中考数学一轮大单元复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮大单元复习2.1方程(组)定义及解法知识点演练(讲练)(原卷版+解析)，共56页。

例1．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（ ）
A．如果2x−3=7，那么2x=7−3
B．如果3x−2=x+1，那么3x−x=1−2
C．如果−2x=5，那么x=5+2
D．如果−2x=6，那么x=−3
知识点训练
1．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（ ）
A．如果a=b，那么a+m=b+nB．如果−a3=b，那么a=−3b
C．如果a−x=b−x，那么a+b=0D．如果ma=mb，那么a=b
2．（2022秋·天津河西·七年级统考期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由−2x=1得x=−2B．由x−1=3得x=3−1
C．由−32x=1得x=−23D．由x+2=7得x=7+2
3．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若x=2y，则x+1=2y+1B．若3x=2y，则3xm=2ym
C．若3xa=2ya，则3x=2yD．若x=y，则m2+1x=m2+1y
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若m+4=n−44，则m=nB．若a2x=a2y，则x=y
C．若xa=ya，则x=yD．若−32k=8，则k=−12
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b−cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若x=y，则−m+x=−m+y；②若xa=ya，则x=y；③若x=y，则xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，则x=y，正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2=y+2，则x=yB．如果 x=y，则x−2=y−2
C．如果 mx=my，则x=yD．如果 xm=ym，则x=y
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果x=3是方程3x−2a=a−3的解，则a的值为______．
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解为y=_____．
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，则3a−2b+2024的值为______．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x，y的二元一次方程组ax+2y=32x−by=4，下列说法正确的是______．
①当a=b=2时，方程组的解为x=74y=−14．
②当a=b=0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
④当a2≠−2b时，方程组有解．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，则a2−4a−b=______________．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0的一个根，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．无法确定
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的方程xx−5−m5−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是______．
（2）（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于x的分式方程2x−1+mxx−1x+2=1x+2
(1)若方程的增根为x=1，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
例6．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
(1)若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
(2)若这个方程无解，则m=______．（直接写出答案）
知识点训练
1．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）关于x的方程ax=2的解是x=−2，则a的值为（ ）
A．1B．−1C．12D．−12
2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程3m−2x+1=0的解是x=2，则m的值是（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）若x=2y=1是关于x、y的二元一次方程ax+2y=5的解，则a的值是（ ）
A．32B．−23C．−32D．23
4．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）方程x2−2x+1=0的一个实数根为m，则2022−m2+2m的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
5．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知x=1是一元二次方程2x2−kx−3=0的根，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−2
6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知关于x的方程4x−m2x+4=1的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．m>−4B．m<−4
C．m<−4且m≠−8D．m>−4且m≠−8
7．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若关于x的方程axx−1=x−21−x+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1B．0C．1D．−1或0
8．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为（ ）
A．1B．1或12C．-1或12D．以上都不是
9．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）若关于x的分式方程7xx−1+8=2m−1x−1有增根，则m的值为（ ）
A．0B．12C．1D．4
10．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组m−5x>2x−2≤3x+8有且只有4个整数解，并且使得关于y的分式方程5y−3−m3−y=2的解为整数，则满足条件的所有整数m的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）分式方程mx−1x−1=0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m≠0或m≠1D．m≠0且m≠1
12．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）已知x=5是方程ax−8=20+a的解，则a=______．
13．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）已知x=ay=1是二元一次方程2x+y=4的一组解，则a的值是___________．
14．（2022秋·全国·九年级期中）已知m为方程x2+3x−2022=0的一个根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为_______．
15．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若关于x的分式方程xx−3−mx3−x=1无解，则m的值为______．
16．（2023秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
17．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）关于x的分式方程m−2x−1−2xx−1=1有增根，则m的值为___________．
18．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，则 a 4b 3 的值为（ ）
A． 1B． 6C． 10D． 12
考点3：方程（组）的解法
例7. （2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）解方程
(1)3x−2=1−2(x+1)
(2)3y−14−1=5y−76
例8.（1）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程2x+y=5①3x+4y=7②过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得x=5−y2B．由①得y=5−2x
C．由②得x=7+4y3D．由②得y=7−3x4
（2）（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）已知x、y满足方程组x+5y=123x−y=4，则x+y的值为（ ）
A．−4B．4C．−2D．2
（3）（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，则关于m，n的方程组a1(2m−4)+b1n=c1+b1a2(2m−4)+b2n=c2+b2的解是（ ）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
（4）（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)x−3y=4x+2y=9；
(2)x+y=53x−1+2y=9
例9. （1）（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）用公式法解方程：4x2+x−3=0．
（2）（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程x2+2x−3=0的过程如图14所示．
(1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．
例10. （2022秋·重庆合川·八年级校考期末）解分式方程：
(1)2x+3=1x−2；
(2)x+5x−5=1+10x2−10x+25．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：29x+16=125
2．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）解方程：
(1)3x−1=5x+1；
(2)2x+13=1−2x−16
3．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：x−15x=23÷1718
