2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市霍山中学高一（下）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若复数z在复平面内对应的点是(1,−1)，则1z−1=( )
A. iB. −iC. 1D. −1
2.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形O′A′B′C′，则原平面图形的周长为( )
A. 4a B. 8a
C. 6a D. 8 2a
3.已知非零向量a与b同向，则a−b( )
A. 必定与a同向B. 必定与b同向
C. 必定与a是平行向量D. 与b不可能是平行向量
4.已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β=m.下列四个命题：
①若m//n，则n//α或n//β ②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n//α，且n//β，则m//n ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是( )
A. ①③B. ②③C. ①②③D. ①③④
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是( )
A. A与B互为对立事件 B. P(A)=P(B) C. A与B相等 D. A与B互斥
6.一个圆台的上、下底面的半径分别为1和4，体积为28π，则它的表面积为( )
A. 41πB. 42πC. 29 33πD. (18+7 3)π
7.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C、D两观测点，且在C、D两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得∠BCD=120°，C、D两地相距500m，则电视塔AB的高度是( )
A. 100 2m
B. 400m
C. 200 3m
D. 500m
8.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E,F分别是棱B1B,B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面的面积为( )
A. 1B. 98C. 89D. 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则( )
A. 这组数据的众数为4B. 这组数据的极差为3
C. 这组数据的平均数为2D. 这组数据的50%分位数为1
10.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A>B，则csA>csB
C. 若a2+b2D. 若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形或者直角三角形
11.已知梯形ABCD，AB=AD=1，BC=2，AD//BC，AD⊥AB，P是线段BC的中点.将△ABD沿着BD所在的直线翻折成四面体ABCD，翻折的过程中下列选项正确的是( )
A. BD与AP始终垂直
B. 当直线AP与平面BCD所成角为π6时，AP= 62
C. 四面体A−BCD体积的最大值为 22
D. 四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设e1,e2是不共线的两个向量，AB=e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1−e2.若A，B，D三点共线，则k的值为______．
13.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1，棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E−DB−C的正弦值为______．
14.粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z=(m2−3m−4)+(m2−5m−6)i，m∈R．
(1)若z是虚数，求实数m的取值范围；
(2)若z所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c2+b2−a2= 2bc．
(1)求A；
(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．
17.(本小题15分)
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为12和23，求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)恰有1个人译出密码的概率．
18.(本小题17分)
如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
19.(本小题17分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是57，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为69，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
答案解析
1..A
【解析】解：复数z在复平面内对应的点是(1,−1)，
∴z=1−i，
则1z−1=1−i=i−i⋅i=i，
故选：A．
2..B
【解析】解：根据题意，由直观图可得原图形，
所以OA=BC=a，OB=2 2a，∠BOA=90°，
所以AB=OC= OA2+OB2=3a，原图形的周长为2×(a+3a)=8a．
故选：B．
3..C
【解析】解：非零向量a与b同向，
则a−b可能与a同向，也可能与b同向，故ABD错误，
则a−b必定与a是平行向量，故C正确．
故选：C．
4..A
【解析】解：①若n⊂α，因为m//n，m⊂β，则n//β，
若n⊂β，因为m//n，m⊂α，则n//α，
若n不在α也不在β内，因为m//n，m⊂α，m⊂β，
所以n//α且n//β，故①正确；
②若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，也有可能相交，故②错误；
③过直线n分别作平面，与α，β分别相交于直线a，直线b，
因为n//α，过直线n的平面与平面α相交于直线a，所以n//a，
同理可得n//b，所以a//b，
因为a⊂α，b⊂β，则a//β，因为a⊂α，α∩β=m，则a//m，
又因为n//a，则m//n，故③正确；
④n与α和β所成的角相等，则m和n不一定垂直，故④错误；
综上只有①③正确．
故选：A．
5..B
【解析】解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，
事件A与B能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD均错误；
P(A)=P(B)=12，故B正确；
事件A与事件B不是同一个事件，故C错误．
故选：B．
6..B
【解析】解：设圆台的高为ℎ，则圆台的体积为13πℎ(12+42+1×4)=28π，
解得ℎ=4，所以圆台的母线长为 (4−1)2+42=5，
所以圆台的表面积为π(12+42+1×5+4×5)=42π．
故选：B．
7..D
【解析】解：设塔高AB=ℎm，
在Rt△ABC中，由已知可得BC=ℎ m，
在Rt△ABD中，由已知可得BD= 3ℎ m，
在△BCD中，由余弦定理可得3ℎ2=ℎ2+5002−2ℎ×500×cs120°，
即ℎ2−250ℎ−125000=0，
解得ℎ=500(m)(负值舍去)．
故选D．
8..B
【解析】解：取BC的中点H，作如图连接，
易证平面AHGD1//平面A1EF，
等腰梯形AHGD1的上下底分别为 22， 2，
腰长为 52，
求得梯形的高为3 24，
进而求得梯形面积为98，
故选：B．

【解析】解：对A，该组数据众数为1，故A错误；
对B，极差为4−1=3，故B正确；
对C，平均数为1+1+2+4+1+4+1+28=2，故C正确；
对D，数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4，因为8×50%=4，所以这组数据的50%分位数为1+22=1.5，故D错误．
故选：BC．

