猜想02 有理数与整式加减综合之数轴上动点、绝对值问题、探究规律（解答60题专练）-七年级上学期数学期末考点大串讲（人教版）

这是一份猜想02 有理数与整式加减综合之数轴上动点、绝对值问题、探究规律（解答60题专练）-七年级上学期数学期末考点大串讲（人教版），文件包含猜想02有理数与整式加减综合之数轴上动点绝对值问题探究规律新定义解答60题专练原卷版docx、猜想02有理数与整式加减综合之数轴上动点绝对值问题探究规律新定义解答60题专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共80页， 欢迎下载使用。

1．（2022秋•海珠区校级期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．
（1）a＝ ﹣6 ，b＝ 8 ，AB两点之间的距离为 14 （只填结果，不用写出解答过程）；
（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到2022次时，求P点在数轴上所对应的有理数．
（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动后恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动后，若不可能，请说明理由．
【分析】（1）由题意a+6＝0，b＝8，分别求出a、b即可求解；
（2）由题意可得P点每运动两次，向右运动1个单位长度，先求出第1998次运动后P点表示1007，再求第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；
（3）设P点表示的数为x，分三种情况讨论：当P点在A点左侧时，﹣6﹣x＝3（8﹣x），解得x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，此时x+6＝3（x﹣8），解得x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，此时x+6＝3（8﹣x），解得x＝4.5（舍去）．
【解答】解：（1）由题意可得，a+6＝0，
∴a＝﹣6，
∵二次项的系数为b，
∴b＝8，
∴AB＝14，
故答案为：﹣6，8，14；
（2）由题意可知，第一、二次运动后P点向运动1个单位长度，第三、四次运动后P点向右运动1个单位长度，…，
∴P点每运动两次，向右运动1个单位长度，
∵2022÷2＝1011，
∴第2022次运动后，P点向右运动1011个单位长度，
∵B点表示8，
∴第2022次运动后P点表示1019；
（3）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，理由如下：
设P点表示的数为x，
当P点在A点左侧时，x＜﹣6，
此时﹣6﹣x＝3（8﹣x），
∴x＝15（舍去）；
当P点在B点右侧时，x＞8，
此时x+6＝3（x﹣8），
∴x＝15，
此时P点运动14次；
当P点在AB之间时，﹣6＜x＜8，
此时x+6＝3（8﹣x），
∴x＝4.5，
∵x表示的数为整数，
∴x＝4.5（舍去）；
综上所述：P点表示的数是15，是第14次运动．
【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键．
2．（2022秋•石狮市期末）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式5x3﹣3x2+2x是“和谐多项式”：多项式﹣3xy2+2x2y﹣x3是y的“和谐多项式”．
（1）把多项式﹣3x3+2x﹣4x2+5x4按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？
（2）若关于a、b的多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4是b的“和谐多项式”，求k的值；
（3）已知M、N均为关于x、y的整系数三次三项式，其中M＝x2y+xy2+nx3，N＝﹣x2y﹣mxy2+4y3．若新多项式M﹣N是“和谐多项式”，且m＜n，求代数式2022m2+8088m﹣1的值．
【分析】（1）用和谐多项式的定义即可判断．
（2）按b的降幂排列后，由和谐多项式的定义可知3＜|k|＜5，即可求得，
（3）计算出M﹣N后，分情况分别讨论，求得m的值，代入整式即可求得式子的值．
【解答】解：（1）按x的降幂排列：5x4﹣3x3﹣4x2+2x+5，
∵|﹣3|＝3，|﹣4|＝4，
∴|﹣3|＜|﹣4|，
∴多项式﹣3x3+2x﹣4x2+5x4不是“和谐多项式”，
（2）把多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4按b的降幂排列为﹣5b4+ka3b3+3ab2﹣2a2b，
∵多项式ka3b3﹣2a2b+3ab2﹣5b4是b的“和谐多项式”，
∴3＜|k|＜5，
又∵k为整数，
∴k＝±4，
（3）M﹣N＝（x2y+xy2+nx3）﹣（﹣x2y﹣mxy2+4y3），
＝x2y+xy2+nx3+x2y+mxy2﹣4y3，
＝nx3+2x2y+（1+m）xy2﹣4y3，
∵|2|＜|﹣4|，
∴M﹣N不是x的和谐多项式，
把x2y+xy2+nx3+x2y+mxy2﹣4y3按y的降幂排列为﹣4y3+（1+m）xy2+2x2y+nx3，
由题意可得，|﹣4|＞|1+m|＞|2|＞|n|，
∴|1+m|＝3，|n|＝1，
而m＜n，
∴1+m＝﹣3，
∴m＝﹣4，
∴2022m2+8088m﹣1，
＝2022×16﹣8088×4﹣1，
＝﹣1．
【点评】本题考查整式的加减，有理数的大小比较，有理数的混合运算，对新定义的正确理解是本题解题的关键．
3．（2022秋•忠县期末）已知多项式．
（1）化简已知多项式；
（2）若a，b满足，求已知多项式的值．
【分析】（1）根据整式加减的法则，先去括号，然后合并同类项化简多项式即可；
（2）根据非负数的性质求出a和b，然后计算多项式的值即可．
【解答】解：（1）
＝5ab2﹣（4a2b﹣3ab+5ab2+ab）+2a2b
＝5ab2﹣4a2b+3ab﹣5ab2﹣ab+2a2b
＝2ab﹣2a2b；
（2）∵，
∴a﹣6＝0，b+＝0，
解得a＝6，b＝﹣，
∴原式＝2ab﹣2a2b
＝2×6×（﹣）﹣2×6
＝﹣3+18
＝15．
【点评】本题考查了整式的加减以及非负数的性质，解题的关键是掌握整式加减的运算法则．整式的加减实质上就是合并同类项．
4．（2020秋•咸丰县期末）已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，O为原点．关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．
（1）点A到B的距离为 8 （直接写出结果）；
（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；
（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q是线段AN的中点．若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．
【分析】（1）根据多项式的概念可得a、b的值，由两点间距离公式可得答案；
（2）分两种情况：①当P点在A、B两点之间时；②当点P在B点的右侧时分别解答即可；
（3）根据动点运动速度和时间表示线段的长，再根据Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值与t值无关即可求解．
【解答】解：（1）∵关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6，
∴1+b＝6，2a＝﹣6，
∴a＝﹣3，b＝5，
∵点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，
∴点A到B的距离|﹣3﹣5|＝8，
故答案为：8．
（2）设P点在数轴上对应的数为x．
①当P点在A、B两点之间时：x﹣（﹣3）＝3（5﹣x），
②当点P在B点的右侧时：x﹣（﹣3）＝3（x﹣5），
∴x＝9，
∴P点在数轴上对应的数为3或9．
（3）根据题意得：
AN＝8﹣v2t，AQ＝，AM＝3﹣v1t，
∴QM＝AQ﹣AM，
QM＝，
QM＝，
QM＝，
∵在M，N运动过程中Q到M的距离为一个固定值，
∴QM的值与t的值无关，
∴，
∴．
【点评】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．理解多项式定义是关键．
5．（2022秋•海门市期末）（1）在数轴上有理数a，b，c所对应的点位置如图，化简：|a+b|﹣|2a﹣c|+2|b+c|；
（2）已知多项式A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6．化简：4A﹣3B．
【分析】（1）根据数轴上点的位置确定出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）把A与B代入原式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）由数轴可得：a＜b＜0＜c，|b|＜|c|＜|a|，
∴a+b＜0，2a﹣c＜0，b+c＞0，
则原式＝﹣a﹣b+2a﹣c+2b+2c＝a+b+c；
（2）∵A＝2x2﹣xy，B＝x2+xy﹣6，
∴4A﹣3B＝4（2x2﹣xy）﹣3（x2+xy﹣6）
＝8x2﹣4xy﹣3x2﹣3xy+18
＝5x2﹣7xy+18．
【点评】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6．（2022秋•钦州期末）化简
已知a，b，c在数轴上的位置如图所示：
（1）化简：|a+b|﹣|c﹣b|+|b﹣a|
（2）若a的绝对值的相反数是﹣2，﹣b的倒数是它本身，c2＝4，求﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）的值．
【分析】（1）根据题意判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果；
（2）根据题意确定出a，b，c的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+b＞0，c﹣b＜0，b﹣a＜0，
∴原式＝a+b+c﹣b﹣b+a＝2a﹣b+c；
（2）由题意，得a＝2，b＝﹣1，c＝﹣2，
∴﹣a+2b+c﹣（a+b﹣c）
＝﹣a+2b+c﹣a﹣b+c
＝﹣2a+b+2c
＝﹣4﹣1﹣4
＝﹣9．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2022秋•凤翔县期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如：从“形”的角度看：|3﹣1|可以理解为数轴上表示3和1的两点之间的距离；|3+1|可以理解为数轴上表示3与﹣1的两点之间的距离．从“数”的角度看：数轴上表示4和﹣3的两点之间的距离可用代数式表示为：|4﹣（﹣3）|．
根据以上阅读材料探索下列问题：
（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是 6 ；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 7 ；（直接写出最终结果）
（2）①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，则x的值为 2或﹣6 ；
②若x为数轴上某动点表示的数，则式子|x+1|+|x﹣3|的最小值为 4 ．
【分析】（1）根据阅读材料中的方法求出3和9，以及2和﹣5之间的距离即可；
（2）①根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；
②|x+1|表示x与﹣1两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离，求出原式最小值即可．
【解答】解：（1）数轴上表示3和9的两点之间的距离是6；数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是7；
（2）①若数轴上表示的数x和﹣2的两点之间的距离是4，即|x+2|＝4，
解得：x＝2或﹣6；
②若x为数轴上某动点表示的数，|x+1|表示x与﹣1两点之间的距离，|x﹣3|表示x与3两点之间的距离，
当﹣1≤x≤3时，|x+1|+|x﹣3|的最小值为4．
