人教版七年级数学下册精选压轴题汇编培优卷专题13和差倍分和几何问题(二元一次方程组的应用)(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册精选压轴题汇编培优卷专题13和差倍分和几何问题(二元一次方程组的应用)(原卷版+解析)，共31页。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
1．(本题2分)（2020春·重庆梁平·七年级统考期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（ ）
A．每头大牛天约用饲料B．头大牛和头小牛天约用饲料
C．头大牛和头小牛天约用饲料D．头大牛和头小牛天用饲料
2．(本题2分)（2020春·河北承德·七年级校考期中）有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
3．(本题2分)（2022春·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A点的坐标是（－2，5），则B点的坐标是（ ）
A．（－，）B．（－，）C．（－6，5）D．（－6，4）
4．(本题2分)（2021秋·陕西渭南·八年级统考期末）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．B．C．D．
5．(本题2分)（2018·河北石家庄·校联考一模）如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )
A．5元，2元B．2元，5元
C．4.5元，1.5元D．5.5元，2.5元
6．(本题2分)（2022·河北邢台·二模）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是( )
A．B．
C．D．
7．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，分别表示矩形的长和宽（），则下列等式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．(本题2分)（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
9．(本题2分)（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
10．(本题2分)（2020·浙江杭州·模拟预测）8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm2的矩形ABCD（如图），则矩形ABCD的周长为（ ）
A．200cmB．220cmC．240cmD．280cm
11．(本题2分)（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长______cm．
12．(本题2分)（2015春·浙江·七年级统考期中）为奖励期末考试中成绩优秀的同学，七年级某班级花62元钱购买了单价分别为9元、5元的A、B两种型号的黑色签字笔作为奖品，则共买了______支签字笔．
13．(本题2分)（2022春·四川成都·七年级校联考期中）如图，∥，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为______．
14．(本题2分)（2022春·四川内江·七年级校考阶段练习）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于______．
15．(本题2分)（2022秋·重庆綦江·八年级统考期末）新学期伊始，綦江区某中学的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共60人捐书，丙班有50人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．
16．(本题2分)（2021·四川宜宾·校考模拟预测）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为_______ 钱
17．(本题2分)（2019春·山西·七年级统考阶段练习）如图1，在第一个天平上，物块的质量等于物块加上物块的质量；如图2，在第二个天平上，物块加上物块的质量等于个物块的质量．已知物块的质量为．请你判断：个物块的质量是____________．
18．(本题2分)（2018秋·八年级课时练习）买一些4分与8分的邮票共花6元8角,已知8分的邮票比4分的多40张,那么8分的邮票有______张.
19．(本题2分)（2019秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．
20．(本题2分)（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽_________．
21．(本题6分)（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）为了进一步落实“双减”政策，丰富课外活动，某班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案？
22．(本题6分)（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中大长方形的面积．
23．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
24．(本题8分)（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）某同学在A．B两家超市发现他看中的随身听单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，求随身听的单价比书包的单价多多少元？（用方程知识解答）
25．(本题8分)（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？
(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
26．(本题8分)（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
(1)在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
(2)若AM＝BN，，求m和n值．
27．(本题8分)（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）某单位准备将一块周长为46米的长方形草地，设计成长宽分别相等的8块小长方形（如图所示）种上各种花卉，经过市场预测，每平方米绿化造价约为100元，求每个小长方形的长和宽，并求完成这项绿化工程的预计投资．
28．(本题8分)（2022春·湖南永州·七年级统考期末）某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．”
小明：“我们七年级师生共336人．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？
评卷人
得分
一、选择题(每题2分，共20分)
评卷人
得分
二、填空题(每题2分，共20分)
评卷人
得分
三、解答题(共60分)
2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷
专题13 和差倍分和几何问题（二元一次方程组的应用）
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
1．(本题2分)（2020春·重庆梁平·七年级统考期末）嘉祥县是鲁西黄牛、小尾寒羊的国家育种基地县，全县生年畜牧业产值高达亿元．黄垓镇某养牛场原有头大牛和头小牛，天约用饲料；天后又购进头大牛和头小牛，这时天约用饲料．下列说法中，错误的是（ ）
A．每头大牛天约用饲料B．头大牛和头小牛天约用饲料
C．头大牛和头小牛天约用饲料D．头大牛和头小牛天用饲料
【答案】D
【思路点拨】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可做出判断．
【规范解答】设每头大牛1天约需饲料xkg，每头小牛1天约需饲料ykg，
根据题意得：，
解得：，
∴每头大牛1天约需饲料20kg，每头小牛1天约需饲料5kg，则
A、每头大牛1天约用饲料20kg，说法正确．
