2020-2021学年江苏省淮安市金湖县、洪泽县等六校高二（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市金湖县、洪泽县等六校高二（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省淮安市金湖县、洪泽县等六校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）复数，则在复平面内，对应的点的坐标是　　
A． B． C． D．
2．（5分）曲线在处的切线如图所示，则　　

A．0 B． C．1 D．
3．（5分）在的展开式中的系数为　　
A．80 B．240 C． D．160
4．（5分）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为　　

A． B．
C． D．
5．（5分）要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有　　
A．80种 B．120种 C．60种 D．240种
6．（5分）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为　　

A． B．
C． D．
7．（5分）设复数是虚数单位），则　　
A． B． C．2 D．0
8．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，有下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中所有正确结论的编号是　　
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①③
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有　　

A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第34行中从左到右第14与第15个数的比为
D．由“第行所有数之和为”猜想：
10．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是　　
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
11．（5分）定义在区间，上的连续函数的导函数为，若，使得（b）（a），则称为区间，上的“中值点”．下列在区间，上“中值点”多于一个的函数是　　
A． B． C． D．
12．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔．．．，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是　　
A．函数有1个不动点
B．函数有2个不动点
C．若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D．若函数在区间，上存在不动点，则实数满足为自然对数的底数）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设，且，若能被13整除，则　　．
14．（5分）若函数，则满足不等式的的取值范围为 　　．
15．（5分）将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为 　　（用数字作答）．
16．（5分）若，，，且对任意，，，的恒成立，则实数的取值范围为　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，且是纯虚数．
（Ⅰ）求复数及；
（Ⅱ）在复平面内，若复数对应点在第二象限，求实数的取值范围．
18．（12分）在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数，且_____，求在，上的最大值与最小值．
19．（12分）已知的展开式中，．
（1）求；
（2）展开式中系数最大的项为第几项？
（3）求的值．
（用数字作答，注：，．
20．（12分）已知函数，．
（1）若函数在，上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在，上的最小值为2，求实数的值．
21．（12分）淮安市白马湖生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为，，两点在半圆弧上，满足，设．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段，和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求最大值；
（2）若在和内种满向日葵，在扇形内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元，则当为何值时，才能使总利润最大？

22．（12分）已知函数，为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省淮安市金湖县、洪泽县等六校高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．（5分）复数，则在复平面内，对应的点的坐标是　　
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何含义，即可求解．
【解答】解：，
对应的点的坐标是．
故选：．
【点评】本题考查了复数的几何含义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）曲线在处的切线如图所示，则　　

A．0 B． C．1 D．
【分析】写出切线方程的截距式，化为斜截式，可得，再求出，则答案可求．
【解答】解：由图可知，切线方程为，即，
，，
则（1）（1）．
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，考查数形结合思想，是基础题．
3．（5分）在的展开式中的系数为　　
A．80 B．240 C． D．160
【分析】由题意利用乘方的意义，排列组合的知识，求得要得到展开式中含的项，可得结论．
【解答】解：的表示5个因式的乘积，
要得到展开式中含的项，需一个因式取，其余的因式都取，
故展开式中的系数为，
故选：．
【点评】本题主要考查乘方的意义，排列组合的知识，属于中档题．
4．（5分）为响应国家精准扶贫政策，某工作组要在村外一湖岸边修建一段道路（如图中虚线处），要求该道路与两条直线道路平滑连接（注：两直线道路：，分别与该曲线相切于，，已知该弯曲路段为三次函数图象的一部分，则该函数解析式为　　

A． B．
C． D．
【分析】先设函数的解析式，再求出导函数，然后利用导数的几何意义列出方程组，求解即可．
【解答】解：由题意，因为函数过，，
则设三次函数，
因为，
又，（2），
则，解得，
所以，即．
故选：．
【点评】本题考查了函数解析式的求解，主要考查了待定系数法求解解析式的应用，导数几何意义的应用，要掌握常见的函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
5．（5分）要从甲、乙等7人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有　　
A．80种 B．120种 C．60种 D．240种
【分析】根据已知条件，结合捆绑法和分步乘法计数原理，即可求解．
【解答】解：①在甲乙之外的5人中选出1人，安排在甲乙之间，有种情况，安排好之后，将3人看成一个整体，②在剩下的4人中选出1人，将这个整体全排列，有种情况，
故不同的发言顺序共有种．
故选：．
【点评】本题主要考查排列，组合及简单计数问题，考查计算能力，属于基础题．
6．（5分）已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象大致形状为　　

A． B．
C． D．
【分析】利用函数先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，结合导数的几何意义，判断即可．
【解答】解：由的图象可知，函数先单调递增的速度由快到慢，再由慢到快，
由导数的几何意义可知，先减后增，且恒大于0，
故符合题意的只有选项．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象的识别，主要考查了函数与导数之间关系的应用，解题的关键是掌握识别图象的方法：可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断，考查了直观想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
7．（5分）设复数是虚数单位），则　　
A． B． C．2 D．0
【分析】由复数的除法运算性质可得，再由二项式定理可得结论．
【解答】解：复数，
则
．
故选：．
【点评】本题考查复数的运算和二项式定理的运用，考查转化思想和运算能力，是基础题．
8．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，有下列四个结论：
①；
②；
③；
④．
其中所有正确结论的编号是　　
A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①③
【分析】直接利用欧拉公式及三角函数的诱导公式化简四个结论得答案．
【解答】解：①，，故①正确；
②
，故②正确；
③，故③错误；
④，故④正确．
其中所有正确结论的编号是①②④，
故选：．
【点评】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数诱导公式的应用，是基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．
9．（5分）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有　　

