2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 微专题 隐形圆在旋转问题中的应用 (含答案)

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模 型 分 析
已知平面内一定点A和一动点B，若AB长度固定，则动点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的圆(依据：圆的定义，圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合)．

推广：在旋转或折叠问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模 型 应 用
1. 如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．
第1题图
2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(2，0)，B(0，2eq \r(3))，将△AOB绕点A顺时针旋转得到△AO′B′，点O，B的对应点分别为O′，B′，当点B，O′，A在同一直线上时，请你在图中画出点B的运动轨迹．
第2题图
模型二 旋转过程中的点圆最值
模 型 分 析
如图①，已知点O，A为定点，线段OB绕点O旋转(点A在⊙O外)．如图②，当点B在线段OA上时，线段AB取得最小值；如图③，当点B在线段AO的延长线上时，线段AB取得最大值．
如图④，已知点O，A为定点，线段OB绕点O旋转(点A在⊙O内)．如图⑤，当点B在线段OA的延长线上时，线段AB取得最小值；如图⑥，当点B在线段AO的延长线上时，线段AB取得最大值．
模 型 应 用
3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E，F分别是AB，BC上的点，CF＝BE＝1，将△EBF绕点E顺时针在矩形内部旋转得到△EB′F′，点B，F的对应点分别为B′，F′，连接DF′，则在旋转过程中线段DF′的最小值为________．
第3题图
4. 如图，△ABC和△EFG都是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，直线AG，FC交于点M.当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值为________．
第4题图
5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕点C逆时针旋转，在旋转的过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB面积的最小值为________．
第5题图
模型三 旋转过程中的线圆最值
模 型 分 析 一
如图⑦，在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知点O，A为定点，线段BC绕点A旋转．如图⑧，当点B在线段AO的延长线上时，点O到线段BC的距离取得最小值；如图⑨，当点B在线段OA的延长线上时，点O到线段BC的距离取得最大值．
模 型 分 析 二
如图eq \(○,\s\up1(10))，在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知点O，A为定点，线段BC绕点A旋转．固定线段BC，转化为点O绕点A旋转．如图⑪，当点O在线段AB上时，点O到线段BC的距离取得最小值；如图⑫，当点O在线段BA的延长线上时，点O到线段BC的距离取得最大值．
模 型 应 用
6. 如图，在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B旋转，得到△A1BC1，点E为线段AB的中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的取值范围为________．
第6题图
7. 如图，矩形OABC的两条边OA，OC分别在y轴和x轴上，已知点A(0，3)、点C(－4，0)．若M为AC边上的一动点，在OA上取一点N(0，1)，将矩形OABC绕点O顺时针旋转一周，则NM的取值范围为________．
第7题图
8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCD是正方形，点A(0，4)，点P在线段AO的延长线上，以OP为边作正方形OPEF，使点F在线段CO的延长线上，连接EA，EC.
(Ⅰ)若∠AEC＝60°，求点E的坐标；
(Ⅱ)将正方形AOCD固定，正方形OPEF绕点O顺时针旋转一周，若OP＝1，求在旋转过程中△ACE面积的最小值．
第8题图
参考答案
1. 解：如解图所示：
第1题解图
2. 解：如解图①和②所示：
第2题解图①
第2题解图②
3. 5－eq \r(5) 【解析】如解图，当点E，F′，D在同一直线时，DF′最短，DF′＝DE－EF′.∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠A＝90°.∵AB＝5，CF＝BE＝1，BC＝3，∴AE＝4，BF＝2.在Rt△BEF中，由勾股定理得EF＝eq \r(BF2＋BE2)＝eq \r(22＋1)＝eq \r(5)，∴EF′＝EF＝eq \r(5)，在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝eq \r(AE2＋AD2)＝5，∴DF′＝DE－EF′＝5－eq \r(5)，∴DF′的最小值为5－eq \r(5).