B、1头大牛和1头小牛1天约用饲料20+5=25kg，说法正确．
C、1头大牛和2头小牛1天约用饲料20+10=30kg，说法正确．
D、2头大牛和1头小牛1天约用饲料=2×20+5=45（kg），说法错误；
故选：D．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
2．(本题2分)（2020春·河北承德·七年级校考期中）有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
【答案】D
【思路点拨】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，根据图中信息和已知条件可以列出方程组 ，解方程组即可求出每只黑球和白球的质量．
【规范解答】设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得，
解得 ，
3+1=4．
故选D
【考点评析】此题考查二元一次方程组，解题关键在于从图中找出隐含条件，然后列出方程组解决问题．
3．(本题2分)（2022春·湖北省直辖县级单位·七年级统考期末）用大小完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知A点的坐标是（－2，5），则B点的坐标是（ ）
A．（－，）B．（－，）C．（－6，5）D．（－6，4）
【答案】D
【思路点拨】设长方形纸片的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再结合点B所在的位置，即可得出点B的坐标．
【规范解答】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得：，
∴2x＝6，x＋y＝4，
∴点B的坐标为（−6，4）．
故选：D．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．(本题2分)（2021秋·陕西渭南·八年级统考期末）《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算筹记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料，下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”便是其中一题．下卷中还有一题，记载为：“今有甲乙二人，持钱各不知数．甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人持钱各几何？”意思是：“甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48文．问甲、乙二人原来各有多少钱？”设甲原有钱x文，乙原有钱y文，可得方程组（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【思路点拨】根据题意，通过题目的等量关系，结合题目所设未知量列式即可得解.
【规范解答】设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
根据题意，得：，
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，准确设出未知量根据等量关系列式求解是解决本题的关键.
5．(本题2分)（2018·河北石家庄·校联考一模）如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )
A．5元，2元B．2元，5元
C．4.5元，1.5元D．5.5元，2.5元
【答案】A
【思路点拨】可设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．
【规范解答】设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，依题意有：
，解得：．
故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．
故选A．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．
6．(本题2分)（2022·河北邢台·二模）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍，设男孩有x人，女孩有y人，则下列方程组正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【思路点拨】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽比红色的多1倍，进而分别得出等式即可．
【规范解答】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得出：
故选C．
【考点评析】主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意利用已知得出正确等量关系是解题关键．
7．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）用四个全等的长方形和一个小正方形拼成所示的大正方形，已知大正方形的面积是144，小正方形的面积是4，若用，分别表示矩形的长和宽（），则下列等式不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【思路点拨】根据大正方形的面积和小正方形的面积，可得出方程组，进行求解，然后依次检验选项即可．
【规范解答】解：大正方形的边长为，小正方形的边长为，
由题意知：，，
∴，．
组成方程组为：
，
可得：，．
，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：D．
【考点评析】题目主要考查数形结合思想，理解题意对完全平方公式及二元一次方程组的运用是解题关键．
8．(本题2分)（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，利用两个外形一致的长方形木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（ ）
A．81cmB．83cmC．85cmD．87cm
【答案】C
【思路点拨】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，观察图①、图②，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【规范解答】设桌子的高度为xcm,长方体木块的长比宽长ycm，
根据题意得：，
解得：．
故选：C
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．(本题2分)（2022秋·河北张家口·八年级统考期末）现有四个大小相同的长方形，可拼成如图1和图2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个面积为4的小正方形，则每个小长方形的面积是（ ）
A．3B．6C．12D．18
【答案】A
【思路点拨】设小长方形的长为x，宽为y，由图1可得x=3y，则x-y=3y-y=2y=4，解得y=2即可就得最后结果．
【规范解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：
，
解得：，
∴每个小长方形的面积=3×1=3，
故选：A．
【考点评析】本题考查了数形结合思想解决数学问题的能力，关键是能根据图形找到相关数量关系列出算式．
10．(本题2分)（2020·浙江杭州·模拟预测）8块相同的长方形地砖拼成面积为2400 cm2的矩形ABCD（如图），则矩形ABCD的周长为（ ）
A．200cmB．220cmC．240cmD．280cm
【答案】A
【思路点拨】设长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，依据图形中所示的小长方形的长与宽之间的关系，长＝3×宽，以及长方形的面积＝ cm2，可以列出方程组，解方程组即可求得x，y的值，再求矩形ABCD的周长．
【规范解答】解：设长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得
，
解之得 ，
则矩形ABCD的周长为2×（60+40）＝200cm．
故选A．
【考点评析】本题考查了图形与二元一次方程组，正确找到数量关系列出方程组是解题的关键.
