高一数学必考点分类集训(人教A版必修第一册)专题3.6函数的概念与性质(能力提升卷)(原卷版+解析)

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专题3.6 函数的概念与性质（能力提升卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·福建·上杭一中高一阶段练习）已知函数fx+2的定义域为−3,4，则函数gx=fx3x−1的定义域为（    ）A．13,4 B．13,2 C．13,6 D．13,12．（2022·全国·高一单元测试）已知f2x−1=4x2+3，则fx=（    ）．A．x2−2x+4 B．x2+2x C．x2−2x−1 D．x2+2x+43．（2022·河南·沈丘县长安高级中学高三阶段练习（理））若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（    ）A．6 B．6或−6 C．−6 D．34．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（    ）A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．4,+∞5．（2021·全国·高考真题（文））设fx是定义域为R的奇函数，且f1+x=f−x.若f−13=13，则f53=（    ）A．−53 B．−13 C．13 D．536．（2022·安徽·定远县育才学校高一阶段练习）已知函数f(x)=ax−1x−a在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（    ）A．(−∞，−1)∪(1，+∞) B．(−1,1)C．(−∞，−1)∪(1，2] D．(−∞，−1)∪(1，2)7．（2020·海南·高考真题）若定义在R的奇函数f(x)在(−∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是（    ）A．[−1,1]∪[3,+∞) B．[−3,−1]∪[0,1]C．[−1,0]∪[1,+∞) D．[−1,0]∪[1,3]8．（2021·江苏·高一单元测试）已知实数a，b，c，d满足a>b>c，且a+b+c=0，ad2+2bd−b=0，则d的取值范围是（    ）A．−∞,−1∪0,+∞ B．−1,1C．−2,2 D．−1−2,−1+2多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高一阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（    ）A．y=|x|x与y=1 B．y=(x−1)2与y=x−1C．y=(x)2x与y=x(x)2 D．y=x3+xx2+1与y=x10．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）关于函数fx=x2−x4x−1−1的性质描述，正确的是（    ）A．fx的定义域为−1,0∪0,1 B．fx的值域为−1,1C．fx在定义域上是增函数 D．fx的图象关于原点对称11．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）定义在R上的函数fx满足fx+y=fx+fy，当x<0时，fx>0，则下列说法正确的是（    ）A．f0=0B．fx为奇函数C．fx在区间m,n上有最大值fn D．fx−1+fx2−1>0的解集为x−22x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a=___________. 14．（2018·上海市延安中学高一期中）已知函数fx是偶函数，且当x>0时，fx=x1−x，则当x<0时，该函数的解析式为fx=__________ 15．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知fx=(3a−1)x+4a,x<1−x+1,x⩾1是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___. 16．（2021·江苏·高一专题练习）设函数fx=x,x≤1,x−12+1,x>1,则不等式f1−x+f2>0的解集为________． 解答题（共6小题，满分70分） 17．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性． (1)fx=x3−1x； (2)fx=x−11+x1−x； (3)fx=3−x2+x2−3； (4)fx=−2x,x<−12,−1≤x≤12x,x>1． 18．（2022·全国·高一单元测试）函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x． （1）求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式； （2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值． 