高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册3.3 正态分布精品达标测试
展开A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由正态分布密度函数，可得．故选B．
2．设随机变量服从正态分布，若，则实数
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称．
又，所以，解得．故选C．
3．已知甲、乙两种水果的质量分别服从正态分布，，其正态分布的密度曲线如图
所示，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正态分布密度曲线关于对称可知，．又因为越小正态曲线越尖陡，越大越扁平，所以．故选A．
4．已知随机变量服从正态分布，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为随机变量服从正态分布，所以，即正态曲线关于直线对称，所以．故选A．
5．据统计2021年“十一”黄金周哈尔滨太阳岛每天接待的游客人数服从正态分布，则在
此期间的某一天，太阳岛接待的人数不少于的概率为
附：若，则，，
．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为服从正态分布，且
所以，所以，
所以．故选D．
二．填空题（每小题5分）．
6．已知，则 ．
【答案】
【解析】因为服从标准正态分布，所以．
7．如果正态分布总体的数据落在内的概率和落在内的概率相等，那么这个正态分布总体的
数学期望是 ．
【答案】
【解析】由正态分布曲线的对称性知，．
8．某超市经营的某种包装优质东北大米的重量（单位：）服从正态分布，任意选取一
袋这种大米，重量在的概率为 ．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为，所以．
所以．
9．在某市年月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布．已知参加
本次考试的全市理科学生约人．某学生在这次考试中的数学成绩是分，那么他的数学成绩大约排在全市第 名．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为考试的成绩，所以．
所以，
数学成绩为分的学生大约排在全市第名．
10．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品
数量为，请估计该批次检测的产品数量为 ．
附：若，则，，
．
【答案】
【解析】因为，所以．
所以．
又指标在内的产品数量为，所以该批次检测的产品数量为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分12分）
《福建省高考改革试点方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2021年高考总成绩由语数外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%、2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到五个分数区间，得到考生的等级成绩．某市高一学生共6000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六门选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩大致服从正态分布．
（1）求该市化学原始成绩在区间的人数；
（2）以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X表示这3人中等级成绩在区间的人数，求．
（附：若随机变量，则，，）
【答案】（1）4911人；（2）．
【解析】（1）因为化学原始成绩，
所以
．
所以化学原始成绩在的人数为（人）．
（2）因为以各等级人数所占比例作为各分数区间发生的概率，且等级成绩在区间的人数所占比例分别为35%、35%，则随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为 ，
所以从全省考生中随机抽取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3，且，
所以．
12．（本小题满分12分）
国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅兵方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：）在区间内．现从全体受阅女兵中随机抽取人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为，最后三组的频率之和为．
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用频率估计概率，从全体受阅女兵中随机抽取个，求身高位于区间内的人数不超过个的概率；
（3）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求．
参考数据：若，则，，．
【答案】（1），；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】（1）由题意可知：第三组的频率为，
第五组的频率为，
第二组的频率为，
所以五组的频率分别为：，
所以，
．
（2）从全体受阅女兵中随机抽取 个女兵身高位于区间的概率为，
则随机抽个人，身高位于区间内不超过个的概率为．
（3）由（Ⅰ）知： ，，
所以
，
所以．
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