11．(本题2分)（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长______cm．
【答案】8
【思路点拨】拼图由长方形部分和半圆突出部分，利用二元一次方程解出即可．
【规范解答】
如图，设每个拼图的长由x和y两部分组成，则根据图二和图三可列出两个方程：
解得：
所以拼图长为：
故答案为：8
【考点评析】本题考查二元一次方程在图形中的应用，找到等量关系是本题关键．
12．(本题2分)（2015春·浙江·七年级统考期中）为奖励期末考试中成绩优秀的同学，七年级某班级花62元钱购买了单价分别为9元、5元的A、B两种型号的黑色签字笔作为奖品，则共买了______支签字笔．
【答案】10．
【规范解答】试题分析：设买了A种型号的黑色签字笔x支，买了B种型号的黑色签字笔y支，根据题意可得，9x+5y=62，x、y都取正整数，符合条件的只有这一个，所以共买了10支签字笔．
考点：列二元一次方程；二元一次方程的整数解．
13．(本题2分)（2022春·四川成都·七年级校联考期中）如图，∥，平分，平分交的延长线于点，若，则的度数为______．
【答案】##68度
【思路点拨】如图，延长交于由题意可以假设，构建方程组证明即可解决问题．
【规范解答】解：如图，延长交于由题意可以假设，．
则有，
可得：，
，
，
，
，
故答案为．
【考点评析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，二元一次方程组的应用，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题．
14．(本题2分)（2022春·四川内江·七年级校考阶段练习）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于______．
【答案】
【思路点拨】设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，由题意列出方程组求出其解即可得出结果．
【规范解答】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm，
由题意得： ，
两式相加得：2a=150，
解得：a=75，
故答案为：75cm．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的运用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
15．(本题2分)（2022秋·重庆綦江·八年级统考期末）新学期伊始，綦江区某中学的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共60人捐书，丙班有50人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．
【答案】990
【思路点拨】根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．
【规范解答】解：设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，
设甲班有y人，乙班有（60﹣y）人．
根据题意，得
xy+(x+5)(60﹣y)+•50＝，
解得：y=，
因为x、y均为正整数，故x＝10或20，y＝32或70，
因为，
所以x＝10，y＝32，
共捐书10×32+15×28+5×50＝990．
答：甲、乙、丙三班共捐书990本．
故答案为990．
【考点评析】此题考查二元一次方程的实际应用，题中有三个量待求，但是只有一个等量关系，因此只能设出两个未知数，用一个未知数表示另一个未知数，根据数量的要求及代数式的形式确定未知数的值，这是此题的难点．
16．(本题2分)（2021·四川宜宾·校考模拟预测）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？此问题中羊价为_______ 钱
【答案】150
【思路点拨】设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【规范解答】解：设共有x人合伙买羊，羊价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
故答案为150.
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．(本题2分)（2019春·山西·七年级统考阶段练习）如图1，在第一个天平上，物块的质量等于物块加上物块的质量；如图2，在第二个天平上，物块加上物块的质量等于个物块的质量．已知物块的质量为．请你判断：个物块的质量是____________．
【答案】
【思路点拨】可以分别设物块A、B、C的质量是x，y，z，然后根据两个天平列出方程组，消去z，得出y与x之间的关系即可得出答案.
【规范解答】设物块A、B、C的质量分别是x克，y克，z克，根据题意得，

①×3-②，得
2x=4y
∴x=2y
∵x=10
∴2y=10，
解得，y=5，
即，1个物块的质量是5g.
故答案为：5.
【考点评析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题列出二元一次方程组是解此题的关键.
18．(本题2分)（2018秋·八年级课时练习）买一些4分与8分的邮票共花6元8角,已知8分的邮票比4分的多40张,那么8分的邮票有______张.
【答案】70张
【思路点拨】设8分的邮票有x张, 4分邮票有y张，由题意得， ,解方程组可得.
【规范解答】设8分的邮票有x张, 4分邮票有y张，由题意得，
,
解得
,
所以，8分的邮票有70张.
