2024-2025新高考名师原创押题卷（5）

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高考名师原创押题卷（5）
数 学
第I卷（选择题）
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分﹐共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．9B．10C．11D．12
2．已知为虚数单位，复数满足，则的值为（ ）
A．1B．C．或D．1或
3．已知平面向量，，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．设若，，则，实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上异于的点满足，，，则椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
6．在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．定义，对于任意实数，则的值是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9．年月日国家统计局发布了制造业采购经理指数（）,如下图所示:
下列说法正确的是（ ）
A．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的第百分位数为
B．从年月到年月,这个月的制造业采购经理指数（）的极差为
C．从年月到年月制造业采购经理指数（）呈下降趋势
D．大于表示经济处于扩张活跃的状态;小于表示经济处于低迷萎缩的状态,则年月到年月,经济处于扩张活跃的状态
10．已知双曲线：（，）左右焦点分别为，，.经过的直线与的左右两支分别交于，，且为等边三角形，则（ ）
A．双曲线的方程为
B．的面积为
C．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
11．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
12．已知函数是偶函数，则实数 .
13．已知，若平面内满足到直线的距离为1的点有且只有3个，则实数 ．
14．对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（本小题满分13分）
在中，角、、的对边分别为、、，且，，．
(1)求的面积；
(2)求边的值和的值；
(3)求的值．
16．（本小题满分15分）
如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面，已知圆柱的轴截面是边长为6的正方形，，点在线段上运动．
(1)证明：；
(2)当时，求与平面所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
18．（本小题满分17分）
某校数学问题研究小组的同学利用电脑对曲线进行了深人研究．已知点在曲线上，曲线在点处的切线方程为．请同学们研究以下问题，并作答．
(1)问题1：过曲线的焦点的直线与曲线交于两点，点在第一象限．
（i）求（为坐标原点）面积的最小值；
（ii）曲线在点处的切线分别为，两直线相交于点，证明．
(2)问题2：若是曲线上任意两点，过的中点作轴的平行线交曲线于点，记线段与曲线围成的封闭区域为，研究小组的同学利用计算机经过多次模拟实验发现是个定值，请求出这个定值．
19．（本小题满分17分）
在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于．
（已知对于正态分布，P随X变化关系可表示为）