19．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=x+4x. (1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2,+∞)上为增函数; (2)解不等式fx2−2x+4≤f(7). 20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx为R上的偶函数，当x⩾0时，fx=x2+2x−3. (1)求fx的解析式； (2)求fx在t,t+2t∈R的最大值Mt. 21．（2022·全国·高一课时练习）定义域为R的函数fx满足：对任意实数x，y，均有fx+y=fx+fy+2，且f2=2，当x>1时，fx>0. (1)求f0，f−1的值； (2)证明：当x<1时，fx<0. 22．（2021·全国·高一专题练习）函数fx对任意x，y∈R，总有fx+y=fx+fy，当x<0时，fx<0，且f1=13． （1）证明fx是奇函数； （2）证明fx在R上是单调递增函数； （3）若fx+fx−3≥−1，求实数x的取值范围．  专题3.6 函数的概念与性质（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（2022·福建·上杭一中高一阶段练习）已知函数fx+2的定义域为−3,4，则函数gx=fx3x−1的定义域为（    ） A．13,4 B．13,2 C．13,6 D．13,1 【答案】C 【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可. 【详解】因为函数f(x+2)的定义域为(−3,4)，所以f(x)的定义域为(−1,6).又因为3x−1>0，即x>13，所以函数g(x)的定义域为(13,6). 故选：C. 2．（2022·全国·高一单元测试）已知f2x−1=4x2+3，则fx=（    ）． A．x2−2x+4 B．x2+2x C．x2−2x−1 D．x2+2x+4 【答案】D 【分析】利用换元法求解函数解析式. 【详解】令t=2x−1，则x=t+12，ft=4t+122+3=t2+2t+4； 所以f(x)=x2+2x+4. 故选：D. 3．（2022·河南·沈丘县长安高级中学高三阶段练习（理））若函数fx+1x=x2+1x2，且fm=4，则实数m的值为（    ） A．6 B．6或−6 C．−6 D．3 【答案】B 【分析】令x+1x=t，配凑可得ft=t2−2，再根据fm=4求解即可 【详解】令x+1x=t（t≥2或t≤−2），x2+1x2=x+1x2−2=t2−2，∴ft=t2−2，fm=m2−2=4，∴m=±6. 故选；B 4．（2022·全国·高三专题练习）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞，则a的取值范围为（    ） A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．4,+∞ 【答案】C 【分析】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+∞，结合二次函数性质可得结果. 【详解】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为0,+∞，满足题意； 若a≠0，设fx=ax2+4x+1，则需fx的值域包含0,+∞， ∴a>0Δ=16−4a≥0，解得：00a⩽2， 解可得：a<−1或10，当x∈(−2,0)∪(2,+∞)时，f(x)<0， 所以由xf(x−1)≥0可得： x<0−2≤x−1≤0或x>00≤x−1≤2或x=0 解得−1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x−1)≥0的x的取值范围是[−1,0]∪[1,3]， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 8．（2021·江苏·高一单元测试）已知实数a，b，c，d满足a>b>c，且a+b+c=0，ad2+2bd−b=0，则d的取值范围是（    ） A．−∞,−1∪0,+∞ B．−1,1 C．−2,2 D．−1−2,−1+2 【答案】D 【分析】先求解出方程的解d1,2，然后利用换元法（t=ba）将d表示为关于t的函数，根据条件分析t的取值范围，然后分析出d关于t的函数的单调性，由此求解出d的取值范围. 【详解】因为ad2+2bd−b=0，所以d1,2=−b±b2+aba=−ba±ba2+ba且Δ=4b2+4ab≥0， 令ba=t，则d1,2=−t±t2+t，且t2+t≥0，所以t∈−∞,−1∪0,+∞， 又因为a+b+c=0且a>b>c，所以a>0且c=−a−b0，化简可得y=1(x>0)，函数y=x(x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数； 对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数. 