高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.3.1函数的周期性与对称性(题型战法)(原卷版+解析)

这是一份高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)2.3.1函数的周期性与对称性(题型战法)(原卷版+解析)，共26页。
一 函数的周期性
函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)
(1)，则是以为周期的周期函数；
(2), 则是以为周期的周期函数；
(3)，则是以为周期的周期函数；
(4)，则是以为周期的周期函数；
二 函数的对称性
轴对称：若‎ 则f(x)关于对称.
中心对称：若 则f(x)关于(，m) 对称.
三 由对称性推周期性
(1) 函数满足（），
= 1 \* GB3 ①若为奇函数，则函数周期为， = 2 \* GB3 ②若为偶函数，则函数周期为.
(2) 函数的图象关于直线和都对称，则函数是以
为最小正周期的周期函数；
(3) 函数的图象关于两点,都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；
(4) 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；
题型战法
题型战法一 周期性与对称性的判断
典例1．下列函数是周期函数的有（ ）
① ② ③
A．①③B．②③C．①②D．①②③
变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
变式1-2．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
变式1-3．函数的图像（ ）
A．关于直线对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于轴对称
变式1-4．函数的图象关于（ ）对称.
A．直线B．原点C．轴D．轴
题型战法二 由函数周期性求函数值
典例2．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（ ）
A．1B．-1C．D．
变式2-1．定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．2D．1
变式2-2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
变式2-3．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
变式2-4．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．5
题型战法三 由函数对称性求函数值
典例3．如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
变式3-1．已知，若，则（ ）
A．－14B．14C．6D．10
变式3-2．已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是
A．1B．2
C．4D．8
变式3-3．设函数的图象关于直线对称，则的值为
A．B．C．D．
变式3-4．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式
典例4．设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A．B．C．D．
变式4-1．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（ ）
A．B．C．D．
变式4-2．已知是定义在上周期为2的函数，当时，，那么当时（ ）
A．B．C．D．
变式4-3．若函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-4．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．C．D．
题型战法五 由周期性与对称性比较大小
典例5．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-1．已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
变式5-2．已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，且 ，都有 ；
② ；
③ 是偶函数；
若，，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
变式5-3．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
变式5-4．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值
典例6．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（ ）
A．－3B．－2C．2D．3
变式6-1．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A．B．C．D．
变式6-2．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
变式6-3．已知定义在上的函数，满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式6-4．函数定义域为R，且，若函数的图象关于对称，且，则=（ ）
A．3B．-3C．6D．-6
第二章 函数
2.3.1函数的周期性与对称性（题型战法）
知识梳理
一 函数的周期性
函数满足定义域内的任一实数(其中为常数)
(1)，则是以为周期的周期函数；
(2), 则是以为周期的周期函数；
(3)，则是以为周期的周期函数；
(4)，则是以为周期的周期函数；
二 函数的对称性
轴对称：若‎ 则f(x)关于对称.
中心对称：若 则f(x)关于(，m) 对称.
三 由对称性推周期性
(1) 函数满足（），
= 1 \* GB3 ①若为奇函数，则函数周期为， = 2 \* GB3 ②若为偶函数，则函数周期为.
(2) 函数的图象关于直线和都对称，则函数是以
为最小正周期的周期函数；
(3) 函数的图象关于两点,都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；
(4) 函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为最小正周期的周期函数；
题型战法
题型战法一 周期性与对称性的判断
典例1．下列函数是周期函数的有（ ）
① ② ③
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角函数和二次函数的性质可得.
【详解】
易得和是周期函数，不是周期函数.
故选：C.
变式1-1．下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
直接利用函数性质判断即可.
【详解】
选项A中不是周期函数,故排除A;
选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;
故选:C.
【点睛】
本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.
变式1-2．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】
设点在函数图象上，证明关于轴对称的点在函数的图象上.
【详解】
解：设点在函数图象上，则，
则关于轴对称的点满足，
所以点在函数的图象上.
故选：B
变式1-3．函数的图像（ ）
A．关于直线对称B．关于轴对称
C．关于原点对称D．关于轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】
利用分离常数法化简函数式，可知函数为偶函数，进而判断对称性.
【详解】
解：因为，
易知为偶函数，
所以函数的图象关于轴对称.
故选：B.
