专题12 三个二次之间的关系（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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“三个二次”指一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和广泛的应用，在研究有关于二次曲线的问题时，常常转化成二次方程、二次函数、二次不等式的问题解决。
”三个二次”将等与不等、数与形紧密的结合在一起，对数形结合思想、函数方程思想、等价转化思想有较高的要求。因而在高考试题函数问题中，非常多的试题与“三个二次”问题有关。
初中阶段对函数、方程、不等式的学习都是彼此独立的，但对于“三个二次”的横向联系缺乏认识。升入高中才真正揭开三者的内在联系，逐步形成用函数、方程、不等式“三位一体”的思考方式审视问题、解决问题。
1、二次函数
①二次函数的三种形式
在“三个二次”中一元二次函数是重点，它的一般形式：
它的配方形式：
配方形式中充分反映了函数值y随自变量x的变化而变化的规律，可以容易的观察出何时取最值，也能考查出自变量x取关于对称值时函数值的取值特点。
从而它的对称轴：
它的顶点坐标：
它的因式分解形式：，其中是一元二次方程的两根.
从二次函数的因式分解形式，运用实数运算的符号法则，很容易看出函数y值何时等于0、y何时大于0、y何时小于0等特点。总之一元二次函数反映y与x对应关系的全貌：既包括了方程的根、又包括了不等式等式的解。
②二次函数的最值
设，则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：
对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：
（1）若，
则，
（2）若，则，
另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开轴越远，则对应的函数值越小。
二次方程与不等式
2、一元二次方程根分布问题（数形结合法）
说明：找一个一元二次方程根的分布注意三个条件：①判别式②对称轴位置③端点函数值的符号．
3、一元二次不等式的解集
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c>0与ax2＋bx＋c<0的解集的关系，可归纳为：
若a<0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．
通过以上论述，可对“三个二次”的关系有一个较为全面的了解，在解题中，我们要不失时机的渗透“三个二次”三位一体的思维意识，实现“三个二次”之间的相互转换，能自然规范的运用函数方程思想、数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想，提高数学解题思维水平。
【考向精析】
考向一：由一元二次不等式来确定参数的范围
1．若不等式的解集为，则（ ）
A．B．C．D．
2．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10B．-14C．10D．14
考向二：一元二次不等式全集恒成立问题
3．不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知不等式对于一切实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
考向三： 一元二次不等式在某区间恒成立问题
6．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考向四： 一元二次不等式在某区间有解立问题
8．若关于x的不等式在上有实数解，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．若不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固检测】
1. 设一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是{x|－1A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1\f(1,2)))))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)1))))
3．使得不等式对恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4. 若命题“关于x的不等式对一切实数x恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是____________．
5. 已知二次函数满足，，且的最大值是8.
（1）试确定该二次函数的解析式；
（2）在区间上恒成立，试求的取值范围.
6. 若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7. 当时，不等式恒成立，求的取值范围．
8. 若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9. 若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____．
10. 设，则“”是“不等式在R上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件即
图象
最大、最小值
根的情况
a>0时图
a<0时图
充要条件
两个根均小于m
两个根都大于n
一个大于m，另一个小于m的根
(x1-m)(x2-m)<0af(m)<0
在区间(m，n)内有且仅有一个根
f(m)f(n)<0
在区间(m，n)之外有两个根
在区间(m，n)内有两个实根
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