2024届高三新改革高考数学押题卷

这是一份2024届高三新改革高考数学押题卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某统计数据共有13个样本xii=1,2,…,13，它们依次成公差d=5的等差数列，若第60百分位数为30，则它们的平均数为（ ）
A．19B．25C．21D．23
2．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x216+y24=1的一个顶点，则p的值为（ ）．
A．2B．3C．4D．8
3．（本题5分）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,D1C1,CC1的中点分别E,F,G,H，则下列直线中，与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线（ ）
A．GHB．EHC．EGD．FH
4．数列an中前n项和Sn满足Sn=λn2+2n+1λ∈R，若an是递增数列，则λ的取值范围为（ ）
A．0,+∞B．12,+∞C．-12,+∞D．-1,+∞
5．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校成立了手工艺社团，并开设了陶艺、剪纸等6门课程．该校甲、乙2名同学报名参加手工艺社团，每人仅报2门课程，其中甲不报陶艺、乙不报剪纸，且甲、乙两人所报课程均不相同，则甲、乙报名课程的方案种数为（ ）
A．18B．24C．36D．42
6．已知向量a,b,c满足a=b=1,c=3，且a+b+c=0，则csa-c,b-c=（ ）
A．1314B．3314C．-3314D．-1314
7．已知α，β均为锐角，sin2α-β=253csα+sinβ，则sinα-β=（ ）
A．255B．55C．23D．53
8．已知双曲线x2a2-y2b2=1a,b>0上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．2,+∞B．3,+∞C．2,+∞D．233,+∞
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，下列说法中正确的是（ ）
A．若bcsC+ccsB=b，则△ABC是等腰三角形
B．若a=2,b=3,A=30∘，则符合条件的△ABC有两个
C．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D．若sin2B+sin2C=sin2A，则△ABC为直角三角形
10．已知复数z1，z2，则下列结论正确的是（ ）
A．若z1=z2，则z12=z22B．若z12+z22=0，则z1=z2=0
C．z1z2=z1z2D．z1⋅z2=z1⋅z2
11．已知连续函数fx及其导函数f'x的定义域均为R，记gx=f'x，若g'32-23x为奇函数，f34+2x-2x的图象关于y轴对称，则（ ）
A．g'3=0B．g34=g'32
C．g'x在0,4上至少有2个零点D．k=12024g34k+g'34k=2024
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合M=-3,-2,3,5,N=xx≤m，若M∩N为单元素集，则m的最小值为 ．
13．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=3,∠ACB=60°，SC为球O的直径，且SC=4，则三棱锥S-ABC体积的最大值为 .
14．已知函数f(x)=ax-lgax,a∈(0,1)∪(1,+∞)，若f(x)在其定义域上没有零点，则a的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）设函数fx的导函数为f'x,f'x的导函数为f″x,f″x的导函数为f'''x.若f″x0=0，且f'''x0≠0，则点x0,fx0为曲线y=fx的拐点.
(1)若函数fx=160x5+124x4，判断曲线y=fx是否有拐点，并说明理由；
(2)若函数gx=aex-12x2-ax，且点0,g0为曲线y=gx的拐点，求gx在[-1,2]上的值域.
16．（本题15分）为普及安全知识，某单位举办了一场安全知识竞赛，经过初赛、复赛，有甲、乙两个代表队（每队三人）进入决赛，决赛规则如下：共进行三轮比赛，每轮比赛中每人各答一题，每答对一题得 10 分，答错不得分. 假设甲队每人答题正确的概率均为12，乙队三人答题正确的概率分别25,12,23.
(1)若决赛中三轮总得分大于70分就能获得特别奖，求乙队获得特别奖的概率;
(2)因两队在决赛中得分相同，现进行附加赛. 规则如下：甲，乙两队抽签决定谁先答题，每队每人各答题一次为一轮，有两人及以上答对就算成功答题，并继续下一轮答题，否则换另一队答题，连续两轮成功答题的队伍获胜，比赛结束. 求附加赛中甲队恰好在第5轮结束时获胜的概率.
17．（本题15分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，平面FCD⊥平面ABCD，平面EAB⊥平面ABCD,△AEB,△CFD是等腰直角三角形，且∠DFC=∠BEA=π2.
(1)证明：平面ABF//平面CDE；
(2)若∠BAD≤π3，求平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围.
18．（本题17分）如图，各边与坐标轴平行或垂直的矩形ABCD内接于椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其中点A，B分别在第三、四象限，边AD，BC与x轴的交点为M1，M2.