4．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）a−b+c=02a−3b+c=0，则a−cb=（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2022春·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=−3，则关于m，n的二元一次方程组a1m−n+b1m+n=c1a2m−n+b2m+n=c2的解是（ ）
A．m=−12n=−52B．m=−12n=52C．m=−52n=−12D．m=52n=12
6．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）小明在解方程组2x+3y=12①2x+1yx+1=1②的过程中，以下说法错误的是（ ）
A．②−①可得y=2x−4，再用代入消元法解
B．令1x=a，1y=b，可用换元法将原方程组化为关于a、b的二元一次方程组
C．由①得y=6xx−4，再代入②，可得一个关于x的分式方程，亦可求解
D．经检验：x=8y=12是方程组的一组解
7．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于x，y的二元一次方程组3x+5y=a+22x+3y=a的解适合x+y=10，则a的值为（ ）
A．14B．12C．6D．−10
8．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）解方程组x2+y3=24x−y=5
9．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）对于有理数x，y定义新运算：x∗y=ax+by+5，其中a，b为常数．已知1∗2=9，（−3）∗3=2，那么1∗3 的值是多少？
10．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若关于x，y的方程组a1x+y−b1x−y=c1a2x+y−b2x−y=c2，解为x=2022y=2023．则关于x，y的方程组a1x+b1y=15c1a2x+b2y=15c2的解是（ ）
A．x=809y=15B．x=4045y=1C．x=2022y=2023D．x=20225y=−20235
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：2x+3y=102x+y2−1+y4=1．
12．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）解方程（组）．
(1)6x−21−x=9x−5x+2．
(2)2x+3y2=23(2x+3y)−2y=6．
13．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）将一元二次方程x2+4x−1=0化成形如(x+p)2=q的形式，则p+q的值为（ ）
A．7B．3C．−5D．10
14．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）把方程x2−6x+2=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值是（ ）
A．−4B．4C．−10D．10
15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）对于任意的实数x，代数式−x2+4x−5的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．无法确定
16．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−1=0，配方后的方程是（ ）
A．x−22=3B．x−22=5C．x+22=3D．x+22=5
17．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）把方程x2+6x−9=0化为x+a2=b的形式，下列方程中正确的是（ ）
A．x−32=18B．x+32=18C．x+32=15D．x−32=15
18．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−3=0，配方后的方程是（ ）
A．(x−2)2=7B．(x+2)2=7C．(x−2)2=1D．(x+2)2=1
19．（2022秋·全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=x+22+2．
∵x+22≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式x2−6x+12的最小值；
(2)若y=−x2+2x−3，当x=_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）用适当的方法解方程：
(1)3x2−x=0
(2)x+12−9=0
(3)x2−2x−5=0
(4)xx−3=10
21．（2021秋·福建莆田·九年级校考期中）解方程：
(1)x2−6x−6=0
(2)2x2−7x+6=0
22．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）用合适的方法解方程：
(1)x−52=16．
(2)x2−2x−4=0．
(3)y−12+2y1−y=0．
(4)2x2−7x+1=0．
23．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）解下列方程：
(1)xx−3+x−3=0；
(2)3x2−5x+1=0．
24．（2022秋·天津河东·九年级校考期末）解方程
(1)x2−2x−6=0 ；
(2)(x+4)2=5(x+4) ．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）解方程：
(1)x2−8x+1=0
(2)xx−2+x−2=0
26．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0配方，得到x+p2=12．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
27．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知关于x的方程x+1x=a+1a的两个解分别为a，1a，则方程x+1x+1=a+1a+1的解是（ ）
A．a，−aa+1B．1a+1，a+1C．1a，a+1D．a，−1a+1
28．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）把分式方程1x−2−1−x2−x=1化为整式方程正确的是（ ）
A．1−1−x=1B．1+1−x=1
C．1−1−x=x−2D．1+1−x=x−2
29．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）解方程：
(1)2x−5=15−x+1；
(2)xx−2−1=1x−2x+3．
30．（2022秋·湖北·八年级统考期末）解方程：
(1)2x+1−1x=0
(2)x−2x+2−16x2−4=1
31．（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x
(2)4x2−1=x+2x−1−1
32．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)x2−3xx−2+x2−22−x=1
(2)3x−1−x+2xx−1=0
考点4：一元二次方程根的判别式
例11. （2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知：关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求该方程的解．
知识点训练
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）若方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4B．k≥−4C．k≤4且k≠0D．k≥−4且k≠0
3．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）关于x的方程x2−2x−5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+14=xB．x−22=5C．x2+2x=0D．2x2−2x+1=0
5．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）若关于x的方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n=−1的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
6．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． m>−1B． m>1C． m≥−1D． m≤−1
7．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
8．（2022秋·广东东莞·九年级统考期末）关于x的一元二次方程k−1x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥−2B．k>2C．k<2且k≠1D．k>2且k≠1
9．（2022秋·全国·九年级期中）关于x的一元二次方程x2−2x+(m−1)=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m<2
10．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，则a的取值范围是___________．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+2x+k−4=0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是______；
（2）若x=−2是该方程的一个根，则k=______．
2.1方程（组）定义及解法知识点演练
考点1：等式的性质
例1．（2022秋·河北邯郸·七年级校考期末）下列变形符合等式的性质的是（ ）
A．如果2x−3=7，那么2x=7−3
B．如果3x−2=x+1，那么3x−x=1−2
C．如果−2x=5，那么x=5+2
D．如果−2x=6，那么x=−3
【答案】D
【分析】等式的基本性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式；据此进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、等式左边加上3，右边加上−3，不符合等式的性质，故不符合题意；
B、等式左边加上2−x，右边加上−2−x，不符合等式的性质，故不符合题意；
C、等式左边除以−2，右边加上2，不符合等式的性质，故不符合题意；
D、等式两边同时除以−2，结果仍是等式，故符合等式性质，符合题意；
故选：D．
知识点训练
1．（2022秋·辽宁大连·七年级统考期中）在下列式子中，变形一定成立的是（ ）
A．如果a=b，那么a+m=b+nB．如果−a3=b，那么a=−3b
C．如果a−x=b−x，那么a+b=0D．如果ma=mb，那么a=b
【答案】B
【分析】根据等式的性质，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立；等式两边同时乘以同一个数（或式子），等式仍成立；等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立，由此即可求解．
【详解】解：A选项，等式两边同时加（或减）同一个数（或式子）等式仍成立，故A选项错误；
B选项，等式两边同时乘以−3，故B选项正确；
C选项，如果a−x=b−x，那么a−b=0，故C选项错误；
D选项，m的值不确定，故D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等式的性质，掌握和理解等式的性质，尤其是等式两边同时除以一个不为零的数（或式子）等式仍成立是解题的关键．