故答案为：（1）7；（2）①2或﹣6；②4．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，数轴，以及有理数的加减混合运算，熟练掌握阅读材料中求数轴上两点之间的距离方法是解本题的关键．
8．（2022秋•青川县期末）已知M＝（a+18）x3﹣6x2+12x+5是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c．如图，在数轴上点A，B，C所对应的数分别是a，b，c，O为原点，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向终点C运动，设运动时间为t s．
（1）a＝ ﹣18 ，b＝ ﹣6 ，c＝ 12 ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴上点O和点C之间往复运动．
①当t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的数．
③设点P，Q所对应的数分别是m，n，当6＜t＜8时，|c﹣n|+|b﹣m|＝8，求t的值．
【分析】（1）根据二次多项式的定义，列出方程求解即可；
（2）①点P到点B用时6秒，到点O用时3秒，点Q运动18个单位长度在OC的中点处，根据第一次相遇，列方程求解即可；
②求得运动时间，然后由运动路程＝时间x速度解答；
③当6＜t＜8时，确定m，n的值，利用绝对值的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）根据二次多项式的定义可得：a+18＝0，即a＝﹣18，
b＝﹣6，c＝12，
故答案为：﹣18，﹣6，12；
（2）①∵点A表示的数是﹣18，点B表示的数是﹣6，
∴AB＝﹣6﹣（﹣18）＝12，
∴点P从点A到点B用时t＝12÷2＝6（秒），
点P从点B到点O用时t＝6÷2＝3（秒），
此时点Q运动的长度为：6x3＝18个单位长度，
∴点Q在OC的中点，
设再经过t1秒两点第1次重合，则有，
2t1+6t1＝6，
解得：t1＝，
∴t总＝6+3+＝（秒）；
②∵点A表示的数是﹣18，点C表示的数是12，
∴AC＝12﹣（﹣18）＝30，
∴点P从点A到点C用时：30÷2＝15（秒），
则点Q一共运动（15﹣6）×6＝54个单位长度，
54÷12＝，
∴点Q在数轴上表示的有理数为：6；
③当6＜t＜8时，点P在BO上，点Q在OC上运动，
则|c﹣n|+|b﹣m|＝8，
12﹣6（t﹣6）+（m﹣b）＝8，
12﹣6t+36+[﹣6+2（t﹣6）+6]＝8，
12﹣6t+36+2t﹣12＝8，
﹣4t+36＝8，
t＝7．
【点评】本题考查了多项式、一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
9．（2022秋•滦州市期末）如图，A、B、P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．
（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数；
（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．
【分析】（1）根据多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，单项式5m2n4的次数是6得到A、B两点表示的数；
（2）根据点P的位置不同，分三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）∵多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，
∴点A对应的数为﹣2，
∵单项式5m2n4的次数是6，
∴点B对应的数为6．
∴点A对应的数为﹣2，点B对应的数为6．
（2）若点P在A点左侧，
∵P点到A点，B点距离和为10，
∴﹣2﹣x+6﹣x＝10，
解得x＝﹣3；
若点P在A点、B点中间，
∵AB＝8，
∴不存在这样的点P；
若点P在B点右侧，
∵P点到A点，B点距离和为10，
∴x﹣（﹣2）+x﹣6＝10，
解得x＝7．
∴点P对应的数x为﹣3或7．
【点评】本题考查两点之间的距离，多项式的项及系数，单项式的次数，一元一次方程的应用，本题运用了分类讨论的方法．掌握相关的定义是解题的关键．
10．（2022秋•海珠区期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是多项式2x2﹣4x+1的一次项系数，b是最大的负整数，单项式xy的次数为c．
（1）a＝ ﹣4 ，b＝ ﹣1 ，c＝ 2 ；
（2）若将数轴在点B处折叠，则点A与点C 能 重合（填“能”或“不能”）；
（3）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点B分别以每秒0.4个单位长度和0.3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒0.2个单位长度的速度向左运动，点C到达原点后立即以原速度向右运动，t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC．请问：5AB﹣BC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）根据多项式的项，单项式的次数及负整数的概念确定a，b，c的值；
（2）根据两点间距离公式分别求得AB和BC的长，从而作出判断；
（3）根据运动方向和运动速度分别表示出点A，点B，点C在数轴上坐标是的数，然后根据两点间距离公式表示出AB和BC的长，从而利用整式的加减运算法则进行化简求值．
【解答】解：（1）∵多项式2x2﹣4x+1的一次项为﹣4x，
∴其一次项系数为﹣4，即a＝﹣4，
∵b是最大的负整数，
∴b＝﹣1，
∵单项式xy的次数为2，
∴c＝2，
故答案为：﹣4；﹣1；2；
（2）∵点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，
∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，BC＝2﹣（﹣1）＝3，
∴AB＝BC，
∴若将数轴在点B处折叠，则点A与点C能重合，
故答案为：能；
（3）由题意可得：t秒钟过后，
①当0≤t≤10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为2﹣0.2t，
∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（2﹣0.2t）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝12+0.4t，
即当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，
②当t＞10时，点A在数轴上表示的数为﹣4﹣0.4t，点B在数轴上所表示的数为﹣1﹣0.3t，点C在数轴上所表示的数为0.2t﹣2，
∴5AB﹣BC＝5[（﹣1﹣0.3t）﹣（﹣4﹣0.4t）]﹣[（0.2t﹣2）﹣（﹣1﹣0.3t）]＝16，
即当t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16，
综上，当0≤t≤10时，5AB﹣BC的值会随着t的变化而变化，t＞10时，5AB﹣BC的值不会随着t的变化而变化，其值为定值16．
【点评】本题查看数轴上两点间的距离，多项式的项，单项式的系数和次数及整式加减的应用，理解多项式的项和单项式系数及次数的概念，利用分类讨论思想解题是关键．
11．（2021秋•平昌县期末）我们知道，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，数轴上P、Q两点所对应的数分别是m、n，那么P、Q两点之间的距离PQ＝|m﹣n|．已知代数式ax3﹣2x2﹣2x+10x2+6x3+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，数轴上A，B两点所对应的数分别是a，b．
（1）a＝ ﹣6 ，b＝ 8 ，AB两点之间的距离为 14 ；
（2）有一动点P从点B出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动到1999次时，求P点所对应的有理数．
（3）在（2）的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若可能，求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能，请说明理由．
【分析】（1）由题意a+6＝0，b＝8，分别求出a、b即可求解；
（2）由题意可得P点每运动两次，向右运动1个单位长度，先求出第1998次运动后P点表示1007，再求第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；
（3）设P点表示的数为x，分三种情况讨论：当P点在A点左侧时，﹣6﹣x＝3（8﹣x），解得x＝15（舍去）；当P点在B点右侧时，此时x+6＝3（x﹣8），解得x＝15，此时P点运动14次；当P点在AB之间时，此时x+6＝3（8﹣x），解得x＝5.5（舍去）．
【解答】解：（1）由题意可得，a+6＝0，
∴a＝﹣6，
∵二次项的系数为b，
∴b＝8，
∴AB＝14，
故答案为：﹣6，8，14；
（2）由题意可知，第一、二次运动后P点向运动1个单位长度，第三、四次运动后P点向右运动1个单位长度，…，
∴P点每运动两次，向右运动1个单位长度，
∵1999÷2＝999…1，
∴第1998次运动后，P点向右运动999个单位长度，
∵B点表示8，
∴第1998次运动后P点表示1007，
∴第1999次运动后P点表示1007﹣1999＝﹣992；
（3）点P会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍，理由如下：
设P点表示的数为x，
当P点在A点左侧时，x＜﹣6，
此时﹣6﹣x＝3（8﹣x），
∴x＝15（舍去）；
当P点在B点右侧时，x＞8，
此时x+6＝3（x﹣8），
∴x＝15，
此时P点运动14次；
当P点在AB之间时，﹣6＜x＜8，
此时x+6＝3（8﹣x），
∴x＝5.5，
∵x表示的数为整数，
∴x＝5.5（舍去）；
综上所述：P点表示的数是15，是第14次运动．
【点评】本题考查了多项式和单项式的有关概念，能熟记多项式和单项式的有关概念是解此题的关键．
12．（2022秋•南川区期末）对每个数位数字均不为零且互不相等的一个三位正整数x，若x的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，我们就称x为“翻倍数”．把一个“翻倍数”的百位、十位、个位上的数字之和称为这个“翻倍数”的“聚集数”，如231，因为3+1＝2×2，所以231是“翻倍数”，231的“聚集数”为3+2+1＝6．
（1）判断422与537是不是“翻倍数”，若是“翻倍数”，请求出它的“聚集数”；若不是，请说明理由；
（2）若一个“翻倍数”的“聚集数”为12，求满足条件的所有“翻倍数”．
【分析】（1）根据“翻倍数”和“聚集数”的定义即可判断；
（2）先求出百位数，再根据定义得出所有可能的十位数和个位数．
【解答】解：（1）∵2+2≠4×2，
∴422不是“翻倍数”，
∵3+7＝5×2，
∴537是“翻倍数”，
537的“聚集数”为 5+3+7＝15；
（2）∵“翻倍数”的十位数字与个位数字的和是百位数字的两倍，“翻倍数”的“聚集数”为12，
∴12÷3＝4，
∴满足条件的“翻倍数”百位数是4，十位与个位数字之和为8，十位数字与个位数字不为零且不相等即可．
∴满足条件的所有“翻倍数”是417、426、435、453、462、471．
【点评】本题考查了新定义运算，培养了学生对新定义的阅读理解能力．
13．（2022秋•江北区校级期末）若一个四位正整数，其千位数字的5倍与后三位组成的数的和得到的数称为t的“知行数”，记为K（t），“知行数”百位数字的5倍与后两位组成的数的和得到的数称为t的“合一数”，记为P（t），例如：3521的“知行数”为K（3521）＝3×5+521＝536，3521的“合一数”P（3521）＝5×5+36＝61．
（1）K（2134）＝ 144 ；P（2134）＝ 149 ；
（2）若一个四位数t＝6000+100a+40+b（其中0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），且满足能被11整除，求该四位数．
【分析】（1）根据“知行数”和“合一数”的定义即可求解；