(1)若AB=BC=1，且M1，M2为椭圆E的焦点，求椭圆E的离心率；
(2)若A1B1C1D1是椭圆E的另一内接矩形，且点A1也在第三象限，若矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的面积相等，证明：|OA|2+OA12是定值，并求出该定值；
(3)若ABCD是边长为1的正方形，边AB，CD与y轴的交点为M3，M4，设Pi（i=1，2，…，100）是正方形ABCD内部的100个点，记dk=i=1100MkPi，其中k=1，2，3，4.证明：d1，d2，d3，d4中至少有两个小于81.
19．（本题17分）已知数列an的前n项和为Sn，若数列an满足：①数列an项数有限为N；②SN=0；③i=1Nai=1，则称数列an为“N阶可控摇摆数列”．
(1)若an=7-2n181≤n≤N，请判断数列an是否为“N阶可控摇摆数列”？若是，请求出N的值；若不是，请说明理由；
(2)若等比数列an1≤n≤10为“10阶可控摇摆数列”，求an的通项公式；
(3)若等差数列an1≤n≤2m,m∈N*为“2m阶可控摇摆数列”，且am>am+1，求数列an的通项公式．
参考答案：
1．B
【详解】解关于整数n的不等式组n13≥0.613-n+113≥0.4可得7.8≤n≤8.8，所以n=8.
由于x1由于x1,…,x13成等差数列，所以x1+x2+...+x1313=13x713=x7=x8-5=25.
故选：B.
2．D
【详解】由题意知，y2=2px（p>0）的焦点为(p2,0)，
x216+y24=1的右顶点为(4,0)，
所以p2=4，解得p=8.
故选：D
3．A
【详解】设AD1∩A1D=M,AC∩BD=O，连接OM，
而O,M∈平面ACD1，O,M∈平面BDA1，
则平面ACD1∩平面BDA1=OM，
作出平面ACD1和平面BDA1的交线如图所示：
另一方面：由正方形的性质可知M,O分别是AC,AD1的中点，
从而MO//CD1，同理有GH//CD1，
对比选项可知与平面ACD1和平面BDA1的交线平行的直线GH.
故选：A.
4．B
【详解】因为Sn=λn2+2n+1(λ∈R)，
则Sn+1=λ(n+1)2+2(n+1)+1(λ∈R)，
两式相减得an+1=Sn+1-Sn=λ(2n+1)+2，
因为数列{an}是递增数列，
所以当n≥2时，an+1-an=[λ(2n+1)+2]-[2λ(n-1)+λ+2]=2λ>0，解得λ>0.
当n=1时，a1=S1=λ+3,a2=3λ+2，
所以a2-a1=(3λ+2)-(λ+3)=2λ-1>0，解得λ>12.
综上λ>12.
故选：B.
5．D
【详解】按甲报的课程分为两类：
①若甲报剪纸，则从除了陶艺的其他4门课程中再选1门，有C41种结果，
乙再从剩余4门课程中选2门，有C42种结果，有C41C42=24种；
②若甲不报剪纸，则从除了陶艺、剪纸的其他4门课程中选2门，有C42种结果，
乙再从剩余除剪纸外的3门课程中选2门，有C32种结果，有C42C32=18种；
综上所述：共有24+18=42种方案．
故选：D．
6．A
【详解】由题意得a+b=-c，则(a+b)2=c2有12+2a⋅b+12=(3)2，解得a⋅b=12，
又由a+c=-b，则(a+c)2=b2有12+2a⋅c+(3)2=12，解得a⋅c=-32，
同理可得b⋅c=-32，
所以a-c⋅b-c=a⋅b-a⋅c-b⋅c+c2=132，
a-c=a2-2a⋅c+c2=7，
b-c=b2-2b⋅c+c2=7，
所以csa-c,b-c=a-c⋅b-ca-c⋅b-c=1327×7=1314.
故选：A
7．D
【详解】由题意sin2α-β=sinα+α-β=sinαcsα-β+csαsinα-β，
又sin2α-β=253csα+sinβ=253csα-sinα-β-α =253-sinα-βcsα+csα-βsinα，
故sinαcsα-β+csαsinα-β=253-sinα-βcsα+csα-βsinα，
即csαsinα-β=253-sinα-βcsα
又α均为锐角，所以csα≠0，
故sinα-β=253-sinα-β⇒sinα-β=53，
故选：D.
8．A
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为y=±bax，
设点Ax,y，则可取C3y,-3x，
则x2a2-y2b2=13y2a2-3x2b2=1，整理得y2x2=3a2+b2a2+3b2解得b2>a2，即c2-a2>a2，可得c2a2>2，则e=ca=c2a2>2，
所以该双曲线离心率的取值范围是2,+∞．
故选：A.
