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专题2.1 等式性质与不等式性质-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版）
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这是一份专题2.1 等式性质与不等式性质-【初升高衔接】2023年新高一数学初升高考点必杀50题（人教A版2019）（原卷版+解析版），文件包含专题21等式性质与不等式性质-初升高衔接2023年新高一数学初升高考点必杀50题人教A版2019原卷版docx、专题21等式性质与不等式性质-初升高衔接2023年新高一数学初升高考点必杀50题人教A版2019解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知.下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】给a,b赋值，判定选项，得答案.
【详解】因为，所以令
A选项，错误；
B选项，正确；
C选项，错误；
D选项，错误.
故选：B
【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题.
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项错误.
D选项，若，如，则，所以D选项错误.
故选：B
3．已知，，那么下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于选项A，，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
【详解】对于选项A，，因为，所以，
所以，所以该选项正确；
对于选项B，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项C，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项D，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则，A错；
对于B选项，取，，，，则，B错；
对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，取，，，，则，D错.
故选：C.
5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
6．设，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，B，C通过举反例可判断，对于D，利用不等式的性质可得答案
【详解】解：对于A，时，成立，而此时，所A错误；
对于B，时，成立，而此时，所以B错误；
对于C，若时，，成立，而此时，所以C错误；
对于D，由不等式的性质可知此结论正确，
故选：D
7．下列命题中真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质结合特殊值法即可判断各选择命题的真假.
【详解】解：对于A，若，当时，则不成立，故A为假命题；
对于B，若，例如，，满足，但是，故B为假命题；
对于C，若，，例如，满足，，但，故C为假命题；
对于D，若，则，故D为真命题.
故选：D.
8．如果，那么下列不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.
【详解】由不等式性质知，当时，
有，，，成立，
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.
9．设，在下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值法排除部分选项，再用指数函数单调性得到结论.
【详解】当时，A，B，C都不正确.
因为是指数函数，在上是增函数，故.
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．若，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，
当时不成立
故选：D
【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【解析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.
【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；
选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；
选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；
选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.
故选：D.
12．若的三边，，的倒数成等差数列，则
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据的三边，，的倒数成等差数列，得出，假设，根据大边对大角以及不等式的性质，得出，与题中矛盾，从而得出.
【详解】的三边，，的倒数成等差数列，
，
假设，则为最大边，
，，
，，，这与题中矛盾，
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.
13．若a，b是任意实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的性质，指数函数、对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】A选项中，若时，故错误；
B选项中，若时，故错误；
C选项中，若取，则，，故错误；
D选项中，在上单调递减，由得，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了不等式的性质和指数函数、对数函数的性质，属于基础题.
14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】C
【分析】根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案.
【详解】设软件片，磁盘盒，，则，，.
当 时，满足条件；当时， 满足条件；
当 时，满足条件；当 时，满足条件；
故共有7种方案.
故选：C.
15．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，可以根据举例判断一些选项的正确性，也要可以根据函数的单调性判断，或者通过作差比较大小来判断.
【详解】对于A，由知，不一定成立，故A错误；
对于B，由，知，故B错误；
对于C，取，，
则，C也不一定成立，故C错误；
由，知，D项正确.
故选：D.
16．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件取，，，可排除，，，然后由不等式的基本性质直接判断正确．
【详解】，，取，，，
可排除，，；
由不等式的基本性质知，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了排除法的应用，属基础题．
17．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案
【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；
对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；
对于C，如果，，那么，故C错误；
对于D，因为满足，那么，故D错误；
故选：B
18．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对于ACD做差后分解因式，对于B直接分解因式，然后根据已知条件判定正负，进而得出相应大小关系，即可判定.
【详解】因为，
所以，即，故A错误；
，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，作差法比较大小，难点是四项式分解因式，注意要适当两两结合，提取公因式，再进行分解.
19．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．妈妈B．爸爸C．一样D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
20．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得到，求得的表达式，结合，得到，进而判定A、B错误，再根据和，根据不等式的性质，可判断C错误，D正确.
【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，即，
所以必有，
对于A中，且，所以，所以A错误；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C错误；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.
故选：D.
二、多选题
21．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.
【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；
对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；
故选：ACD.
22．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.
【详解】对于A,若则,故A不一定成立;
对于B,因为,所以,所以,
所以,所以B一定成立;
对于C,当,所以C不一定成立;
对于D, 因为,所以,所以D一定成立.