2．（2022秋·天津河西·七年级统考期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由−2x=1得x=−2B．由x−1=3得x=3−1
C．由−32x=1得x=−23D．由x+2=7得x=7+2
【答案】C
【分析】等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子）结果仍然石是等式；性质2：等式两边都乘同一个数或除以同一个不为零的数，结果仍然是等式．根据等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．由−2x=1得x=−12， 故选项错误，不符合题意；
B．由x−1=3得x=3+1，故选项错误，不符合题意；
C．由−32x=1得x=−23，故选项正确，符合题意；
D．由x+2=7得x=7−2，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，解答此题的关键是要明确等式的基本性质．
3．（2022秋·河北·七年级校联考期末）下列等式变形错误的是（ ）
A．若x=2y，则x+1=2y+1B．若3x=2y，则3xm=2ym
C．若3xa=2ya，则3x=2yD．若x=y，则m2+1x=m2+1y
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、若x=2y，则x+1=2y+1，等式成立，不符合题意；
B、若3x=2y，则3xm=2ym，当m=0时，等式不成立，选项错误，符合题意；
C、若3xa=2ya，则3x=2y，等式成立，不符合题意；
D、若x=y，则m2+1x=m2+1y，m2+1>0，等式成立，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查等式的性质．熟练掌握等式的性质，是解题的关键．
4．（2022秋·广东江门·八年级江门市第一中学校考期中）根据等式的性质，下列变形中正确的是（ ）
A．若m+4=n−44，则m=nB．若a2x=a2y，则x=y
C．若xa=ya，则x=yD．若−32k=8，则k=−12
【答案】C
【分析】根据等式的基本性质，逐个进行判断，即可进行解答．
【详解】解：A、若m+4=n−44，则m≠n，故A不正确，不符合题意；
B、若a2x=a2y，a≠0，则x=y，故B不正确，不符合题意；
C、若xa=ya，则x=y，故C正确，符合题意；
D、若−32k=8，则k=−163，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
5．（2022秋·河北保定·七年级校考期末）如图，两个天平都平衡．当天平的一边放置3个苹果时，要使天平保持平衡，则另一边需要放香蕉（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】通过等量关系，建立方程求解．
【详解】解：设一个苹果的重量是a，一个香蕉的重量是b，一根三角形物体的重量是c，由题意得：
2a=5c2b=3c，
∴a=52cb=32c，
∴3a=3×52c=152c，
152c÷32c=5（个），
即另一边需要放香蕉5个．
故选：D．
【点睛】本题考查等式性质，找到题中的等量关系是求解本题的关键．
6．（2022秋·江苏南通·七年级校联考期中）下列运用等式性质正确的是（ ）
A．如果a=b，那么a+c=b−cB．如果a=b，那么ac=bc
C．如果ac=bc，那么a=bD．如果a=3，那么a2=3a2
【答案】C
【分析】根据等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立，由此进行判断即可．
【详解】解：A、如果a=b，那么a+c=b−c，不正确，本选项不符合题意；
B、如果a=b，当c ≠0时，那么ac=bc，原说法错误，本选项不合题意；
C、如果ac=bc，这时c ≠0时，那么a=b，原说法正确，本选项合题意；
D、如果a=3，，那么a2=3a2，两边乘的数不相同，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练运用等式的基本性质是解题的关键。
7．（2022秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）下列说法中：①若x=y，则−m+x=−m+y；②若xa=ya，则x=y；③若x=y，则xt2+1=yt2+1；④若ax=ay，则x=y，正确的个数（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据等式的性质依次判断即可．
【详解】解：∵等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立，
∴若x=y，则−m+x=−m+y；
∵等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立，
∴若xa=ya，则x=y，故②正确；
∴若x=y，则xt2+1=yt2+1，故③正确；
∴若ax=ay，当a≠0时x=y，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是熟知：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
8．（2022秋·湖南郴州·七年级校联考期末）下列运用等式的性质进行的变形，错误的是（ ）
A．如果x+2=y+2，则x=yB．如果 x=y，则x−2=y−2
C．如果 mx=my，则x=yD．如果 xm=ym，则x=y
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A. 如果x+2=y+2，则x=y，说法正确，故不符合题意；
B. 如果 x=y，则x−2=y−2，说法正确，故不符合题意；
C. 如果 mx=my，则x=y，只有当m≠0的时候才成立，说法错误，故符合题意；
D. 如果 xm=ym，则x=y，说法正确，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键
考点2：方程的解
例2．（1）（2022秋·湖北武汉·七年级校考期末）如果x=3是方程3x−2a=a−3的解，则a的值为______．
【答案】4
【分析】把x=3代入原方程，即可求解．
【详解】解：∵x=3是方程3x−2a=a−3的解，
∴3×3−2a=a−3，
解得：a=4，
故答案为：4
（2）（（2022秋·湖北黄石·七年级校考期末）已知关于x的一元一次方程12021x+4=2x+b的解为x=2，那么关于y的一元一次方程12021y+1+4=2y+1+b的解为y=_____．
【答案】1
【分析】利用换元法可求得y+1=2，即可求解
【详解】解：设y+1=x，原方程可变为：12021x+4=2x+b，
∵方程12021x+4=2x+b的解为x=2，
∴y+1=2，
∴y=1，
故答案为：1
例3．（1）（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，则3a−2b+2024的值为______．
【答案】2022
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于a，b的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式3a−2b+2024可得答案．
【详解】解：∵x=3y=−2是二元一次方程ax+by=−2的一个解，
∴代入得：3a−2b=−2，
∴3a−2b+2024=−2+2024=2022，
故答案为：2022．
（2）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于x，y的二元一次方程组ax+2y=32x−by=4，下列说法正确的是______．
①当a=b=2时，方程组的解为x=74y=−14．
②当a=b=0时，方程组无解．
③当a≠0时，b无论为何值，方程组均有解．
④当a2≠−2b时，方程组有解．
【答案】①④
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】①当a=b=2时，二元一次方程组为：2x+2y=32x−2y=4
令2x+2y=3,①2x−2y=4,②
①+②得，4x=7，解得：x=74
把x=74代入①式，得2×74+2y=3，解得：y=−14
∴当a=b=2时，方程组的解为：x=74y=−14；
故①正确；
②当a=b=0时，二元一次方程组为：2y=32x=4
解得：y=32x=2
∴当a=b=0时，方程组的解为：y=32x=2；
故②错误；
③∵ax+2y=3
∴y=−a2x+32
把y=−a2x+32代入2x−by=4中，得x=3b+84+ab
∴y=12−8a24+ab
若4+ab=0，则ab=−4，方程无解
当a≠0，ab=−4且b≠−83时，方程无解
∴③错误；
④当a2≠−2b，
∴ab≠−4，
∴在x=3b+84+aby=12−8a24+ab中，x，y有意义，
∴当a2≠−2b时，二元一次方程组ax+2y=32x−by=4有解，
∴④正确，
∴正确的为：①④．
故答案为：①④．
例4．（1）（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）若a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，则a2−4a−b=______________．
【答案】−143##−423
【分析】根据a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，得出3a2−9a+5=0，a+b=−−93=3，将3a2−9a+5=0变形得出a2−3a=−53，然后变形a2−4a−b=a2−3a−a+b，最后代入求值即可．
【详解】解：∵a，b分别是方程3x2−9x+5=0的两根，
∴3a2−9a+5=0，a+b=−−93=3，
∴3a2−9a=−5，
即a2−3a=−53，
∴a2−4a−b
=a2−3a−a−b
=a2−3a−a+b
=−53−3
=−143．
故答案为：−143．
（2）（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）已知x=0是关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0的一个根，则m=（ ）
A．1B．−1C．1或−1D．无法确定
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程列出关于系数m的新方程，通过解方程即可求得m的值．
【详解】解：∵关于x的方程m+1x2+x+m2−1=0是一元二次方程，
∴m+1≠0，
∴m≠−1．
根据题意，知x=0满足关于x的一元二次方程m+1x2+x+m2−1=0，
则m2−1=0，即(m+1)(m−1)=0，
解得，m=−1（不合题意，舍去），或m=1．
故选：A．
例5．（1）（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的方程xx−5−m5−x=−1的解大于1，则实数m的取值范围是______．
【答案】m<3，且m≠−1
【分析】先解方程xx−5−m5−x=−1，再利用方程的解大于1，且x≠5求解即可．
【详解】解：方程两边乘x−5得：x+m=5−x，
移项得：2x=5−m，
系数化为1得：x=5−m2，
∵方程的解大于1，
∴5−m2>1，且5−m2≠5，
解得m<3，且m≠−1．
故答案为：m<3，且m≠−1．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键是不要漏掉分式方程有意义的条件．
（2）（2022秋·湖南衡阳·八年级校考期中）已知关于x的分式方程2x−1+mxx−1x+2=1x+2
(1)若方程的增根为x=1，求m的值；
(2)若方程无解，求m的值．
【答案】(1)−6
(2)−1或32或−6
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再把x=1代入整式方程，即可求解；
