还剩9页未读，
继续阅读
2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)
展开
这是一份2024成都中考数学二轮微专题 利用隐形圆解决最值问题专项训练 (含答案)，共12页。试卷主要包含了 如图，已知线段AB， 如图，已知四边形ABCD等内容，欢迎下载使用。
模型一 定点定长作圆
模型分析
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．
推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型应用
1. 如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)
第2题图
模型二 直角对直径
模型分析
(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．
模型应用
3. 如图，已知线段AB.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.
第3题图
4. 如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
第4题图
模型三 定弦对定角(非90°)
模型分析
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．
(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的eq \(ACB,\s\up8(︵))上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°，则点C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动)
模型应用
5. 如图，已知线段AB.
(1)请在图①画出线段AB上方使∠APB＝60°的所有点P；
(2)请在图②中画出线段AB上方使∠APB＝45°的所有点P.
第5题图
6. 如图，已知四边形ABCD.
(1)如图①，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；
(2)如图②，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；
(3)如图③，在正方形ABCD中，请在正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P；
(4)如图④，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P.
第6题图
模型四 四点共圆
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．
1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．
模型应用
7. 在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误的是( )
A. CD＝2ME B. ME∥AB
C. BD＝CD D. ME＝MD
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．
第8题图
模型五 点圆最值
模型分析
已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：
模型应用
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．
第9题图
10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．
第10题图
模型六 线圆最值
模型分析
1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．
(1)如图①，点C在优弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；
(2)如图②，点C在劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．
2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．
模型应用
11. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值．
第11题图
12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．
第12题图
参考答案
1. 解：如解图所示：
第1题解图
2. 解：如解图所示：
第2题解图
3. 解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．
第3题解图
4. 解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第4题解图
5. 解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；
(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．
第5题解图
6. 解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；
(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；
(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；
(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．
图①
图②
图③
图④
第6题解图
7. A 【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．
第7题解图
8. 解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，
∴A、P、B、C四点共圆，
∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，
∴点P在⊙O上运动，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠A＝∠CPB，
∴△ABC∽△PQC，
∴eq \f(QC,PC)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，
∴CQ＝eq \f(3,4)PC，
要使得CQ最大，只需PC最大，
当PC为⊙O的直径时，PC取得最大值，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴PC的最大值为5，
∴CQ的最大值为eq \f(15,4).
第8题解图
【模型分析】
d＋r，2r，d＋r，r－d，0，d－r
9. 6 【解析】如解图，在⊙O上任取一点E，连接OE、CE，则CE≤CO＋OE，当C、O、E三点共线时，CE取得最大值，即要求CE的最大值，则求CO的最大值．连接AC，∵CO≤AC，∴当点O与点C重合时，CO取得最大值时．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴点C到⊙O上的点的距离的最大值为6.
第9题解图
10. 13 【解析】如解图，连接OC，OM，∵∠AOB＝90°，AB＝10是定值，M是AB的中点，∴A、O、B三点一直在以点M为圆心，AB长为直径的圆上，∵在△OMC中，OM＋CM≥OC，∴当O、M、C三点共线时，即OC过圆心M时，OC的长度最大．∵AB＝10，∴OM＝eq \f(1,2)AB＝5，又∵CM＝8，∴当OC＝CM＋OM＝8＋5＝13时，OC取得最大值，即点C到点O的最大距离为13.
第10题解图
11. 解：如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交⊙O于点E，连接AE、BE，
则AE＝BE，设点C到边AB的距离为h，
则S△ABC＝eq \f(1,2)AB·h，
易得当C与E重合时，h取得最大值，即DE的长，
此时△ABC的面积也取得最大值，
即△ABE的面积．
∵∠AEB＝∠ACB＝60°，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠EAB＝∠AEB＝60°.
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝eq \f(1,2)OA＝2，AD＝2eq \r(3)，
∴AB＝2AD＝4eq \r(3)，
∴DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.
此时S△ABE＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×6＝12eq \r(3).
第11题解图
12. 解：由折叠的性质可知，MF＝BM，
∵点M是AB的中点，AB＝10，
∴BM＝5，
∴点F在以点M为圆心，5为半径的eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，
如解图，过点F作FG⊥CD于点G，过点M作MH⊥CD于点H，
则MH≤MF＋FG，
∴当点M、F、G三点共线，即点G与点H重合时，FG取得最小值，最小值即为MH－MF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MH＝AD＝12，
∴FG最小＝MH－MF＝7，
∴S△CDF最小＝eq \f(1,2)CD·FG最小＝eq \f(1,2)×10×7＝35.