故选:BD.
23．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．xy＞yzB．xy＞xzC．xz＞yzD．x|y|＞|y|z
【答案】ACD
【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.
【详解】由题意知，，所以，
又，所以，得，
同理，，即.
所以若y=0时，不一定成立；成立；不成立；若时，则不一定成立.
故选：ACD
24．设，，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用作差因式分解即可比较各式的正误.
【详解】，故A对；
，故B对；
，故C对；
，故D错.
故选：ABC.
25．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】因为，且，所以，，故，A正确．
当时，，B错误．
，，C正确．
，，D正确．
故选：ACD.
26．若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则B．若，则
C．若则D．若，则
【答案】BC
【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
27．已知，那么下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，且，则
【答案】BCD
【分析】选项A，由条件知，根据不等式性质，结论成立；选项B，c不知是正数还是负数，结论不成立；选项C，根据已知的条件确定a为正数，b为负数；选项D，只能确定a,b同号，但无法确定a，b的大小关系.
【详解】A中，由知，所以由不等式性质知，结论成立，故说法正确；
B中，当c<0时，结论不成立，故说法不正确；
C中，由给出的两个不等式确定a为正数，b为负数，所以结论不成立，故说法不正确.
D.根据已知的得不出，若a=-2，b=-1，显然满足已知的条件，但不满足，故说法不正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，以及取倒数的知识，是解答本题的关键所在.
28．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】举出反例可判断AC，利用不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，若，且，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，若，当时，，故C错误；
对于D，若，
则，所以，故D正确.
故选：BD.
29．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D．
【详解】A项，=所以A选项是错误的；
B项，若，可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
D项，举当时，则不成立，故D不正确；
故选：BC．
30．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】对于A，取特殊值进行判断；
对于B，取特殊值进行判断；
对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；
【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；
对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；
对于C，，，故C中不等式恒成立；
对于D，，，，
又，，故D中不等式恒成立.
故选：CD
三、填空题
31．一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．
【答案】
【分析】根据已知条件可得出不等式组.
【详解】由题意可得．
故答案为：．
32．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
【答案】a2＜a＜
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
故答案为：a2＜a＜
33．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）
【答案】充分不必要
【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案．
【详解】解：由不等式的性质可知，由得，
故“”成立可推出“”，
而，当，则，
所以“”不能保证“”，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要．
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型．
34．_______（用不等号“＜”或“＞”填空）．
【答案】＞
【解析】利用作差法比较大小即可.
【详解】
,
,
故答案为：＞
35．比较大小：____．（用，或填空）
【答案】
【解析】利用作差法比较大小；
【详解】解：
即
故答案为：
【点睛】本题考查作差法比较大小，属于基础题.
36．下列命题：①；②，；③；④，其中正确的命题个数是__.
【答案】2
【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论.
【详解】解：①，∴；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.
②，，当时，不等式不成立，②不对.
③；当时，不等式不成立，∴③不对.
④，∴④对.
正确的是①④.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.
37．设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________
【答案】
【分析】结合已知条件利用不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
故m的取值范围为.
故答案为：.
38．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．
【答案】
【分析】利用“相伴数对”的定义求解.
【详解】由题意，得，
解得．
故答案为：
39．已知二次函数，，，，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】用、、表示，然后利用不等式的基本性质可求出的取值范围.
【详解】，则，，，
，设，
即，
即，
可得，解得，，，
所以，，
，，，
所以， ，
因此，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用待定系数法求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
40．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．
【答案】
【详解】∵－≤xy≤.
∴ (x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤ (x2＋y2)．
又∵1≤x2＋y2≤2.
∴≤z≤3.
故答案为
四、解答题
41．如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
【答案】a2＋b2≥2ab.
【分析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，根据大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和即得解.
【详解】
如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，
则大正方形的面积为，
四个矩形的面积和为，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，
所以
所以a2＋b2≥2ab.
【点睛】本题主要考查不等关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
42．比较与的大小.
【答案】
【分析】作差法最为快捷
【详解】，
【点睛】作差法常用于处理二次以上的整式，化简过程中能约分的尽量约分，有时还需添项凑项
43．（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6.
（2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件.
（3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金.
请分别写出满足上述不等关系的不等式.
【答案】（1）（2）（3）（T恤x件，运动鞋y双）
【分析】根据题意，写出具体表达式即可，（1）中非负的意思是大于等于零，不大于6的意思是小于等于6.（2）中根据：利润=售价-进价-其他开支，列出关系式（3）中设T恤x件，运动鞋y双，再列出关系式
【详解】（1）
（2）.