故答案为70
【考点评析】本题考核知识点：二元一次方程组应用. 解题关键点：张数关系和钱数关系，列出方程组.
19．(本题2分)（2019秋·重庆北碚·九年级西南大学附中校考阶段练习）新学期伊始，西大附中的学子们积极响应学校的“书香校园”活动，踊跃捐出自己喜爱的书籍，互相分享，让阅读成为一种习惯．据调查，某年级甲班、乙班共80人捐书，丙班有40人捐书，已知乙班人均捐书数量比甲班人均捐书数量多5本，而丙班的人均捐书数量是甲班人均捐书数量的一半，若该年级甲、乙、丙三班的人均捐书数量恰好是乙班人均捐书数量的，且各班人均捐书数量均为正整数，则甲、乙、丙三班共捐书_____本．
【答案】1080．
【思路点拨】根据设间接未知数列二元一次方程求各班人均捐书数，然后再求三个班共捐书即可解答．
【规范解答】设甲班的人均捐书数量为x本，乙班的人均捐书数量为（x+5）本，丙班的人均捐书数量为本，
设甲班有y人，乙班有（80﹣y）人．
根据题意，得
xy+（x+5）（80﹣y）+•40＝
解得：y=，
可知x为2且5的倍数，故x＝10，y＝64，
共捐书10×64+15×16+5×40＝1080．
答：甲、乙、丙三班共捐书1080本．
故答案为1080．
【考点评析】此题考查二元一次方程的实际应用，题中有三个量待求，但是只有一个等量关系，因此只能设出两个未知数，用一个未知数表示另一个未知数，根据数量的要求及代数式的形式确定未知数的值，这是此题的难点.
20．(本题2分)（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形．“咳，怎么中间还留了一个洞，恰好是边长为的小正方形！”请你写出这些长方形的长和宽_________．
【答案】10，6
【思路点拨】设每个小长方形的长为xmm，宽为 ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个长加2的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【规范解答】设长方形的长为x，宽为y，则

解得：
所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm，
故答案为：10，6．
【考点评析】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
21．(本题6分)（2022秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）为了进一步落实“双减”政策，丰富课外活动，某班准备购买一些篮球和足球．据了解，购买8个篮球和10个足球共需2000元；购买10个篮球和20个足球共需3100元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)若该班恰好用3500元购买这些篮球和足球（两种均购买），求共有几种购买方案？
【答案】(1)篮球的单价为元，足球的单价为元
(2)共有3种采购方案
【思路点拨】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据题意，列出二元一次方程组，进行求解即可；
（2）设购买篮球个，足球个，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得解．
【规范解答】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意，得：
，解得：，
∴篮球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设购买篮球个，足球个
则：
∴，
∵，且均为正整数，
∴方程的解为：或或，
∴共有3种采购方案：
方案1：采购18个篮球，10个足球；
方案2：采购10个篮球，25个足球；
方案3：采购2个篮球，40个足球．
【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列出二元一次方程（组）是解题的关键．
22．(本题6分)（2022秋·北京海淀·八年级北京育英中学校考期末）在大长方形中放入6个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，求图中大长方形的面积．
【答案】
【思路点拨】设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形长和宽，然后求得大长方形的长和宽，从而求得面积．
【规范解答】解：设小长方形的长、宽分别为，
依题意得，
解之得，
∴小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，
∴，
∴，
【考点评析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
23．(本题8分)（2023春·浙江·七年级专题练习）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【答案】(1)
(2)①；；②24，27，30
【思路点拨】（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可．
【规范解答】（1）由题意得：，
解得；
故答案为：60，40；
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×m=2m，裁法二产生A型板材为：1×n=n，
所以两种裁法共产生A型板材为2m+n（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×m=m，裁法二产生A型板材为，2×n=2n，
所以两种裁法共产生B型板材为（m+2n）张；
故答案为：2m+n；m+2n；
②当30≤m≤40时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张．
∵所裁得的板材恰好用完，
∴，化简得m=4n．
∵n，m皆为整数，
∴m为4的整数倍，
又∵30≤m≤40，
∴m可取32，36，40，
此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为： 24或27或30．
【考点评析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
24．(本题8分)（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期中）某同学在A．B两家超市发现他看中的随身听单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，并且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，求随身听的单价比书包的单价多多少元？（用方程知识解答）
【答案】随身听的单价比书包的单价多元
【思路点拨】设随身听和书包的单价分别为x元，y元，根据题意列方程组，解方程组即可求解．
【规范解答】解：设随身听和书包的单价分别为x元，y元．
由题意可得
解得
（元）．
答：随身听的单价比书包的单价多元．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
25．(本题8分)（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．建兰中学欲购置规格分别为200ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元．
(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．