A．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
B．
C．第34行中从左到右第14与第15个数的比为
D．由“第行所有数之和为”猜想：
【分析】由课本知识可判断选项、，而选项可化为再利用的结论可求，观察规律可判断选项．
【解答】解：由课本可知、显然正确，
对于，，所以错，
第34行中从左到右第14与第15个数分别为和，它们之比为，所以正确．
故选：．
【点评】本题主要考查归纳推理，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系，属于中档题．
10．（5分）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是　　
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种不同的排法，错误；
对于，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有种排法，
若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有种排法，
则有种不同的站法，正确；
对于，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有种不同的排法，正确；
对于，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有种不同的安排方法，正确；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
11．（5分）定义在区间，上的连续函数的导函数为，若，使得（b）（a），则称为区间，上的“中值点”．下列在区间，上“中值点”多于一个的函数是　　
A． B． C． D．
【分析】假设为区间，上的“中值点”，则，然后根据选项中的函数解析式，依次分析求解即可．
【解答】解：假设为区间，上的“中值点”，
则，
对于，，则，
又，则在，上有两个，
所以在区间，上“中值点”有两个，
故选项正确；
对于，，则，
又，则的解在，上有无数个，
所以在区间，上“中值点”有无数个，
故选项正确；
对于，，则，
又，则，因为为单调递增函数，
所以在区间，上“中值点”至多一个，
故选项错误；
对于，，则，
又，则在，上有两个，
所以在区间，上“中值点”有两个，
故选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数的新定义问题，涉及了导数的应用，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
12．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔．．．，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．依据不动点理论，下列说法正确的是　　
A．函数有1个不动点
B．函数有2个不动点
C．若定义在上的奇函数，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数
D．若函数在区间，上存在不动点，则实数满足为自然对数的底数）
【分析】利用“不动点”的定义，研究的零点个数，构造新函数，结合导数研究函数的单调性即可判断选项，
同样构造新函数结合导数研究函数的单调性判断选项，
利用奇函数的性质结合0是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，即可判断选项，
将函数 在区间，上存在不动点，转化为在，上有解，然后构造新函数，利用导数研究函数的性质进行分析，即可判断选项．
【解答】解：对于，令，则，
当时，，当时，
所以（1），
所以函数有1个不动点，故正确．
对于，令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使成立，
所以在上有且仅有一个零点，即有且仅有一个“不动点”，故选项错误；
对于，因为是上的奇函数，则为定义在上的奇函数，
所以是的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，其个数的和为偶数，
所以一定有奇数个“不动点”，故正确；
对于，因为函数在区间，上存在不动点，
则在，上有解，
则在，上有解，
令，则，
再令，则，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在，上恒成立，
所以在，上单调递增，
所以，（1），
所以实数满足为自然对数的底数），故正确．
故选：．
【点评】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，要求学生能理解函数性质的基础上，利用基础知识探究新的问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设，且，若能被13整除，则　1　．
【分析】利用二项式定义将进行变形，从而得到能被13整除，结合的范围求即可．
【解答】解：,
因为52能被13整除，
所以只需能被13整除即可，
又，
所以．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二项式定义的应用，求解整除问题和求解近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
14．（5分）若函数，则满足不等式的的取值范围为 　；　．
【分析】利用定义判断的奇偶性，再由导数判断单调性，根据函数的单调性将函数转化为关于的不等式求解．
【解答】解：，且，为奇函数，
又，在定义域为减函数．
又，可转化为．
根据函数的单调性可知，
即，解得或，
的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的性质应用，训练了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
15．（5分）将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人的分配方法总数为，则二项式的展开式中含项的系数为 　　（用数字作答）．
【分析】由题意利用排列组合的知识，求得，再利用展开式中的通项公式，求得展开式中含项的系数．
【解答】解：将7名支教教师安排到3所学校任教，每校至少2人，
则必有一个学校3人，其余的学校都是2人，
则不同的分配方法总数为，
则二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得含项的系数为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
16．（5分）若，，，且对任意，，，的恒成立，则实数的取值范围为　，　．
【分析】由题意可设，则等价于，即；
令，转化为在上恒成立问题．
【解答】解：易知在，上均为增函数，
不妨设，则等价于，
即；
令，则在，为减函数，
则在上恒成立，
恒成立；
令，
，
为减函数，在，的最大值为；
综上，实数的取值范围为，．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查函数导数的有关知识，考查灵活运用有关基础知识解决问题的能力．本题属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知复数，且是纯虚数．
（Ⅰ）求复数及；
（Ⅱ）在复平面内，若复数对应点在第二象限，求实数的取值范围．
【分析】（Ⅰ）把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解值，则可求，再由复数模的计算公式求；
（Ⅱ）把代入，展开后由实部小于0且虚部大于0列不等式组求解．
【解答】解：（Ⅰ），且是纯虚数，
是纯虚数，
则，即．
，；
（Ⅱ），
由题意可得，解得．
实数的取值范围是．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
18．（12分）在①的一个极值点为0，②为奇函数，③若曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数，且_____，求在，上的最大值与最小值．
【分析】选择①根据导数和函数极值的关系求出的值，再根据导数和函数最值的关系即可求出最值，
选择②根据奇函数的性质求出的值，再根据导数和函数最值的关系即可求出最值．
选择③根据导数的几何意义求出的值，再根据导数和函数最值的关系即可求出最值，
【解答】解：选择①，，
，
解得，
，
令，可得，
当，时，，函数上单调递增，
当，时，，函数上单调递减，
，
（1），

