2022-2023学年湖南省邵阳市高二下学期7月期末联考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市高二下学期7月期末联考数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足：z1+i=2i( i 为虚数单位)，则z的共轭复数为
( )
A. 2−2iB. 2+2iC. −2−2iD. −2+2i
2.已知全集U=R，设集合A={x|x−1<0},B=x|x2−2x−3≤0，则∁UA∪B=( )
A. x|1≤x≤3B. x|−2≤x<1C. x|x≥−1D. x|x≤3
3.若sinπ5+α=23，则cs7π10+α=( )
A. −23B. 23C. − 53D. 53
4.函数fx=3sinxex在区间−2π3,2π3的图象大致为
( )
A.
B.
C.
D.
5.“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师.浙江大学､复旦大学､武汉大学､中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地.已知某班级有A，B，C，D，E共5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择，则A同学选择浙江大学的不同方法共有
( )
A. 24种B. 60种C. 96种D. 240种
6.设非零向量a,b满足|a|=8,|b|=4,|a+b|=6，则a在b上的投影向量为
( )
A. −118bB. −118aC. −114bD. −114a
7.已知点P在直线y=−x−3上运动，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x−9)2+(y−2)2=16上的动点，则PM+PN的最小值为
( )
A. 13B. 11C. 9D. 8
8.已知函数fx是R 上的奇函数，对任意的x∈R均有fx( )
A. {x∣x>1}B. {x∣x<1}C. {x∣x>−1}D. {x∣x<−1}
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若正实数a，b满足a+b=2，则下列结论中正确的有
( )
A. ab 的最大值为1B. 1a+1b的最大值为2
C. a+ b的最小值为2D. a2+b2的最小值为2
10.下列说法中，错误的是( )
A. 若事件A，B 满足：PA>0,PB>0，且PAB=PAPB，则A与B相互独立
B. 某医院住院的8位新冠患者的潜伏天数分别为10,3,8,3,2,15,5,4，则该样本数据的第75百分位数为8
C. 若随机变量ξ∼B7,12，则方差D2ξ=14
D. 在回归模型分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
11.设A，B是抛物线C:y2=2x上的两点，F 是抛物线C 的焦点，则下列命题中正确的是
( )
A. 若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，则AB的最小值为2
B. 若点A 的坐标为2,2，则AF=52
C. 过点P0,1且与抛物线C 只有一个公共点的直线有且只有两条
D. 若AF=3FB(点A 在第一象限)，则直线AB 的倾斜角为π3
12.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也，合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣”，文中“堑堵”是指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；文中“阳马”是指底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥；文中“鳖臑”是指四个面都是直角三角形的三棱锥，如图所示，在堑堵ABC−A1B1C1中，若AB⊥BC,A1A=AB=BC=2，则下列说法中正确的有
( )
A. 四棱锥C−AA1B1B为阳马，三棱锥B1−A1BC为鳖臑
B. 点N 在线段A1C上运动，则BN+B1N的最小值为2 3
C. G，H 分别为A1B1,CC1的中点，过点B，G，H 的平面截三棱柱ABC−A1B1C1，则该截面周长为2 5+2 173
D. 点P 在侧面BCC1B1及其边界上运动，点M 在棱AB 上运动，若直线C1M，AP 是共面直线，则点P的轨迹长度为 6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列an中，a4=2,a7=54，则公比q为 ．
14.已知函数fx=3sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数y=fx在区间0,5π12上的最小值为 。
15.某市2022年高二数学联考学生成绩X∼N90,σ2，且P80≤X≤100=35.现从参考的学生中随机抽查3名学生，则恰有1名学生的成绩超过100分的概率为 ．
16.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ，点M，N 在双曲线C 上，且关于原点O 对称.若ON=OF,▵MNF的面积为a24，则双曲线C 的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知等差数列an的公差d 不为0 ，a4=7，且a1，a3，a13成等比数列．
(1)求数列an的前n 项和Sn；
(2)记bn=1anan+1,n∈N*，证明：b1+b2+b3+⋯+bn<12．
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c ，已知csAa+csBb=sinC2 3sinB．
(1)求a 的值；
(2)若sinB+C2=sinA,B=45∘，求△ABC的面积．
19.(本小题12分)
如图所示，在三棱台ABC−A1B1C1中，平面BB1C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，BB1=B1C1=C1C=12BC=2．