第12题解图
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
图示
DE的最大值
________
________
________
此时点E的位置
连接DO并延长交⊙O于点E
DE的最小值
________
________
________
此时点E的位置
连接OD并延长交⊙O于点E
点E与点D重合
连接OD交⊙O于点E
模型一 定点定长作圆
模型分析
如图，在平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则动点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆或圆弧的一部分．
推广：在折叠或旋转问题中，有时会利用“定点定长作圆”模型确定动点的运动轨迹．
模型应用
1. 如图，已知△ABC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△A′B′C，请你在图中画出点B′的运动轨迹．
第1题图
2. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点F是边AD上一动点，将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF，请你在图中画出点A′的运动轨迹．(保留作图痕迹不写作法)
第2题图
模型二 直角对直径
模型分析
(1)半圆(直径)所对的圆周角是90°.如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AB为⊙O的直径；
(2)90°的圆周角所对的弦是直径(定弦对定角的特殊形式)．如图②，在△ABC中，∠C＝90°，C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A、B两点)．
模型应用
3. 如图，已知线段AB.请在图中画出使∠APB＝90°的所有点P.
第3题图
4. 如图，已知矩形ABCD，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的所有点P.
第4题图
模型三 定弦对定角(非90°)
模型分析
固定的线段只要对应固定的角度(可以不是90°)也叫定弦对定角，且这个角的顶点轨迹为圆上的一段弧．
(1)如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)；
(2)如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知，点C在⊙O的eq \(ACB,\s\up8(︵))上均可(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；等于90°，则点C在半圆上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动)
模型应用
5. 如图，已知线段AB.
(1)请在图①画出线段AB上方使∠APB＝60°的所有点P；
(2)请在图②中画出线段AB上方使∠APB＝45°的所有点P.
第5题图
6. 如图，已知四边形ABCD.
(1)如图①，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠APB＝30°的所有点P；
(2)如图②，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的所有点P；
(3)如图③，在正方形ABCD中，请在正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P；
(4)如图④，在矩形ABCD中，请在矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的所有点P.
第6题图
模型四 四点共圆
模型分析
如图①、②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB中点O，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得OC＝OD＝OA＝OB，∴A、B、C、D四点共圆．
1．共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
2．四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一．
模型应用
7. 在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，BC的中点是M，连接CD，MD，ME，则下列结论错误的是( )
A. CD＝2ME B. ME∥AB
C. BD＝CD D. ME＝MD
8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∠P＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，求CQ的最大值．
第8题图
模型五 点圆最值
模型分析
已知，在平面内一定点D和⊙O上动点E的所有连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大(小)值，具体分以下三种情况讨论(设点O与点D之间的距离为d，⊙O的半径为r)：
模型应用
9.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，若圆心O在矩形ABCD的边上运动，则点C到⊙O上的点的距离的最大值为________．
第9题图
10.如图，在墙角放置一个“T”型钢尺，已知钢尺的一边AB＝10，M是AB的中点，CM＝8，AB沿墙壁边向下滑动，在运动过程中，点C到点O的最大距离为________．
第10题图
模型六 线圆最值
模型分析
1．如图，AB为⊙O的一条定弦，点C为AB一侧弧上一动点．
(1)如图①，点C在优弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且CH过圆心O时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大；
(2)如图②，点C在劣弧eq \(AB,\s\up8(︵))上，当CH⊥AB且圆心O在CH的延长线上时，线段CH即为点C到弦AB的最大距离，此时S△ABC最大．
2．如图，⊙O与直线l相离，点P是⊙O上的一个动点，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，则点P到直线l的最小距离是d－r(如图③)，点P到直线l的最大距离是d＋r(如图④)．
推广：在解决某些面积最值问题时，常利用此模型，将问题转化为求动点到定边的最大(小)距离，从而利用面积公式求解．
模型应用
11. 如图，AB是⊙O的弦，C是优弧eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，连接AC、BC，若⊙O的半径为4，∠ACB＝60°，求△ABC面积的最大值．
第11题图
12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，M为AB的中点，E为BC上的动点，将△MBE沿ME折叠，点B的对应点为F，求△CDF面积的最小值．
第12题图
参考答案
1. 解：如解图所示：
第1题解图
2. 解：如解图所示：
第2题解图
3. 解：如解图，⊙O即为所求P点的轨迹，不含A、B两点．
第3题解图
4. 解：如解图，点P1、P2即为所求点．
第4题解图
5. 解：(1)如解图①，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)；
(2)如解图②，点P在所作圆弧上(A、B两点除外)．
第5题解图
6. 解：(1)如解图①所示，点P1、P2即为所求；
(2)如解图②所示，点P1、P2、P3、P4即为所求；
(3)如解图③所示，点P1、P2即为所求；
(4)如解图④所示，点P1、P2即为所求．
图①
图②
图③
图④
第6题解图
7. A 【解析】如解图，延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，由此可得点A、C、D、B四点共圆，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠DCB＝∠DBC，∴CD＝DB(选项C正确)，∵点M是BC的中点，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴点N是线段AB的中点，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵点M是BC的中点，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM(AAS)，∴EM＝FM，∴EM＝FM＝DM(选项D正确)，∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB(选项B正确)．假设CD＝2ME，∴CD＝2MD，∴在Rt△CDM中，∠DCM＝30°，∵无法确定∠DCM的大小，故选项A错误．
第7题解图
8. 解：如解图，∵∠P＝∠A，∠ACB＝90°，
∴A、P、B、C四点共圆，
∵AB为⊙O直径，圆心为AB的中点O，
∴点P在⊙O上运动，
∵∠ACB＝∠PCQ＝90°，∠A＝∠CPB，
∴△ABC∽△PQC，
∴eq \f(QC,PC)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(3,4)，
∴CQ＝eq \f(3,4)PC，
要使得CQ最大，只需PC最大，
当PC为⊙O的直径时，PC取得最大值，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴PC的最大值为5，
∴CQ的最大值为eq \f(15,4).