选择②设，
为奇函数，
，
，
解得，
，
令，可得，
当，时，，函数上单调递增，
当，时，，函数上单调递减，
，
（1），

选择③，，
（1），
曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，
，
，
，
令，可得，
当，时，，函数上单调递增，
当，时，，函数上单调递减，
，
（1），
；
函数的最大值为0，最小值为．
【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数和函数极值，函数的切线方程，函数的奇偶性，属于中档题
19．（12分）已知的展开式中，．
（1）求；
（2）展开式中系数最大的项为第几项？
（3）求的值．
（用数字作答，注：，．
【分析】（1）由题意利用通项公式，求得的值，再令，可得要求式子的值．
（2）由题意利用通项公式，解不等式组，求得的范围，可得结论．
（3）对于所给的式子，两边对求导数，再令，可得的值．
【解答】解：（1）的展开式中，，
．
令，．
（2）假设展开式中第项的系数最大，则有，
解得，，
展开式中系数最大的项为第7项．
（3）设，
则，
再令，可得．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求函数的导数，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．
20．（12分）已知函数，．
（1）若函数在，上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在，上的最小值为2，求实数的值．
【分析】（1）依题意，在，上恒成立，即在，上恒成立，从而可得实数的取值范围；
（2）由（1）得，，，分、、三类讨论，由函数在，上的最小值为2，可求实数的值．
【解答】解：（1），，
在，上是增函数，
在，上恒成立，即在，上恒成立．
．（4分）
（2）由（1）得，，．
①若，在，上恒成立，此时在，上是增函数．所以（1），解得（舍去）；
②若时，在上是减函数，在上是增函数．所以（a），解得；
③若，在，上恒成立，此时在，上是减函数．所以（e），所以（舍去）．
综上，得．（12分）
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想与推理运算能力，属于中档题．
21．（12分）淮安市白马湖生态旅游景区升级改造，有一块半圆形土地打算种植花草供人游玩欣赏，如图所示，其中长为，，两点在半圆弧上，满足，设．
（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段，和组成，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求最大值；
（2）若在和内种满向日葵，在扇形内种满薰衣草，已知向日葵利润是每平方千米元，薰衣草的利润是每平方千米元，则当为何值时，才能使总利润最大？

【分析】（1）利用余弦定理求出，，，可得，利用换元、配方法，即可得出结论；
（2）利用三角形的面积公式、扇形的面积公式，再利用导数，可得当为何值时，鲜花种植面积最大．
【解答】（1）由题，，，
取中点，连接，则，，
所以．同理可得，，
所以，
即，．
所以当，即时，有；
（2），，．
所以总利润，
令、
所以，
因为，由得，
当变化时，，的变化如下表所示，






0


递增
极大值
递减
所以当时，总利润最大．
【点评】本题考查余弦定理，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，确定函数的解析式是关键．
22．（12分）已知函数，为常数）．
（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；
（2）若，且，证明：；
（3）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）先分别求导，再根据函数与在处有相同的切线，得到（1）（1），即可求出的值，
（2）设，利用导数求出函数的最大值为0，即可证明．
（3）设函数，不等式恒成立，多次利用导数和构造函数，判断函数是否成立，从而确定的范围．
【解答】解：（1），则（1）且（1）．
所以函数在处的切线方程为：，
从而（1），即．
（2）证明：由题意知：设函数，则．
设，从而对任意，恒成立，
所以（1），即，
因此函数在，上单调递减，
即（1），
所以当时，成立．
（3）设函数，
从而对任意，，不等式（1）恒成立．
又，
当，即恒成立时，
函数单调递减．
设，则，
所以（1），即，符合题意；
当时，恒成立，此时函数单调递增．
于是，不等式（1）对任意，恒成立，不符合题意；
当时，设，
则
当时，，此时单调递增，
所以（1），
故当时，函数单调递增．
于是当时，成立，不符合题意；
综上所述，实数的取值范围为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性和最值得关系，以及证明不等式恒成立，和参数的取值范围，属于难题．
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日期：2021/12/1 16:07:09；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394