（2）根据题意可表示出K（t＝100a+70+b，）和P（t）＝105a+140+2b，则K（t）+P（t）＝105a+140+2b，根据能被11整除可得K（t）+P（t）能被33整除，即105a+140+2b＝（99a+132）+（6a+2b+8）能被33整除，则6a+2b+8能被33整除，再根据a，b的取值范围进行取值，以此即可解答．
【解答】解：（1）K（2134）＝2×5+134＝144，
P（2134）＝1×5+44＝49；
故答案为：144，49；
（2）由题意得，K（t）＝6×5+100a+40+b＝100a+70+b，
P（t）＝a×5+70+b＝5a+70+b，
∴K（t）+P（t）＝100a+70+b+5a+70+b＝105a+140+2b，
∵能被11整除，
∴K（t）+P（t）能被33整除，即105a+140+2b能被33整除，
∵105a+140+2b＝（99a+132）+（6a+2b+8），
∴6a+2b+8能被33整除，
∵0≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数，
∴8≤6a+2b+8≤80，
∴6a+2b+8＝33或6a+2b+8＝66，
①当6a+2b+8＝33时，此时不存在符合题意的a，b，
②6a+2b+8＝66时，a＝7，b＝8或a＝8，b＝5或a＝9，b＝2，
综上，该四位数为6748或6845或6942．
【点评】本题主要考查因式分解的应用、整式的加减，理解新定义并熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．
14．（2021秋•曾都区期末）已知多项式（a+2）x3+8x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，如图所示的数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
（1）填空：a＝ ﹣2 ，b＝ 8 ，线段AB的长度为 10 ；
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒，C是线段PB的中点．当t＝2时，求线段BC的长度；
（3）D是线段AB的中点，若在数轴上存在一点M，使得AM＝BM，求线段MD的长度．
【分析】（1）根据多项式的定义即可得到a，b的值，再结合数轴可求得AB的长度；
（2）先求出AP的长度，则PB＝AB﹣AP，再根据C是PB的中点，求出BC的长度；
（3）根据D是AB的中点可求出BD，再分两种情况列方程求解：①当点M在线段AB上时，②当点M在AB的延长线上时．
【解答】解：（1）由题意知a+2＝0，b＝8，
所以a＝﹣2，b＝8，
所以AB＝8﹣（﹣2）＝10；
（2）由题意知AP＝2t，
当t＝2时，AP＝4，所以PB＝AB﹣AP＝6，
又因为C是PB的中点，所以．
（3）因为D是AB的中点，AB＝10，所以BD＝5，
显然点M不可能在点A左边．
设BM的长为x，则．
分两种情况讨论：
①当点M在线段AB上时，则有AM+BM＝AB，
所以，解得x＝4，即BM＝4，
所以MD＝BD﹣BM＝1；
②当点M在AB的延长线上时，则有AM﹣BM＝AB，
所以，解得x＝20，即BM＝20，
所以MD＝BD+BM＝25．
综上所述，线段MD的长度为1或25．
【点评】本题主要考查多项式和数轴，根据点的运动特点或位置，表示出相应线段的长度是解题的关键．
15．（2021秋•惠城区期末）观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB＝|a﹣b|．根据以上信息回答下列问题：已知多项式2x3y2z﹣3x2y2﹣4x+1的次数是b，且2a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为m．
（1）由题可知：A，B两点之间的距离是 9 ．
（2）若满足AM+BM＝12，求m．
（3）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出M所对应的数m．
【分析】（1）根据题意可得a＝﹣3，b＝6，则AB＝9；
（2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB＝12”列出方程即可求出答案；
（3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．
【解答】解：（1）由多项式2x3y2z﹣3x2y2﹣4x+1的次数是6，可知b＝6，
又2a与b互为相反数，
∴2a+b＝0，
故a＝﹣3，
∴A，B两点之间的距离是6﹣（﹣3）＝9，
故答案为：9；
（2）①当M在A左侧时，
∵AM+MB＝12，
∴﹣3﹣m+6﹣m＝12，
解得：m＝﹣4.5；
②M在A和B之间时，
∵AM+MB＝AB＝9≠12，
∴点M不存在；
③点M在B点右侧时，
∵AM+MB＝12，
∴m+3+m﹣6＝12，
解得：m＝7.5，
综上，m的值是﹣4.5或7.5；
（3）依题意得：﹣3﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+……+1008﹣1009
＝﹣3+（﹣1+2）+（﹣3+4）+•••+（﹣1007+1008）﹣1009
＝﹣3+504﹣1009
＝﹣508，
∴点M对应的有理数m为﹣508．
故答案为：﹣508．
【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
16．（2021秋•邢台期末）如图，A，B，P三点在数轴上，点A对应的数为多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数，点B对应的数为单项式5m2n4的次数，点P对应的数为x．
（1）请直接写出点A和点B在数轴上对应的数．
（2）请求出点P对应的数x，使得P点到A点，B点距离和为10．
（3）若点P在原点，点B和点P同时向右运动，它们的速度分别为1，4个长度单位/分钟，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【分析】（1）根据多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，单项式5m2n4的次数是6得到A、B两点表示的数；
（2）根据P的位置不同，分三种情况分别求解；
（3）分P为AB的中点和B为AP的中点两种情况．
【解答】解：（1）∵多项式3m2﹣2m+1中一次项的系数是﹣2，
∴点A对应的数为﹣2，
∵单项式5m2n4的次数是6，
∴点B对应的数为6．
（2）若P在A点左侧，则﹣2﹣x+6﹣x＝10，解得x＝﹣3；
若P在A点、B中间，因为AB＝8，故不存在这样的点P；
若P在B点右侧，则x﹣（﹣2）+x﹣6＝10，解得x＝7．
故点P对应的数x为﹣3或7．
（3）设第y分钟时，点B的位置为6+y，点P的位置为4y．
①当P为AB的中点时，则6+y﹣4y＝4y﹣（﹣2），解得y＝；
②当B为AP的中点时，则4y﹣（6+y）＝6+y﹣（﹣2），解得y＝7．
故第或7分钟时，A、B、P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点．
【点评】此题主要考查了中点的性质和两点之间的距离，解题时要注意分类讨论．
17．（2020秋•开福区校级期末）已知多项式（a+10）x3+20x2﹣5x+3是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
（1）a＝ ﹣10 ，b＝ 20 ，线段AB＝ 30 ；
（2）若数轴上有一点C，使得AC＝BC，点M为AB的中点，求MC的长；
（3）有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（t＜30），点D为线段GB的中点，点F为线段DH的中点，点E在线段GB上且GE＝GB，在G，H的运动过程中，求DE+DF的值．
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在AB之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算AC和AM的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，根据中点的定义得点D和F表示的数，由EG＝BG得EG的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得DE和DF的长，相加可得结论．
【解答】解：（1）由题意知：a+10＝0，b＝20，
∴a＝﹣10，
∴AB的距离为20﹣（﹣10）＝30；
故答案为﹣10，20，30；
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵AC＝BC，AB＝30，
∴AC＝18，
∵M是AB的中点，
∴AM＝15，
∴CM＝18﹣15＝3；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
∵AC＝BC，AB＝30，
∴AC＝90，
∵AM＝15，
∴CM＝90﹣15＝75；
综上，CM的长是3或75；
（3）由题意得：点G表示的数为：﹣10+t，点H表示的数为：20+t，
∵t＜30，AB＝30，
∴点G在线段AB之间，
∵D为BG的中点，
∴点D表示的数为：＝5+t，
∵F是DH的中点，
∴点F表示的数为：＝，
∵BG＝20﹣（﹣10+t）＝30﹣t，
∵EG＝BG，
∴EG＝＝10﹣t，
∴点E表示的数为：﹣10+t+10﹣t＝t，
∴DE+DF
＝（5+t）﹣t+﹣（5+t）
＝．
【点评】本题考查多项式和数轴；根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是关键．
18．（2022秋•港南区期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）用“＞”或“＜”填空：b﹣c ＜ 0，a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【分析】（1）根据数轴得出a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，即可求出答案；
（2）去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵从数轴可知：a＜0＜b＜c，|b|＜|a|＜|c|，
∴b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，
故答案为：＜，＜，＞；
（2）∵b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，
∴|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|＝c﹣b+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，整式的加减的应用，能正确去掉绝对值符号是解（2）的关键．
19．（2022秋•忠县期末）一个十位数字不为0的三位数m，若将m的百位数字与十位数字相加，所得和的个位数字放在m的个位数字右边，与m一起组成一个新的四位数，则把这个新四位数称为m的“生成数”．若再将m的“生成数”的任意一个数位上的数字去掉，可以得到四个三位数，则把这四个三位数之和记为S（m）．例如：m＝558，∵5+5＝10，∴558的“生成数”是5580，将5580的任意一个数位上的数字去掉后得到的四个三位数是：580、580、550、558，则S（m）＝580+580+550+558＝2268．
（1）写出123的“生成数”，并求S（123）的值；
（2）说明S（m）一定能被3整除；
（3）设m＝100x+10y+105（x，y为整数，1≤y≤x≤9且x+y≥9），若m的“生成数”能被17整除，求S（m）的最大值．
【分析】（1）根据概念进行计算从而作出判断；
（2）设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a，b，c（都是整数），由题意得：2≤a+b≤18，再分两种情况：当2≤a+b≤9时，当10≤a+b≤18时，进行分析证明；
（3）由题意得，m的百位数字和十位数字和为x+y+1，并结合整除的概念及x，y的取值范围分析其最值．
【解答】解：（1）1+2＝3，
故123的“生成数”为1233，得另四个三位数：233，133，123，123，
∴S（123）＝233+133+123+123＝612；
（2）设m的百位数字、十位数字、个位数字分别为a，b，c（都是整数），
由题意得：2≤a+b≤18，