变式1-4．函数的图象关于（ ）对称.
A．直线B．原点C．轴D．轴
【答案】B
【解析】
根据函数的奇偶性判断.
【详解】
因为函数的定义域为，关于原点对称，
又，
所以是奇函数，图象关于原点对称，
故选：B
题型战法二 由函数周期性求函数值
典例2．已知函数为R上的偶函数，若对于时，都有，且当时，，则等于（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知确定函数的周期，利用周期性和奇偶性进行求解.
【详解】
∵为上的偶函数，∴，
又当时，，
∴，
当时，，
∴.
故选：A.
变式2-1．定义在R上的函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．2D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由可知，函数的周期为2，利用周期性把所给的自变量转化到区间上，代入求值即可.
【详解】
由可知，函数的周期为2，当时，，
∴.
故选：B
变式2-2．已知函数是上的偶函数，若对于，都有.且当时，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
由可得函数的周期为2，再结合函数为偶函数可得，然后由已知的解析式可求得答案
【详解】
∵函数是上的偶函数，
∴，
又∵对于都有，
∴，∵当时，，
∴
，
故选：C.
变式2-3．已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
求得的周期，结合奇偶性求得的值.
【详解】
依题意对，有成立，
令，则，
所以，故，
所以是周期为的周期函数，
故.
故选：C
变式2-4．已知函数是定义在上的奇函数，（1），且，则的值为（ ）
A．0B．C．2D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得，即函数是周期为8的周期函数，则有，（1），由奇函数的性质求出与（1）的值，相加即可得答案.
【详解】
解：根据题意，函数满足，则有，
即函数是周期为8的周期函数，
函数是定义在上的奇函数，则，
(4)，
(5)（1），
则（1），
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期性，属于基础题.
题型战法三 由函数对称性求函数值
典例3．如果函数对任意的实数，都有，且当时，，那么函数在上的最大值与最小值之和为（ ）
A．2B．3C．4D．－1
【答案】C
【解析】
根据，可知：关于对称，根据对称性，要求函数在上的最大值与最小值之和，即求函数在上的最大值与最小值之和，代入即可得解.
【详解】
根据，可知：关于对称，
那么要求函数在上的最大值与最小值之和，
即求函数在上的最大值与最小值之和，
因为递增，所以最小值与最大值分别为：
，，
，
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了函数的对称性，考查了转化思想，计算量较小，思路要求较高，属于中档题.
变式3-1．已知，若，则（ ）
A．－14B．14C．6D．10
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算，再代入数值得结果.
【详解】
,又，所以
故选A
【点睛】
本题考查函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式3-2．已知函数的图象与指数函数的图象关于轴对称，则实数的值是
A．1B．2
C．4D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
指数函数关于轴对称的函数为，由此得到与的关系，即可求解出的值.
【详解】
因为两函数的图象关于轴对称，所以与互为倒数，
所以，解得．
故选C.
【点睛】
本题考查指数函数图象对称与底数之间关系，难度较易.关于轴对称的指数函数的底数互为倒数.
变式3-3．设函数的图象关于直线对称，则的值为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【详解】
试题分析：因为函数的图象关于直线对称，所以点与点，关于直线对称，，故选D.
考点： 函数的图象与性质.
变式3-4．已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先由对称性求得，再将代入函数解析式即可求得答案.
【详解】
因为的图象关于直线对称，所以，即，
解得，则．
故选：B
题型战法四 由周期性与对称性求函数解析式
典例4．设是定义在R上的周期为2的偶函数，已知时，，则x∈[-2，0]时，f（x）的解析式为f（x）=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知中函数的奇偶性和周期性，结合时，，可得答案．
【详解】
解：∵是定义在R上的周期为2的偶函数，时，，
∴时，
，，
此时，
时，
，，
此时，
综上可得：时，
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，函数的周期性，函数的奇偶性，难度中档．
变式4-1．已知函数满足，当时，有，则当x∈（-3，-2）时，等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
令，则，根据时，f（x）＝2x，可求得f（x+2）的解析式，再根据f（x+2）＝f（x），即可求得f（x）解析式．
【详解】
令，则，
∵当时，有，
∴f（x+2）＝2x+2，
∵f（x+2）＝f（x），
∴f（x+2）＝f（x）＝2x+2，．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等，考查学生的计算能力，属于基础题．
变式4-2．已知是定义在上周期为2的函数，当时，，那么当时（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
利用周期函数的定义求解即可.