【解析】解：对于A，若A>B，则a>b，所以sinA>sinB，所以A正确；
对于B，由A>B且A，B∈(0,π)，
根据函数y=csx在(0,π)上单调递减，可得csA对于C，由余弦定理csC=a2+b2−c22ab<0，可知C为钝角，即△ABC为钝角三角形，所以C正确；
对于D，因为acsA=bcsB，所以sinAcsA=sinBcsB，即sin2A=sin2B，
又A，B∈(0,π)，所以2A，2B∈(0,2π)，所以2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=π2，即△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D正确．
故选：ACD．

【解析】解：对于A：连接DP，AP，DP∩AP=O，如图所示：

易知四边形ABPD是正方形，所以BD⊥AP，
于是在四面体ABCD中，BD⊥OA，BD⊥OP，
又OA∩OP=O且OA，OP⊂平面OAP，
BD⊥平面OAP，又AP⊂平面OAP，
所以BD⊥AP，故A正确；
对于B：取AP的中点E，连接OE，
因为OA=OP= 22，所以OE⊥AP．
当直线AP与平面BCD所成角为π6时，∠APO=π6，
所以AP=2PE=2POcs∠APO= 2× 32= 62，故B正确；
对于C：由题意可知，当OA⊥平面BCD时四面体A−BCD体积的最大值，
于是VA−BCD=13SBCD⋅OA=13×12BC⋅DP⋅ 22= 26，故C错误；
对于D：因为AB⊥AD，所以△ABD外接圆的圆心为O，
又因为BD⊥CD，所以△BDC外接圆的圆心为P．
分别过点O，P作平面ABD和BDC的垂线，交于点O1，
则O1是四面体ABCD的外接球的球心．
R=O1B= BP2+O1P2≥BP=1，当O1与P重合时取等号，
所以四面体ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2=4π，故D正确．
故选：ABD．
12..−4
【解析】解：BD=CD−CB=e1−4e2，∵e1,e2不共线，∴BD≠0，
∵A，B，D三点共线，∴AB与BD共线，
∴存在实数λ，使AB=λBD，
∴e1+ke2=λe1−4λe2，
∴λ=1k=−4λ，解得k=−4．
故答案为：−4．
13.. 33
【解析】解：如图，取BD中点O，连接OE，OC，
因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以CD=CB，ED=EB，
因为O为BD中点，所以OE⊥BD，OC⊥BD，
因为平面BDE∩平面BDC=BD，OE⊂平面BDE，OC⊂平面BDC，
所以∠EOC是二面角E−DB−C的平面角，
又CE=1，OC= 2，OE= 2+1= 3，
所以sin∠BOC=CEOE=1 3= 33，
所以二面角E−DB−C的正弦值为 33．
故答案为： 33．
14.. 6π
【解析】解：由题意，当蛋黄近似的球体与正四面体内切时，蛋黄的体积最大，
如图，设正四面体为A−BCD，H为正三角形BCD的中心，
则AH为三棱锥A−BCD的高，且H在△BCD的CD边的中线BE上，
由重心性质，可知BH=23BE，
设点O为内切球的球心，内切球的半径为r，
则S△BCD=S△ABC=S△ACD=S△ABD=12×6×6× 32=9 3，
BH=23BE=2 3，则AH= 62−(2 3)2=2 6，
由VA−BCD=VO−BCD+VO−ACD+VO−ABC+VO−ABD，
得13×9 3×2 6=13×9 3r+13×9 3r+13×9 3r+13×9 3r，
解得r= 62，所以V球=43πr3=4π3×6 68= 6π．
故答案为： 6π．
15..解：(1)由题意可知：z是虚数，则m2−5m−6≠0，解得：m≠−1且m≠6，
∴实数m的取值范围m≠−1且m≠6；
(2)∵z所对应的点在第四象限，则m2−3m−4>0m2−5m−6<0，解得：4∴实数m的取值范围是(4,6)．
【解析】(1)根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解；
(2)根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数m的取值范围．
16..解：(1)根据c2+b2−a2= 2bc，可得csA=b2+c2−a22bc= 22，
因为△ABC中，角A∈(0,π)，所以A=π4；
(2)当a=2时，由余弦定理a2=b2+c2− 2bc，
可得b2+c2− 2bc=4，即b2+c2= 2bc+4，
因为b2+c2≥2bc，即 2bc+4≥2bc，解得bc≤42− 2=4+2 2，当且仅当b=c时，等号成立，
因此，△ABC的面积S=12bcsinA≤ 2+1，当b=c时，△ABC面积的最大值 2+1．
【解析】(1)根据已知等式，利用余弦定理算出csA的值，进而可得角A的大小；
(2)利用余弦定理与基本不等式，推导出bc≤4+2 2，结合三角形的面积公式求得△ABC面积的最大值．
17..解：(1)记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，
可得事件A，B为相互独立事件，且P(A)=12，P(B)=23，
两个人都译出密码的概率为P(A∩B)=P(A)×P(B)=12×23=13．
(2)恰有1个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，
且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P[(A∩B−)∪(A−∩B)]=P(A∩B−)+P(A−∩B)=P(A)P(B−)+P(A−)P(B)=12×(1−23)+(1−12)×23=12．
【解析】(1)根题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
(2)由题意，甲译出乙未译出或甲未译出乙译出，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．
18..证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以∠BCA=90°，即BC⊥AC
又因为PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC
又因为BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
【解析】要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可．
19..解：(1)因为每组小矩形的面积之和为1，
所以(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，则a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84．
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故这两组成绩的总平均数为10×57+69×2010+20=65，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
s2=1030×[7+(57−65)2]+2030×[4+(69−65)2]=37．
【解析】(1)根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；
(2)由频率分布直方图求第75百分位数的计算公式即可求解；
(3)利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解．