当2≤a+b≤9时，由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b，100a+10c+a+b，100a+10b+a+b，100a+10b+c，
∴S（m）＝303a+123b+21c＝3（101a+41b+7c），能被3整除，
当10≤a+b≤18时，由m的“生成数”得到四个三位数为100b+10c+a+b﹣10，100a+10c+a+b﹣10，100a+10b+a+b﹣10，100a+10b+c，
∴S（m）＝303a+123b+21c﹣30＝3（101a+41b+7c﹣10），能被3整除．
故S（m）一定能被3整除；
（3）由题意得，m的百位数字和十位数字和为x+y+1，
∵x+y≥9，
∴m的“生成数”是1000（x+1）+100y+50+x+y+1﹣10，
上式＝1001x+101y+1041＝17（59x+6y+61）﹣2x﹣y+4，
由题意则必有2x+y﹣4能被17整除，要使S（m）最大，则x取最大，
∵x+1是千位数字，
∴x+1≤9，
∴x≤8，
∴x＝8，
∴2x+y﹣4＝12+y能被17整除，
∵1≤y≤x≤9，
∴y＝5，
∴m的最大值为955，
则m的“生成数”为9554，
∴S（m）的最大值为554+954+954+955＝3417．
【点评】本题考查了整式的加减，属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键．
20．（2022秋•北碚区校级期末）阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为“重叠数”，例如5353、3535都是“重叠数”．
材料二：将一位四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，F（M）＝．
（1）F（1756）＝ 20 ；F（2389）＝ ﹣50 ；
（2）试证明任意重叠数M的F（M）一定为10的倍数；
（3）若一个“重叠数”t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5（1≤a≤9，0≤b≤4），当t能被7整除时，求出满足条件的所有t值中，F（t）的最小值．
【分析】（1）根据所给的材料直接计算求解即可；
（2）设M的千位数字是x，百位数字是y，则M＝1010x+101y，N＝1100x+11y，再求F（M）＝﹣10（x﹣y），即可证明F（M）一定为10的倍数；
（3）由t＝7（144a+14b+72）+（2a+3b+1），根据题意可得2a+3b+1能被7整除，再由a、b的取值范围，可求t为3535或5656或7777或2828或9898或4949，分别求出F（t）的值即可求解．
【解答】（1）解：∵M＝1756，
∴N＝1576，
∴F（1756）＝＝20；
∵M＝2389，
∴N＝2839，
∴F（2389）＝＝﹣50；
故答案为：20，﹣50；
（2）证明：设M的千位数字是x，百位数字是y，
则M＝1000x+100y+10x+y＝1010x+101y，
∴N＝1000x+100x+10y+y＝1100x+11y，
∴F（M）＝＝＝﹣10（x﹣y），
∴F（M）一定为10的倍数；
（3）解：t＝1000a+100（b+5）+10a+b+5
＝1010a+101b+505
＝1008a+98b+504+1+2a+3b
＝7（144a+14b+72）+（2a+3b+1），
∵t能被7整除，
∴2a+3b+1能被7整除，
∵1≤a≤9，0≤b≤4，
∴b＝0，a＝3或b＝1，a＝5或b＝2，a＝7或b＝3，a＝2或b＝3，a＝9或b＝4，a＝4；
∴t为3535或5656或7777或2828或9898或4949，
∴F（3535）＝20，F（5656）＝10，F（7777）＝0，F（2828）＝60，F（9898）＝﹣10，F（4949）＝50，
∴F（t）的最小值为﹣10．
【点评】本题考查整式的加减法，弄清阅读材料，熟练掌握整式的加减运算，并能根据题意求出t的所有情况是解题的关键．
21．（2021秋•黄陂区期末）数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n（m＜n），点C在B的右侧，AC﹣AB＝2．
（1）如图1，若多项式（n﹣1）x3﹣2x7+m+3x﹣1是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值；
（2）如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF滑动过程中，线段MN的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
（3）若点D是AC的中点．
①直接写出点D表示的数 （用含m，n的式子表示）；
②若AD+2BD＝4，试求线段AB的长．
【分析】（1）根据二次三项式定义（即多项式由3个单项式组成，且单项式的最高次数为2）求出m，n．
（2）表示线段MN的长度后即可判断．
（3）①利用中点定义计算．
②利用数轴上两点之间的距离公式计算．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得：m＝﹣5，n＝1．
（2）依据题意，A点表示的数是﹣5，B点表示的数是1，
∵AC﹣AB＝2．
∴AC＝AB+2＝8，
∴﹣5+8＝3，
∴C点表示的数为3．
设E点表示的数为x，F表示的数为x+1．
∴AB＝6，BC＝2，AE＝x+5，AF＝x+6，EC＝3﹣x，BF＝﹣x，
∵点M是EC中点，N是BF的中点，
∴MC＝ME＝，NF＝﹣．
∴MN＝ME﹣EF﹣FN＝﹣1﹣（﹣）
＝．
∴线段MN的长度不会发生改变．
（3）①设点D表示的数为x，点C表示的数是：n+2，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴x﹣m＝n+2﹣x，
∴x＝．
故答案为：．
②由①知：AD＝﹣m＝，
BD＝﹣n＝，
或BD＝n＝．
∴2BD＝m﹣n+2或n﹣m﹣2．
∵AD+2BD＝4，
∴+m﹣n+2＝4或+n﹣m﹣2＝4．
∴m﹣n＝2或m﹣n＝﹣，
∵m＜n，
∴m﹣n＝2不成立．
∴AB＝n﹣m＝．
【点评】本题考查数轴上两点之间距离的计算，数形结合将线段长度表示出来是求解本题的关键．
22．（2020秋•双流区期末）已知代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．如图，在数轴上有点A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c．已知AC＝6AB．
（1）求a，b，c的值；
（2）若动点P，Q分别从C，O两点同时出发，向右运动，且点Q不超过点A．在运动过程中，点E为线段AP的中点，点F为线段BQ的中点，若动点P的速度为每秒2个单位长度，动点Q的速度为每秒3个单位长度，求的值．
（3）若动点P，Q分别自A，B出发的同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t（秒），3＜t＜时，数轴上的有一点N与点M的距离始终为2，且点N在点M的左侧，点T为线段MN上一点（点T不与点M，N重合），在运动的过程中，若满足MQ﹣NT＝3PT（点T不与点P重合），求出此时线段PT的长度．
【分析】（1）代数式M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b．则可得a﹣16＝0，b＝20，由AC＝6AB，根据数轴可得c＝﹣8；
（2）由题意可知EF＝AE﹣AF，可设设点P的出发时间为t秒，则EF＝AE﹣AF＝＝＝，BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，进而可得的值；
（3）可设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，则有MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，由MQ﹣NT＝3PT，可列28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|，进而求得线段PT的长度．
【解答】解：（1）∵M＝（a﹣16）x3+20x2+10x+5是关于x的二次多项式，二次项的系数为b，
∴a＝16，b＝20；
∴AB＝4
∵AC＝6AB
∴AC＝24
∴16﹣c＝24
∴c＝﹣8
∴a＝16，b＝20，c＝﹣8；
（2）设点P的出发时间为t秒，由题意得：EF＝AE﹣AF＝＝＝
∴BP﹣AQ＝（28﹣2t）﹣（16﹣3t）＝12+t，
∴＝＝
∴；
（3）设点P的出发时间为t秒，P点表示的数为16﹣2t，Q点表示的数为20﹣2t，M点表示的数为6t﹣8，N点表示的数为6t﹣10，T点表示的数为x，
∴MQ＝28﹣8t，NT＝x﹣6t+10，PT＝|16﹣2t﹣x|，
∵MQ﹣NT＝3PT，
∴28﹣8t﹣（x+10﹣6t）＝3|16﹣2t﹣x|，
∴x＝15﹣2t或，
∴PT＝1或．
【点评】本题综合性比较强，考查学生对数轴的理解和线段之间的数量关系的应用，难度相对较大．
23．（2020秋•龙文区校级期中）已知数轴上任章两个点的距离等于它们差的绝对值，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，关于x，y的多项﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是六次多项式，且常数项为﹣6．
（1）点A到B的距离为 8 （直接写出结果）；
（2）如图1，点P是数轴上一点，且在数轴上对应的数为n，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数n的值；
（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动，（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N距离的一半（即QN＝AN），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．
【分析】（1）关于x，y的多项﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是六次多项式，且常数项为﹣6，则b+1＝6，2a＝﹣6，可求得a、b的值，进而得到AB的值；
（2）根据题意AP＝，PB＝，由于PA＝3PB，建立方程＝3，即可求n值；
（3）运动时间为t时，点M，N对应的数分别为﹣v1t，5﹣v2t，设Q点表示的数为x，则QN＝，AN＝＝，由于QN＝AN，
所以x＝或x＝，又QM＝，所以QM＝＝或QM＝＝，若QM总为一个固定的值，则v1﹣＝0即可求解．
【解答】解：∵关于x，y的多项﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是六次多项式，且常数项为﹣6，
∴b+1＝6，2a＝﹣6，
解得：a＝﹣3，b＝5．
∵点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，
∴AB＝5﹣（﹣3）＝8，
故答案为：8；
（2）∵点P是数轴上一点，且在数轴上对应的数为n，A对应的数为﹣3，B对应的数为5．
∴AP＝，PB＝，
∵PA＝3PB，
∴＝3，
解得：n＝3或9，
答：点P在数轴上对应的数n的值为：3或9；
（3）∵点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动，（M在O，A之间，N在O，B之间），
∴运动时间为t时，点M，N对应的数分别为﹣v1t，5﹣v2t，
设Q点表示的数为x，
∴QN＝，AN＝＝，
∵QN＝AN，
∴＝，
解得：x＝或x＝，
又∵QM＝，
∴QM＝＝或QM＝＝，
若QM总为一个固定的值，
则v1﹣＝0，
即：＝，
答：＝．
【点评】本题考查数轴、绝对值、多项式、数轴上的动点问题，有难度，要细心，关键是理解题意．
24．（2023秋•沙坪坝区校级月考）材料一：我们知道，在数轴上，|a|表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．
材料二：若对于有理数x，a，b满足|x﹣a|+|x﹣b|＝10，则我们称x是关于a，b的“整十数”．例如：∵|5﹣2|+|5﹣12|＝10，∴5是关于2和12的“整十数”．
（1）若|x﹣2|＝|x+6|，则x＝ ﹣2 ；
（2）若m是关于2，6的“整十数”，则m＝ ﹣1或9 ；
（3）数轴上有两个点A、B，它们表示的数分别是a、b，且它们在5的同侧，当5是关于a，b的“整十数”时，求a+b的值．
【分析】（1）由|x﹣2|＝|x+6|表示x到2和﹣6的距离相等，则x为2和﹣6的中点，故2+（﹣6）＝2x解方程即可；
