山东省烟台市莱州市2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题（含解析）

这是一份山东省烟台市莱州市2023-2024学年高一下学期6月月考 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知空间三条直线，若与垂直，与垂直，则（ ）
A．与异面B．与相交
C．与平行D．与平行、相交、异面均有可能
2．已知平面及空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（ ）
A．B．与相交C．与是异面直线D．
3．已知数据的平均数为，方差为，则，，…，的平均数和方差分别为（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．如图，在三棱台中，从中取3个点确定平面，若平面平面，且，则所取的这3个点可以是（ ）

A．B．C．D．
5．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中错误的是（ ）
A．若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB．若α//β，m⊥α，n⊥β，则m//n
C．若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//nD．若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
6．某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前名学生分布的扇形图（如图）和前名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）

A．成绩前名的学生中，高一人数比高二人数多人
B．成绩前名的学生中，高一人数不超过人
C．成绩前名的学生中，高三人数不超过人
D．成绩第名到第名的学生中，高二人数比高一人数多
7．已知在长方体中，，直线与平面所成角的正弦值为为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．四棱锥中，，其余各棱的长均为2，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标,常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平．下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）
A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大
D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为20379元
10．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，以下命题正确的是（ ）
A．有水的部分始终呈棱柱形
B．水面所在四边形的面积为定值
C．棱始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图（3）所示时，是定值
11．如图，矩形中，为的中点，为的中点，交于点，将沿直线翻折到，连接为的中点，则在翻折过程中，下列合题中正确的是（ ）
A．翻折过程中，始终有平面平面B．翻折过程中，的长是定值
C．若，则D．存在某个位置，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为的 心.
13．已知一组数据的方差是2，并且，，则 .
14．有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，；另一块三角板的两条直角边的长均为，已知这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，则不重合的两个顶点间的距离等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点．
(1)求证：四点共面
(2)求证：平面平面．
16．如图所示，在直三棱柱中，，D，E分别为棱AB，的中点.

(1)证明：CD∥平面；
(2)求BE与平面所成角的正弦值.
17．某校高二年级的1000名学生参加了一次考试，考试成绩全部介于45分到95分之间，为统计学生的考试情况，从中随机抽取100名学生的考试成绩作为样本，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求的值；
(2)估算这次考试成绩的平均分；
(3)从这1000名学生中选10名学生，已知他们上次考试成绩的平均分，标准差；记他们本次考试成绩的平均分，标准差，他们的本次考试成绩如表所示.判断他们的平均分是否显著提高（如果，则认为本次考试平均分较上次考试有显著提高，否则不认为显著提高）.
18．如图，在三棱锥V-ABC中，△VAB为等边三角形，且，O，M，D分别为AB，AV，BC的中点，BM，VO交于点F.
(1)证明：AB⊥平面VOC；
(2)在线段BM上是否存在一点E，使平面VOC？若存在，请指出点E的位置；若不存在，请说明理由.
19．如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．
(1)当时，求证：平面平面；
(2)若为的中点，当时，求二面角的正切值．
1．D
【分析】由题意知，可知的关系不确定，可以是任意的空间直线的关系.
【详解】因为，
所以与既可以相交，也可以异面，还可以平行，
故选：D
【点睛】本题主要考查了空间两条直线间的位置关系，属于容易题.
2．D
【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解.
【详解】对于A：当直线与平面相交时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、相交，
此时就不可能平行了，故A错；
对于B：当直线与平面平行时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：异面、平行，
此时就不可能相交了，故B错；
对于C：当直线在平面内时，平面内的任意一条直线与直线的关系只有两种：平行、相交，
此时就不可能异面了，故C错；
对于D：不管直线与平面的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面内找到一条直线与直线垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，故D正确.
故选：D
3．B
【解析】根据平均数和方差的性质直接求解.
【详解】因为数据的平均数为，方差为，
所以，，…，的平均数和方差分别为和
故选：B
4．C
【分析】由题意可得出平面，由直线与平面平行的性质定理可知，当平面时，有，从而可得出正确选项.
【详解】由于几何体是三棱台，则，又平面，平面，所以，平面，
当平面，平面平面时，由直线与平面平行的性质定理可知，选项C符合要求.
故选：C.
5．C
【解析】则由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，可判定A正确的；根据线面垂直的性质，可判定B正确的；根据α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，可判定C错误的；根据面面垂直的性质定理，可判定D正确的.
【详解】由题意，是两个不同的平面，是两条不同的直线，
对于A中，若m⊥α，m//n，n⊂β，则由面面垂直的判定定理，可得α⊥β，所以是正确的；
对于B中，若α//β，m⊥α，n⊥β，根据线面垂直的性质，可得m//n，所以是正确的；
对于C中，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，所以是错误的；
对于D中，若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，根据面面垂直的性质定理，可得m⊥β，
所以是正确的.
故选：C.
【点睛】解答此类问题常见的误区：
1、对空间平行关系的转化条件理解不透导致错误；
2、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；
3、对面面平行性质定理理解不深导致错解.
6．D
【分析】根据饼状图和条形图提供的数据判断．
【详解】由饼状图，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多，A正确；
由条形图知高一学生在前200名中，前100和后100人数相等，因此高一人数为，B正确；
成绩前50名的50人中，高一人数为，因此高三最多有32人，C正确；
第51到100名的50人中，高一人数为，故高二最多有23人，因此高二人数比高一少，D错误．
故选：D．
7．A
【分析】结合条件根据线面角的定义求得，连接，根据异面直线夹角的定义，利用余弦定理求解即可.
【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，
设，则，
所以，所以，
连接连接，由长方体的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，则或其补角即为直线与直线所成角，
在中，，
所以由余弦定理得，
即直线与直线所成角的余弦值为.
故选：A