（3）设进T恤x件，运动鞋y双，
则有
【点睛】注意用不等式表示不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，但要注意结论与生活实际相符．
44．已知函数，满足，则的取值范围为？
【答案】
【分析】由条件得，再利用待定系数法表示，
根据不等式的性质，即可求解.
【详解】由得，，
设，则，解得，
所以，由，可得
所以，则可得.
45．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用分析法两边平方，即可得到证明；
【详解】证明：
又.
【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，考查逻辑推理能力，属于基础题.
46．若，，且，试比较与的大小.
【答案】.
【分析】利用作差比较法来比较大小，，结合的大小可得.
【详解】
因为，，且，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较大小，作差、变形、定号是求解的主要步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.
47．已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.
【详解】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
48．
(1)设为实数，比较与的值的大小；
(2)设全集为，已知集合，，求；；；.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用作差法与配方法，即可判断两者的大小；
（2）先解分式不等式得到集合A，再解二次不等式得到集合，进而利用集合的交并补运算法则及数轴法，即可求得结果.
（1）
依题意，得
，
故.
（2）
由得，即，故；
由得，即或，故或；
所以，或，
故，或.
49．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
【答案】(1)这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米
(2)公寓的采光效果变好了
【分析】对于（1），设地板面积为，则窗户面积为，其中，又，据此可得答案；
对于（2），设增加的面积为，本题相当于比较与的大小.
【详解】（1）设地板面积为，窗户面积为，其中.
又由题有，
则，当且仅当时取等号.
即这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米.
（2）设增加面积为，由（1），面积未增加前窗户面积与地板面积比值为，
面积增加后窗户面积与地板面积比值为.
又由题可知，.
则，
即公寓的采光效果变好了.
50．若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近.
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
一、单选题
1．已知.下列不等式恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】给a,b赋值，判定选项，得答案.
【详解】因为，所以令
A选项，错误；
B选项，正确；
C选项，错误；
D选项，错误.
故选：B
【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题.
2．下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】B
【分析】根据不等式的性质确定正确答案.
【详解】A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，若，两边平方得，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项错误.
D选项，若，如，则，所以D选项错误.
故选：B
3．已知，，那么下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对于选项A，，判断得解；对于选项B和C，差的符号不能确定，所以不正确；对于选项D，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
【详解】对于选项A，，因为，所以，
所以，所以该选项正确；
对于选项B，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项C，，如：，则分母小于零，
如：，则分母大于零，所以差的符号不能确定，
所以该选项不正确；
对于选项D，，差的符号不能确定，所以该选项不正确.
故选：A.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较代数式的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
4．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】取，可判断A选项；利用特殊值法可判断BD选项；利用不等式的基本性质可判断C选项.
【详解】对于A选项，若，则，A错；
对于B选项，取，，，，则，B错；
对于C选项，因为，，由不等式的性质可得，C对；
对于D选项，取，，，，则，D错.
故选：C.
5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞yB．x＝y
C．x＜yD．x，y的关系随c而定
【答案】C
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
故选：C.
6．设，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，B，C通过举反例可判断，对于D，利用不等式的性质可得答案
【详解】解：对于A，时，成立，而此时，所A错误；
对于B，时，成立，而此时，所以B错误；
对于C，若时，，成立，而此时，所以C错误；
对于D，由不等式的性质可知此结论正确，
故选：D
7．下列命题中真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质结合特殊值法即可判断各选择命题的真假.
【详解】解：对于A，若，当时，则不成立，故A为假命题；
对于B，若，例如，，满足，但是，故B为假命题；
对于C，若，，例如，满足，，但，故C为假命题；
对于D，若，则，故D为真命题.
故选：D.
8．如果，那么下列不等式错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.
【详解】由不等式性质知，当时，
有，，，成立，
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.
9．设，在下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用特殊值法排除部分选项，再用指数函数单调性得到结论.
【详解】当时，A，B，C都不正确.
因为是指数函数，在上是增函数，故.
故选：D
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质及指数函数的单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
10．若，则下列结论中不恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，
当时不成立
故选：D
【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单.
11．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，，则D．若，则
【答案】D
【解析】运用不等式的性质，结合特殊值法，对选项注逐一判断正误即可.