（2）若m是关于2，6的“整十数”，则|m﹣2|+|m﹣6|＝10，当m＜2时、当m＞6时、2≤m≤6分类讨论化简即可；
（3）分两种情况：当a、b都在5左侧和都在右侧，化简|5﹣a|+|5﹣b|＝10即可求结论．
【解答】解：由|x﹣2|＝|x+6|表示x到2和﹣6的距离相等，
∴x是2和﹣6的中点，
∴2+（﹣6）＝2x，
解得：x＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）∵m是关于2，6的“整十数”，
∴|m﹣2|+|m﹣6|＝10，
当m＜2时，则2﹣m+6﹣m＝10，解得m＝﹣1；
当m＞6时，则m﹣2+m﹣6＝10，解得m＝9；
当2≤m≤6时，则m﹣2+6﹣m＝4，不符合题意，
综上所述：m＝﹣1或9时，m是关于2，6的“整十数”，
故答案为：﹣1或9；
（3）当5是关于a，b的“整十数”时，则|5﹣a|+|5﹣b|＝10，
分两种情况：
当a、b都在5左侧，即5＞a，5＞b，
∴5﹣a＞0，5﹣b＞0，
∴5﹣a+5﹣b＝10
解得：a+b＝0；
当a、b都在5右侧，即5＜a，5＜b，
∴5﹣a＜0，5﹣b＜0，
∴a﹣5+b﹣5＝10，
解得：a+b＝20，
∴a+b＝0或20，
【点评】本题考查绝对值的意义以及对数轴上两点间的距离的理解，理解题意是解决问题的关键．
25．（2023秋•海淀区期中）类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”．
例如：a3b4与2a4b3是“准同类项”．
（1）给出下列三个单项式：
①2a4b5，②3a2b5，③﹣4a4b4．
其中与a4b5是“准同类项”的是 ①③ （填写序号）．
（2）已知A，B，C均为关于a，b的多项式，A＝a4b5+3a3b4+（n﹣2）a2b3，B＝2a2b3﹣3a2bn+a4b5，C＝A﹣B．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值．
（3）已知D，E均为关于a，b的单项式，D＝2a2bm，E＝3anb4，其中m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|），x和k都是有理数，且k＞0．若D与E是“准同类项”，则x的最大值是 3.5 ，最小值是 ．
【分析】（1）根据准同类项的定义进行验证即可；
（2）根据A＝a4b5+3a3b4+（n﹣2）a2b3，B＝2a2b3﹣3a2bn+a4b5，则C＝A﹣B＝（n﹣4）a2b3+3a3b4+3a2bn根据定义分类讨论即可；
（3）根据D＝2a2bm，E＝3anb4是“准同类项”，可确定m、n的值，再由m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|）利用两点间的距离可的m≥1+k，n≤k，从而得k的最大值即可．
【解答】解：（1）根据准同类项的定义可知①③是准同类项，
故答案为：①③．
（2）∵A＝a4b5+3a3b4+（n﹣2）a2b3，B＝2a2b3﹣3a2bn+a4b5，
∴C＝A﹣B＝（n﹣4）a2b3+3a3b4+3a2bn，
当3a3b4与3a2bn是准同类项，
则n＝3或4或5，
当（n﹣4）a2b3与3a2bn是准同类项，
则n＝2或3或4，
综上所述：n＝3或4；
（3）∵D＝2a2bm，E＝3anb4是“准同类项”，
∴m＝3或4或5，n＝1或2或3，
又∵m＝|x﹣1|+|x﹣2|+k，n＝k（|x﹣1|﹣|x﹣2|），
当x≥2时，，
∴x＝，
∴xmax＝，
xmin＝＜2（舍），
当x≤1时，，
∴n＝﹣k与k＞0矛盾，舍；
当1＜x＜2时，，
x＝＝，
∴xmin＝，
∴k的最大值是3，此时x最小为，最大为3.5，
故答案为：3.5，．
【点评】本题考查同类项的概念、绝对值、同类项的概念，有一定的难度，关键是理解题意．
26．（2022秋•深圳校级期末）数轴上点A对应的数为a，点B对应的数为b，且多项式x3y﹣2xy+5的二次项系数为a，常数项为b．
（1）直接写出：a＝ ﹣2 ，b＝ 5 ．
（2）数轴上点A、B之间有一动点P，若点P对应的数为x，试化简|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|；
（3）若点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动；同时点N从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左移动，到达A点后立即返回并向右继续移动，请直接写出经过 2或或6或8 秒后，M、N两点相距1个单位长度，并选择一种情况计算说明．
【分析】（1）根据多项式中二次项系数与常数项的定义即可求解；
（2）由题意可得﹣2＜x＜5，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再化简即可；
（3）设经过t秒M，N两点相距一个单位长度．分四种情况进行讨论：①点M、点N没有相遇之前；②点M、点N相遇后，但是点N没有到达A点；③点N到达A点后返回，但是没有追上点M；④点N到达A点后返回，追上了点M．
【解答】解：（1）∵多项式x3y﹣2xy+5的二次项系数为a，常数项为b，
∴a＝﹣2，b＝5．
故答案为﹣2，5；
（2）依题意，得﹣2＜x＜5，
则|2x+4|+2|x﹣5|﹣|6﹣x|＝2x+4+2（5﹣x）﹣（6﹣x）
＝2x+4+10﹣2x﹣6+x
＝x+8；
（3）设经过t秒M，N两点相距一个单位长度．
①M，N第一次相距一个单位长度时，t+1+2t＝7，解得t＝2；
②M，N第二次相距一个单位长度时，t+2t＝7+1，解得t＝；
③当M，N第三次相距一个单位长度时，t﹣2（t﹣3.5）＝1，解得t＝6；
④当M，N第四次相距一个单位长度时，2（t﹣3.5）﹣t＝1，解得t＝8．
故答案为2或或6或8．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，整式的加减以及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，分类讨论并且找出合适的等量关系列出方程，再求解．
27．（2020秋•青田县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向左移动3cm到达B点，然后向右移动9cm到达C点．
（1）用1个单位长度表示1cm，请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝ 6 cm．
（3）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【分析】（1）在数轴上表示出A，B，C的位置即可；
（2）求出CA的长即可；
（3）不变，理由如下：当移动时间为t秒时，表示出A，B，C表示的数，求出CA﹣AB的值即可做出判断．
【解答】解：（1）如图：
（2）CA＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6cm；
（3）不变，理由如下：
当移动时间为t秒时，
点A、B、C分别表示的数为﹣2+t、﹣5﹣2t、4+4t，
则CA＝（4+4t）﹣（﹣2+t）＝6+3t，AB＝（﹣2+t）﹣（﹣5﹣2t）＝3+3t，
∵CA﹣AB＝（6+3t）﹣（3+3t）＝3
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而改变．
故答案为：（2）6
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
28．（2021秋•郫都区校级月考）若用A、B、C分别表示有理数a、b、c，0为原点如图所示．已知a＜c＜0，b＞0．
（1）化简|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|；
（2）|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|
【分析】（1）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可；
（2）利用数轴结合绝对值的性质，进而化简得出即可．
【解答】解：（1）∵a＜c＜0，b＞0，
∴a﹣c＜0，b﹣a＞0，c﹣a＞0，
∴|a﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|
＝c﹣a+b﹣a﹣（c﹣a）
＝c﹣a+b﹣a﹣c+a
＝b﹣a；
（2）∵a＜c＜0，b＞0，
∴﹣a+b＞0，﹣c﹣b＞0，﹣a+c＞0
∴|﹣a+b|﹣|﹣c﹣b|+|﹣a+c|
＝﹣a+b+c+b+c﹣a
＝﹣2a+2b+2c．
【点评】此题主要考查了整式的加减、数轴以及绝对值的性质，正确去绝对值化简是解题关键．
29．（2021秋•宁明县期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b ＜ ﹣1；a ＜ 1；c ＞ b．
（2）化简：|b+1|+|a﹣1|﹣|c﹣b|．
【分析】（1）根据数轴上右边的数总是大于左边的数即可判断；
（2）根据绝对值的性质即可去掉绝对值符号，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）b＜﹣1，a＜1，c＞b．
故答案为：＜，＜，＞．
（2）原式＝﹣b﹣1+1﹣a﹣（c﹣b）＝﹣a﹣c．
【点评】本题考查了利用数轴比较数的大小，右边的数总是大于左边的数，以及绝对值的性质，正确根据性质去掉绝对值符号是关键．
30．（2021秋•西城区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示．
（1）用“＜”连接：0，a，b，c；
（2）化简代数式：3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|．
【分析】（1）根据数轴上的数，右边的总大于左边的进行判断即可；
（2）根据绝对值的性质去绝对值进行计算．
【解答】解：（1）如图可得，a＜b＜0＜c；
（2）由（1）得：a﹣b＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，
3|a﹣b|+|a+b|﹣|c﹣a|+2|b﹣c|＝﹣3（a﹣b）+[﹣（a+b）]﹣（c﹣a）+2[﹣（b﹣c）]
＝﹣3a+3b﹣a﹣b﹣c+a﹣2b+2c
＝﹣3a+c．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是比较a，b，c的大小以及绝对值的性质．
31．（2021秋•拜泉县期中）（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到 原点 的距离；
（2）若|a|＝﹣a，则a ≤ 0；
（3）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简|a|+|b|+|a+b|．
【分析】（1）根据数轴上各点到原点距离的定义解答即可；
（2）根据绝对值的性质即可得出结论；
（3）根据各点在数轴上的位置判断出a、b两点的符号及大小，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．
故答案为：原点；
（2）∵|a|＝﹣a，
∴a≤0．
故答案为：≤；
（3）∵由各点在数轴上的位置可知，a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a＜0，b＞0，a+b＜0，
∴|a|＝﹣a，|b|＝b，|a+b|＝﹣a﹣b，
∴原式＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
32．（2021秋•工业园区校级期中）有理数a＜0、b＞0、c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，
（1）在数轴上将a、b、c三个数填在相应的括号中．
（2）化简：|2a﹣b|+|b﹣c|﹣2|c﹣a|．
【分析】（1）根据a，b，c的范围，即可解答；
（2）根据a，b的取值范围，判定2a﹣b、b﹣c、c﹣a的正负，根据绝对值的性质，即可解答．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵a＜0、b＞0、c＞0，
∴2a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，
|2a﹣b|+|b﹣c|﹣2|c﹣a|
＝﹣（2a﹣b）﹣（b﹣c）﹣2（c﹣a）
＝﹣2a+b﹣b+c﹣2c+2a
＝﹣c．