（2）根据方程无解可得两种情况：①m+1=0时，方程无解，②方程有增根，进而即可求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以x+2x−1，
去分母并整理得m+1x=−5，
∵x=1是分式方程的增根，
∴1+m=−5，
解得：m=−6；
（2）解：由（1）知，当m+1=0时，该方程无解，此时m=−1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，
则x+2x−1=0，
解得：x=−2或x=1，
即−2m+1=−5或m+1=−5 ，
∴m=32或m=−6，
综上，m的值为−1或 32 或−6．
例6．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）已知关于x的分式方程2x−3+mxx2−9=5x+3．
(1)若这个方程的解是负数，求m的取值范围；
(2)若这个方程无解，则m=______．（直接写出答案）
【答案】(1)m>3且m≠10；
(2)3，10，−4．
【分析】（1）将分式方程化为整式方程，求得x，由题意可得x<0，且x≠−3求解即可；
（2）将分式方程化为整式方程，求得x，由题意可得x=3或x=−3，求解即可．
【详解】（1）解：2x−3+mxx2−9=5x+3
化为整式方程可得：2x+3+mx=5x−3，
即m−3x=−21，
由方程的解是负数可得m−3≠0，
则x=−21m−3<0，且x=−21m−3≠−3
解得m>3且m≠10；
（2）解：由（1）可得方程可化为m−3x=−21，
当m=3时，m−3=0，方程化为0=−21，无解，符合题意；
当m≠3时，m−3≠0，x=−21m−3，
由题意可得：这个方程无解，则x=−3或x=3
即−21m−3=−3或−21m−3=3，
解得m=10或m=−4，
综上可得：m=3或m=10或m=−4，
故答案为：3，10，−4．
知识点训练
1．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）关于x的方程ax=2的解是x=−2，则a的值为（ ）
A．1B．−1C．12D．−12
【答案】B
【分析】直接把x=−2代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的方程ax=2的解是x=−2，
∴−2a=2，
∴a=−1，
故选 B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟知一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
2．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄市第四十一中学校考期末）已知关于x的方程3m−2x+1=0的解是x=2，则m的值是（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
【答案】B
【分析】把x=2代入原方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程3m−2x+1=0的解是x=2，
∴把x=2代入方程3m−2x+1=0，
得3m−2×2+1=0，
解得m=1，
故选：B．
【点睛】本题考查了利用方程的解求参数的方法，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的方法是解决本题的关键．
3．（2022秋·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）若x=2y=1是关于x、y的二元一次方程ax+2y=5的解，则a的值是（ ）
A．32B．−23C．−32D．23
【答案】A
【分析】把x=2y=1代入ax+2y=5，然后解关于a的方程即可求出a的值．
【详解】解：把x=2y=1代入ax+2y=5，得
2a+2=5，
∴a=32．
故选A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．
4．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）方程x2−2x+1=0的一个实数根为m，则2022−m2+2m的值是（ ）
A．2023B．2022C．2021D．2020
【答案】A
【分析】根据一元二次方程解的定义，可得m2−2m=−1，再代入，即可求解．
【详解】解：∵方程x2−2x+1=0的一个实数根为m，
∴m2−2m+1=0，
∴m2−2m=−1，
∴2022−m2+2m=2022−m2−2m=2022−−1=2023．
故选：A
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
5．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）已知x=1是一元二次方程2x2−kx−3=0的根，则k的值为（ ）
A．−1B．1C．2D．−2
【答案】A
【分析】把x=1代入2x2−kx−3=0，然后解关于k的方程即可．
【详解】把x=1代入2x2−kx−3=0，得
2−k−3=0，
解得k=−1．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解决此题的关键是计算的正确性．
6．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）已知关于x的方程4x−m2x+4=1的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A．m>−4B．m<−4
C．m<−4且m≠−8D．m>−4且m≠−8
【答案】C
【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据解是负数、2x+4≠0求解即可得．
【详解】解：4x−m2x+4=1，
方程两边同乘以2x+4，得4x−m=2x+4，
解得x=m+42，
∵关于x的方程4x−m2x+4=1的解是负数，
∴m+42<0且2×m+42+4≠0，
解得m<−4且m≠−8，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
7．（2022秋·贵州黔南·八年级统考期末）若关于x的方程axx−1=x−21−x+1无解，则a的值为（ ）
A．0或1B．0C．1D．−1或0
【答案】A
【分析】等式两边同时乘以公倍数：x−1，去分母；然后根据方程无解，求出a；当x=1时，方程无解，求出a，综合a的值，即可．
【详解】axx−1=x−21−x+1，
解：axx−1=−x−2x−1+1，
等式两边同时乘以：x−1，
∴axx−1×x−1=−x−2x−1×x−1+1×x−1，
∴ax=−x+2+x−1，
∴ax=1，
∵方程无解，
∴a=0；
当x−1=0时，方程无解，
∴把x=1代入方程，得a=1；
∴a的值为：0或1．
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程无解的性质．
8．（2023秋·山东泰安·八年级校考期末）若关于x的分式方程xx−3+3a3−x=2a无解，则a的值为（ ）
A．1B．1或12C．-1或12D．以上都不是
【答案】B
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：xx−3+3a3−x=2a
分式方程两边同乘以3−x得：
−x+3a=2a(3−x)
(2a−1)x=3a
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当2a−1=0时，即a=12，整式方程无解，原分式方程无解．
当2a−1≠0时，则x=3a2a−1，
令最简公分母为0，即x−3=0，
解得x=3
∴当3a2a−1=3，即a=1时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：a=1或12时，原分式方程无解．
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键．
9．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）若关于x的分式方程7xx−1+8=2m−1x−1有增根，则m的值为（ ）
A．0B．12C．1D．4
【答案】D
【分析】先求解分式方程的增根，再把分式方程去分母，把增根代入去分母后的整式方程求解参数的值即可．
【详解】解：∵关于x的分式方程7xx−1+8=2m−1x−1有增根，
∴增根为：x=1，
∵7xx−1+8=2m−1x−1，
去分母得：7x+8x−1=2m−1，
∴7=2m−1，
解得：m=4，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式方程的增根问题，理解分式方程增根产生的原因是解题的关键．
10．（2022·重庆璧山·统考一模）已知的不等式组m−5x>2x−2≤3x+8有且只有4个整数解，并且使得关于y的分式方程5y−3−m3−y=2的解为整数，则满足条件的所有整数m的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用不等式组的整数解和分式方程的整数解确定m的值即可．
【详解】解：不等式组m−5x>2x−2≤3x+8的解为：−5≤x∵关于x的不等式组m−5x>2x−2≤3x+8有且只有四个整数解，
∴−2∴−8∴整数m的值为：−7,−6,−5,−4,−3．
关于y的分式方程5y−3−m3−y=2的解为：y=11+m2．
∵分式方程有可能产生增根3，
∴11+m2≠3．
∴m≠−5．
∵关于y的分式方程5y−3−m3−y=2的解为整数，
∴m=−7或−3．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，考虑分式方程可能产生增根的情况是解题要注意之处．
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）分式方程mx−1x−1=0有解，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0B．m≠1C．m≠0或m≠1D．m≠0且m≠1
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】mx−1x−1=0
方程两边同时乘以xx−1得：mx−1−x=0，
∴m−1x=m，
∵分式方程有解，
∴m−1≠0，
∴m≠1．
∵mx−1−x=0，
∴m=xx−1
∵分式方程mx−1x−1=0有解，
∴x≠0且x−1≠0
∴x≠0且x≠1
∴m≠0
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
12．（2023秋·吉林长春·七年级长春市实验中学校考期末）已知x=5是方程ax−8=20+a的解，则a=______．
【答案】7
【分析】将x=5代入方程，得到关于a的一元一次方程，解一元一次方程即可求解．
【详解】解：将x=5代入ax−8=20+a，得
5a−8=20+a
即4a=28，
解：a=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．
13．（2022春·广东江门·七年级校联考期中）已知x=ay=1是二元一次方程2x+y=4的一组解，则a的值是___________．
【答案】32
【分析】将方程的解代入方程求解即可．
【详解】解：将x=ay=1代入2x+y=4，得2a+1=4，
解得a=32，
故答案为：32．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解的定义，二元一次方程的解是使方程等号两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键．
14．（2022秋·全国·九年级期中）已知m为方程x2+3x−2022=0的一个根，那么m3+2m2−2025m+2022的值为_______．
【答案】0