9．ABD
【详解】对于A，由已知有b=bcsC+ccsB，故sinB=sinBcsC+sinCcsB=sinB+C=sinA，所以b=a，故A正确；
对于B，我们只需要确定满足条件的c的个数，由余弦定理知c满足的方程是a2=b2+c2-2bccsA，即4=9+c2-33c，而该方程有两个解c=33±72，故B正确；
对于C，若A=π6，B=π3，C=π2，则sin2A=sinπ3=sin2π3=sin2B，但△ABC不是等腰三角形，故C错误；
对于D，若sin2B+sin2C=sin2A，则有2sinAcsA=sin2A=sin2B+sin2C=2sinB+CcsB-C=2sinAcsB-C.
故csA=csB-C，从而0=csB-C-csA=csB-C+csB+C=2csBcsC.
这表明csB=0或csC=0，即B=π2或C=π2，故D正确.
故选：ABD
10．CD
【详解】对于A，不妨取z1=1+i,z2=2，则z1=z2=2，
但是z12=1+i2=2i,z22=2，A错误；
对于B，取z1=1+i,z2=1-i，则z12=2i,z22=-2i，z12+z22=0，B错误；
对于C，设z1=a+bi,z2=c+di，则z1z2=a+bic+di=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i，
所以z1z2=ac+bdc2+d22+bc-adc2+d22=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2c2+d22
=a2+b2c2+d2c2+d22=a2+b2c2+d2=z1z2，C正确；
对于D，设z1=a+bi,z2=c+di，则z1=a-bi,z2=c-di，
因为z1⋅z2=a+bic+di=ac-bd+ad+bci，
所以z1⋅z2=ac-bd-ad+bci，
又z1⋅z2=a-bic-di=ac-bd-ad+bci，
所以z1⋅z2=z1⋅z2，D正确.
故选：CD
11．ACD
【详解】定理1：若函数fx连续且可导，则fx图象关于直线x=a对称⇔导函数f'x图象关于点a,0对称．
定理2：若函数fx连续且可导，则fx图象关于点a,fa对称⇔导函数f'x图象关于直线x=a对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数fx图象关于直线x=a对称，则fx=f2a-x，
则f'x=-f'2a-x，所以导函数f'x图象关于点a,0对称．
若导函数f'x图象关于点a,0对称，则f'x=-f'2a-x，
令Fx=fx-f2a-x，则F'x=f'x+f'2a-x=0，则Fx=c(c为常数)，
又Fa=fa-f2a-a=0，所以Fx=0，
则fx=f2a-x，所以fx图象关于直线x=a对称．
若函数fx图象关于点a,fa对称，则fx=2fa-f2a-x，
则f'x=f'2a-x，所以f'x图象关于直线x=a对称．
若导函数f'x图象关于直线x=a对称，则f'x=f'2a-x，
令Fx=fx+f2a-x，则F'x=f'x-f'2a-x=0，则Fx=c(c为常数)，
又Fa=2fa，所以Fx=2fa，
则fx+f2a-x=2fa，所以fx图象关于点a,fa对称．
故下面可以直接引用以上定理．
对于ABC，由f34+2x-2x的图象关于y轴对称，
则f34+x-x=f34-x+x，两边求导得f'34+x-1=-f'34-x+1，
即f'34+x+f'34-x=2，∴g(x)的图象关于点34,1对称，
又由定理2，所以y=g'(x)的图象关于直线x=34对称．
又∵g'32-23x为奇函数，则g'32-23x+g'32+23x=0，
∴y=g'(x)的图象关于点32,0对称，
又由定理1，则g(x)的图象关于x=32对称．
∴3为g(x)和g'(x)的一个周期，∴g'(0)=g'32=0,∴g'(3)=g'(0)=0，∴A正确；
∵g34=1≠0=g'32，∴B错误；
对由g'(0)=g'32=g'(3)=0，得g(x)在(0,4)上至少有2个零点．∴C正确；
对于D，由g(x)的图象关于x=32对称，且周期为3，则g(x)的图象关于x=32kk∈Ζ对称，
∵g34=1，∴g34k=1k∈Ζ，g'34=t，∴g'32=0，g'94=-t，g'3=0，
∴k=12024g'34k=0，∴k=12024g34k+g'34k=2024，∴D正确．
故选：ACD．
12．-3
【详解】因为M=-3,-2,3,5,N=xx≤m，且M∩N为单元素集，所以-3≤m<-2，
所以m的最小值为-3．
故答案为：-3．
13．32
【详解】如图所示，设圆O1的半径为r，
在△ABC中，因为AB=3,∠ACB=60°，
由正弦定理得2r=ABsin∠ACB=3sin60∘=2，可得r=1，即A,B,C所在小圆半径为1，
因为SC为球O的直径，且SC=4，可得球的半径为R=2，
所以球心O到△ABC所在小圆的距离为d=R2-r2=3，
则点S到△ABC所在小圆的距离为23，
在△ABC中，由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC⋅ACcsC，
即3=BC2+AC2-BC⋅AC≥2BC⋅AC-BC⋅AC=BC⋅AC，
当且仅当BC=AC时，等号成立，所以BC⋅AC≤3，
所以△ABC面积的最大值为12BC⋅ACsinC=334，
故三棱锥体积的最大值为V=13×334×23=32.
