2024年湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校九年级数学中考三模数学试卷及解析

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1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：中，是无理数的数是；
故选B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 等边三角形B. 平行四边形C. 正五边形D. 菱形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式的法则，逐一进行计算，判断即可．
【详解】解：A、，原选项计算错误；
B、，原选项计算正确；
C、，原选项计算错误；
D、，原选项计算错误；
故选B．
4. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 1，2，3B. 2，3，7C. 2，6，7D. 3，3，6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两条较短线段的和与较长线段的大小关系，进行判断即可．
【详解】解：A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，能组成三角形；
D、，不能组成三角形；
故选C．
5. 长沙市2023年1-9月地区生产总值约10673亿元，比去年同期增长约．其中数据10673亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：10673亿；
故选A．
6. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ）
A. 80°B. 60°C. 50°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-∠A=50°．
故选：C．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用．
7. 湖南地处云贵高原向江南丘陵和南岭山脉向江汉平原过渡的地带，地势呈三面环山、朝北开口的马蹄形地貌，由平原、盆地、丘陵地、山地、河湖构成，地跨长江、珠江两大水系，属亚热带季风气候，界于北纬，东经之间，气候和地理位置决定了湖南湿冷的气候特性．下表是2012-2023年每年12月长沙平均最低气温统计情况（℃），则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 3，4B. 4，3C. 4，4D. 4，5
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数是将数据排序后，位于中间一位或两位的平均数，众数为一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可．
【详解】解：出现次数最多的数据为4，故众数为4，
将数据排序后，位于第6个和第7个数据均为4，故中位数为4；
故选C．
8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用数轴表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，定方向，定边界，在数轴上表示出解集，判断即可．
【详解】解：解不等式组，得： ，
用数轴表示解集如图：
故选B．
9. 若正比例函数与反比例函数图象交于，则另一个交点坐标为（ ）
A. (2, 1)B. (-1, 2)C. (-2, -1)D. (-2, 1)
【答案】B
【解析】
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【详解】∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（1，−2），
∴另一个交点的坐标是（−1，2）．
故选B．
【点睛】本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
10. 我圆宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：



…
请你猜想的展开式中所有系数的和是（ ）

A 2018B. 512C. 128D. 256
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有等式，得到的的展开式中所有系数的和为，进行求解即可．
【详解】解：由题可知：的展开式中所有系数的和为；
展开式中所有系数的和为；
展开式中所有系数的和为；
∴的的展开式为；
∴的展开式中所有系数的和是；
故选D．
二、填空题
11. 分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．
先提取公因式2，再运用平方差公式即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据平均数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义即可得出答案．
【详解】根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5=8，
解得：x=1，
把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
故答案为9．
【点睛】考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
13. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】π﹣2
【解析】
【分析】先根据圆周角定理证得∠BOC=90°，从而得出△OBC是等腰直角三角形，然后根据S阴影=S扇形OBC-S△OBC即可求得．
【详解】解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∵OB=2，
∴S阴影=S扇形OBC-S△OBC=π×22-×2×2=π-2．
故答案为π﹣2
【点睛】本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
14. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为_________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知：
将抛物线向左平移1个单位，所得抛物线的解析式为：，
由“上加下减”的原则可知：
将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移问题，解题的关键是熟练掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
15. 如图，，则的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例，得出，进而，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴，
故答案：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
16. 如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，过点作，勾股定理求出的长，角平分线的性质，得到，分割法表示出的面积求出的长，再用求出的长即可．
【详解】解：过点作，由作图可知：平分，
'
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：5．
三、解答题
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先化简各数，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，6
【解析】
【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行平方差公式，单项式乘多项式的计算，再合并同类项化简，然后代值计算即可．
【详解】解：原式；
当时，原式．
19. 如图，一勘测人员从山脚B点出发，沿坡度为的坡面行至D点处时，他的垂直高度上升了15米；然后再从D点处沿坡角为的坡面，以20米/分钟的速度到达山顶A点时，用了10分钟．
（1）求D点到B点之间的水平距离；
（2）求山顶A点处的垂直高度是多少米？（，结果保留整数）
【答案】（1）D点到B点之间的水平距离为米
（2）山顶A点处的垂直高度是156米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
（1）过点作，根据坡比，求出的长即可；
（2）过点作，三角函数求出的长，利用求出的长即可．
【小问1详解】
解：过点作，由题意，得：，
∵坡面的坡度为，
∴，
∴；
即：D点到B点之间的水平距离为米；
【小问2详解】
过点作，则：四边形为矩形，
∴，
由题意，得：，，
∴，
∴，
即：山顶A点处的垂直高度是156米．
20. 我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为______人，并补全条形统计图；
（2）若该校七年级共有名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；
（3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．
【答案】（1）60；统计图见解析
（2）360人 （3）
【解析】
【分析】（1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案；先求出编织的人数，再补全条形图即可；
（2）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案；
（3）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，本次随机调查的学生人数为：
（人）；
故答案为：60；
选择编织的人数为：（人），
补全条形图如下：
【小问2详解】
解：该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为：
（人）；
【小问3详解】
解：根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母A，B，C，D表示，则
列表如下：

∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有2种结果，
∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识，扇形统计图和条形统计图的信息管理，用样本估计总体，根据扇形统计图求总数．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，在中，，，于点E，于点D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）同角的余角相等，得到，利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴．
22. 某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进，两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同．
（1）求，两种设备每台各多少万元．
（2）根据单位实际情况，需购进，两种设备共18台，总费用不高于14万元．求种设备至少要购买多少台？
【答案】（1）每台种设备0.5万元，每台种设备1.1万元
（2）种设备至少要购买10台
【解析】
【分析】（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x＋0.6）万元，根据数量＝总价÷单价结合花5万元购买A种设备和花11万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（18−m）台，根据总价＝单价×数量结合总费用不高于14万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【小问1详解】
设每台种设备万元，则每台种设备万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
且，
答：每台种设备0.5万元，每台种设备1.1万元．
【小问2详解】
设购买种设备台，则购买6种设备台，
根据题意得：，
解得：.
又∵为整数，
∴.
答：种设备至少要购买10台．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
23. 如图，中，点D、E分别为的中点，延长到点F，使得，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若为等边三角形，，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）根据三角形的中位线定理，得到，根据，得到，即可得证；
（2）过点作，交于点，求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
24. 如图，中，，为的直径，C在上且为的中点，过点A作，连接，于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）记，，的面积分别为，，，若，求的值；
（3）若的半径为1，设，，试求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
（3），
【解析】
【分析】（1）连接，三角形的中位线，得到，进而得到，即可得证；
（2）证明，得到，同高三角形面积比等于底边比，得到，再根据，求出的值，证明，得到，求出，进而求出，根据，进行求解即可；
（3）证明，得到，证明，得到，证明，得到，勾股定理求出，等积法求出，进行求解即可．
【小问1详解】
解：连接，
∵，C在上且为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵C在上，
∴为的切线；
【小问2详解】
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴或（舍去）；
设，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
【小问3详解】
∵的半径为1，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查三角形的中位线定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，列函数关系式，求自变量的取值范围等知识点，熟练掌握相关知识点，并是灵活运用，是解题的关键．
25. 我们约定：若抛物线：（，且），抛物线：则称与互为“湘一相依抛物线”．例如：抛物线：与抛物线：就是一组“湘一相依抛物线”，根据该约定，解答下列问题：
（1）已知抛物线：，求其“湘一相依抛物线”的解析式；
（2）若抛物线：的顶点在其“湘一相依抛物线”的图象上，试求出抛物线的图象经过的定点坐标；
（3）已知抛物线：（m，n，t为实数且，）与y轴交于点A，其“湘一相依抛物线”与y轴交于点B（点A在点B的上方）．抛物线与的图象始终有一交点C在与x轴垂直的定直线上运动．当，，且m，n，t满足：时，抛物线与直线交于M，N两点，求线段MN长度的取值范围．
【答案】（1）
（2）抛物线过定点：；
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接根据“湘一相依抛物线”的定义，进行求解即可；
（2）求出的顶点坐标，根据“湘一相依抛物线”的定义，写出的解析式，将的顶点坐标代入，进行求解即可；
（3）求出的解析式，进而求出，点的坐标，根据，，结合等腰三角形三线合一以及中点坐标公式，得到，进而得到，根据，求得的取值范围，联立，得到，设设的两个根为，利用根与系数的关系结合两点间的距离公式，得到，利用二次函数求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为；
【小问2详解】
∵，
∴顶点坐标为：，
∵抛物线的“湘一相依抛物线”的解析式为，且抛物线的顶点在的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴抛物线过定点：；
【小问3详解】
抛物线：的“湘一相依抛物线”的解析式为，
联立：，解得：，
∴，
对于：，当时，，
∴，
同理：，
∵点A在点B的上方，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
，
，，
∵，
或，
或，
或，
联立，整理，得：，
设的两个根为，
则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
当时，则：，
∴当时，有最小值为，此时最小为，
当时，有最大值为，此时最大为，
当时，则：，
∴当时，有最小值为，此时最小为，
当时，有最大值为，此时最大为；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的最值，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握“湘一相依抛物线”的定义，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
3
4
3
3
5
5
4
4
4
4
2
4