【点评】本题考查了整式的加减，数轴以及绝对值，解决本题的关键是判定2a﹣b、b﹣c、c﹣a的正负．
33．（2022秋•达川区校级期末）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）3与 ﹣1 是关于1的平衡数，5﹣x与 x﹣3 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的平衡数，并说明理由．
【分析】（1）由平衡数的定义可求得答案；
（2）计算a+b是否等于2即可．
【解答】解：
（1）设3的关于1的平衡数为a，则3+a＝2，解得a＝﹣1，
∴3与﹣1是关于1的平衡数，
设5﹣x的关于1的平衡数为b，则5﹣x+b＝2，解得b＝2﹣（5﹣x）＝x﹣3，
∴5﹣x与x﹣3是关于1的平衡数，
故答案为：﹣1；x﹣3；
（2）a与b不是关于1的平衡数，理由如下：
∵a＝2x2﹣3（x2+x）+4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，
∴a+b＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6≠2，
∴a与b不是关于1的平衡数．
【点评】本题主要考查整式的加减，理解题目中所给平衡数的定义是解题的关键．
34．（2021秋•金平区校级期末）已知含字母x，y的多项式是：3[x2+2（y2+xy﹣2）]﹣3（x2+2y2）﹣4（xy﹣x﹣1）
（1）化简此多项式；
（2）小红取x，y互为倒数的一对数值代入化简的多项式中，恰好计算得多项式的值等于0，那么小红所取的字母y的值等于多少？
（3）聪明的小刚从化简的多项式中发现，只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，代数式的值恒为一个不变的数，请你通过计算求出小刚所取的字母y的值．
【分析】（1）直接去括号进而合并同类项得出答案；
（2）利用倒数的定义结合多项式的值为零进而得出答案；
（3）根据题意得出2xy+4x＝0而得出答案．
【解答】解：（1）3[x2+2（y2+xy﹣2）]﹣3（x2+2y2）﹣4（xy﹣x﹣1）
＝3x2+6（y2+xy﹣2）﹣3x2﹣6y2﹣4xy+4x+4
＝3x2+6y2+6xy﹣12﹣3x2﹣6y2﹣4xy+4x+4
＝2xy+4x﹣8；
（2）∵x，y互为倒数，
∴2xy+4x﹣8＝4x﹣6＝0，
解得：x＝，
故y＝；
（3）∵只要字母y取一个固定的数，无论字母x取何数，代数式的值恒为一个不变的数，
∴2xy+4x＝0，
则2y+4＝0，
解得：y＝﹣2．
【点评】此题主要考查了整式的加减运算，正确合并同类项是解题关键．
35．（2021秋•凤凰县期末）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0．我们称使得成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
（2）写出一个“相伴数对”（a，b），其中a≠0，且a≠1；
（3）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣﹣[4m﹣2（3n﹣1）]的值．
【分析】（1）利用“相伴数对”的定义化简，计算即可求出b的值；
（2）写出一个“相伴数对”即可；
（3）利用“相伴数对”定义得到9m+4n＝0，原式去括号整理后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵（1，b）是“相伴数对”，
∴+＝，
解得：b＝﹣；
（2）（2，﹣）（答案不唯一）；
（3）由（m，n）是“相伴数对”可得：+＝，即＝，
即9m+4n＝0，
则原式＝m﹣n﹣4m+6n﹣2＝﹣n﹣3m﹣2＝﹣﹣2＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
36．（2022秋•阜平县期末）佳佳做一道题“已知两个多项式A，B，计算A﹣B”．佳佳误将A﹣B看作A+B，求得结果是9x2﹣2x+7．若B＝x2+3x﹣2，请解决下列问题：
（1）求出A；
（2）求A﹣B的正确答案．
【分析】（1）先根据题意列出关于A的式子，再去括号，合并同类项即可；
（2）先根据题意列出关于A﹣B的式子，再去括号，合并同类项即可．
【解答】解：（1）∵A+B＝9x2﹣2x+7，B＝x2+3x﹣2
∴A＝9x2﹣2x+7﹣（x2+3x﹣2）
＝9x2﹣2x+7﹣x2﹣3x+2
＝8x2﹣5x+9；
（2）A﹣B＝8x2﹣5x+9﹣（x2+3x﹣2）
＝8x2﹣5x+9﹣x2﹣3x+2
＝7x2﹣8x+11．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．
37．（2020秋•怀安县期末）已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．
（1）计算B的表达式；
（2）求正确的结果的表达式；
（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a＝，b＝，求（2）中代数式的值．
【分析】（1）由2A+B＝C得B＝C﹣2A，将C、A代入根据整式的乘法计算可得；
（2）将A、B代入2A﹣B，根据整式的乘法代入计算可得；
（3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可．
【解答】解：（1）∵2A+B＝C，
∴B＝C﹣2A
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）
＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc
＝﹣2a2b+ab2+2abc；
（2）2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）
＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc
＝8a2b﹣5ab2；
（3）对，与c无关，
将a＝，b＝代入，得：
8a2b﹣5ab2＝8×（）2×﹣5××（）2
＝0．
【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
38．（2022秋•青羊区期末）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）
（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，得出a+2＝0，2﹣b＝0，求出即可；
（2）先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．）
【解答】解：（1）（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）
＝2x2+ax﹣y+6﹣bx2+2x﹣5y+1
＝（2﹣b）x2+（a+2）x﹣6y+7，
∵多项式的值与字母x的取值无关，
∴a+2＝0，2﹣b＝0，
∴a＝﹣2； b＝2；
（2）2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2）
＝2a2﹣2ab+2b2﹣a2﹣ab﹣2b2
＝a2﹣3ab，
当a＝﹣2，b＝2时，原式＝4+12＝16．
【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据合并同类项法则合并同类项是解此题的关键．
39．（2021秋•栾城区校级期末）已知整式M＝x2+5ax﹣x﹣1，整式M与整式N之差是3x2+4ax﹣x
（1）求出整式N；
（2）若a是常数，且2M+N的值与x无关，求a的值．
【分析】（1）根据题意，可得N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x），去括号合并即可；
（2）把M与N代入2M+N，去括号合并得到最简结果，由结果与x值无关，求出a的值即可．
【解答】解：（1）N＝（x2+5ax﹣x﹣1）﹣（3x2+4ax﹣x）
＝x2+5ax﹣x﹣1﹣3x2﹣4ax+x
＝﹣2x2+ax﹣1；
（2）∵M＝x2+5ax﹣x﹣1，N＝﹣2x2+ax﹣1，
∴2M+N＝2（x2+5ax﹣x﹣1）+（﹣2x2+ax﹣1）
＝2x2+10ax﹣2x﹣2﹣2x2+ax﹣1
＝（11a﹣2）x﹣3，
由结果与x值无关，得到11a﹣2＝0，
解得：a＝．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号与合并同类项法则是解本题的关键．
40．（2021秋•扶沟县期末）一般情况下+＝不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a＝b＝0，我们称使得+＝成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为（a，b）．
（1）若（1，b）是“相伴数对”，求b的值；
（2）若（m，n）是“相伴数对”，求代数式m﹣10n﹣2（5m﹣3n+1）的值．
【分析】（1）根据“相伴数”的定义和一元一次方程的解法即可求出答案．
（2）根据“相伴数”的定义和一元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵（1，b）是“相伴数对”，
∴＝，
解得：b＝
（2）由（m，n）是“相伴数对”可得：
＝
化简可得：9m+4n＝0
原式＝m﹣10n﹣10m+6n﹣2＝﹣9m﹣4n﹣2＝﹣2．
【点评】本题考查学生的理解能力，解题的关键是正确理解相伴数的定义，本题属于中等题型．
41．（2022秋•平原县校级期末）阅读材料：我们知道，4x﹣2x+x＝（4﹣2+1）x＝3x，类似地，我们把（a+b）看成一个整体，则4（a+b）﹣2（a+b）+（a+b）＝（4﹣2+1）（a+b）＝3（a+b）．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2的结果是 ﹣（a﹣b）2 ．
（2）已知x2﹣2y＝4，求3x2﹣6y﹣21的值；
拓展探索：
（3）已知a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，求（a﹣c）+（2b﹣d）﹣（2b﹣c）的值．
【分析】（1）利用整体思想，把（a﹣b）2看成一个整体，合并3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2即可得到结果；
（2）原式可化为3（x2﹣2y）﹣21，把x2﹣2y＝4整体代入即可；
（3）依据a﹣2b＝3，2b﹣c＝﹣5，c﹣d＝10，即可得到a﹣c＝﹣2，2b﹣d＝5，整体代入进行计算即可．
【解答】解：（1）∵3（a﹣b）2﹣6（a﹣b）2+2（a﹣b）2＝（3﹣6+2）（a﹣b）2＝﹣（a﹣b）2；
故答案为：﹣（a﹣b）2；
（2）∵x2﹣2y＝4，
∴原式＝3（x2﹣2y）﹣21＝12﹣21＝﹣9；
（3）∵a﹣2b＝3①，2b﹣c＝﹣5②，c﹣d＝10③，
由①+②可得a﹣c＝﹣2，
由②+③可得2b﹣d＝5，
∴原式＝﹣2+5﹣（﹣5）＝8．
【点评】本题主要考查了整式的化简求值问题，整体代入法是解决代数式求值问题的常用方法．
42．（2020秋•海珠区期末）已知代数式A＝3ax5+bx3﹣2cx+4，B＝ax4+2bx2﹣c，E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，其中a，b，c为常数，当x＝1时，A＝5，x＝﹣1时，B＝4．
（1）求3a+b﹣2c的值；
（2）关于y的方程2（a﹣c）y＝（k﹣4b）y+20的解为2，求k的值．
（3）当x＝﹣1时，求式子的值．
【分析】（1）将x＝1时，A＝5代入代数式A即可；
（2）将y＝2代入方程得到：2（a﹣c）＝（k﹣4b）+10，将x＝﹣1时，B＝4，代入代数式B得到：a﹣c＝4﹣2b，将上面两个等式通过整理变形即可求出k值；
（3先分别求出A、B、E的值，再代入所求的代数式即可．
【解答】解：（1）将x＝1时，A＝5代入A＝3ax5+bx3﹣2cx+4中得5＝3a+b﹣2c+4，
解得：3a+b﹣2c＝1；
（2）由题意可知，当y＝2时，
2（a﹣c）×2＝（K﹣4b）×2+20整理得：2（a﹣c）＝（k﹣4b）+10①，
将x＝﹣1时，B＝4，代入B＝ax4+2bx2﹣c可得：4＝a+2b﹣c，
整理得：a﹣c＝4﹣2b②，
将②式代入①中可知：2（4﹣2b）＝（k﹣4b）+10，
整理得8﹣4b＝k﹣4b+10，
解得：k＝﹣2；
（3）将x＝﹣1代入E＝3ax3+4bx2﹣cx+3，得：
E＝﹣3a+4b+c+3，
∵3a+b﹣2c＝1，
∴﹣3a＝b﹣2c﹣1，