(2)该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费2500元，则这批消毒液可使用多少天？
(3)为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将8.4L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为200ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗10ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元
(2)这批消毒液可使用5天
(3)分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小
【思路点拨】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，购买1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，根据总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，再结合可使用时间＝免洗手消毒液总体积÷每天需消耗的体积，即可求出结论；
（3）设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将8.4L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗10ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m＋n）最小的方案即可得出结论．
（1）
解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种免洗手消毒液的单价为10元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．
（2）
解：设购进甲种免洗手消毒液a瓶，乙种免洗手消毒液b瓶，
依题意，得：10a＋25b＝2500，
∴2a＋5b＝500，
∴，
答：这批消毒液可使用5天．
（3）
解：设分装200ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，
依题意，得：200m＋500n＋10（m＋n）＝8400，
∴，
∵m，n均为正整数，
∴和，
∵要使分装时总损耗10（m＋n）最小，
∴，
即分装时需200ml的空瓶6瓶，500ml的空瓶14瓶，才能使总损耗最小．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
26．(本题8分)（2022·全国·七年级假期作业）数轴上有两个动点M，N，如果点M始终在点N的左侧，我们称作点M是点N的“追赶点”．如图，数轴上有2个点A，B．它们表示的数分别为－3，1，已知点M是点N的“追赶点”，且M，N表示的数分别为m，n．
(1)在A，M，N三点中，若其中一个点是另外两个点所构成线段的中点，请用含m的代数式来表示n．
(2)若AM＝BN，，求m和n值．
【答案】(1)见解析
(2)或或
【思路点拨】（1）分三种情况：①当M是A，N的中点时；②当A是M、N的中点时；③当N是M、A的中点时分别进行求解；
（2）根据AM＝BN，可得，再根据，可得，二者组成方程组即可求解．
(1)
解：①当M是A，N的中点时，
∴n＝2m＋3
②当A是M、N的中点时，
∴n＝－6－m
③当N是M、A的中点时，．
(2)
解：∵AM＝BN，
∴，
∵，
∴
∴或或或，
解得或或或
∵ ，
∴或或．
【考点评析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用及数轴上两点间的距离公式．结合数量关系表示出线段的长度，再根据线段间的关系列出方程是解题的关键．
27．(本题8分)（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）某单位准备将一块周长为46米的长方形草地，设计成长宽分别相等的8块小长方形（如图所示）种上各种花卉，经过市场预测，每平方米绿化造价约为100元，求每个小长方形的长和宽，并求完成这项绿化工程的预计投资．
【答案】每个小正方形的宽为，长为．完成这块绿化工程预计投入资金12000元
【思路点拨】设小长方形的宽为，长为，根据草地的长列方程5x=3y，相邻两边的和（5x+y+x）的2倍等于周长46，列方程2（5x+y+x）=46，组成方程组，求出小长方形的长和宽，再用8个小长方形面积乘以每平方米绿化造价，即可求解．
【规范解答】解：设小长方形的宽为，长为，
由题意得：，
解得：．
则总投资为（元）．
答：每个小正方形的宽为，长为．完成这块绿化工程预计投入资金12000元．
【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握长方形长宽与周长的关系和面积公式，列方程组，绿地工程造价与单位面积造价和面积的关系．
28．(本题8分)（2022春·湖南永州·七年级统考期末）某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：
李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．”
小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．”
小明：“我们七年级师生共336人．”
根据以上对话，解答下列问题：
(1)客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？
(2)七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？
【答案】(1)客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元；
(2)租用45座客车6辆，33座客车2辆．
【思路点拨】（1）设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，根据“45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元，且租用4辆45座和2辆33座的客车一天的租金共计4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，根据租用的客车正好乘坐336人，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出租车方案．
（1）
解：设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，
依题意得：
解得：，
答：客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元．
（2）
设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，
依题意得：45m+33n=336，
解得：
又∵m，n均为自然数，
解得：，
答：应该租用45座客车6辆，33座客车2辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算．
【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
评卷人
得分
一、选择题(每题2分，共20分)
评卷人
得分
二、填空题(每题2分，共20分)
评卷人
得分
三、解答题(共60分)