【详解】选项A中，若，时，则成立，否则，若，则，显然错误，故选项A错误；
选项B中，若，，则能推出，否则，若，则，显然错误，故选项B错误；
选项C中，若，则，显然错误，故选项C错误；
选项D中，若，显然，由不等式性质知不等式两边同乘以一个正数，不等式不变号，即.
故选：D.
12．若的三边，，的倒数成等差数列，则
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据的三边，，的倒数成等差数列，得出，假设，根据大边对大角以及不等式的性质，得出，与题中矛盾，从而得出.
【详解】的三边，，的倒数成等差数列，
，
假设，则为最大边，
，，
，，，这与题中矛盾，
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查学生的推理能力，属于基础题.
13．若a，b是任意实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由不等式的性质，指数函数、对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】A选项中，若时，故错误；
B选项中，若时，故错误；
C选项中，若取，则，，故错误；
D选项中，在上单调递减，由得，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了不等式的性质和指数函数、对数函数的性质，属于基础题.
14．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元､70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）
A．5种B．6种C．7种D．8种
【答案】C
【分析】根据题意，，，考虑，， ， 四种情况，计算得到答案.
【详解】设软件片，磁盘盒，，则，，.
当 时，满足条件；当时， 满足条件；
当 时，满足条件；当 时，满足条件；
故共有7种方案.
故选：C.
15．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据，可以根据举例判断一些选项的正确性，也要可以根据函数的单调性判断，或者通过作差比较大小来判断.
【详解】对于A，由知，不一定成立，故A错误；
对于B，由，知，故B错误；
对于C，取，，
则，C也不一定成立，故C错误；
由，知，D项正确.
故选：D.
16．若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件取，，，可排除，，，然后由不等式的基本性质直接判断正确．
【详解】，，取，，，
可排除，，；
由不等式的基本性质知，，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了排除法的应用，属基础题．
17．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】B
【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案
【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；
对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；
对于C，如果，，那么，故C错误；
对于D，因为满足，那么，故D错误；
故选：B
18．已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对于ACD做差后分解因式，对于B直接分解因式，然后根据已知条件判定正负，进而得出相应大小关系，即可判定.
【详解】因为，
所以，即，故A错误；
，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故D错误.
故选：C.
【点睛】本题考查不等式的基本性质，作差法比较大小，难点是四项式分解因式，注意要适当两两结合，提取公因式，再进行分解.
19．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（ ）
A．妈妈B．爸爸C．一样D．不确定
【答案】B
【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即可得解.
【详解】由题意，设第一次加油单价为元，第二次为元，油箱加满为升，则妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油，
设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升，
则，且，，
所以，即，
所以爸爸的加油方式更合算.
故选：B
20．若关于x的不等式的解集是，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意得到，求得的表达式，结合，得到，进而判定A、B错误，再根据和，根据不等式的性质，可判断C错误，D正确.
【详解】由不等式的解集是，即方程的两个根为和，
所以，解得，，
又由，则由，即，
所以必有，
对于A中，且，所以，所以A错误；
对于B中，当时，得到，所以B错误；
对于C中，当时，，又由，所以C错误；
对于D中，当时，可得，
又由，所以D正确.
故选：D.
二、多选题
21．已知，，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质，对各个选项进行计算，即可求出结果.
【详解】对于，因为，所以，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以，，所以的取值范围为，故不正确；
对于，因为，所以，又，所以的取值范围为，故正确；
对于，因为，，所以的取值范围为，故正确；
故选：ACD.
22．若，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用不等式的性质即可讨论即可求解.
【详解】对于A,若则,故A不一定成立;
对于B,因为,所以,所以,
所以,所以B一定成立;
对于C,当,所以C不一定成立;
对于D, 因为,所以,所以D一定成立.
故选:BD.
23．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是（ ）
A．xy＞yzB．xy＞xzC．xz＞yzD．x|y|＞|y|z
【答案】ACD
【分析】利用不等式的基本性质即可得出结果.
【详解】由题意知，，所以，
又，所以，得，
同理，，即.
所以若y=0时，不一定成立；成立；不成立；若时，则不一定成立.
故选：ACD
24．设，，则下列结论正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】利用作差因式分解即可比较各式的正误.
【详解】，故A对；
，故B对；
，故C对；
，故D错.
故选：ABC.
25．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质即可判断.
【详解】因为，且，所以，，故，A正确．
当时，，B错误．
，，C正确．
，，D正确．
故选：ACD.