8．B
【分析】取中点，中点，连接，，，过作于，则可证就是点到平面的距离，根据题意计算可得解.
【详解】如图，取中点，中点，连接，，，
因为，，
所以，，且，，，
所以，所以，
所以，
因为，，，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作于，则平面，
所以就是点到平面的距离，
所以，
所以点到平面的距离为，
故选：B．
9．AC
【分析】根据给定的折线图，结合统计知识逐项分析判断得解.
【详解】对于A，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，A正确；
对于B，由题中折线图知，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出先增后减再增，B错误；
对于C，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，
人均消费支出的极差为元，C正确；
对于D，2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】根据棱柱的特征，结合图形对四个选项逐一进行分析判断即可．
【详解】对A，由棱柱的特征：有两个平面时相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，故A正确；
对B，因为水面EFGH所在四边形的面积，从图2，图3可以发现，有条边长不变，而另外一条长随着倾斜度变化而变化，所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误；
对C，因为棱A1D1始终与BC是平行的，BC与平面始终平行，故C正确；
对D，因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，则底面也不变，即BE•BF是定值，故D正确．
故选：ACD．
11．ABC
【分析】对于A，易知为的中点，则，，再利用面面平行的判定定理，即可判断；对于B，利用等角定理得到以及（定值），（定值），在中由余弦定理可知的长是定值，即可判断；对于C，由，利用直角三角形中线定理可得，即可判断；对于D，由等角定理，根据，得到，即，即可判断.
【详解】因为E，F为中点，则，所以四边形CEFD是平行四边形，
所以是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理平面，
又，所以平面平面，故A正确；
因为（定值），（定值），（定值），
在中由余弦定理可知的长是定值，故B正确；
若，则，所以，所以，故C正确；
因为，所以，所以，
因为在同一平面内，所以不可能垂直于，
因为，所以不可能垂直于，故D错误.
故选：ABC.
12．垂
【分析】先用反证法证明平面PBC，再由面面垂直和线面垂直的判定和性质定理证明，同理可证，，即可判断.
【详解】如图：
首先证明平面PBC.若不然，在平面PAB中，过作于，
因为平面平面PBC，平面平面PBC，平面，
所以平面PBC.（AM不同于AP）
在平面PAC中，过作于，
因为平面平面PBC，平面平面PBC，平面，
所以平面PBC.（AN不同于AP）
这样，过点A有两条不同直线AM，AN垂直于平面PBC，这是不可能的.
所以假设不成立，平面PBC得证.
同理，由三个侧面两两垂直，得平面，平面PAB，
因为平面，平面ABC，所以．①
因为平面，平面PBC，所以．②
由①②及，，平面APH，所以平面APH．
又平面APH，所以.
同理可证，，所以为的垂心.
故答案为：垂
13．2
【分析】由题意结合方差的定义整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意结合方差的定义有：
①，
而， ②，
①-②有：， ③，
注意到，将其代入③式整理可得：，
又，故.
故答案为2．
【点睛】本题主要考查方差的计算公式，整体的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．或
【分析】根据题意，两块直角三角板有两种放置方式，分情况求解即可.
【详解】解：有两块直角三角板：一块三角板的两条直角边的长分别为，，
另一块三角板的两条直角边的长均为，
这两块三角板有两对顶点重合，且构成的二面角，有两种放置方式：
第一种：
如图一： 直角中，， ，，为直角三角形，不重合的两个顶点间的距离；
第二种：
如图二：直角中，，，，
不重合的两个顶点间的距离．
综上，不重合的两个顶点间的距离等于2或．
故答案为：2或．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）在上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，可证明四边形、四边形CNEB是平行四边形，可得，CNBE，则，即可证明结论；
（2）利用数据可证明HGFB，，利用线面平行的判定定理可得到HG平面，平面，然后利用面面平行的判定定理即可得证
【详解】（1）在上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，
同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD，
又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE，
所以，
所以四点共面；
（2）因为H是的中点，所以，
因为，所以，
因为，且，
所以，
所以，
所以HGFB，
因为HG平面，FB 平面，所以HG平面，
因为
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面， 平面，所以平面，
又平面
所以平面平面
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形中位线的性质证得四边形DGEC是平行四边形，进而得，所以可证明CD∥平面；
（2）利用线线垂直证明面，根据线面角的概念得即为所求的线面角，然后在直角三角形中求解即可.
【详解】（1）连接，取中点为点，连接，
因为G，D分别为，AB的中点，所以且，
又E为的中点，所以且，
所以且，则四边形DGEC为平行四边形，
所以，又平面，平面，则平面.
（2）连接BG，BE，