代入E得：E＝b﹣2c﹣1+4b+c+3整理得E＝5b﹣c+2，
由3a+b﹣2c＝1，a﹣c＝4﹣2b得5b﹣c＝11，
代入E＝5b﹣c+2可得E＝11+2＝13，
当x＝1时，A＝5，3a+b﹣2c＝1．
所以当x＝﹣1时，A＝﹣3a﹣b+2c+4＝﹣1+4＝3，
由题知：当x＝﹣1时，B＝4．
将E＝13，A＝3，B＝4，代入得＝＝3．
【点评】本题不要考查了 整式的加减，涉及到一元一次方程的解和整体思想，有一定的难度．
43．（2020秋•路北区期末）已知含字母a，b的代数式是：3[a2+2（b2+ab﹣2）]﹣3（a2+2b2）﹣4（ab﹣a﹣1）
（1）化简代数式；
（2）小红取a，b互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于0，那么小红所取的字母b的值等于多少？
（3）聪明的小刚从化简的代数式中发现，只要字母b取一个固定的数，无论字母a取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小刚所取的字母b的值是多少呢？
【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）由a与b互为倒数得到ab＝1，代入（1）结果中计算求出b的值即可；
（3）根据（1）的结果确定出b的值即可．
【解答】解：（1）原式＝3a2+6b2+6ab﹣12﹣3a2﹣6b2﹣4ab+4a+4＝2ab+4a﹣8；
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴2+4a﹣8＝0，
解得：a＝1.5，
∴b＝；
（3）由（1）得：原式＝2ab+4a﹣8＝（2b+4）a﹣8，
由结果与a的值无关，得到2b+4＝0，
解得：b＝﹣2．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
44．（2022秋•锡山区期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：
当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；
当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值．
（2）已知a＞b＞0，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子（a﹣b）+（a+b﹣1）的值．
（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．
【分析】（1）根据新的运算，先判断（a+b）奇偶性，再列式计算；
（2）先判断（a﹣b+a+b﹣1）奇偶性，再列式计算；
（3）先判断（a+a）奇偶性，列式计算结果为4|a|是偶数，求（a⊙a）⊙a转化为求4|a|⊙a，针对a的取值分情况讨论，再结合（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，确定a的取值．
【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣4，
∴a+b＝2﹣4＝﹣2，为偶数，
∴a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|
＝2×|2﹣4|+|2﹣（﹣4）|
＝2×2+6
＝4+6
＝10；
（2）∵a﹣b+a+b﹣1＝2a﹣1，为奇数，
∴（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝2×|a﹣b+a+b﹣1|﹣|a﹣b﹣a﹣b+1|＝7，
∴2×|2a﹣1|﹣|﹣2b+1|＝7，
∵整数a，b，a＞b＞0，
∴2a﹣1＞0，﹣2b+1＜0，
∴2（2a﹣1）﹣（2b﹣1）＝7，
整理得2a﹣b＝4，
∴（a﹣b）+（a+b﹣1）
＝a﹣b+a+b﹣
＝﹣
＝；
（3）∵a+a＝2a一定为偶数，
∴a⊙a＝2|a+a|+|a﹣a|＝4|a|是偶数，
＜1＞当a为奇数时，（a⊙a）⊙a
＝4|a|⊙a
＝2|4|a|+a|﹣|4|a|﹣a|，
①当a为负奇数时，得2|﹣4a+a|﹣|﹣4a﹣a|＝﹣6a+5a＝﹣a，
∴﹣a＝180﹣5a，
解得a＝45＞0舍去；
②当a为正奇数时，得2|4a+a|﹣|4a﹣a|＝2×5a﹣3a＝7a，
∴7a＝180﹣5a，
解得a＝15；
＜2＞当a为偶数时，（a⊙a）⊙a
＝4|a|⊙a
＝2|4|a|+a|+|4|a|﹣a|，
①当a为负偶数时，得2|﹣4a+a|+|﹣4a﹣a|
＝2×（﹣3a）+（﹣5a）
＝﹣11a，
∴﹣11a＝180﹣5a，
解得a＝﹣30＜0，
②当a为正偶数时，得2|4a+a|+|4a﹣a|
＝2×5a+3a
＝13a，
∴13a＝180﹣5a，
解得a＝10＞0，
综上所述：a的值为15或﹣30或10．
【点评】本题主要考查了整式加减、有理数混合运算、绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题关键．
45．（2022秋•沙坪坝区校级期末）一个四位数m＝1000a+100b+10c+d（其中1≤a，b，c，d≤9，且均为整数），若a+b＝k（c﹣d），且k为整数，称m为“k型数”．例如，4675：4+6＝5×（7﹣5），则4675为“5型数”；3526：3+5＝﹣2×（2﹣6），则3526为“﹣2型数”．
（1）判断1731与3213是否为“k型数”，若是，求出k；
（2）若四位数m是“3型数”，m﹣3是“﹣3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，求满足条件的所有四位数m．
【分析】（1）由定义即可得到答案；
（2）设m＝，由m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，可得b＝c，设m＝，由m﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：（Ⅰ）d≥3时，m﹣3＝，可得2d﹣2x＝3，因x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，此种情况不存在；（Ⅱ）d＜3时，m﹣3＝，可得a+4x﹣3d＝24①，a﹣2x+3d＝0②，即有a+x＝12，a+d＝8，从而可得m是7551或6662．
【解答】解：（1）∵1+7＝4×（3﹣1），3+2＝﹣×（1﹣3），
∴1731是“4型数”，3213不是“k型数”；
（2）设m＝，
∵m是“3型数”，将m的百位数字与十位数字交换位置，得到一个新的四位数m′，m′也是“3型数”，
∴a+b＝3（c﹣d）且a+c＝3（b﹣d），
将两式相减整理得：b＝c，
∴m的十位与百位数字相同，设m＝，
由m﹣3是“﹣3型数”，分两种情况：
（Ⅰ）d≥3时，m﹣3＝，
∵四位数m＝是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
∴3（x﹣d）＝﹣3[x﹣（d﹣3）]，
整理化简得：2d﹣2x＝3，
∵x、d是整数，2x、2d是偶数，而3是奇数，
∴2d﹣2x＝3无整数解，此种情况不存在；
（Ⅱ）d＜3时，
m﹣3＝，
∵m﹣3是“﹣3型数”，
∴a+x＝﹣3[（x﹣1）﹣（d+7）]，即a+4x﹣3d＝24①，
∵m是“3型数”，
∴a+x＝3（x﹣d），即a﹣2x+3d＝0②，
①+②化简得a+x＝12，
①+②×2化简得a+d＝8，
∴当d＝1时，a＝7，x＝5，此时m＝7551，
当d＝2时，a＝6，x＝6，此时m＝6662．
综上所述，满足条件的四位数m是7551或6662．
【点评】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
46．（2021秋•伊州区校级期中）已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，O为原点，关于x，y的多项式﹣3xyb+2x2y+x3y2+2a是6次多项式，且常数项为﹣6．
（1）点A到B的距离为 8 （直接写出结果）；
（2）如图1，点P是数轴上一点，点P到A的距离是P到B的距离的3倍（即PA＝3PB），求点P在数轴上对应的数；
（3）如图2，点M，N分别从点O，B同时出发，分别以v1，v2的速度沿数轴负方向运动（M在O，A之间，N在O，B之间），运动时间为t，点Q为O，N之间一点，且点Q到N的距离是点A到N距离的一半（即QN＝AN），若M，N运动过程中Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，求的值．
【分析】（1）根据多项式的次数和常数项即可求解；
（2）根据两点之间的距离列等式即可求解；
（3）根据动点运动速度和时间表示线段的长，再根据Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值与t值无关即可求解．
【解答】解：（1）根据题意，得
2a＝﹣6，解得a＝﹣3，b＝5．
所以点A表示的数为﹣3，点B表示的数为5，
所以A、B之间的距离为8．
故答案为8．
（2）设点P对应的数为n，根据题意，得
|n+3|＝3|n﹣5|
解得n＝3或n＝9．
答：点P在数轴上对应的数为3或9．
（3）根据题意，得
MO＝v1 t，NB＝v2 t，
∴AN＝8﹣v2 t，AM＝3﹣v1t，
即AQ＝NQ＝（8﹣v2 t）＝4﹣v2 t．
∴QM＝AQ﹣AM＝4﹣v2 t﹣（3﹣v1t）＝1﹣v2 t+v1 t
∵Q到M的距离（即QM）总为一个固定的值，
∴1﹣v2 t+v1 t＝1﹣（v2﹣v1 ）t的值与t的值无关，
∴v2﹣v1＝0，∴v2＝v1，∴＝．
答：的值为．
【点评】本题考查了多项式，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．理解多项式定义是关键．
47．（2023秋•潮南区期中）数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|．
【分析】根据数轴先取绝对值再合并同类项即可．
【解答】解：由数轴得，c＜b＜0＜a，且|c|＞|a|＞|b|，
|a+c|﹣|c+b|+|a﹣b|＝﹣a﹣c+c+b+a﹣b
＝0．
【点评】本题考查了整式的加减，掌握取绝对值与合并同类项是解题的关键．
48．（2021秋•汉川市期末）已知一个三角形的第一条边长为2a+5b，第二条边比第一条边长3a﹣2b，第三条边比第二条边短3a．
（1）则第二边的边长为 5a+3b ，第三边的边长为 2a+3b ；
（2）用含a，b的式子表示这个三角形的周长，并化简；
（3）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，求出这个三角形的周长．
【分析】（1）根据题意表示出第二边与第三边即可；
（2）三边之和表示出周长，化简即可；
（3）利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）则第二边的边长为5a+3b，第三边的边长为2a+3b；
故答案为：5a+3b；2a+3b；
（2）周长为：2a+5b+5a+3b+2a+3b＝9a+11b；
（3）∵|a﹣5|+（b﹣3）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，即a＝5，b＝3，
∴周长为：9a+11b＝45+33＝78．
【点评】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．（2021秋•海淀区校级期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：|a|+|a+b|﹣2|a﹣b|．
【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：∵由图可知，a＜﹣1＜0＜b＜1，
∴a+b＜0，a﹣b＜0，
∴原式＝﹣a﹣（a+b）+2（a﹣b）
＝﹣a﹣a﹣b+2a﹣2b
＝﹣3b．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
50．（2020秋•成都期中）已知：|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）写出a＝ 4 ；b＝ 9 ；c＝ ﹣8 ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为：x甲，x乙，x丙，当t＞5时，求式子的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速度分别是1、2、4，（单位/秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