26．若为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若则B．若，则
C．若则D．若，则
【答案】BC
【解析】由不等式的性质结合作差法逐项判断即可得解.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：BC.
【点睛】本题考查了不等关系的判断及不等式性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题.
27．已知，那么下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，且，则
【答案】BCD
【分析】选项A，由条件知，根据不等式性质，结论成立；选项B，c不知是正数还是负数，结论不成立；选项C，根据已知的条件确定a为正数，b为负数；选项D，只能确定a,b同号，但无法确定a，b的大小关系.
【详解】A中，由知，所以由不等式性质知，结论成立，故说法正确；
B中，当c<0时，结论不成立，故说法不正确；
C中，由给出的两个不等式确定a为正数，b为负数，所以结论不成立，故说法不正确.
D.根据已知的得不出，若a=-2，b=-1，显然满足已知的条件，但不满足，故说法不正确.
故选：BCD
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，以及取倒数的知识，是解答本题的关键所在.
28．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】举出反例可判断AC，利用不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，若，且，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，若，当时，，故C错误；
对于D，若，
则，所以，故D正确.
故选：BD.
29．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D．
【详解】A项，=所以A选项是错误的；
B项，若，可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
D项，举当时，则不成立，故D不正确；
故选：BC．
30．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】对于A，取特殊值进行判断；
对于B，取特殊值进行判断；
对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；
【详解】对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；
对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；
对于C，，，故C中不等式恒成立；
对于D，，，，
又，，故D中不等式恒成立.
故选：CD
三、填空题
31．一个盒子中红、白、黑三种球分别为个、个、个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为，则用不等式（组）将题中的不等关系表示为________．
【答案】
【分析】根据已知条件可得出不等式组.
【详解】由题意可得．
故答案为：．
32．已知0＜a＜1，则a，，a2的大小关系是________．
【答案】a2＜a＜
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】因为a－＝＜0，
所以a＜.
又因为a－a2＝a(1－a)＞0，
所以a＞a2，所以a2＜a＜.
故答案为：a2＜a＜
33．“”是“”的________条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一项填空.）
【答案】充分不必要
【解析】由不等式的性质可知，由得，反之代入进行验证，然后根据充分性与必要性的定义进行判断，即可得出所要的答案．
【详解】解：由不等式的性质可知，由得，
故“”成立可推出“”，
而，当，则，
所以“”不能保证“”，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要．
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，结合不等式的性质，属于较简单题型．
34．_______（用不等号“＜”或“＞”填空）．
【答案】＞
【解析】利用作差法比较大小即可.
【详解】
,
,
故答案为：＞
35．比较大小：____．（用，或填空）
【答案】
【解析】利用作差法比较大小；
【详解】解：
即
故答案为：
【点睛】本题考查作差法比较大小，属于基础题.
36．下列命题：①；②，；③；④，其中正确的命题个数是__.
【答案】2
【分析】根据不等式的性质依次判断可得结论.
【详解】解：①，∴；不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变.∴①对.
②，，当时，不等式不成立，②不对.
③；当时，不等式不成立，∴③不对.
④，∴④对.
正确的是①④.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，属基础题.
37．设实数a，c满足：，，若，则m的取值范围为__________
【答案】
【分析】结合已知条件利用不等式性质即可求解.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
故m的取值范围为.
故答案为：.
38．一般情况下，不成立，但也有数可以使它成立，如．使得成立的一对数m、n我们称为“相伴数对”，记为（m，n）．若（x，1）是“相伴数对”，则x的值为______．
【答案】
【分析】利用“相伴数对”的定义求解.
【详解】由题意，得，
解得．
故答案为：
39．已知二次函数，，，，则的取值范围为________.
【答案】
【分析】用、、表示，然后利用不等式的基本性质可求出的取值范围.
【详解】，则，，，
，设，
即，
即，
可得，解得，，，
所以，，
，，，
所以， ，
因此，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用待定系数法求解代数式的取值范围，考查计算能力，属于中等题.
40．已知x，y∈R，且1≤x2＋y2≤2，z＝x2＋xy＋y2，则z的取值范围是________．
【答案】
【详解】∵－≤xy≤.
∴ (x2＋y2)≤x2＋xy＋y2≤ (x2＋y2)．
又∵1≤x2＋y2≤2.
∴≤z≤3.
故答案为
四、解答题
41．如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）．
【答案】a2＋b2≥2ab.