故选：CD 10．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学高三阶段练习）关于函数fx=x2−x4x−1−1的性质描述，正确的是（    ） A．fx的定义域为−1,0∪0,1 B．fx的值域为−1,1 C．fx在定义域上是增函数 D．fx的图象关于原点对称 【答案】ABD 【解析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得fx的定义域，可判断A；化简fx，讨论00，则下列说法正确的是（    ） A．f0=0 B．fx为奇函数 C．fx在区间m,n上有最大值fn D．fx−1+fx2−1>0的解集为x−20， 根据单调性的定义得到函数fx在R上的单调性，可判断C选项；由fx−1+fx2−1>0可得fx2−1>−fx−1=f1−x，结合函数fx在R上的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，在fx+y=fx+fy中，令x=y=0，可得f0=2f0，解得f0=0，A选项正确； 对于B选项，由于函数fx的定义域为R，在fx+y=fx+fy中，令y=−x，可得fx+f−x=f0=0，所以f−x=−fx，则函数fx为奇函数，B选项正确； 对于C选项，任取x1，x2∈R，且x10， 所以fx1−fx2=fx1+f−x2=fx1−x2>0，所以fx1>fx2，则函数fx在R上为减函数，所以fx在区间m,n上有最小值fn，C选项错误； 对于D选项，由fx−1+fx2−1>0可得fx2−1>−fx−1=f1−x，又函数fx在R上为减函数，则x2−1<1−x，整理得x2+x−2<0，解得−22x−3+a,x≤2,若ff6=3，则a=___________.【答案】2【分析】由题意结合函数的解析式得到关于a的方程，解方程可得a的值.【详解】ff6=f6−4=f2=2−3+a=3，故a=2，故答案为：2.14．（2018·上海市延安中学高一期中）已知函数fx是偶函数，且当x>0时，fx=x1−x，则当x<0时，该函数的解析式为fx=__________【答案】−x(1+x)【分析】设x<0,则−x>0,当x>0时,fx=x1−x于是可求得f−x,再利用偶函数f−x=fx的性质,即可求得x<0函数的解析式.【详解】设x<0,则−x>0∴f−x=−x1+x根据偶函数fx=f−x∴fx=f−x=−x1+x   x<0故答案为:−x1+x.【点睛】已知函数的奇偶性求解析式,将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出fx的解析式.15．（2022·安徽省舒城中学高二阶段练习）已知fx=(3a−1)x+4a,x<1−x+1,x⩾1是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是___.【答案】17,13【分析】利用函数在R上是减函数，可列出不等式组3a−1<03a−1+4a⩾−1+1，由此求得a的取值范围.【详解】由于fx=(3a−1)x+4a,x<1−x+1,x⩾1是定义在R上的减函数，∴3a−1<03a−1+4a⩾−1+1，求得17⩽a<13，故答案为：17,13.16．（2021·江苏·高一专题练习）设函数fx=x,x≤1,x−12+1,x>1,则不等式f1−x+f2>0的解集为________．【答案】−3,3【分析】根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.【详解】由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且−f(2)=−2=f(−2)，则f1−x+f2>0⇒f1−x>−f2=f(−2)，由单调性知1−x>−2，解得x∈−3,3故答案为：−3,3【点睛】关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)fx=x3−1x；(2)fx=x−11+x1−x；(3)fx=3−x2+x2−3；(4)fx=−2x,x<−12,−1≤x≤12x,x>1．【答案】(1)奇函数(2)既不是奇函数也不是偶函数(3)既是奇函数又是偶函数(4)偶函数【分析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.（1）fx的定义域是−∞,0∪0,+∞，关于原点对称，又f−x=−x3−1−x=−x3−1x=−fx，所以fx是奇函数．（2）因为fx的定义域为−1,1，不关于原点对称，所以fx既不是奇函数也不是偶函数．（3）因为fx的定义域为−3,3，所以fx=0，则fx既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）  因为函数fx的定义域为R，所以函数fx的定义域关于原点对称．