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2=−3m+2022，再用m表示m3得到m3=2031m−6066，然后利用整体代入的方法计算m3+2m2−2025m+2022的值．
【详解】解：∵m为方程x2+3x−2022=0的一个根，
∴m2+3m−2022=0，
∴m2=−3m+2022，
∴m3=m−3m+2022=−3m2+2022m=−3−3m+2022+2022m=2031m−6066，
∴m3+2m2−2025m+2022=2031m−6066+2−3m+2022−2025m+2022=0．
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
15．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）若关于x的分式方程xx−3−mx3−x=1无解，则m的值为______．
【答案】0或1##1或0
【分析】分式方程无解，即有增根，此时x=3，整理分式方程得mx=3，则由mx=3无解或者mx=3的解是分式方程的增根求得m的值．
【详解】解：将xx−3−mx3−x=1变形为：xx−3+mxx−3=1
即：x+mxx−3=1
方程两边同时乘以x−1得：x+mx=x−3
移项得：mx=3
∵分式方程无解
∴mx=3无解或者mx=3的解是分式方程的增根，
∴m=0或3m=3，
∴ m=0或m=1
故答案为：0或1
【点睛】本题考查的是分式方程的求解以及增根问题，根据相关知识点求值是解题的关键．
16．（2023秋·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 _______．
【答案】m≤5且m≠2
【分析】先解分式方程可得x=5−m，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：2x−3=1−m3−x，
去分母得：2=x−3+m，
整理得：x=5−m，
∵关于x的分式方程xx−3=2+m3−x的解为非负数，
∴5−m≥05−m≠3，
解得：m≤5且m≠2．
故答案为：m≤5且m≠2．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
17．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）关于x的分式方程m−2x−1−2xx−1=1有增根，则m的值为___________．
【答案】4
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到m−2−2x=x−1，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．
【详解】解：将分式方程m−2x−1−2xx−1=1两边同乘x−1，
得m−2−2x=x−1．
由分式方程有增根，得到x−1=0，即x=1，
把x=1代入整式方程m−2−2=0，可得：m=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，则 a 4b 3 的值为（ ）
A． 1B． 6C． 10D． 12
【答案】C
【分析】先求出2x+3y=193x−2y=9的解，再将解代入ax+by=−1bx+ay=−7中求出a=1b=−2，即可求解．
【详解】解：∵方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，
∴2x+3y=193x−2y=9与ax+by=−1bx+ay=−7的解相同，
由2x+3y=193x−2y=9解得x=5y=3，
∴5a+3b=−15b+3a=−7，
解得a=1b=−2，
∴a+4b−3=−10，
故选：C．
【点睛】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，能利用其中系数确定的方程先求出它们的解，再求出其中字母系数的值．
考点3：方程（组）的解法
例7. （2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）解方程
(1)3x−2=1−2(x+1)
(2)3y−14−1=5y−76
【答案】(1)x=15
(2)y=−1
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【详解】（1）解：3x−2=1−2x−2，
5x=1，
x=15；
（2）解：33y−1−12=25y−7，
9y−3−12=10y−14，
−y=1，
y=−1．
例8.（1）（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程2x+y=5①3x+4y=7②过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得x=5−y2B．由①得y=5−2x
C．由②得x=7+4y3D．由②得y=7−3x4
【答案】C
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【详解】解：∵3x+4y=7
∴3x=7−4y
∴x=7−4y3，C选项变形不正确
故选C
（2）（2022秋·广东佛山·八年级佛山市南海石门实验中学校考期中）已知x、y满足方程组x+5y=123x−y=4，则x+y的值为（ ）
A．−4B．4C．−2D．2
【答案】B
【分析】根据解二元一次方程组的方法，两个方程相加即可得出结论．
【详解】∵x+5y=12(1)3x−y=4(2)，
(1)+(2)，得4x+4y=16，
∴x+y=4，
故选：B．
（3）（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的唯一解是x=4y=1，则关于m，n的方程组a1(2m−4)+b1n=c1+b1a2(2m−4)+b2n=c2+b2的解是（ ）
A．m=3n=2B．m=3n=4C．m=4n=2D．m=4n=3
【答案】C
【分析】先将关于m,n的方程组变形为a12m−4+b1n−1=c1a22m−4+b2n−1=c2，再根据关于x,y的方程组的解可得2m−4=4n−1=1，由此即可得出答案．
【详解】解：关于m,n的方程组可变形为a12m−4+b1n−1=c1a22m−4+b2n−1=c2，
由题意得：2m−4=4n−1=1，
解得m=4n=2，
故选：C．
（4）（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)x−3y=4x+2y=9；
(2)x+y=53x−1+2y=9
【答案】(1)x=7y=1
(2)x=2y=3
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先变形然后用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：x−3y=4①x+2y=9②，
②−①得：5y=5，
解得：y=1，
把y=1代入①得：x−3=4，
解得：x=7，
∴原方程组的解为x=7y=1．
（2）解：x+y=53x−1+2y=9，
原方程组可变为：x+y=5①3x+2y=12②，
①×2−②得：−x=−2，即x=2，
把x=2代入①得：2+y=5，
解得：y=3，
∴原方程组的解为x=2y=3．
例9. （1）（2022秋·陕西汉中·九年级统考期末）用公式法解方程：4x2+x−3=0．
【答案】x1=−1，x2=34
【分析】先找出a，b，c，求出Δ=b2−4ac的值，再代入求根公式求得答案即可．
【详解】4x2+x−3=0
∵a=4,b=1,c=−3，
∴Δ=12−4×4×−3=49，
∴x=−1±492×4=−1±78．
即x1=−1，x2=34．
（2）（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）嘉嘉解方程x2+2x−3=0的过程如图14所示．
(1)在嘉嘉解方程过程中，是用_____________（填“配方法”“公式法”或“因式分解法”）来求解的；从第_____________步开始出现错误；
(2)请你用不同于（1）中的方法解该方程．
【答案】(1)配方法；二
(2)x1=−3，x2=1
【分析】（1）根据配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：在嘉嘉解方程过程中，是用配方法来求解的；
从第二步开始出现错误；
故答案为：配方法；二
（2）解：x2+2x−3=0，
∴x+3x−1=0，
∴x+3=0,x−1=0，
解得：x1=−3，x2=1．
例10. （2022秋·重庆合川·八年级校考期末）解分式方程：
(1)2x+3=1x−2；
(2)x+5x−5=1+10x2−10x+25．
【答案】(1)x=7
(2)x=6
【分析】（1）方程两边同乘以x+3x−2化成整式方程，解一元一次方程即可得；
（2）方程两边同乘以x−52化成整式方程，解一元一次方程即可得．
【详解】（1）解：2x+3=1x−2，
方程两边同乘以x+3x−2，得2x−2=x+3，
去括号，得2x−4=x+3，
移项，得2x−x=4+3，
合并同类项，得x=7，
经检验，x=7是分式方程的解．
（2）解：x+5x−5=1+10x2−10x+25，
方程两边同乘以x−52，得x+5x−5=x−52+10，
去括号，得x2−25=x2−10x+25+10，即−25=−10x+25+10，
移项，得10x=25+25+10，
合并同类项，得10x=60，
系数化为1，得x=6，
经检验，x=6是分式方程的解．
知识点训练
1．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：29x+16=125
【答案】x=20120
【分析】根据解方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：29x+16=125
29x+16−16=125−16
29x=7230−530
29x=6730
92×29x=6730×92
x=20120．
【点睛】本题主要考查了解方程，熟知分数的混合计算法则是解题的关键．
2．（2022秋·北京东城·七年级东直门中学校考期末）解方程：
(1)3x−1=5x+1；
(2)2x+13=1−2x−16
【答案】(1)x=−2；
(2)x=56．
【分析】（1）按照一元一次方程的求解步骤求解即可；
（2）按照一元一次方程的求解步骤求解即可．
【详解】（1）解：3x−1=5x+1
3x−3=5x+1
−2x=4
解得x=−2；
（2）解：2x+13=1−2x−16
可得：22x+1=6−2x−1
4x+2=6−2x+1
6x=5
解得x=56；
【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤．
3．（2022秋·黑龙江绥化·六年级校考期中）解方程：x−15x=23÷1718
【答案】x=1517
【分析】根据解方程的步骤进行求解即可．
【详解】解：x−15x=23÷1718
45x=23×1817
45x=1217
54×45x=1217×54
x=1517．
【点睛】本题主要考查了解方程，熟知等式的基本性质是解题的关键．
4．（2022秋·重庆北碚·七年级统考期末）a−b+c=02a−3b+c=0，则a−cb=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先用②−①得到a=2b，再将a=2b代入①得到c=−b，最后代入a−cb求值即可．
【详解】解：a−b+c=0①2a−3b+c=0②，
②−①得，a−2b=0，
解得，a=2b，
把a=2b代入①得，c=−b，
则a−cb=2b−(−b)b=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了加减消元法，求出a、b、c之间的关系是解题的关键．
5．（2022春·河南漯河·七年级校考期末）若关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是x=2y=−3，则关于m，n的二元一次方程组a1m−n+b1m+n=c1a2m−n+b2m+n=c2的解是（ ）
