专题03 一元二次不等式、绝对值不等式及含参不等式的解法（原卷版+解析版）-【初升高衔接】2023年新高一数学暑假衔接讲义（通用版）

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现实生活中充满着不相等的数量关系，可以用不等式来处理，在初中学习不等式的基础上，对不等式要有进一步的理解，特别是理解不等式知识的体系,知道在实数范围研究不等式、不等式的基础公理,在公理基础上研究不等式的基本性质，从而利用它们解不等式和证明不等式，解不等式的过程就是不等式不断等价转化的过程。
在探索各种不等式的解法的过程中，体会不等式、方程和函数之间的内在联系，在证明不等式的基本性质和简单不等式的过程中，学习和掌握不等式证明的基本思想方法。有了对不等式的深刻理解,为进一步学习雨数和其他数学知识提供必要的基础，也可以应用它们解决些简单的实际问题，从而也理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值。
不等式的基础是在实数范围内a>ba-b>0，a=b，a-b=0,a解不等式的过程就是利用不等式的有关性质进行不断等价转化和化简，最终得到所含未知数的范围，这也是今后解各种不等式的基本思想和方法。
【知识回顾与衔接】
一、解一元二次不等式
1、定义：一个整式不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是或，其中
2、解法：数形结合法解一元二次不等式步骤：
①把二次项的系数变成正的（为了方便）
②解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，如果不能，再看，然后求根）
③画图求解一元二次不等式
3、三个二次之间的关系
二、绝对值不等式的解法
我们知道, 它表示实数在数轴上所对应的点到原点的距离.因此求不等式)的解集就是求数轴上到原点的距离小于的点所对应的实数的集合。
1.最简单的含有绝对值的不等式的解法
的解为.
无解.
无解.
的解为.
的解为的一切实数.
的解为一切实数.
2.较简单的含绝对值的不等式的解法
（1）
（2）
（3）的解法：零点分段法
先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于零的未知数的值(称为零点)，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解.这种方法我们称为零点分段法
三、解含参的一元二次不等式
对于含有参数的一元二次不等式，解法步骤总结如下：
①首先应判定二次项系数是否为零，分别加以讨论；
②在二次项系数不为零的条件下，讨论对应的二次方程是否有根，即讨论判别式的正负；
③在有根的情况下进行因式分解或利用求根公式求出二次方程对应的根；
④比较两根的大小，分别得到参数的范围，写出解集．
⑤最后将可以合并的合并，并按参数的范围分别写出解集．
【例题精讲】
1、解一元二次不等式
【解析】解，得两根分别为，
画图得答案分别为或
或

2、（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】AD
【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案.
【详解】关于的不等式解集为或,
结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系，
可得，且是的两根，A正确；
则，故，
所以即，即的解集为，B错误；
由于的不等式解集为或,
故时，，即，C错误；
由以上分析可知不等式即，
因为，故或，
故不等式的解集为或，D正确，
故选：AD
3、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过的最大整数，如，，，则关于的不等式的解集为 ．
【解析】
不等式可化为，
解得，即，
所以不等式的解集为，．
故答案为：，．
4、解绝对值不等式① ② ③
【解析】
②或，解得或.
5、解绝对值不等式
【解析】零点分段法，分段讨论
解： ①当时，，，得，
②时，，不成立，x无解
③当时，，得
综上，或
6、若关于x的不等式有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【解析】
由有解，得值，由绝对值的几何意义得x到-1和2的距离之和最小值为3，所以a>3，选B
7、关于的不等式的解集为
A．B．C．或D．
【解析】
解：，
，
所以不等式的解为：或，
故不等式的解集为：或，
故选：．
8、已知关于的一元二次不等式，其中.
①若不等式的解集为，求实数的值；
②解上述含参一元二次不等式.
【答案】①；
②时，解集为；时，解集为；时，解集为.
【分析】①根据不等式的解集确定不等式所对应的方程的根为1和2，即得参数；
②先确定不等式所对应的方程的根为1和a，再讨论两根的大小关系确定不等式的解集即可.