【分析】（1）根据非负性即可求出a、b、c的值．
（2）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据t＞5判断x甲﹣x乙，x丙﹣x甲，x丙﹣x乙与0的大小关系，最后根据绝对值的性质即可化简．
（3）根据甲、乙、丙三个动点的速度求出运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置，根据题意列出方程|x乙﹣x甲|＝|x乙﹣x丙|，从而求出t的值．
【解答】解：（1）由|a﹣4|+|2a+c|+|b+c﹣1|＝0，
∴a﹣4＝0，2a+c＝0，b+c﹣1＝0，
∴a＝4，b＝9，c＝﹣8
（2）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t，
∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动
∴4﹣x甲＝t，9﹣x乙＝2t，﹣8﹣x丙＝4t，
∴x甲＝4﹣t，x乙＝9﹣2t，x丙＝﹣8﹣4t，
∴x甲﹣x乙＝t﹣5，x丙﹣x甲＝﹣12﹣3t
x丙﹣x乙＝﹣17﹣2t
当t＞5时，
x甲﹣x乙＞0，x丙﹣x甲＝﹣12﹣3t＜﹣27，x丙﹣x乙＝﹣17﹣2t＜﹣27，
∴原式＝＝2
（3）由题可知：甲、乙、丙经过t秒后的路程分别是t，2t，4t，
∵甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴正方向运动，
∴x甲﹣4＝t，x乙﹣9＝2t，x丙+8＝4t，
∴x甲＝4+t，x乙＝9+2t，x丙＝﹣8+4t，
∴x乙﹣x甲＝5+t，x乙﹣x丙＝17﹣2t
由题意可知：|x乙﹣x甲|＝|x乙﹣x丙|，
∴（5+t）2＝（17﹣2t）2，
解得：t＝4或t＝22，
【点评】本题考查两点之间的距离，解题的关键是根据题意求出x甲、x乙、x丙的表达式，涉及不等式的性质，解方程，绝对值的性质，本题属于中等题型．
51．（2022秋•钢城区期末）有这样一道题：“计算（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【分析】首先将原代数式去括号，合并同类项，化为最简整式为﹣2y3，与x无关；所以甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的．
【解答】解：（2x3﹣3x2y﹣2xy2）﹣（x3﹣2xy2+y3）+（﹣x3+3x2y﹣y3）
＝2x3﹣3x2y﹣2xy2﹣x3+2xy2﹣y3﹣x3+3x2y﹣y3＝﹣2y3，
当y＝﹣1时，原式＝﹣2×（﹣1）3＝2．
因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关．
【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项．注意去括号时符号的变化．
52．（2020秋•汉川市期末）已知A﹣B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．
（1）求A等于多少？
（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．
【分析】（1）根据题目中的式子可以求得A的值，本题得以解决；
（2）根据|a+1|+（b﹣2）2＝0，可以求得a、b的值，然后代入（1）中的A的代数式，即可解答本题．
【解答】解：（1）∵A﹣B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7，
∴A﹣（﹣4a2+6ab+7）＝7a2﹣7ab，
解得，A＝3a2﹣ab+7；
（2）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣1，b＝2，
∴A＝3a2﹣ab+7＝3×（﹣1）2﹣（﹣1）×2+7＝12．
【点评】本题考查整式的加减、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用非负数的性质解答．
53．（2020秋•婺城区期末）已知A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．
（1）用含a，b的代数式表示A．
（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，求A的值．
【分析】（1）表示出A，然后去掉括号，再根据整式的加减运算方法进行计算即可得解；
（2）根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：（1）∵A﹣2B＝7a2﹣7ab，
∴A＝7a2﹣7ab+2B，
＝7a2﹣7ab+2（﹣4a2+6ab+7）
＝7a2﹣7ab﹣8a2+12ab+14
＝﹣a2+5ab+14；
（2）根据题意得，a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴A＝﹣a2+5ab+14＝﹣（﹣1）2+5×（﹣1）×2+14＝﹣1﹣10+14＝3．
【点评】本题考查了整式的加减，代数式求值，非负数的性质，实质就是去括号，合并同类项的过程，熟记去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
54．（2020秋•柳州期末）已知：A﹣2B＝7a2﹣7ab，且B＝﹣4a2+6ab+7．
（1）求A．
（2）若|a+1|+（b﹣2）2＝0，计算A的值．
【分析】（1）根据题意可得A＝2B+（7a2﹣7ab），由此可得出A的表达式．
（2）根据非负性可得出a和b的值，代入可得出A的值．
【解答】解：（1）由题意得：A＝2（﹣4a2+6ab+7）+7a2﹣7ab＝﹣8a2+12ab+14+7a2﹣7ab＝﹣a2+5ab+14．
（2）根据绝对值及平方的非负性可得：a＝﹣1，b＝2，
故：A＝﹣a2+5ab+14＝3．
【点评】本题考查整式的加减及绝对值、偶次方的非负性，难度不大，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则．
55．（2020秋•锦江区校级期末）已知M＝x2﹣ax﹣1，N＝2x2﹣ax﹣2x﹣1．
（1）求N﹣（N﹣2M）的值；
（2）若多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，求a的值．
【分析】（1）根据题目中M、N的值可以解答本题；
（2）先化简，然后根据多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，可知x的系数为0，从而可以求得a的值．
【解答】解：（1）∵M＝x2﹣ax﹣1，N＝2x2﹣ax﹣2x﹣1，
∴N﹣（N﹣2M）
＝N﹣N+2M
＝2M
＝2（x2﹣ax﹣1）
＝2x2﹣2ax﹣2；
（2）M＝x2﹣ax﹣1，N＝2x2﹣ax﹣2x﹣1，
∴2M﹣N
＝2（x2﹣ax﹣1）﹣（2x2﹣ax﹣2x﹣1）
＝2x2﹣2ax﹣2﹣2x2+ax+2x+1
＝（2﹣a）x﹣1，
∵多项式2M﹣N的值与字母x取值无关，
∴2﹣a＝0，得a＝2，
即a的值是2．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式的加减的计算方法．
56．（2021秋•邯郸期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如下：
（1）求破损部分的整式；
（2）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，求破损部分整式的值．
【分析】（1）设破损的整式为A，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果；
（2）利用非负数的性质求出x与y的值，代入A计算即可得到结果．
【解答】解：（1）设破损的整式为A，
根据题意得：A＝﹣11x+8y2+4（2x﹣y2）﹣2（3y2﹣2x）＝﹣11x+8y2+8x﹣4y2﹣6y2+4x＝﹣2y2+x；
（2）∵|x﹣2|+（y+3）2＝0，
∴x﹣2＝0，y+3＝0，
解得：x＝2，y＝﹣3，
则原式＝﹣18+2＝﹣16．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
57．（2021秋•赵县期末）有这样一道计算题：3x2y+[2x2y﹣（5x2y2﹣2y2）]﹣5（x2y+y2﹣x2y2）的值，其中x＝，y＝﹣1．小明同学把“x＝”错看成“x＝﹣”，但计算结果仍正确；小华同学把“y＝﹣1”错看成“y＝1”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝3x2y+2x2y﹣5x2y2+2y2﹣5x2y﹣5y2+5x2y2＝﹣3y2，
结果不含x，且结果为y2倍数，
则小明与小华错看x与y，结果也是正确的．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
58．（2019秋•梁平区期末）学习了整式的加减运算后，老师给同学们布置了一道课堂练习题“a＝﹣2，b＝2017时，求（3a2b﹣2ab2+4a）﹣2（2a2b﹣3a）+2（ab2+a2b）﹣1的值”．盈盈做完后对同桌说：“张老师给的条件b＝2017是多余的，这道题不给b的值，照样可以求出结果来．”同桌不相信她的话，亲爱的同学们，你相信盈盈的说法吗？说说你的理由．
【分析】原式去括号合并得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式＝3a2b﹣2ab2+4a﹣4a2b+6a+2ab2+a2b﹣1＝10a﹣1，
当a＝﹣2时，原式＝﹣21，
化简结果中不含字母b，故最后的结果与b的取值无关，b＝2017这个条件是多余的，
则盈盈的说法是正确的．
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
59．（2017秋•阳谷县期末）化简求值：
（1）当a＝﹣1，b＝2时，求代数式﹣2（ab﹣3b2）﹣[6b2﹣（ab﹣a2）]的值
（2）先化简，再求值：4xy﹣2（x2﹣3xy+2y2）+3（x2﹣2xy），当（x﹣3）2+|y+1|＝0，求式子的值
（3）若（2mx2﹣x+3）﹣（3x2﹣x﹣4）的结果与x的取值无关，求m的值
【分析】（1）根据去括号、合并同类项，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．
（2）原式去括号、合并同类项即可化简，再利用非负数的性质得出x、y的值，继而代入计算可得；
（3）与x无关说明含x的项都被消去，由此可得出m的值．
【解答】解：（1）原式＝﹣2ab+6b2﹣6b2+ab﹣a2
＝﹣ab﹣a2，
当a＝﹣1、b＝2时，
原式＝﹣（﹣1）×2﹣（﹣1）2
＝2﹣1
＝1；
（2）原式＝4xy﹣3x2+6xy﹣4y2+3x2﹣6xy
＝4xy﹣4y2，
∵（x﹣3）2+|y+1|＝0，
∴x＝3、y＝﹣1，
则原式＝4×3×（﹣1）﹣4×（﹣1）2
＝﹣12﹣4
＝﹣16；
（3）原式＝2mx2﹣x+3﹣3x2+x+4
＝（2m﹣3）x2+7，
∵结果与x的取值无关，
∴2m﹣3＝0，
解得：m＝．
【点评】本题考查了整式的加减，去括号、合并同类项化简整式是解题关键．
60．（2017秋•杭州期末）（1）先化简，再求值：当（x﹣2）2+|y+1|＝0时，求代数式4（x2﹣3xy﹣y2）﹣3（x2﹣7xy﹣2y2）的值；
（2）关于x的代数式（x2+2x）﹣[kx2﹣（3x2﹣2x+1）]的值与x无关，求k的值．
【分析】（1）根据|x﹣2|+（y+1）2＝0可以求得x、y的值，然后将题目中所求式子化简，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
（2）利用多项式的值与x无关，得出x的系数和为0，即可得出k的值，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+|y+1|＝0，
∴x＝2、y＝﹣1，
则原式＝2x2﹣12xy﹣4y2﹣3x2+21xy+6y2
＝﹣x2+9xy+2y2
＝﹣22+9×2×（﹣1）+2×（﹣1）2
＝﹣4﹣18+2
＝﹣20；
（2）原式＝x2+2x﹣kx2+3x2﹣2x+1
＝（4﹣k）x2+1
∵代数式的值与x无关，
∴k＝4．
【点评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．解：原式＝〇+2（3y2﹣2x）﹣4（2x﹣y2）
＝﹣11x+8y2