(1)证明：AB⊥BC1；
(2)当二面角B−C1C−A的大小为π4时，求三棱台ABC−A1B1C1的体积．
20.(本小题12分)
已知函数fx=ex+1−ax+1,gx=lnxx+2．
(1)讨论函数gx在定义域内的单调性；
(2)若fx≥gx恒成立，求实数a 的取值范围．
21.(本小题12分)
已知P−1, 32是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1,F2为椭圆C 的左､右焦点，B1,B2为其短轴的两个端点，B1B2是PF1与PF2的等差中项．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l与椭圆C 交于点M，N ，与圆O:x2+y2=45切于点G ，问：GM⋅GN是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22.(本小题12分)
新宁崀山景区是世界自然遗产､国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为13，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X ，求X 的数学期望；
(2)(i)记pkk∈N*表示“从游客中随机抽取k 人，总分恰为2k 分”的概率，求pk的前4项和；
(ii)在对游客进行随机问卷调查中，记ann∈N*表示“已调查过的累计得分恰为2n 分”的概率，探求an与an−1n≥2的关系，并求数列an的通项公式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查共轭复数与复数的除法运算，属于基础题．
根据复数的运算法则，得到z=−2+2i，结合共轭复数的定义，即可求解．
【解答】
解：由z1+i=2i，
可得z=2i1+i=−2+2i，可得z=−2−2i，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的运算，属于基础题．
根据不等式的解法，分别求得 A={x|x<1},B={x|−1≤x≤3} ，结合集合的补集与并集的运算，即可求解．
【解答】
解：由集合 A={x|x−1<0}={x|x<1},B=x|x2−2x−3≤0={x|−1≤x≤3} ，
可得 ∁UA={x|x≥1} ，所以 ∁UA∪B={x|x≥−1} ．
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查诱导公式型的应用，属于基础题．
先观察到7π10+α=π5+α+π2，代入原式，利用诱导公式求解．
【解答】
解：因为7π10+α=π5+α+π2，
所以cs (7π10+α)=cs [(π5+α)+π2]=−sin (π5+α)=−23，
故选：A．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别，属于基础题．
利用函数的奇偶性与特殊点法判断即可．
【解答】
解：因为fx=3sinxex的定义域为−2π3,2π3，
又f−x=3sin−xe−x=−3sinxex=−fx，
所以fx是奇函数，图象关于原点对称，故B、C错误；
而fπ3=3sinπ3eπ3>0，故D错误；
由于排除了BCD，而A又满足上述性质，故A正确．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了排列与组合的综合应用．
依题意，有两位同学选择了同一所学校，分有两位同学选择了浙江大学和只有A同学选择了浙江大学这两种情况讨论，结合排列组合的原理计算．
【解答】
解：5位同学选择4所学校，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，已知A 同学选择浙江大学，
当有两位同学选择了浙江大学时，则B，C，D，E 这4位同学在4所大学中分别选了一所，共 A44=24 种选法；
当只有A同学选择了浙江大学时，则B，C，D，E 这4位同学在其余3所大学中选择，每所学校至少有一位同学选择，则有两位同学选择了同一所学校，共 C42A33=36 种选法；
所以A 同学选择浙江大学的不同方法共有 24+36=60 种．
故选：B
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了投影向量，向量的模长，属于一般题．
根据向量的运算法则，求得 a⋅b=−22 ，结合 a⋅bb⋅bb ，即可求解．
【解答】
解：由非零向量 a,b 满足 |a|=8,|b|=4 ，
因为 a+b=6 ，可得 |a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a⋅b=64+16+2a⋅b=36 ，
解得 a⋅b=−22 ，
所以 a 在 b 上的投影的向量为 a⋅b|b|⋅b|b|=−2216b=−118b ．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆与圆的位置关系中的最值问题，属于中档题．
根据圆的性质可得PM+PN≥PO+PC−5，故求PM+PN的最小值，转化为求PC+PO的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解．
【解答】
解：如图所示，