【详解】
设,则,
由题意知,,
因为函数是定义在上周期为2的函数,
所以,即.
故选: C
【点睛】
本题考查周期函数的性质;熟练掌握周期函数的定义是求解本题的关键;属于常考题.
变式4-3．若函数与的图象关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先设出函数图像上任意点的坐标，再求出关于直线对称的点，代入函数的解析式即可求解．
【详解】
解：设函数图像上的点为，关于直线对称的点为，
将点代入函数的解析式可得：，
故，
故选：D．
变式4-4．下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设所求函数图象上任意一点为，由其关于直线的对称点在函数的图象上可解得结果.
【详解】
设所求函数图象上任意一点为，则其关于直线的对称点在函数的图象上，所以.
故选：B.
题型战法五 由周期性与对称性比较大小
典例5．定义在上的函数满足：成立且在上单调递增，设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由，得到是周期为4的周期函数，得到，，结合在上单调递增，得到，即可求解.
【详解】
由题意，函数满足，即函数是周期为4的周期函数，
则，
又由函数在区间上单调递增，可得，
即，所以.
故选：D.
变式5-1．已知定义域为的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
根据已知等式判断出函数的周期性，再根据奇函数的性质和单调性进行判断即可.
【详解】
，
由此可知函数的周期为4，函数是奇函数，，所以有：
，
，
因为在区间是减函数，，
所以，即，
故选：B
变式5-2．已知函数的定义域为 R，且满足下列三个条件：
①对任意的 ，且 ，都有 ；
② ；
③ 是偶函数；
若，，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
由已知条件可知在上单调递增，周期为，对称轴为.则，，，再结合函数的单调性即可判断大小.
【详解】
解：由①知，在上单调递增；由②知，的周期为；
由③知，的对称轴为；则，
，，
因为，由函数的单调性可知，.
故选:D.
【点睛】
本题考查了函数的对称性，考查了函数的周期，考查了函数的单调性.本题的关键是由已知条件分析出函数的性质.
变式5-3．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解.
【详解】
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以，
所以，所以函数的图象关于对称，
又，所以，即，
因为，所以函数是周期为4的函数，
所以，，，
因为，且，所以，
所以函数为奇函数，
又因为对任意的，，，都有成立，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
故选：B.
变式5-4．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.
【详解】
由可得的周期为，
因为为奇函数，所以为奇函数，
因为时，，所以在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，，
，
所以，即.
故选：C.
题型战法六 由抽象函数周期性与对称性求函数值
典例6．已知是定义域为R的偶函数，，，.若是偶函数，则（ ）
A．－3B．－2C．2D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
根据得到关于对称，得到，结合和为偶函数即可得周期为4，进而即得.
【详解】
因为为偶函数，则关于对称，即.
即，即，也满足.
又是定义域为R偶函数，关于y轴对称，
∴，，
∴周期为4，
∴，
∴.
故选：D.
变式6-1．已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先利用赋值法求出，代入等式赋值得到，即对称轴为，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到，则可求出结果.
【详解】
因为对任意，都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以
所以 所以8是函数的一个周期，
所以
故选：D.
变式6-2．若定义在实数集R上的偶函数满足，，对任意的恒成立，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题干条件得到为周期函数，最小正周期为4，进而得到，利用是偶函数得到，进而得到，结合，得到.
【详解】
，则，所以，即，为周期函数，最小正周期为4，则，令得：，即，又因为为偶函数，所以，故，即，因为，所以.
故选：D
变式6-3．已知定义在上的函数，满足，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知函数是奇函数，进而推导的周期，然后求出函数值即可.
【详解】
,,是奇函数，,.
,,
由,，的周期为.
..
故选：C
变式6-4．函数定义域为R，且，若函数的图象关于对称，且，则=（ ）
A．3B．-3C．6D．-6
【答案】A
【解析】
【分析】
由题设可知为偶函数且，即可得，易知是周期为4的函数，利用周期性求即可.
【详解】
∵的图象关于对称，
∴关于轴对称，即为偶函数，
又，即，而，
∴，故，
∴是周期为4的函数，
综上，.
故选：A