（ ）
A．−2B．−0.6C．12D．3
答案：C
分析：根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：∵−2＝2，−0.6＝0.6 ，|12|=12，|3|=3，
∵12＜0.6＜3＜2，
所以绝对值最小的是12，
故选：C．
【点睛】此题考查了实数的大小比较，以及绝对值的意义，注意先运算出各项的绝对值．
4．(2023·江西·寻乌县教育局教学研究室二模）1，−2，0，3中最小的数是（ ）
A．1B．−2C．0D．3
答案：B
分析：根据负数小于正数，负数小于0即可得出答案．
【详解】解：∵−2<0<1<3，
∴最小的数的数是−2．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的比较大小，掌握负数小于正数，负数小于0是解题的关键．
5．(2023·四川·峨眉山市教育局二模）在2，-12，0，π这四个实数中，最小的一个实数是（ ）
A．2B．-12C．0D．π
答案：B
分析：根据实数的定义，负数小于0，正数大于0，即可求得结果．
【详解】解：由题意可知题中实数从小到大依次排列为-12＜0＜2＜π，
∴最小的实数为：-12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是实数大小比较，需要注意负数比较大小时，绝对值大的数反而小，同时较难的无理数比较时，可以进行适当的估算．
6．(2023·河南·郑州市树人外国语中学九年级期末）下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）
A．﹣4B．−3C．2D．3
答案：B
分析：计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：|﹣4|＝4，|−3|=3，|2|＝2，|3|＝3，
∵3＜2＜3＜4，
∴绝对值最小的数是−3．
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于基础题，注意先运算出各项的绝对值．
7．(2023·四川乐山·九年级专题练习）比较23和32的大小，下面结论正确的是( )
A．23<32B．23=32C．23>32D．无法比较
答案：A
分析：先求出这两个数的平方，然后再进行比较即可．
【详解】解：∵(23)2=12，(32)2=18，
∵12<18，
∴23<32，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
8．(2023·河北承德·九年级期中）对于实数p，q，我们用符号minp,q表示p，q两数中较小的数，如min1,2=1，因此，min−2,−3=__________；minx2+2x+3,0=__________；若min(x−1)2,x2=1，则x=_____________．
答案： −3 0 2或−1##−1或2
分析：根据题目所给的信息，结合实数的大小比较，配方法的应用进行大小比较即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：min−2,−3=−3，
∵x2+2x+3=(x+1)2+2>0，
∴minx2+2x+3,0=0，
∵min(x−1)2,x2=1，
∴(x−1)2=1或x2=1，
∴x=0或x=2或x=±1，
当x=0时，min(x−1)2,x2=0，
当x=1时，min(x−1)2,x2=0，
∴x=2或−1，
故答案为：−3，0，2或−1．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，配方法的应用，直接开方法解一元二次方程，读懂题意，理解题目给出的新定义是解本题的关键．
9．(2023·河北·大名县束馆镇束馆中学三模）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{﹣2，﹣4}＝﹣2．
（1）max{26，5}＝_____；
（2）若max{﹣12，（一1）2}＝2x2−x，则x＝_____．
答案： 5 23
分析：（1）根据题目所给的新定义，比较两个数的大小即可得出答案；
（2）根据题意，将式子化为分式方程，按照解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）∵26=24，5=25，
∴26<5，
∴max{26，5}＝5，
故答案为：5；
（2）∵−12=−1，(−1)2=1，
∴max{﹣12，（一1）2}=1，
∴2x2−x=1，解得：x=23，
经检验，x=23是分式方程的解，
故答案为：23
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，理解题意，明白新定义的内容，掌握分式方程的解法是解题的关键．
考点6与实数的相关的计算
例6．(2023·山东烟台·九年级期中）计算
(1)sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cs230°
(2)8−2sin45°+2cs60°+1−2+12−1．
（1）解：sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cs230°
=122+2×32+1−3+322
=14+3+1−3+34
=2；
（2）解：8−2sin45°+2cs60°+1−2+12−1
=22−2×22+2×12+2−1+112
=22−2+1+2−1+2
=22+2．
知识点训练
1．(2023·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）计算：−3+2−1=______．
答案：3+12
分析：先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：|−3|+2−1=3+12，
故答案为：3+12．
【点睛】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
2．(2023·山东济南·模拟预测）计算：12−(2022−π)0−2×cs30°+(−12)−1．
答案：3−3
分析：利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】12−(2022−π)0−2×cs30°+(−12)−1
=23−1−2×32+−2
=23−1−3−2
=3−3．
【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．(2023·山东济南·模拟预测）计算：−14−1−|3−1|+3tan30°+2022−π0．
答案：−2
分析：先根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂的意义及特殊角的三角函数值把各项化简，然后进一步合并即可．
【详解】解：−14−1−|3−1|+3tan30°+2022−π0
=−4−3+1+3×33+1
=−2．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的意义及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
4．(2023·吉林长春·一模）计算：12−3tan30°+2022−π0−12−1．
答案：3−1
分析：原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】解：原式=23−3×33+1−2
=23−3+1−2=3−1．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．(2023·四川·峨眉山市教育局二模）计算： 38+3−23−tan60°+32+(π−2022)0
答案：3+3
分析：根据立方根的概念，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质计算即可．
【详解】解：原式=2+23−3−3+3+1
=3+3
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握立方根的概念，绝对值，特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质等知识是解题的关键．
6．(2023·江苏·盐城市初级中学三模）计算：364+sin45°−tan45°+−12−1．
答案：3−22
分析：根据立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的运算法则计算即可．
【详解】解：364+sin45°−tan45°+−12−1
=4+22−1+−2
=4+1−22−2
=3−22．
【点睛】本题考查立方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值的运算法则，解题的关键是理解以上运算法则，能够正确计算．
7．(2023·广西·南宁市第四十七中学九年级期中）计算：−(−1)2022+10÷2×12−13−1−3tan30°
答案：−52
分析：先计算乘方，乘除法及代入三角函数，再计算加减法．
【详解】解：−(−1)2022+10÷2×12−13−1−3tan30°
=−1+52−3−3×33
=−32−1
=−52．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，特殊角度的三角函数值，正确掌握实数混合运算法则及运算顺序是解题的关键．平方根
立方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性质
一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
x4
1
16
81
x