圆(x−9)2+(y−2)2=16的圆心为C9,2，半径为4，
圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，
可知PC−4≤PN≤PC+4,PO−1≤PM≤PO+1，
所以PM+PN≥PO+PC−5，
故求PM+PN的最小值，转化为求PC+PO的最小值，
设O0,0关于直线y=−x−3的对称点为G，设G坐标为m,n，
则nm=1n2=−m2−3，解得m=−3n=−3，故G−3,−3，
因为PO=PG，
可得|PO|+|PC|=|PG|+|PC|
⩾|GC|= (9+3)2+(2+3)2=13 ，
当P,G,C三点共线时，等号成立，
所以PM+PN的最小值为13−5=8．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用单调性解不等式，解题的关键是根据已知条件合理构造函数，然后利用导数判断其单调性，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想，属于较难题．
由已知得 f′(x)−f(x)ln3>0 ，所以构造函数 gx=fx3x ，求导后可得 g′(x)>0 ，可得 gx 在R 上单调递增，然后对fx<3x−1变形得 fx3x<13 ，再利用其单调性可求得结果．
【解答】
解：由 fx0 ，
设 gx=fx3x ，则 g′x=f′x−fxln33x>0 ．
∴gx 在R 上单调递增．
又 f−1=−1,fx 为奇函数，
∴f−1=−f1=−1.∴f1=1,g1=f131=13 ．
fx<3x−1⇔fx3x<13⇔gx故选：B．
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式求最值的知识，属于中档题。
根据 ab≤a+b22 进行计算然后可判断A项；利用“1”的妙用及均值不等式计算可判断B项；根据 ( a+ b)2≤2(a+b) 可判断C项，将 a2+b2 变形为 a+b2−2ab=4−2ab ，然后结合ab 的范围可判断D项．
【解答】
解：对于A项，因为 ab≤a+b22=1 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，则ab 的最大值为1，故A项正确；
对于B项，因为 1a+1b=12a+b1a+1b=122+ba+ab≥122+2 ba⋅ab=2 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，
所以 1a+1b 的最小值为2，故B项错误；
对于C项， ( a+ b)2=a+b+2 ab≤(a+b)+2×a+b2=2(a+b)=4 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，
所以 a+ b≤2 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，
所以 a+ b 的最大值为2，故C项错误；
对于D项，因为 a2+b2=a+b2−2ab=4−2ab≥4−2×1=2 ，当且仅当 a=b=1 时取等号，
所以 a2+b2 的最小值为2，故D项正确．
故选：AD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查了相互独立事件的定义和性质，百分位数的方法计算，二项分布的方差公式和方差的性质，回归模型，属于中档题．
对于A，根据相互独立事件的定义和性质可得A正确；对于B，按照求百分位数的方法计算可知B错误；对于C，根据二项分布的方差公式和方差的性质计算可知C错误；对于D，根据回归模型分析可知D正确．
【解答】
解：对于A，若 PA>0,PB>0 ，且 PAB=PAPB ，
则A 与B 相互独立，则 A 与 B 相互独立，故A正确；
对于B，将8个样本数据按从小到大顺序排列为： 2,3,3,4,5,8,10,15 ，
因为 8×75%=6 为整数，所以该样本数据的第75百分位数为 8+102=9 ，故B错误；
对于C，若随机变量 ξ∼B7,12 ，则 D(ξ)=7×12×(1−12)=74 ，
则方差 D2ξ=4D(ξ)=7 ，故C错误；
对于D，显然正确．
故选：BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了抛物线中的弦长问题，抛物线的焦点、准线，直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题．
根据抛物线的弦长公式可判定A选项；点到点的距离公式可得出B选项；
直线与抛物线只有一个公共点一定要考虑斜率为0和斜率不存在的特殊情况，不仅仅是 Δ=0 ；D选项利用向量的坐标运算，得到 −y1=3y2, ，再代入韦达定理求解即可．
【解答】
解：由题， F12,0 ，
若直线AB 过抛物线C 的焦点F，设直线 AB:x=my+12,Ax1,y1,Bx2,y2