第8题解图
【模型分析】
d＋r，2r，d＋r，r－d，0，d－r
9. 6 【解析】如解图，在⊙O上任取一点E，连接OE、CE，则CE≤CO＋OE，当C、O、E三点共线时，CE取得最大值，即要求CE的最大值，则求CO的最大值．连接AC，∵CO≤AC，∴当点O与点C重合时，CO取得最大值时．在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，∴OC最大＝5，∴CE最大＝OC最大＋OE＝6.∴点C到⊙O上的点的距离的最大值为6.
第9题解图
10. 13 【解析】如解图，连接OC，OM，∵∠AOB＝90°，AB＝10是定值，M是AB的中点，∴A、O、B三点一直在以点M为圆心，AB长为直径的圆上，∵在△OMC中，OM＋CM≥OC，∴当O、M、C三点共线时，即OC过圆心M时，OC的长度最大．∵AB＝10，∴OM＝eq \f(1,2)AB＝5，又∵CM＝8，∴当OC＝CM＋OM＝8＋5＝13时，OC取得最大值，即点C到点O的最大距离为13.
第10题解图
11. 解：如解图，连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为D，延长DO交⊙O于点E，连接AE、BE，
则AE＝BE，设点C到边AB的距离为h，
则S△ABC＝eq \f(1,2)AB·h，
易得当C与E重合时，h取得最大值，即DE的长，
此时△ABC的面积也取得最大值，
即△ABE的面积．
∵∠AEB＝∠ACB＝60°，
∴△ABE为等边三角形．
∴∠EAB＝∠AEB＝60°.
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝eq \f(1,2)OA＝2，AD＝2eq \r(3)，
∴AB＝2AD＝4eq \r(3)，
∴DE＝OE＋OD＝4＋2＝6.
此时S△ABE＝eq \f(1,2)AB·DE＝eq \f(1,2)×4eq \r(3)×6＝12eq \r(3).
第11题解图
12. 解：由折叠的性质可知，MF＝BM，
∵点M是AB的中点，AB＝10，
∴BM＝5，
∴点F在以点M为圆心，5为半径的eq \(AB,\s\up8(︵))上运动，
如解图，过点F作FG⊥CD于点G，过点M作MH⊥CD于点H，
则MH≤MF＋FG，
∴当点M、F、G三点共线，即点G与点H重合时，FG取得最小值，最小值即为MH－MF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴MH＝AD＝12，
∴FG最小＝MH－MF＝7，
∴S△CDF最小＝eq \f(1,2)CD·FG最小＝eq \f(1,2)×10×7＝35.
第12题解图
位置关系
点D在⊙O内
点D在⊙O上
点D在⊙O外
图示
DE的最大值
________
________
________
此时点E的位置
连接DO并延长交⊙O于点E
DE的最小值
________
________
________
此时点E的位置
连接OD并延长交⊙O于点E
点E与点D重合
连接OD交⊙O于点E
相关试卷
2024年中考数学二轮培优专题 隐形圆及最值问题（2份打包，原卷版+解析版）： 这是一份2024年中考数学二轮培优专题 隐形圆及最值问题（2份打包，原卷版+解析版），共63页。
隐形圆及最值问题学案--2024年中考数学几何模型： 这是一份隐形圆及最值问题学案--2024年中考数学几何模型，文件包含隐形圆及最值问题解析版-2024年中考数学几何模型必考点pdf、隐形圆及最值问题学生版-2024年中考数学几何模型必考点pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 （全国通用）： 这是一份最新中考数学难点突破与经典模型精讲练 专题20 最值问题中的构造圆与隐形圆模型 （全国通用），文件包含专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型原卷版docx、专题20最值问题中的构造圆与隐形圆模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