①当x＞1时，−x<−1，所以f−x=−2×−x=2x=fx；②当−1≤x≤1时，fx=2；③当x<−1时，−x>1，所以f−x=2×−x=−2x=fx．综上，可知函数fx为偶函数．方法二（图象法）  作出函数fx的图象，如图所示，易知函数fx为偶函数．18．（2022·全国·高一单元测试）函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x．（1）求函数f(x)在x∈(−∞,0)的解析式；（2）当m>0时，若|f(m)|=1，求实数m的值．【答案】（1）f(x)=x2+2x；（2）1或1+2.【分析】（1）根据偶函数的性质，令x∈(−∞,0)，由f(x)=f(−x)即可得解；（2）m>0，有m2−2m=1，解方程即可得解.【详解】（1）令x∈(−∞,0)，则−x∈(0,+∞)，由f(x)=f(−x)，此时f(x)=x2+2x；（2）由m>0，|f(m)|=m2−2m=1，所以m2−2m=±1，解得m=1或m=1+2或m=1−2（舍）.19．（2021·江苏·高一专题练习）已知函数f(x)=x+4x.(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间[2,+∞)上为增函数;(2)解不等式fx2−2x+4≤f(7).【答案】(1)证明见解析;(2)[−1,3].【解析】（1）通过计算fx1−fx2<0，证得f(x)在区间[2,+∞)上为增函数.（2）利用fx的单调性，化简不等式，由此求得不等式的解集.【详解】（1）fx的定义域为x|x≠0.任取00，而x1−x2<0,x1x2>0，所以fx1−fx2<0，所以f(x)在区间[2,+∞)上为增函数.（2）由于x2−2x+4=x−12+3≥3，且由（1）知f(x)在区间[2,+∞)上为增函数，所以由fx2−2x+4≤f(7)可得x2−2x+4≤7，即x−3x+1≤0，解得x∈−1,3.【点睛】本小题主要考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题.20．（2022·全国·高一单元测试）已知函数fx为R上的偶函数，当x⩾0时，fx=x2+2x−3.(1)求fx的解析式；(2)求fx在t,t+2t∈R的最大值Mt.【答案】(1)f(x)={x2+2x−3,x≥0x2−2x−3,x<0；(2)M(t)={t2−2t−3,t<−1t2+6t+5,t≥−1【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；（2）根据偶函数的性质，结合函数f(x)在(−∞,0)单调递减，在[0,+∞)单调递增，讨论t的取值范围，进行求解即可.（1）设x<0，则−x>0，且有f(−x)=(−x)2+2(−x)−3=x2−2x−3，由于函数f(x)为R上的偶函数，则f(−x)=f(x)，因此x<0时，f(x)=x2−2x−3，所以f(x)的解析式为f(x)={x2+2x−3,x≥0x2−2x−3,x<0；（2）由函数y=x2−2x−3在(−∞,0)单调递减，函数y=x2+2x−3在[0,+∞)单调递增，可知函数f(x)在(−∞,0)单调递减，在[0,+∞)单调递增.当t+2≤0，即t≤−2时，f(x)在[t,t+2]单调递减，故M(t)=f(t)=t2−2t−3；当t<0f(t+2)，即−21时，fx>0.(1)求f0，f−1的值；(2)证明：当x<1时，fx<0.【答案】(1)f0=−2，f−1=−4；(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解（2）当x<1时，2−x>1，则f2−x>0，再结合已知求解.（1）令x=y=0，则f0=f0+f0+2，解得f0=−2.    令x=y=1，则f2=f1+f1+2，解得f1=0，令x=1，y=−1，则f0=f1+f−1+2，解得f−1=−4.（2）当x<1时，2−x>1，则f2−x>0.因为f2=f2−x+x=f2−x+fx+2=2，所以fx=−f2−x<0.22．（2021·全国·高一专题练习）函数fx对任意x，y∈R，总有fx+y=fx+fy，当x<0时，fx<0，且f1=13．（1）证明fx是奇函数；（2）证明fx在R上是单调递增函数；（3）若fx+fx−3≥−1，求实数x的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）0,+∞．【分析】（1）先用赋值法求出f0=0，令y=−x，即可根据定义证明fx是奇函数；（2）利用定义法证明fx是R上的增函数；（3）先把fx+fx−3≥−1转化为f2x−3≥f−3，利用单调性解不等式即可．【详解】（1）令x=y=0，则f0=f0+f0，解得f0=0，令y=−x，则f0=fx+f−x，即fx+f−x=0，即f−x=−fx，易知fx的定义域为R，关于原点对称，所以函数fx是奇函数；（2）任取x1，x2∈R，且x1