联立 x=my+12y2=2x⇒y2−2my−1=0,Δ=4m2+4>0
y1+y2=2m,y1y2=−1 ，(※)
AB=x1+x2+1=my1+y2+2=2m2+2≥2 ，
故 AB 的最小值为2，A选项正确；
点A 的坐标为 2,2 ，则 AF= 2−122+22=52 ，故B选项正确；
易知 x=0 或 y=1为过点P0,1 且与抛物线C 只有一个公共点的直线，
当过点P0,1的直线的斜率存在且不为0时，设直线方程为y=kx+1，
联立 y=kx+1y2=2x⇒k2x2+2k−1x+1=0,Δ=4k−12−4k2=0,
解得 k=12 ，故与抛物线C 只有一个公共点的直线有3条，C选项错误；
因为 AF=3FB (点A 在第一象限)，所以直线AB经过点F，
12−x1,−y1=3x2−12,y2,−y1=3y2,
代入(※)式得： −2y2=2m−3y22=−1⇒y1= 3y2=− 33 且 m=−y2= 33 ，
故直线AB 的倾斜角为 π3 ．
故选：ABD．
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体的截面问题，棱锥的结构特征，棱柱的结构特征，属于较难题．
对于A，根据阳马、鳖臑的定义判断即可；对于B，利用展开面求得 BN+B1N 的最小值即可判断；对于C，作出截面，关键在于判断得S 为 △A1B1R 的重心，从而利用勾股定理可求得截面各线段的长，即可判断；对于D，利用平面的性质求得点P 的轨迹，从而得以判断．
【解答】
解：对于A ，由题意，易知 CB⊥ 面 ABB1A1 ，四边形 ABB1A1 为长方形，所以四棱锥 C−AA1B1B 为“阳马”，
在棱锥 B1−A1BC 中， △A1BB1,△B1BC,△A1BC,△A1B1C 为直角三角形，所以三棱锥 B1−A1BC 为鳖臑，故 A 正确，
对于B 选项：将 △B1A1C 沿 A1C 旋转与 △A1BC 共面且位于 A1C 的异侧，
得到平面A1BCB1′，如图所示，

，故B正确，
对于C 选项：过B，G，H 的截面如图所示，

因为 CC1//BB1 ，H 是 CC1 的中点，故 C1 是B1R 的中点，
又G为A1B1 的中点，所以S 为 △A1B1R 的重心，
∴BG=BH= 5,GS=13GR=13 B1G2+B1R2= 173,C1S=13A1C1=2 23 ， SH= C1S2+C1H2= 173 ，
所以截面周长为 2 5+2 173 ，故 C 正确，
对于D选项： C1M⊂ 面 C1AB ， C1M,AP 共面，所以 AP⊂ 面 C1AB ，

又点P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动，面 C1AB∩ 面 BCC1B1=BC1 ，
所以点P的轨迹为线段 BC1 ，且 BC1=2 2 ，故D错误，
故选：ABC．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了等比数列通项公式中的基本量计算，属于基础题．
根据题意，得到q3=a7a4，即可求解．
【解答】
解：由等比数列an中，a4=2,a7=54，
可得q3=a7a4=27，解得q=3．
故答案为：3 ．
14.【答案】−32
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的最值求解，属于一般题。
根据周期求出ω=2，再利用正弦函数的图象可得结果。
【解答】
解：依题意可得T=2πω=π，得ω=2，所以fx=3sin2x+π3，
令t=2x+π3，则y=3sint，
因为x∈0,5π12，所以t∈π3,7π6，
所以当t=7π6时，y=3sint取得最小值为−32，
所以f(x)在区间0,5π12上的最小值为−32。
故答案为：−32。
15.【答案】48125
【解析】【分析】
本题考查了独立重复试验的概率公式和正态分布的对称性，属于中档题．
根据正态分布的对称性求出成绩超过100分的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果．
【解答】
解：因为 X∼N90,σ2 ，所以 μ=90 ，
因为 P80≤X≤100=35 ，所以 P(80≤X<90)=P(90所以 P(X>100)=P(X>90)−P(90所以恰有1名学生的成绩超过100分的概率为 C31⋅15⋅(1−15)2= 48125 ．
故答案为： 48125．
16.【答案】 52
【解析】【分析】
本题考查双曲线的离心率定义以及求解，属于中档题．
设双曲线的左焦点为 F′ ，连 MF′,NF′ ，可得四边形 MFNF′ 为矩形，然后结合双曲线的定义，三角形的面积和勾股定理列方程组可求出a，c 的关系，从而可求出离心率．
【解答】
解：设双曲线的左焦点为 F′ ，连 MF′,NF′ ，
因为 ON=OF=OM=OF′
所以四边形 MFNF′ 为矩形．