A．m=−12n=−52B．m=−12n=52C．m=−52n=−12D．m=52n=12
【答案】A
【分析】设m−n=x'，m+n=y'，利用换元法，结合题意求出x'=2y'=−3，从而得出a1x'+b1y'=c1a2x'+b2y'=c2，再解关于m、n的二元一次方程组即可．
【详解】解：设m−n=x'，m+n=y'，
则 a1x'+b1y'=c1a2x'+b2y'=c2，
由题意得： x'=2y'=−3，
即m−n=2m+n=−3，
解得 m=−12n=−52．
故答案为：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能得出关于m、n的方程组m−n=2m+n=−3是解此题的关键．
6．（2022春·上海浦东新·八年级校考期中）小明在解方程组2x+3y=12①2x+1yx+1=1②的过程中，以下说法错误的是（ ）
A．②−①可得y=2x−4，再用代入消元法解
B．令1x=a，1y=b，可用换元法将原方程组化为关于a、b的二元一次方程组
C．由①得y=6xx−4，再代入②，可得一个关于x的分式方程，亦可求解
D．经检验：x=8y=12是方程组的一组解
【答案】B
【分析】②−①得出1y(x+1)−3y=1−12，整理后得出y=2x−4，即可判断选项A；换元后得出方程组2a+3b=122a+b(x+1)=1，即可判断选项B；由①求出y=6xx−4，代入②后即可判断选项C；把x=8y=12代入方程组中的两个方程，看看方程的两边是否都相等，即可判断选项D．
【详解】解：2x+3y=12①2x+1yx+1=1②，
A．②−①，得1y(x+1)−3y=1−12，
整理得：y=2x−4，再用代入消元法解，故本选项不符合题意；
B．令1x=a，1y=b，则原方程组化为：
2a+3b=122a+b(1a+1)=1，
不能得出关于a、b的二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．由①得y=6xx−4，
把y=6xx−4代入②得：
2x+16xx−4(x+1)=1，得出一个关于x的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意；
D．把x=8y=12代入①，得
左边=28+312=14+14=12，右边=12，左边=右边，
把x=8y=12代入②，得
左边=28+112(8+1)=14+34=1，右边=1，左边=右边，
所以x=8y=12是方程组的解，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程组和方程组的解，能把分式方程组转化成方程和理解方程组的解的定义是解此题的关键．
7．（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第九十五初级中学校校考期末）关于x，y的二元一次方程组3x+5y=a+22x+3y=a的解适合x+y=10，则a的值为（ ）
A．14B．12C．6D．−10
【答案】B
【分析】先将方程组中上式减去下式可得x+2y=2，结合x+y=10，可求出x，y的值，再代入方程组中即可求出a的值．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组3x+5y=a+22x+3y=a，上式减去下式得x+2y=2，
∴x+2y=2x+y=10，解方程组得，x=18y=−8，代入方程2x+3y=a得，2×18−3×8=36−24=12=a，
∴a=12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的值求参数，掌握解二元一次方程组的方法（代入法，加减法）是解题的关键．
8．（2022春·福建龙岩·七年级统考期末）解方程组x2+y3=24x−y=5
【答案】x=2y=3
【分析】先将第1个方程化简，再利用加减消元法消除y，求出x后再代入x的值求出y即可．
【详解】解：x2+y3=2①4x−y=5②
由①得：3x+2y=12③，
由②×2+③得：11x=22，
x=2 ，
把 x=2代入③得：y=3
∴原方程组的解是x=2y=3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，其中牢记加减消元法或代入消元法是解题关键．
9．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）对于有理数x，y定义新运算：x∗y=ax+by+5，其中a，b为常数．已知1∗2=9，（−3）∗3=2，那么1∗3 的值是多少？
【答案】10
【分析】根据新运算定义先列方程组求解a，b，再根据新运算直接计算即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
a+2b+5=9−3a+3b+5=2 ，
解得a=2b=1，
∴x∗y=2x+y+5，
∴1∗3=2×1+3+5=10．
【点睛】本题考查新运算定义问题，解题的关键是理解新定义先列方程求解a，b．
10．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）若关于x，y的方程组a1x+y−b1x−y=c1a2x+y−b2x−y=c2，解为x=2022y=2023．则关于x，y的方程组a1x+b1y=15c1a2x+b2y=15c2的解是（ ）
A．x=809y=15B．x=4045y=1C．x=2022y=2023D．x=20225y=−20235
【答案】A
【分析】已知方程组和x和y的解，将x和y代入可得到a1、b1、c1和a2、b2、c2两个等式的关系，再将此关系列为方程组反解出x和y即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程组a1x+y−b1x−y=c1a2x+y−b2x−y=c2，解为x=2022y=2023，
∴关于x，y的方程组a1x+b1y=15c1a2x+b2y=15c2中5x=2022+2023−5y=2022−2023，
解得：x=809y=15，
即第二个方程组的解是x=809y=15，
故选A．
【点睛】本题考查了方程组的运算，明白通过已知条件解出第一个方程组的关系，再通过第一个方程组的关系解出答案是本题的关键．
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：2x+3y=102x+y2−1+y4=1．
【答案】x=12y=3
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：整理得：2x+3y=10①8x+2y=10②，
①×4−②，得10y=30，
解得：y=3，
把y=3代入①，得2x+9=10，
解得：x=12，
所以方程组的解是x=12y=3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（2023秋·重庆·七年级西南大学附中校考期末）解方程（组）．
(1)6x−21−x=9x−5x+2．
(2)2x+3y2=23(2x+3y)−2y=6．
【答案】(1)x=−2
(2)x=−52y=3
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（2）先将2x+3y2=2变形为2x+3y=4，再把3(2x+3y)−2y=6去括号，合并同类项变形为6x+7y=6，组成新的方程组，根据加减法解二元一次方程组即可求解．
【详解】（1）解：6x−21−x=9x−5x+2
去括号得，6x−2+2x=9x−5x−10，
移项的，6x−9x+5x+2x=−10+2，
合并同类项得，4x=−8，
系数化为1得，x=−2．
∴原方程的解为：x=−2．
（2）解：2x+3y2=23(2x+3y)−2y=6，
2x+3y2=2变形为2x+3y=4，3(2x+3y)−2y=6变形为6x+7y=6，
∴2x+3y=46x+7y=6，将2x+3y=4等式两边同时乘以3得，6x+9y=12，
∴6x+9y=126x+7y=6，上式减去下式得，2y=6，
∴y=3，将y=3代入2x+3y=4得，2x+3×3=4，
∴x=−52，
∴原方程组的解为：x=−52y=3．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，解二元一次方程组的综合，掌握去括号，去分母，移项，合并同类项，系数化为1，加减法解方程是解题的关键．
13．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）将一元二次方程x2+4x−1=0化成形如(x+p)2=q的形式，则p+q的值为（ ）
A．7B．3C．−5D．10
【答案】A
【分析】先把常数项移到方程右侧，两边同时加上4，利用完全平方公式得到(x+2)2=5，从而得到p=2，q=5，最后计算p+q即可．
【详解】∵x2+4x−1=0
∴x2+4x=1
∴x2+4x+4=5
∴(x+2)2=5
∴p=2，q=5
∴p+q=2+5=7
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成(x+p)2=q的形式，掌握配方法是解题的关键．
14．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）把方程x2−6x+2=0化成(x−m)2=n的形式，则m+n的值是（ ）
A．−4B．4C．−10D．10
【答案】D
【分析】把方程x2−6x+2=0配方，根据配方后的结果可确定m与n的值，则可求得m+n的值．
【详解】解：把方程x2−6x+2=0配方，得
x2−6x+9−9+2=0，即(x−3)2=7，
所以m=3，n=7，
所以m+n=3+7=10；
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法的应用及求代数式的值，关键是配方法的应用．
15．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）对于任意的实数x，代数式−x2+4x−5的值是一个（ ）
A．正数B．负数C．非负数D．无法确定
【答案】B
【分析】原式配方后，利用正负数的性质判断即可．
【详解】解：原式=−x2−4x+4+4−5
=−x−22−1<0，
则原代数式的值是一个负数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了配方法的应用：通过配方法把一个代数式变形为完全平方式，然后利用其正负性解决问题．
16．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−1=0，配方后的方程是（ ）
A．x−22=3B．x−22=5C．x+22=3D．x+22=5
【答案】B
【分析】根据配方法可以解答本题．
【详解】解：x2−4x−1=0，
x−22−4−1=0，
x−22=5，
故选B．
【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
17．（2022秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期中）把方程x2+6x−9=0化为x+a2=b的形式，下列方程中正确的是（ ）
A．x−32=18B．x+32=18C．x+32=15D．x−32=15
【答案】B
【分析】根据题意知，要求对一元二次方程一般式进行配方，直接根据配方法即可得到答案．
【详解】解：∵ x2+6x−9=0，
∴移项得x2+6x=9，
配方得x2+6x+622=9+622，
因式分解得x+32=18，
故选：B．
【点睛】本题考查对一元二次方程一般式进行配方，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解决问题的关键．
18．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）用配方法解方程x2−4x−3=0，配方后的方程是（ ）
A．(x−2)2=7B．(x+2)2=7C．(x−2)2=1D．(x+2)2=1
【答案】A
【分析】将方程常数移到右边，再配方—方程两边同时加上4即可得到答案．
【详解】解：方程x2−4x−3=0，