第3题解图
4. eq \r(3)－1 【解析】如解图，设AC的中点为点O，连接AD，DG，BO，OM，∵△ABC和△EFG都是边长为2的等边三角形，点D是边BC，EF的中点，∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA＝DG，DC＝DF，∴∠ADG＝90°－∠CDG＝∠FDC，eq \f(DA,DC)＝eq \f(DG,DF)，∴△DAG∽△DCF，∴∠DAG＝∠DCF.∴A，D，C，M四点共圆．根据两点之间线段最短可得BO≤BM＋OM，即BM≥BO－OM，当点M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，此时，BO＝eq \r(BC2－OC2)＝eq \r(3)，OM＝eq \f(1,2)AC＝1，则BM＝BO－OM＝eq \r(3)－1，∴BM的最小值为eq \r(3)－1.
第4题解图
5. 1 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5.∵AB为定值，∴当点E到AB的距离最小时，△AEB面积最小，如解图，过点C作CG⊥AB于点G，以点C为圆心，CD的长为半径作⊙C交CG于点F，连接AF，BF，当点E与点F重合时，△AEB面积最小，△ABF的面积即为△AEB面积的最小值．∵CG＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(12,5)，CF＝CD＝eq \f(1,2)AC＝2，∴FG＝CG－CF＝eq \f(12,5)－2＝eq \f(2,5)，∴△AEB面积的最小值为eq \f(1,2)AB·FG＝1.
第5题解图
6. eq \f(5\r(2),2)－2≤EP1≤7 【解析】①如解图①，过点B作BD⊥AC于点D，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD＝BC·sin45°＝eq \f(5\r(2),2)，当点P在AC上运动，BP与AC垂直时，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值＝EP1＝BP1－BE＝BD－BE＝eq \f(5\r(2),2)－2；②如解图②，当点P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值＝EP1＝BC1＋BE＝7，综上所述，线段EP1长度的取值范围为eq \f(5\r(2),2)－2≤EP1≤7.
第6题解图①
第6题解图②
7. eq \f(7,5)≤MN≤5 【解析】由题意得，OA＝3，OC＝4，则AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝5，如解图，过点O作OH⊥AC于点H，则OH＝eq \f(OA·OC,AC)＝eq \f(12,5)，观察图形可知，点H的运动轨迹为以O为圆心，OM为半径的圆弧，点C的运动轨迹为以O为圆心，OC长为半径的圆弧，MN的最小值为OM－ON＝eq \f(12,5)－1＝eq \f(7,5)，MN的最大值为NM′＝ON＋OM′＝1＋4＝5，∴eq \f(7,5)≤MN≤5.
第7题解图
8. 解：(Ⅰ)如解图①，连接DO交AC于点Q，连接OE.
∵四边形AOCD是正方形，点A(0，4)，
∴OA＝OC＝4，
∴由勾股定理得AC＝eq \r(OA2＋OC2)＝4eq \r(2)，
∵四边形OPEF为正方形，
∴OP＝OF＝PE＝EF，
∴AP＝CF，
∵AE2＝AP2＋PE2，CE2＝CF2＋EF2，
∴AE＝CE，
∵∠AEC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE＝AC＝4eq \r(2).
∵点Q是AC的中点，
∴AQ＝2eq \r(2)，
∴由勾股定理得EQ＝eq \r(AE2－AQ2)＝2eq \r(6)，
∵OQ＝eq \f(1,2)AC＝2eq \r(2)，
∴OE＝2eq \r(6)－2eq \r(2)，
∴EF＝PE＝eq \f(\r(2)OE,2)＝2eq \r(3)－2，
∴点E的坐标为(2eq \r(3)－2，2－2eq \r(3))；
第8题解图①
(Ⅱ)如解图②，连接OD，交AC于点Q，
∵点E的运动轨迹是以O为圆心，eq \r(2)OP为半径的圆，
∴当点E在线段OQ上时，△ACE的面积最小，
∵S△ACE＝eq \f(1,2)AC·QE，OE＝eq \r(2)OP＝eq \r(2)，QE＝OQ－OE＝eq \r(2)，
∴S△ACE＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \r(2)＝4，
∴△ACE面积的最小值为4.
第8题解图②