不妨设点M 在双曲线的右支上，设 MF′=m,MF=n ，则
m−n=2a,①m2+n2=4c2,②12mn=a24,③
由①得： m2+n2−2mn=4a2.
所以 4c2−a2=4a2 ，即 4c2=5a2 ，
所以 2c= 5a ，所以离心率 e=ca= 52 ．
故答案为： 52
17.【答案】解：(1)由题意可知， a32=a1a13 ，故 a4−d2=a4−3d⋅a4+9d ，
即 (7−d)2=7−3d7+9d ，解得d=0 (舍去)或d=2 ．
∴an=a4+n−4d=2n−1 ， ∴ Sn=na1+an2=n(1+2n−1)2=n2 ．
证明：(2)由(1)知 bn=1anan+1=12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ，
故 b1+b2+b3+⋯+bn=12[(1−13)+(13−15)+(15−17)+⋯+(12n−1−12n+1)]
=121−12n+1=12−14n+2 ，
又 n∈N* ， 14n+2>0 ， ∴ b1+b2+b3+⋯+bn<12 ，从而得证．

【解析】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，属于中档题。
(1)由等比中项可得出 a32=a1a13 ，转化为 a4 和 d 的关系，求解出通项公式 an ，进而求解出前n 项和 Sn ．
(2)先求出 bn 的通项公式，利用裂项求和求出 b1+b2+b3+⋯+bn ，再根据表达式进行范围判断，进而证明出结果．
18.【答案】解：(1)方法一：
由 csAa+csBb=sinC2 3sinB ，得 bcsA+acsBab=sinC2 3sinB ，
由正弦定理得 sinBcsA+sinAcsBasinB=sinC2 3sinB ，
即 sinA+BasinB=sinC2 3sinB ，
又 A+B=180∘−C ，故 sinCasinB=sinC2 3sinB ，
解得 a=2 3 ；
方法二：
由 csAa+csBb=sinC2 3sinB ，及正､余弦定理可得
b2+c2−a22abc+a2+c2−b22abc=c2 3b ，
整理得 2c2ac=c 3 ，解得 a=2 3 ；
(2)由 sinB+C2=sinA ，得csA2=2sinA2csA2 ，
又 0∴A2=30°，∴A=60°，又B=45°，则C=75°，
由正弦定理可得 bsinB=asinA,∴b=asinBsinA=2 2 ，
sinC=sinA+B= 32× 22+12× 22= 6+ 24 ，
∴△ABC的面积S=12absinC=12×2 3×2 2× 6+ 24=3+ 3．

【解析】本题考查用多种方法解三角形，属于中档题．
(1)方法一：由 csAa+csBb=sinC2 3sinB ，得 bcsA+acsBab=sinC2 3sinB ，再利用正弦定理化边为角，进而可得出答案；
方法二：利用正余弦定理化角为边，化简即可得解；
(2)根据三角形内角和定理及二倍角公式求出A，再利用正弦定理解三角形，再根据三角形的面积公式即可得解．
19.【答案】解：(1)证明：∵ 平面 BB1C1C⊥ 平面ABC ，
平面 BB1C1C∩ 平面 ABC=BC ，
又 AB⊂ 平面 ABC,AB⊥BC ，
∴AB⊥ 平面 BB1C1C ，又 BC1⊂ 平面 BB1C1C ，
∴AB⊥BC1 ．
(2)方法一：(坐标法)过C1作C1H⊥BC交BC于点H，
∵ 平面BB1C1C⊥平面ABC，平面 BB1C1C∩ 平面ABC=BC，
又C1H⊂平面BB1C1C，C1H⊥BC，
所以C1H⊥平面ABC，且C1H= 3，设BA=a．
以点B为原点，以BA、BC为x、y轴，以垂直平面ABC且向上方向为z轴建立如图所示空间直角坐标系，如图，
∴C0,4,0,C10,3, 3,Aa,0,0．
设平面ACC1的一个法向量为n1=x,y,z，
又AC=−a,4,0,CC1=0,−1, 3，
由n1⋅AC=−ax+4y=0,n1⋅CC1=−y+ 3z=0,
则取n1=4 3, 3a,a．
由(1)知AB⊥平面BB1C1C，
故平面BB1C1C的一个法向量为n2=1,0,0．
∴csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=4 3 48+4a2= 22,
∴a=2 3 ．
∴S△ABC=4 3,S△A1B1C1=14S△ABC= 3 ．
∴VABC−A1B1C1=13(S上+ S上⋅S下+S下)⋅h
=13( 3+2 3+4 3)× 3=7 ．
方法二：(几何法)连接 AC1 ，如图所示．