移项得：x2−4x=3，
配方得：x2−4x+4=7，
即x−22=7，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法—配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．（2022秋·全国·九年级期中）先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式x2+4x+6的最小值．
原式=x2+4x+4+2=x+22+2．
∵x+22≥0，
∴当x=−2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式x2−6x+12的最小值；
(2)若y=−x2+2x−3，当x=_______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0时，判断△ABC的形状并说明理由．
【答案】(1)3
(2)1，大，-2
(3)直角三角形，见解析
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母a，b，c三边的关系，再判定三角形的形状．
【详解】（1）解：x2−6x+12=x2−6x+9+3=x−32+3；
∴x2−6x+12的最小值是3．
（2）y=−x2+2x−3，
y=−x2+2x−1−2，
y=−x−12−2，
∴当x=1的时，y有最大值−2．
故答案为：1，大，−2．
（3）a2+b2+c2−6a−10b−8c+50=0，
a2−6a+9+b2−10b+25+c2−8c+16=0，
a−32+b−52+c−42=0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a−3=0，b−5=0，c−4=0，
解得a=3，b=5，c=4．
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
20．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）用适当的方法解方程：
(1)3x2−x=0
(2)x+12−9=0
(3)x2−2x−5=0
(4)xx−3=10
【答案】(1)x1=0，x2=13
(2)x1=2，x2=−4
(3)x1=1+6，x2=1−6
(4)x1=5，x2=−2
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）移项后用直接开平方法求解即可；
（3）用配方法求解即可；
（4）整理成一般式后用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：3x2−x=0，
x3x−1=0，
x=0或3x−1=0，
x1=0，x2=13；
（2）解：x+12−9=0，
x+12=9，
x+1=3或x+1=−3，
x1=2，x2=−4；
（3）解：x2−2x−5=0，
x2−2x+1=5+1，
x−12=6，
x−1=±6，
x1=1+6，x2=1−6；
（4）解：xx−3=10，
x2−3x−10=0，
x−5x+2=0，
x−5=0或x+2=0，
x1=5，x2=−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．（2021秋·福建莆田·九年级校考期中）解方程：
(1)x2−6x−6=0
(2)2x2−7x+6=0
【答案】(1)x1=3+15，x2=3−15
(2)x1=2，x2=32
【分析】（1）根据公式法求解即可；
（2）根据公式法求解即可．
【详解】（1）解：x2−6x−6=0，
∵a=1，b=−6，c=−6，
∴Δ=−62−4×1×−6=60，
∴x=6±602×1，
解得：x1=3+15，x2=3−15；
（2）2x2−7x+6=0，
∵a=2，b=−7，c=6，
∴Δ=−72−4×2×6=1，
∴x=7±12×2，
解得：x1=2，x2=32．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的几种解法是关键．
22．（2022秋·河南信阳·九年级统考期中）用合适的方法解方程：
(1)x−52=16．
(2)x2−2x−4=0．
(3)y−12+2y1−y=0．
(4)2x2−7x+1=0．
【答案】(1)x1=9，x2=1
(2)x1=1+5，x2=1−5
(3)y1=1，y2=−1
(4)x1=7+414，x2=7−414
【分析】（1）两边开平方，用开平方法解答；
（2）配方，两边开平方，再用开平方法解答；
（3）左边提公因式分解因式，用分解因式法解答；
（4）求出根的判别式的值，用求根公式解答．
【详解】（1）解：x−52=16，
x−5=±4，
∴x1=9，x2=1；
（2）解：x2−2x−4=0，
x2−2x+1=5，
x−12=5，
x−1=±5，
∴x1=1+5，x2=1−5；
（3）解：y−12+2y1−y=0，
y−1−y−1=0，
y−1=0或−y−1=0，
∴y1=1，y2=−1；
（4）解：2x2−7x+1=0，
Δ=−72−4×2×1=41，
x=7±412×2=7±414，
∴x1=7+414，x2=7−414．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解决问题的关键是熟练掌握开平方法，配方法，分解因式法，公式法解一元二次方程．
23．（2022秋·天津红桥·九年级校考期末）解下列方程：
(1)xx−3+x−3=0；
(2)3x2−5x+1=0．
【答案】(1)x1=−1,x2=3
(2)x1=5+136,x2=5−136
【分析】（1）根据因式分解法求解一元二次方程即可；
（2）根据公式法进行求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：xx−3+x−3=0
x−3x+1=0
x−3=0或x+1=0，
∴x1=−1,x2=3；
（2）解：3x2−5x+1=0
∵a=3,b=−5,c=1，
∴Δ=b2−4ac=25−12=13>0，
∴x=−b±b2−4ac2a=5±136，
∴x1=5+136,x2=5−136．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
24．（2022秋·天津河东·九年级校考期末）解方程
(1)x2−2x−6=0 ；
(2)(x+4)2=5(x+4) ．
【答案】(1)x1=1+7，x2=1−7
(2)x1=−4，x2=1
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）先移项，然后再用分解因式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：x2−2x−6=0，
a=1，b=−2，c=−6，
△=b2−4ac=−22−4×−6=28，
∴x=2±282=1±7，
∴x1=1+7，x2=1−7．
（2）解：(x+4)2=5(x+4)，
移项得：(x+4)2−5(x+4)=0，
分解因式得：x+4x−1=0，
∴x+4=0或x−1=0，
解得：x1=−4，x2=1．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算．
25．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）解方程：
(1)x2−8x+1=0
(2)xx−2+x−2=0
【答案】(1)x1=4+15，x2=4−15
(2)x1=2，x2=−1
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）根据提公因式法将方程的左边因式分解，进而得出两个关于x的一元一次方程，再分别计算，即可得解；
【详解】（1）解：x2−8x+1=0
a=1，b=−8，c=1，
Δ=b2−4ac=−82−4×1×1=60>0，
方程有两个不相等的实数根，
x=−b±b2−4ac2a=−−8±602×1=4±15，
∴x1=4+15，x2=4−15；
（2）解：xx−2+x−2=0
分解因式，可得：x−2x+1=0，
于是得：x−2=0或x+1=0，
∴x1=2，x2=−1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
26．（2022秋·北京东城·九年级北京二中校联考期末）把关于x的一元二次方程2x2−4x+m=0配方，得到x+p2=12．
(1)写出完整的配方过程，并求常数m与p的值；
(2)求此方程的解．
【答案】(1)m=1，p=−1
(2)x1=2+22，x1=2−22
【分析】（1）把2x2−4x+m=0配方即可得出m=1，p=−1；
（2）配方得出x−12=12，开方得出x−1=±22，求出即可．
【详解】（1）解：2x2−4x=−m
x2−2x=−m2
x2−2x+1=−m2+1
x−12=−m2+1
∴m=1，p=−1
（2）解：∵x−12=12
∴x1=2+22，x1=2−22
【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，题目是一道基础题，难度适中，主要考查学生的计算能力．
27．（2022秋·河北唐山·八年级校考期末）已知关于x的方程x+1x=a+1a的两个解分别为a，1a，则方程x+1x+1=a+1a+1的解是（ ）
A．a，−aa+1B．1a+1，a+1C．1a，a+1D．a，−1a+1
【答案】A
【分析】首先观察已知方程x+1x=a+1a的特点，然后把方程x+1x+1=a+1a+1变形成具有已知方程x+1x=a+1a的特点的形式，从而得出所求方程的根．
【详解】解：方程x+1x+1=a+1a+1可以写成x+1+1x+1=a+1+1a+1的形式，
∵方程x+1x=a+1a的两根分别为a，1a，
∴方程x+1+1x+1=a+1+1a+1的两根的关系式为x+1=a+1，x+1=1a+1，即方程的根为x=a或−aa+1，
∴方程x+1x=a+1a的根是a，−aa+1．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的拓展应用，解题的关键是正确分析两个方程之间的关系．
28．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）把分式方程1x−2−1−x2−x=1化为整式方程正确的是（ ）
A．1−1−x=1B．1+1−x=1
C．1−1−x=x−2D．1+1−x=x−2
【答案】D
【分析】分式方程的左右两边同乘以最简公分母x−2即可．
【详解】将方程两边都乘以x−2，得：1+1−x=x−2，
故选：D．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
29．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）解方程：
(1)2x−5=15−x+1；
(2)xx−2−1=1x−2x+3．
【答案】(1)x=8；
(2)x=−52．
【分析】两边同乘以x−5去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
两边同乘以x−2x+3去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：去分母得：2=−1+x−5，
解得：x=8，
检验：把x=8代入x−5得：8−5≠0，
∴分式方程的解为x=8；
（2）解：去分母得：xx+3−x−2x+3=1，
解得：x=−52，
检验：把x=−52代入x−2x+3得：x−2x+3≠0，
∴分式方程的解为x=−52．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
30．（2022秋·湖北·八年级统考期末）解方程：
(1)2x+1−1x=0
(2)x−2x+2−16x2−4=1
【答案】(1)x=1
(2)无解
【分析】(1)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解；
(2)根据解分式方程的步骤解方程，即可求解．
【详解】（1）解：去分母，得：2x−x+1=0，