因为，D为AB中点，则，
又直三棱柱，面，则，
又，又面，面，所以面，
由（1）知，，所以面，则与平面所成角为，
因为，所以，，
所以，则与平面所成角的正弦值为.
17．(1)
(2)
(3)平均分显著提高
【分析】（1）结合频率分布直方图的性质计算可得；
（2）根据小矩形的中点值及平均值公式计算公式即可求解；
（3）应用均值公式及标准差公式，及运算即可判断.
【详解】（1）由题知：，所以
（2）平均数约为
（3），
，则，
所以，可以判断平均分显著提高
18．(1)证明见解析
(2)存在，点E是线段BM上靠近B的三等分点
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明；
（2）由线面平行的性质定理得线线平行，从而可得点位置．
【详解】（1）证明：
∵，O是AB的中点，
∴，
又∵△VAB是等边三角形，O是AB的中点，
∴，
又∵，OC，平面VOC，
∴AB⊥平面VOC；
（2）假设线段BM上存在一点E使平面VOC，连接CF，
∵平面BMC，平面平面，
∴，
∵D是BC的中点，
∴E是BF的中点，
又∵F是等边三角形VAB的重心，
∴，，
∴点E是线段BM上靠近B的三等分点．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 当时，可证得平面，从而证得平面平面；
(2) 取的中点，连接，证得为二面角的平面角，过作于点，过作与点，证得为二面角的平面角，解三角形得结果.
【详解】（1）当时，平面平面．
在直角梯形中，，所以，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）取的中点，连接，因为，所以．
因为为的中点，连接，则为的中位线，所以．
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为平面平面，所以过作，交于点，则平面．
平面，，过作与点，连结，．
所以．所以为二面角的平面角．
在中，，，．
在中，．
在中，，
所以，故二面角的正切值为．这10名同学的本次考试成绩
70
72
72
72
74
71
72
72
72
73