由 BB1=B1C1=C1C=12BC=2 ，
易得 BC1=2 3 ，且 C1B2+C1C2=BC2 ，
∴BC1⊥C1C ．
∵AB⊥ 面 BB1C1C,CC1⊂ 平面 BB1C1C ， ∴AB⊥CC1，
又 AB∩BC1=B,AB,BC1⊂ 平面 ABC1 ，
∴CC1⊥ 平面 ABC1 ．
故 ∠AC1B 即为二面角 B−C1C−A 的平面角，即 ∠AC1B=π4 ．
在 中， ，则AB=BC1=2 3．
过 C1 作 C1H⊥BC交BC于点H，
∵ 平面 平面ABC ，
平面 BB1C1C∩ 平面 ABC=BC ，
又 C1H⊂ 平面 BB1C1C ， C1H⊥BC
所以 C1H⊥ 平面ABC ，且 C1H= 3 ，
∴S△ABC=4 3,∴S△A1B1C1=14S△ABC= 3 ．
∴VABC−A1B1C1=13(S上+ S上⋅S下+S下)h
=13( 3+2 3+4 3)× 3=7．

【解析】本题考察了平面与平面所成角的向量求法，棱台的体积和二面角的知识，属于较难题．
(1)由面面垂直的性质：一个平面内，垂直于交线的直线垂直于另一个平面，再由线面垂直判定线线垂直；
(2)法一：建立空间直角坐标系，根据二面角 B−C1C−A 为 π4 ，找到 BA=2 3 ，从而求得三棱台 ABC−A1B1C1 的体积．
法二：通过定义法找到 ∠AC1B 即为二面角 B−C1C−A 的平面角，即 ∠AC1B=π4 ，从而找到 AB=2 3 ，进而找到三棱台 ABC−A1B1C1 的体积．
20.【答案】解：(1)∵ 函数 gx=lnxx+2 的定义域为 0,+∞ ，
∴g′x=1−lnxx2 ．
由 g′x>0 ，得 0e ．
∴gx 的单调递增区间是 0,e ，单调递减区间是 e,+∞ ．
(2)fx≥gx ，即 ex+1−ax+1≥lnxx+2 得 a≤xex+1−lnx−x ．
设 hx=xex+1−lnx−x(x>0) ，则 a≤h(x)min ．
h′x=x+1ex+1−x+1x=x+1ex+1−1x ．
设 φx=ex+1−1x(x>0) ， φ′x=ex+1+1x2>0 ，
∴φx 在 0,+∞ 上单调递增．
而 φ110=e1110−100 ．
∴φx 在 0,+∞ 上存在唯一零点 x0 ， x0∈110,1 ，
由 φx0=ex0+1−1x0=0 ，有 ex0+1=1x0 ，可得 x0+1=−lnx0 ．
当 x∈0,x0 时， φx<0,h′x<0 ， ∴hx 在 0,x0 单调递减．
当 x∈x0,+∞ 时， φx>0,h′x>0 ， ∴hx 在 x0,+∞ 上单调递增．
∴h(x)min=hx0=x0ex0+1−lnx0−x0=x0⋅1x0+x0+1−x0=2 ，
∴a≤2 ，故a 的取值范围是 −∞,2 ．

【解析】本题考查了导数的单调性，导数中的恒成立问题，属于一般题．
(1)利用导数求函数的单调区间；
(2)由不等式恒成立，分离参数得 a≤xex+1−lnx−x ，通过构造函数，利用导数求最小值的方法求实数a 的取值范围．
21.【答案】解：(1)将点 P−1, 32 代入椭圆方程得 1a2+34b2=1 ①，
由题意可知： 2B1B2=PF1+PF2 ，
由椭圆定义可知 a=2b ②，
由①②得 a=2,b=1 ．
∴ 椭圆C 的方程为 x24+y2=1 ．
(2)当直线 l 的斜率不存在时，不妨取直线 l 的方程为： x= 45 ，
∴M 45, 45,N 45,− 45 ，
∵ OM⋅ON=0.∴OM⊥ON ，
∴ 在Rt△OMN 中， GM⋅GN=|OG|2=45 ．
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为： y=kx+m,Mx1,y1,Nx2,y2 ．