去括号，得：2x−x−1=0，
解得x=1，
经检验：当x=1时，xx+1=2≠0，
故原方程的解是x=1；
（2）解：去分母，得：x−22−16=x2−4，
去括号，得：x2−4x+4−16=x2−4，
解得x=−2，
经检验：当x=−2时，x2−4=0，
故x=−2是原方程的增根，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤是解决本题的关键．
31．（2023秋·山东临沂·八年级郯城县实验中学校考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x
(2)4x2−1=x+2x−1−1
【答案】(1)x=9
(2)x=13
【分析】两个分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）2x−3=3x
去分母得：2x=3x−3
2x=3x−9
−x=−9
解得：x=9，
检验：将x=9代入xx−3≠0
∴x=9是原分式方程的解；
（2）4x2−1=x+2x−1−1
去分母得：4=x+1x+2−x2−1
4=x2+x+2x+2−x2+1
4=3x+3
−3x=−1
解得：x=13，
检验：将x=13代入x2−1≠0，
∴x=13是原分式方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
32．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）解方程：
(1)x2−3xx−2+x2−22−x=1
(2)3x−1−x+2xx−1=0
【答案】(1)x=1
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）x2−3xx−2+x2−22−x=1
去分母，得x2−3x−x2−2=x−2，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的根，
∴原方程的解为：x=1；
（2）3x−1−x+2xx−1=0
去分母，得3x−x+2=0，
解得x=1，
经检验，x=1是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
考点4：一元二次方程根的判别式
例11. （2022秋·河南新乡·九年级统考期中）已知：关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k取最大整数值时，求该方程的解．
【答案】(1)k<98
(2)x1=12，x2=1
【分析】（1）由方程根的情况可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；
（2）根据k的取值范围可求k值，解方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程2x2−3x+k=0有两个不相等的实数根，
∴ Δ=(−3)2−4×2k>0，
解得k<98；
（2）解：∵k<98，
∴k的最大整数值为1，
∴原方程为2x2−3x+1=0，
∴(2x−1)(x−1)=0，
∴2x−1=0，x−1=0，
∴x1=12，x2=1．
知识点训练
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期末）若方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．4B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4−4m=0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方x2−2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=−22−4m=4−4m=0，
解得：m=1．
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤4B．k≥−4C．k≤4且k≠0D．k≥−4且k≠0
【答案】C
【分析】根据一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，则Δ=−42−4k×1≥0，且k≠0，求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程kx2−4x+1=0有两个实数根，
∴Δ=−42−4k×1≥0，且k≠0，
∴k≤4，且k≠0，
故选： C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0，当有两个实数根，则Δ=b2−4ac≥0；当没有实数根，则Δ=b2−4ac<0是解题的关键．
3．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）关于x的方程x2−2x−5=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
【答案】A
【分析】先求一元二次方程的判别式，由Δ与0的大小关系来判断方程根的情况．
【详解】解：∵a=1，b=−2，c=−5，
∴ Δ=b2−4ac=−22−4×1×−5=24>0，
∴关于x的方程x2−2x−5=0有两个不相等实数根．
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ<0⇔方程没有实数根．
4．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A．x2+14=xB．x−22=5C．x2+2x=0D．2x2−2x+1=0
【答案】A
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【详解】解：A、原方程整理得4x2−4x+1=0，Δ=−42−4×4×1=0，方程有两个相等的实数根，该选项符合题意；
B、原方程整理得x2−4x−1=0，Δ=−42−4×1×−1=20>0，方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意；
C、x2+2x=0，Δ=22−4×1×0=4>0，方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意；
D、2x2−2x+1=0，Δ=−22−4×2×1=−6<0，方程没有实数根，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
5．（2022秋·河北廊坊·九年级校考期末）若关于x的方程x2+mx+n=0有两个相等的实数根，则方程x2+mx+n=−1的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
【答案】D
【分析】先计算方程x2+mx+n=0根的判别式得到Δ=m2−4n=0，再计算方程x2+mx+n=−1的判别式得出Δ=m2−4n−4=−4<0，最后根据根的判别式意义判断方程根的情况．
【详解】∵ x2+mx+n=0有两个相等的实数根，
∴m2−4n=0，
一元二次方程x2+mx+n=−1，即x2+mx+n+1=0，
Δ=b2−4ac=m2−4×n+1=m2−4n−4=0−4=−4<0，
使用方程x2+mx+n=−1没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）若关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． m>−1B． m>1C． m≥−1D． m≤−1
【答案】C
【分析】根据判别式的意义得到：Δ=−22−4×1×−m≥0，然后解关于m的不等式即可．
【详解】解：根据题意得：Δ=−22−4×1×−m≥0，
解得：m≥−1，
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根．
7．（2022秋·广东广州·九年级统考期末）关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0，可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围，对照四个选项即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，
∴ △=32−4×1×k=9−4k>0，
解得：k<94，故A符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”．
8．（2022秋·广东东莞·九年级统考期末）关于x的一元二次方程k−1x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k取值范围是（ ）
A．k≥−2B．k>2C．k<2且k≠1D．k>2且k≠1
【答案】C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出Δ>0，且k−1≠0，求出k的取值范围，即可得出答案．
【详解】解：由题意知：k−1≠0，Δ=−22−4×1×k−1=4−4k+4=8−4k>0，
解得：k<2且k≠1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，一元二次方程的二次项系数不为0，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：Δ<0时，方程无实数根，Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，Δ=0时，方程有两个相等的实数根．
9．（2022秋·全国·九年级期中）关于x的一元二次方程x2−2x+(m−1)=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m>0且m≠1B．m≥0且m≠1C．m>0D．m<2
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2−2x+(m−1)=0有两个不相等的实数根，
所以Δ>0，
即4−4(m−1)>0．
解得m<2．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解决本题的关键是当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根．
10．（2021秋·广东东莞·九年级东莞市华侨中学校考期中）若关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，则a的取值范围是___________．
【答案】a≤3
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a−2=0有两个实数根，
∴Δ=22−4×1×a−2≥0，
得4−4a+8≥0，
解得a≤3，
故a的取值范围是a≤3，
故答案为：a≤3．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期末）已知关于x的方程x2+2x+k−4=0有两个不相等的实数根．
（1）k的取值范围是______；
（2）若x=−2是该方程的一个根，则k=______．
【答案】 k<5 4
【分析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ的意义得到Δ>0，即22−4k−4>0，即可求得k的取值范围；
（2）设方程另一个根为x2，然后利用根与系数的关系有−2+x2=−2−2x2=k−4，即可得到方程的另一个根．
【详解】解：（1）∵关于x的方程x2+2x+k−4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4k−4>0
解得：k<5，
故答案为：k<5；
（2）设方程另一个根为x2，则−2+x2=−2−2x2=k−4，
解得：x2=0k=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的意义以及根与系数的关系．