故答案为：32.
14．e1e,+∞
【详解】因为f(x)在(0,+∞)上连续，又f(1)=a>0，
所以要使f(x)无零点，需使f(x)>0在其定义域上恒成立．
于是原问题转化为f(x)=ax-lgax>0，求a的取值范围．
ax-lgax>0⇔ax>lgax，
⇔ax>lnxlna，
⇔axlna>lnx，
⇔axxlna>xlnx，
⇔axlnax>xlnx(*)，
令h(x)=xex(x>0),h'(x)=(x+1)ex>0，所以h(x)在0,+∞上单调递增，又由(*)式得
h lnax>h(lnx)，所以lnax=xlna>lnx，即lna>lnxx恒成立．
令φ(x)=lnxx,φ'(x)=1-lnxx2，令φ'(x)=0得x=e．
因为当00，所以φ(x)在0,e上单调递增；
因为当x>e时，φ'(x)<0，所以φ(x)在e,+∞上单调递减，
所以x=e是φ(x)的极大值点，
φxmax=φe=1e，所以lna>1e，即a>e1e．
综上所述，a的取值范围为e1e,+∞．
故答案为：e1e,+∞.
15．(1)曲线y=fx有拐点，理由见解析
(2)1e+12,e2-4
【详解】（1）曲线y=fx有拐点，理由如下：
由题意得f'x=112x4+16x3，f″x=13x3+12x2，f'''x=x2+x，
由f″x=13x3+12x2=0，得x=0或-32.
因为f'''0=0，f'''-32=34≠0，
所以点-32,f-32为曲线y=fx的拐点.
（2）由题意得g'x=aex-x-a，g″x=aex-1，g'''x=aex
由g″0=a-1=0，得a=1，且g'''0=1≠0.
则g'x=ex-x-1，g″x=ex-1,
当x<0时，g″x<0，g'x单调递减，
当x>0时，g″x>0，g'x单调递增，
则g'x≥g'0=0，所以gx在-1,2上单调递增.
因为g-1=1e+12，g2=e2-4，所以gx在-1,2上的值域为1e+12,e2-4.
16．(1)16675
(2)11240
【详解】（1）设乙队每轮得分为X，
P(X=20) =25⋅12⋅13+35⋅12⋅23+25⋅12⋅23=1230=25，
P(X=30) =25⋅12⋅23=430=215，
∴轮积分超过70分，
∴ P=215⋅215⋅215+C3125⋅215⋅215=16675.
（2）其中甲队成功答题的概率为C31123+123=12，
其中乙队成功答题的概率为P(X=20)+P(X=30)=815，
若甲先答第一轮：
甲（胜）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P1=12⋅12⋅715⋅12⋅12=7240，
甲（负）乙（胜）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P2=12⋅815⋅715⋅12⋅12=56225，
若乙先答第一轮：
乙 （负）甲（负）乙（负）甲（胜）甲（胜）
P3=715⋅12⋅715⋅12⋅12=491800，∴ P=12P1+P2+12P3=11240，
∴甲队恰好在第5轮结束获胜的概率为11240.
17．(1)证明见解析
(2)17,1
【详解】（1）如图，取AB,CD的中点M,N，连接ME,EN,NF,FM.
因为△AEB是等腰直角三角形，故FN⊥DC，平面FCD⊥平面ABCD，
平面FCD∩平面ABCD=CD，FN⊂平面FCD，
所以FN⊥平面ABCD.
同理，EM⊥平面ABCD.
所以FN ∥ ME.