【分析】如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，根据大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和即得解.
【详解】
如图，设大正方形四个角上的直角三角形的两个直角边分别为，
则大正方形的面积为，
四个矩形的面积和为，
显然，大正方形的面积大于等于四个矩形的面积和，
所以
所以a2＋b2≥2ab.
【点睛】本题主要考查不等关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
42．比较与的大小.
【答案】
【分析】作差法最为快捷
【详解】，
【点睛】作差法常用于处理二次以上的整式，化简过程中能约分的尽量约分，有时还需添项凑项
43．（1）x与y的和非负，x与y的积不大于6.
（2）某工厂生产的产品每件售价为80元，直接生产成本为60元.该工厂每月其他开支为50000元．如果该工厂计划每月至少获得200000元的利润，假定生产的全部产品都能卖出，每月的产量是x件.
（3）假如你要开一家卖T恤和运动鞋的小商店，由于店面和资金有限，在你经营时会受到如下限制：①你最多能进50件T恤；②你最多能进30双运动鞋；③你至少需要T恤和运动鞋共40件才能维持经营；④已知进货价：T恤每件36元，运动鞋每双48元，现在你有2400元资金.
请分别写出满足上述不等关系的不等式.
【答案】（1）（2）（3）（T恤x件，运动鞋y双）
【分析】根据题意，写出具体表达式即可，（1）中非负的意思是大于等于零，不大于6的意思是小于等于6.（2）中根据：利润=售价-进价-其他开支，列出关系式（3）中设T恤x件，运动鞋y双，再列出关系式
【详解】（1）
（2）.
（3）设进T恤x件，运动鞋y双，
则有
【点睛】注意用不等式表示不等关系，可以把实际问题转化为数学问题，但要注意结论与生活实际相符．
44．已知函数，满足，则的取值范围为？
【答案】
【分析】由条件得，再利用待定系数法表示，
根据不等式的性质，即可求解.
【详解】由得，，
设，则，解得，
所以，由，可得
所以，则可得.
45．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用分析法两边平方，即可得到证明；
【详解】证明：
又.
【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，考查逻辑推理能力，属于基础题.
46．若，，且，试比较与的大小.
【答案】.
【分析】利用作差比较法来比较大小，，结合的大小可得.
【详解】
因为，，且，所以，
所以.
【点睛】本题主要考查作差比较法比较大小，作差、变形、定号是求解的主要步骤，侧重考查逻辑推理的核心素养.
47．已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【分析】结合不等式的基本性质，应用作商比较进行运算，即可求解，得到答案.
【详解】方法一：由题意
，
因为，，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
方法二：由
，当且仅当时等号成立，
所以（当且仅当时取等号）.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应用作商比较进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
48．
(1)设为实数，比较与的值的大小；
(2)设全集为，已知集合，，求；；；.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）利用作差法与配方法，即可判断两者的大小；
（2）先解分式不等式得到集合A，再解二次不等式得到集合，进而利用集合的交并补运算法则及数轴法，即可求得结果.
（1）
依题意，得
，
故.
（2）
由得，即，故；
由得，即或，故或；
所以，或，
故，或.
49．一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
【答案】(1)这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米
(2)公寓的采光效果变好了
【分析】对于（1），设地板面积为，则窗户面积为，其中，又，据此可得答案；
对于（2），设增加的面积为，本题相当于比较与的大小.
【详解】（1）设地板面积为，窗户面积为，其中.
又由题有，
则，当且仅当时取等号.
即这所公寓的窗户面积至少为30多少平方米.
（2）设增加面积为，由（1），面积未增加前窗户面积与地板面积比值为，
面积增加后窗户面积与地板面积比值为.
又由题可知，.
则，
即公寓的采光效果变好了.
50．若实数x，y，m满足，则称x比y接近m，
（1）若比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有比接近.
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】（1）根据定义可得，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“比接近”是“”不充分条件.利用不等式的性质可证明“比接近”是“”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】（1）因为比3接近1，故，
故，故，所以.
（2）取，
则，故比接近.
但，
故“比接近”推不出“”.
所以“比接近”是“”不充分条件.
若，则，故，
所以或，
若，则且，故，
所以，
故，所以，
也就是“比接近”.
若，则且，故，
所以，
故，所以，
故“比接近”是“”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证比接近，
即证：，
即证：，
即证：，
因为，因为，
故，故，
所以成立，
故比接近.
【点睛】关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
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