【详解】解：①不等式即，解集为，
故方程的两根为1和2，故；
②不等式对应的方程的两根为1和a，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式即，解集为；
当时，不等式的解集为.
9、已知关于的一元二次不等式的解集为.
(1)求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到，解得答案.
（2）变换得到，，得到不等式的解.
(1)一元二次不等式的解集为，则，
解得.
(2)，，
故解集为
10、不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】用分类讨论法，求解不等式即可．
【详解】由不等式可得：
①，无解；
②，解得，
③，解得，
综上所述，，
故答案为：．
11、解不等式．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)不等式的解集为；
(2)见解析
(3)不等式的解集为.
【分析】（1）证明，去分母化简可得，化简求其解集；
（2）讨论，求其解集；
（3）通过去括号，移项，合并化简可得其解集.
【详解】（1）因为，
所以可化为，
解得，
所以不等式的解集为；
（2）不等式可化为，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（3）不等式可化为
，
所以，
所以不等式的解集为.
12、（1）求不等式的解集；
（2）求函数的定义域.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）不等式化简为一元一次不等式，直接求解；
（2）由函数有意义，求自变量x的取值范围.
【详解】（1）由得：
即，即不等式的解集为
（2）要使函数有意义，可得：，
解得：且，
∴函数的定义域为：.
13、已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】.
【分析】由二次函数性质求得在时范围，从而得出的最大值，得参数范围．
【详解】设，
易得在上取到最小值，
所以，所以，即的最大值是，
所以.
【巩固练习】
1、二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为_______________.
【解析】设二次函数，
因为二次函数对应的方程的两根为2，，
所以二次函数图象开口向上，且与轴交点坐标为和，
所以关于的不等式的解集为或．
2、（多选）已知关于的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．不等式的解集是
D．
【答案】ACD
【分析】由一元二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；利用二次不等式的解法可判断C选项；计算可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集是或，则，A对；
对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为，，
由韦达定理可得，可得，，则，
由可得，解得，B错；
对于C选项，由可得，即，解得，
因此，不等式的解集是，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
3、不等式的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化去绝对值，移项合并即可
【详解】解：因为，所以，解得，
故选：C
4、不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题只需将原不等式进行因式分解即可得出答案.
【详解】，
，所以原式大于0，只需，.
故选：A.
5、不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求得不等式的解，即可判断出答案.
【详解】不等式的解为 ，
故选：B
6、若关于x的不等式有实数解，则实数m的取值范围为 ．
【解析】由有实数解，画图，距-1距离为3的值为-4和2，则m只有在-4和2之间时原不等式有解，所以-47、设实数，关于的一元二次不等式的解为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：
，故选B.
考点：一元二次不等式的解法.
8、解下列含参数的不等式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】利用一元二次函数、方程、不等式的关系，进行分类讨论.
【详解】（1）原不等式等价于，
对应方程两根为，
比较两根的大小情况，可得
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（2）当时，不等式化为．解得．
当时，方程的两根为，．
①时，分情况讨论：
时，；
时，；
时，．
②时，．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
（3）．
①，即或时，
不等式的解集为；
②，即或时，
不等式的解集为；
③，即时，不等式的解集为.
【点睛】本题考查含有参数的一元二次不等式解法，对于含参数的一元二次不等式解的讨论，主要从三个层次进行讨论：①讨论二次项系数的符号；②讨论方程符号（有的方程可直接因式分解，故）；③讨论两根的大小，属于中档题.
9、若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意，根据二次方程无解情况，单独考虑参数等于零时，可得答案.
【详解】由题意，等价于方程无实数解，则
当时，方程为，无解；
当时，方程无实数解，即，，解得.
综上所述，.
故选：A.
10、已知函数.解不等式；
【答案】
【分析】范围根据x的取值展开，解出不等式即可；
【详解】由题知，原不等式等价于
或或，
解得不等式的解集为知识点
初中
高中
不等式概念
给出不等式概念
沿用初中不等式概念
不等式的基本性质
三个基本性质
在初中三个基本性质上扩充为八个基本性质
解不等式
一元一次不等式(组)；简单的绝对值不等式
一元二次不等式(组方；绝对值不等式；分式不等式等