又△AEB和△CFD是等腰直角三角形，四边形ABCD为菱形，所以FN=12DC=ME，
四边形MENF为平行四边形，所以MF ∥ EN，
EN⊂平面CDE，MF⊄平面CDE，所以MF//平面CDE，
又因为AB ∥CD，CD⊂平面CDE，AB⊄平面CDE，所以AB∥平面CDE，
又AB∩MF=M，AB,MF⊂平面ABF，
所以平面ABF//平面CDE.
（2）如图，以A点为原点，AB所在直线为y轴，过A平行于ME的直线为x轴，
在平面ABCD内垂直于AB的直线为z轴，建立空间直角坐标系.
设AB=2,∠BAD=θ,θ∈0,π3，
则A0,0,0,B0,2,0,C0,2+2csθ,2sinθ,D0,2csθ,2sinθ,E1,1,0.
所以AE=1,1,0,AD=BC=0,2csθ,2sinθ,BE=1,-1,0.
设平面ADE的一个法向量为n1→=x1,y1,z1，
则AE·n1=x1+y1=0AD·n1=2csθ⋅y1+2sinθ⋅z1=0，
令x1=1，得y1=-1,z1=csθsinθ，所以n1→=1,-1,csθsinθ.
设平面BCE的一个法向量为n2→=x2,y2,z2，
则BE·n2=x2-y2=0BC·n2=2csθ⋅y2+2sinθ⋅z2=0，
令x2=-1，得y2=-1,z2=csθsinθ，所以n2→=-1,-1,csθsinθ.
所以.
设t=csθsinθθ∈0,π3，则t'=-sin2θ-cs2θ(sinθ)2=-1(sinθ)2<0，
所以t=csθsinθ在0,π3上单调递减，所以t∈33,+∞，
所以，
所以平面ADE与平面BCE所成锐二面角的余弦值的取值范围是17,1.
18．(1)5-12
(2)证明见解析，定值为a2+b2
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，2a=CM1+CM2=1+52，2c=M1M2=|AB|=1，
所以e=ca=21+5=5-12.
（2）设Ax0,y0，A1x1,y1，由题意，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1的面积相等，
所以4x0y0=4x1y1，
即x02y02=x12y12，而x2a2+y2b2=1⇒y2=b21-x2a2，（*）
从而上式化为b2x021-x02a2=b2x121-x12a2，
整理可得x02+x12=a2，
代入（*）式，y02+y12=b2，
故|OA|2+OA12=x02+y02+x12+y12=a2+b2，
即|OA|2+OA12为定值，且该定值为a2+b2.
（3）如图，以AD，BC的中点为焦点构造经过A，B，C，D的椭圆，对于点Pk，连接M1Pk并延长，与该椭圆交于点Q，连接M2Q，
则PkM1+PkM2≤PkM1+PkQ+QM2 =QM1+QM2=2a=5+12<1.62.
d1+d2=i=1100M1Pi+i=1100M2Pi<162
因而d1，d2中至少有一个小于81，
同理d3，d4中至少有一个小于81，
故d1，d2，d3，d4中至少有两个小于81.
19．(1)是，N=6
(2)an=110⋅(-1)n-11≤n≤10或an=110⋅(-1)n1≤n≤10．
(3)an=-2n+2m+12m21≤n≤2m,m∈N*．
【详解】（1）若数列an是“N阶可控摇摆数列”，则SN=0，
因为an=7-2n18是首项为518，公差为-19的等差数列，
所以SN=518N-NN-12×19=0，解得N=6．
此时满足条件①数列an项数有限为6；②S6=0；
又i=16ai=a1+a2+a3+a4+a5+a6=518+318+118+-118+-318+-518=1，
故数列an为“6阶可控摇摆数列”．
（2）若q=1，则S10=10a1=0，解得a1=0，则i=110ai=0，与题设矛盾，舍去；
若q≠1，则S10=a11-q101-q=0，得q=-1，而i=110ai=10a1=1，解得a1=110或a1=-110，
故an=110⋅(-1)n-11≤n≤10或an=110⋅(-1)n1≤n≤10．
（3）设等差数列a1,a2,a3,⋯,a2mm≥1的公差为d，
因为a1+a2+a3+⋯+a2m=0，则2ma1+a2m2=0，
则a1+a2m=am+am+1=0,am=-am+1，
由am>am+1，得d<0,am>0,am+1<0，而i=12mai=1，
故a1+a2+a3+⋯+am=12,am+1+am+2+am+3+⋯+a2m=-12，
两式相减得m2⋅d=-1，即d=-1m2，
又a1m+mm-12d=12，得a1=2m-12m2，
所以an=a1+n-1d=2m-12m2+n-1⋅-1m2=-2n+2m+12m21≤n≤2m,m∈N*．