∵ 直线 l 与圆O 相切， ∴m 1+k2= 45 .即 m2=451+k2 ．
由 x24+y2=1,y=kx+m, 得 1+4k2x2+8mkx+4m2−4=0 ，
Δ=(8mk)2−41+4k24m2−4=16516k2+1>0 ．
∴x1+x2=−8mk1+4k2,x1x2=4m2−41+4k2,
∴OM⋅ON=x1x2+y1y2=1+k2x1x2+mkx1+x2+m2,
=1+k2⋅4m2−41+4k2+mk⋅−8mk1+4k2+m2=5m2−4−4k21+4k2=41+k2−4−4k21+4k2=0.
∴OM⊥ON.
从而在Rt △OMN 中， GM⋅GN=|OG|2=45 ．
∴ 由①②得， GM⋅GN 为定值 45 ．

【解析】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的定值问题，属于难题．
定值问题常见方法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
(1)由椭圆定义得到 a=2b ，结合 P−1, 32 在椭圆上，得到方程组，求出 a=2,b=1 ，得到椭圆方程；
(2)考虑直线的斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，与椭圆方程联立，计算出 ∴OM⋅ON=0 ，从而得到 GM⋅GN 为定值．
22.【答案】解：(1)X可能取值为4，6，8 ，
PX=4=232=49 ，
PX=6=C211323=49 ，
PX=8=132=19 ，
∴X 的数学期望 EX=49×4+49×6+19×8=489=163 ；
(2)(i)“总分恰为2k 分”的概率为 23k ，
∴ 数列 pk 是以首项为 23 ，公比为 23 的等比数列，记前n 项和为 Sn ，
则前4项和 S4=231−2341−23=13081 ；
(ii)方法一：“已调查过的累计得分恰为2n 分”的概率为 an ，
得不到2n 分的情况只有先得2n−2 分，再得4分，概率为 13an−1n≥2,a1=23 ，
所以 1−an=13an−1 ，即 an=1−13an−1 ，
∴an−34=−13an−1−34 ，
∴数列 an−34 是以 a1−34=−112 为首项， −13 为公比的等比数列，
∴an−34=a1−34⋅−13n−1=−112⋅−13n−1 ，
∴an=34+14−13n.
方法二：得分2n 分可以先得 2n−2 分，再得2分，也可以先得 2n−4 分，再得4分，
“已调查过的累计得分恰为2n 分”的概率为 an ，则“得 2n−2 分”的概率为 an−1 ，“得 2n−4 分”的概率为 an−2 ，n⩾3．
所以 an=23an−1+13an−2,a1=23,a2=23×23+13=79 ，
由 an=23an−1+13an−2 ，n⩾3，得 an+13an−1=an−1+13an−2 ，
∴an+13an−1=an−1+13an−2=⋯=a2+13a1=79+13×23=1 ，
∴an=1−13an−1 ，
(后面同方法一)
另解：由 an=23an−1+13an−2 ，得 an−an−1=−13an−1−an−2 ，
∴a2−a1=79−23=19 ，
∴an−an−1=19⋅−13n−2=−13n ．
当n⩾2时，
an=a1+(a2−a1)+⋯+(an−an−1)
=23+19[1−(−13)n−1]1+13
=23+1121−−13n−1
=34−112−13n−1
=34+14−13n ，
当n=1时，a1=23满足上式，
所以an=34+14·−13n．

【解析】本题考查离散型随机变量的均值，等比数列的求解以及应用，属于综合题．
(1)写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求解即可；
(2)(i)根据题意可得“总分恰为2k 分”的概率为 23k ，再根据等比数列前n 项和公式求解即可；
(ii)方法一：“已调查过的累计得分恰为2n 分”的概率为 an ，得不到2n 分的情况只有先得2n−2 分，再得4分，概率为 13an−1n≥2,a1=23 ，则 1−an=13an−1 ，再利用构造法求解即可．
方法二：得分2n 分可以先得 2n−2 分，再得2分，也可以先得 2n−4 分，再得4分，“已调查过的累计得分恰为2n 分”的概率为 an ，则“得 2n−2 分的概率为 an−1 ”，“得 2n−4 分”的概率为 an−2 ，根据题意可出 an,an−1,an−2 的关系，再利用构造法求解即可．